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Universidad de Guayaquil Facultad de arquitectura y urbanismo “Arq. Guillermo Cubillo Renella” Carrera: Arquitectura Asignatura: Matemáticas Tema: Aplicación de derivadas en la arquitectura Trabajo practico para • Arq. Jorge Silva Presentación por: • Melany Vélez I

2°Semestre Grupo: 1

1

EJERCICIO DE DERIVADAS APLICADAS EN LA ARQUITECTURA EJERCICIO 1 Se desea obtener una viga rectangular a partir de un tronco cilíndrico de 60 cm de diámetro. a) Demostrar que la viga con sección transversal de área máxima es cuadrada. b) Determinar las dimensiones de la viga más resistente que puede obtenerse a partir del tronco, sabiendo que la resistencia de una viga rectangular es proporcional al producto de su anchura y al cuadrado de su altura.

A.rectangulo.= 2X x 2Y A.rectangulo= 4xy

Para expresar el área en función de una sola variable, debemos encontrar una relación entre x e y Como el radio r= 30 cm del tronco es conocido. Se aplicando Teorema de Pitágoras x2 + y2 = r2

Despejar y

x2 + y2 = 302

x2 + y2 = 900

x2 + y2 = 900

x2 + y2 = 900 - x2 y = √900 − 𝑥2

Así, sustituyendo el valor de y en el área A del rectángulo, obtenemos la expresión en función de x A(x)= 4xy A(x)= 4x (√900 − 𝑥2) A’(x)= 4( (√900 − 𝑥2 + x A’(x)= 4( (√900 − 𝑥2 + x A’(x)= 4 A’(x)= 4

−2𝑥 2 √900−𝑥2 −2𝑥 2 √900−𝑥2

) )

900−𝑥2−𝑥2 √900−𝑥2 900−2 𝑥2 √900−𝑥2

2

A(x)= 4

900−2 𝑥2

=0

√900−𝑥2

900 – 2x2 = 0 x = √450

Se reemplaza en la ecuación A(x)= 4x (√900 − 𝑥2) A(x)= 4(√450) (√900 − ( √450)2 A(x) = 1800 cm2

=

30 √2

Área máxima = 1800 cm2 =

√1800cm2

=

30 √2

=

30 √2

B) La resistencia R de la viga es igual a K ° 2𝑥 °4𝑦2

k> 0

x2 + y2 = 900 y2 = 900 - x2 Sustituido en R tenemos

R(x) = 8kx (900 - x2)

x∈ (0,30)

R’(x) = 8k (900 – x3) R’(x) = 8k (900 - 3x2) R(x) = (900 - x2) = 0 -x2 =

−900 3

-x2 = -300 x=

√300

x= 10√3

x 2 = 20√3

3

Se reemplaza en la función porque es una ecuación hayada del triangulo y = √900 − 𝑥2 y = √900 − (10√3) 2 y = √900 − 300 y = √600 y = 10 √6

x 2 = 20√6

Por lo tanto, utilizando un tronco de 30cm de radio, la viga con mayor resistencia, siendo la sección rectangular, tiene las siguientes dimensiones: la base mide = 20√3 y la altura 20√6

4

EJERCICIO 2 Una empresa de reformas está realizando trabajos en un edificio singular. El propietario desea tener, en una de las habitaciones principales, una ventana normanda que tiene forma de rectángulo rematado por un semicírculo, con las dimensiones adecuadas para que deje pasar la mayor cantidad de luz. El encargado de la obra sabe que sus operarios sólo disponen de perfiles suficientes si el perímetro de la ventana es de 10m. Además, conoce la normativa técnica que afecta a este edificio en relación con los huecos en fachada, según la cual, la altura total de la ventana no puede exceder de 3m. ¿Podrán construir la ventana con las indicaciones dadas por el propietario?

Sean x e y la base y la altura, respectivamente del 𝑥 rectángulo y el r = el radio del semicírculo. 2

El área A de la ventana es A= xy + A= xy +

1 2 𝜋 8

𝑥

π ( )2 2

x2

Para expresar A en función de una sola variable, utilizamos la condición dada sobre el perímetro de la ventana 𝑋

x + 2y +π ( ) = 10 2

Y=5-

2+𝜋 4

x

que sustituido en la expresión de A proporciona la siguiente función: A(x) = x(5 A(x) = 5x -

2+𝜋 4

4+𝜋 8

x) +

𝜋 8

x2

x2

Por lo tanto la función a maximizar es A(x) = 5x -

4+𝜋 8

x2

0≤ 𝑥 ≤

20 2+ 𝜋

5

4+𝜋

A(x) = 5x -

x2

8 4+𝜋

A’(x) = 5 -

2x

8 4+𝜋

A’(x) = 5 -

2x

4

20−(4+𝜋)𝑥

A’(x) =

8

=0

20 = (4 + 𝜋 ) x 20

x=

2+ 𝜋

Reemplaza en ecuación del área A(x) = 5x A(x) = 5( A(x) =

4+𝜋 8

20 2+ 𝜋

x2

) -

4+𝜋 8

(

20 2+ 𝜋

)2

50 4+𝜋

Reemplaza X en la ecuación del perímetro Y=5Y=5-

2+𝜋 4 2+𝜋

Y=5−

4

x (

20

2+ 𝜋

2+ 𝜋 4

(

20 ) 4+ 𝜋

Y = 5 − 2 + 𝜋( Y= Y=

)

5 ) 4+ 𝜋

5 ( 4+ 𝜋)−(2+𝜋)(5) 4+ 𝜋 10 4+𝜋

El radio del semicírculo es r = La altura de la ventana es

𝑥 2

20 4+ 𝜋

=

2

=

10 4+𝜋

h= y + r h= h=

10 4+𝜋 20 4+𝜋

+

10 4+𝜋

≈ 2.8005

R = Si, se podrá construir la ventana de acuerdo con la normativa vigente y las indicaciones expresadas por el 6

propietario.

7

EJERCICIO 1 DERIVADAS PARA EXPOSICION

ALUMNA: PAMELA DELGADO P. 8

GRUPO: 2-1

9

ALUMNA: PAMELA DELGADO P. 10

GRUPO: 2-1

11

EJERCICIO 2 DERIVADAS PARA EXPOSICION

ALUMNA: PAMELA DELGADO P. 12

GRUPO: 2-1

13

ALUMNA: PAMELA DELGADO P. 14

GRUPO: 2-1

15

x2 ABERTURA

En un terreno llano se desea acotar una parcela rectangular usando 80 m. de tela metálica para vallarla, pero dejando en uno de sus lados una abertura de 20 m. sin vallar, tal como se muestra en la figura. Hallar las dimensiones de la parcela rectangular de área máxima que puede acotarse de esa manera y el valor de dicha área.

PERIMETRO DΔ DY

= (100-2Y)Y = 100-2Y+Y(-2) LA DERIVACION ES LINEAL, PODEMOS DERIVAR LOS TERMINOS DE FORMA SEPARADA Y SACARLOS FACTORES CONSTANTES DΔ = 80-4Y=0 DY

2X = 100-2Y DΔ DY X1 = 100-2Y X2 = 100-2Y

X1

AREA X Y AREA

100 = 2X+2Y

Y

Y

= 100-4Y=0

= 25

=

-4

=

0

=

-4

DΔ DY

(Y)

-4

.1

+

DΔ DY

(80)

X = 100-2(25) X =

50 2

D²Δ DY²

= -4

AREA

=

COMO ES NEGATIVO, ES MAXIMO

x = 25 XY

= (25)(25)

=

625 M²

16

Se necesita construir un depósito cilíndrico cerrado de chapa con capacidad de 10,000 litros. Determinar susdimensiones para que el gasto sea mínimo

VOL = 10000 LT VOL = πr²h

A =

2πrh 2 r

DΔ DY

=

h

h +

=

10000 πr²

2πr²

10000 πr²

+

2πr²

20000 r

+

2πr²

-

20000 r²

+

4πr²

˂

-

20000 r²

˂

-

4πr²

-

20000 r²

˃

-

4πr²

20000 r²

˃

4πr²

20000 4π

˃

r³

r³

˂

r

˂

=

4π

0

-

1

20000 4π 3

3

20000 4π

10000 20000 4π

11.70 M

22.30 M

17

GRUPO 2 1) Un tanque cilíndrico vertical tiene en su base un agujero de 3 cm de radio. El radio del tanque es de 30 cm. el agua se escurre del tanque con la velocidad dada por la formula v2 = 2gh, siendo h la profundidad del agua y g la aceleración de la gravedad. ¿Cuál es la rapidez de variación de la velocidad? Paso 1

Paso 2

V2= 2gh

S1 V1 = S2 V2

V2= √2𝑔ℎ

𝜋 𝑟2 𝑉1 = 𝜋 𝑟2 𝑉2

V2= (2gh)

1

9

V1 = 900 𝑉2

2

V2 = 2(2𝑔ℎ)1

2𝑔 𝑑ℎ

V1 =

1 100

√2𝑔ℎ

Paso 3

dh =

1 100

√2𝑔ℎ

2

dv = dv =

𝑔 𝑑ℎ √(2𝑔ℎ) 𝑔 𝑑ℎ √2𝑔ℎ 1

𝑔 √2𝑔ℎ

dv =

100

dv = −

√2𝑔ℎ 1 100

𝑔/𝑐𝑚

2) Un baño cerrado en forma de paralelepípedo rectangular con base cuadrada tiene un volumen dado. Si el material utilizado para el piso cuesta 20% más por pulgada cuadrada que el material para las paredes y el material del cielo raso cuesta 50% más por pulgada cuadrada que cada lado, encuentre las proporciones más económicas para el baño. Si el volumen del baño es de 400 pulgadas cubicas. Paso 1 V = a𝑎2 𝑏 V = 400 1.- Paredes = 4 x 4 =

1600 𝑥

2.- Base = 𝑥 2 3.- Cielo raso = 𝑥2 1) S1 paredes =

1600 𝑥

2) S2 base = 𝑥 2 3) S3 cielo raso = 𝑥2

18

Paso 2 𝑆1+ (1.2) (𝑆2) + ( 1.5) (𝑆3) 𝑆1+ 1.2𝑆2 + 1.5𝑆3 1600 𝑥

+ 1.2𝑥2 + 1.5𝑥2

Paso 3 dp = dp =

−1600 𝑥

+ 2.4x + 3x

−1600+2.3 𝑥3+𝑥3 𝑥2

1600 = 2.4𝑥3 + 3𝑥3 1600 = 5.4 𝑥3 1600 = 5.4

𝑥3

x = 6.66

Finalmente procedemos a sustituir el valor de x en las fórmulas de áreas y obtendremos sus proporciones adecuadas

Paredes = Paredes =

1600 𝑥 1600 6.66

Paredes = 240.24 pulgadas cuadradas

Suelo = 𝑥2 Suelo = 6.662 Suelo = 44.35

3. Conforme el sol se pone detrás de un edificio de 120 pies de atura, la sombra del inmueble crece. ¿Qué tan rápido está creciendo la sombra (en pies por segundo) cuando los rayos del sol forman un ángulo de 45° (o TT/ 4 radianes)

19

t= tiempo

segundos

x= longitud de la sombra en pies θ= TT/4 d θ/dt =-2TT/86.400 dx/dt cuando θ=TT/4 x y θ satisfacen cot θ= x/120

x = 120 cot θ

x=120 cot θ con respecto a t=

Cuando θ = TT/4

4. La ciudad de Webster monitorea la altura del agua en su tanque cilindrico con un dispositivo de registro automatico. El agua se bombea de manera constante al tanque a una velocidad de 2400 pies cúbicospor hora, como se muestra en la figura 7. Durante cierto periodo de 12 horas (empezando a la medianoche), el nivel del agua se elevó y descendió de acuerdo con la gráfica en la figura 8. Si el radio del tanque es de 20 pies, ¿a qué velocidad está utilizándose el agua a las 7: 00 AM.?

t = horas transcurridas despues de medianoche h= la altura de agua en el tanque en el instante t V= el volumen del agua en el tanque en el instante t Entonces dV/dt razón de entrada menos la razón de salida 2400 - dV/dt velocidad en la que el agua está utilizandose en cualquier instante t. Pendiente de la recta tangente en t=7 es aproximadamente -3 dh/dt = -3 en ese instante Para un cilindro, V= TT r2 h de la cual

20

En t=7

Por lo tanto, los residentes de la ciudad de Webster estaban utilizando el agua a una tasa de 2400+3770=6170 pies cubicos por hora a las 7:00 A.M.

5. Una ventana en forma de rectángulo coronado de un triángulo equilátero de 5 metros de perímetro. Calcular sus dimensiones para que deje pasar la cantidad máxima de luz. Perímetro x

x

P: x+y+x+y+x =5m P: 3x+2y =5m y

y

ecuación 1

Áreas A: área del rectángulo + área del triángulo equilátero.

x

A: x.y +

𝑥2√3 4

A: x.y + 0.43x2

ecuación 2

Despejamos y de la ecuación 1 2y = 5-3x Y=

5−3𝑥 2 5

Y= − 2

3𝑥 2

Y= 2.5 - 1.5x

ecuación 3

Sustituimos el valor de y en la ecuación 2 y resolvemos: A: x(2.5-1.5x) + 0.43x2 derivación

A`= 2.5 - 2.14X

A: 2.5x -1.5x2 + 0.43x2 derivación A:2.5x – 1.07x2

derivamos la A`(X)=0

A” = -2.14

1 2

ecuación 4

Despejamos x de la 1 derivación

despejamos y en la ecuación 3

A`(X) =0 2.5 – 2.14X= 0

y = 2.5 – 1.5(1.16)

21

-2.14X = -2.5 X=

−2.5

−2.14

= 1.16 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.

y= 2.5-1.74 Y = 0.76 centímetros.

Respuesta: 1.16 mts de ancho y 0.76 cm de alto. Bibliografía: Libro “Calculo diferencial e integral Granville” Ejercicio 19 de la pág. 95 (derivadas sucesivas de una función). Ejercicio 6 Se desea cercar un jardín rectangular con uno de sus lados contra una barda, de m od o que e s e l a d o no n e ce s i ta s e r con s t r u i d o . 4e d i s p on e de m a te r i a l p a r a construir 566 m de cerca. ¿Qué dimensiones debe tener el jardín para conseguir el área máxima?

sí elegimos un valor (x) para el ancho del terreno, podemos determinar la longitud. Si el ancho es de x metros, la longitud será de 100-2x m. y el área será A= longitud por ancho = (100 – 2x) x. tomar el ancho como x nos permite obtener la ecuación. Ecuación del área del terreno en función de su ancho A=(100-2x) x =100x – 2x2 Es una ecuación cuadrática, podríamos obtener el punto máximo determinando su vértice. Aplicando la derivada derivamos e igualamos a cero para obtener el punto máximo. Y= -2x2 + 100x 𝑑𝑦 = −4𝑥 + 100 𝑑𝑥 -4x + 100= 0 -4x= -100 −100

X=

−4

X= 25 La solución es: Ancho = 25 m Longitud =50m Área =1250 m2 22

Universidad de Guayaquil Facultad de Arquitectura y Urbanismo “Arq. Guillermo Cubillo Renella”

Carrera: Arquitectura Asignatura: Matemáticas Profesor: Arq. Jorge Silva Tema: DERIVADAS APLICADAS EN LA ARQUITECTURA

Nombres: José David Chantera Coronel María Pamela Gutiérrez Balladares Nadia Daniela Arteaga Vélez Semestre: Segundo Grupo: 1 Periodo:

23

24

Un granjero ha comprado una cerca de 150m de longitud para cercar todo su terreno dividiéndolo en dos rectángulos similares. Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima. x

𝐴=𝑥(

A= x∙y 2x + 3y = 150m y

y

y

𝐴1 =

3y = 150 − 2x 150 − 2x y= 3

x y=

3

)=

150𝑥 − 2𝑥2 3

150 − 4𝑥 =0 3

150 − 4𝑥 = 0 ⟹ (−1) − 4𝑥 = −150(−1) 𝑥=

150

4 150 − 2(37,5)

150m

150 − 2𝑥

= 37,5𝑚

3

y = 25m

Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre el área de la ventana que permita la máxima entrada de luz, si el perímetro de esta es de 12m. P=3 x+2y 3𝑥 + 2𝑦 = 12𝑚

2𝑦 = 12 − 3𝑥 12 − 3𝑥 25

AT = x ⋅ y + 0.43𝑥2

1.5𝑥2 + 0.43𝑥2

AT = x ⋅ (6 − 1.5𝑥) +

AT = 6x − 107𝑥2

0.43𝑥2 AT = 6x − 𝑦=

2

= 6 − 1.5𝑥

26

x

x

y

y

x

A, = 6 − 2.14x = 0 −2.14x = −6 x=

−6 −2.14

= 2.8 m

y = 6 − 1.5(2.8) y = 6 − 4.2 y =1.8 m

Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel con las siguientes características: la zona impresa debe ocupar 100 cm2, el margen superior debe medir 3 cm, el inferior 2 cm, y los márgenes laterales 4 cm cada uno. Calcula las dimensiones que debe tener el cartel de modo que se utilice la menor cantidad de papel posible. Solución: Si las dimensiones de la parte impresa son x por y. La cantidad de papel que se necesita, y que se desea que sea mínima, es: S = (x + 8) (y + 5) Con la condición de que xy = 100 100 𝑦=

𝑥

Sustituyendo en S, queda:

27

Una cerca de “h” metros de altura que se encuentra en forma paralela a un edificio alto y a una distancia de “d” metros del mismo según la figura. Encuentre la longitud de la escalera más corta que llegue desde el suelo hasta la pared del edificio pasando por encima de la cerca.

𝑥+𝑑 cos 𝛼 =

𝐿 ℎ tan 𝛼 +𝑑 cos 𝛼 = 𝐿 ℎ +𝑑 𝐿 cos 𝛼 = tan 𝛼

ℎ tan 𝛼 =

𝑥

ℎ 𝑥=

tan 𝛼

ℎ tan 𝛼+𝑑 𝐿= cos 𝛼

28

ℎ 𝐿 = tan 𝛼 + 𝑑 cos 𝛼 cos 𝛼 1 ℎ 𝑑 + 𝐿= (tan 𝛼) (cos 𝛼) cos 𝛼 𝐿=

ℎ 𝑠𝑒𝑛 𝛼

+

𝑑 cos 𝛼

𝑑𝐿 (𝑠𝑒𝑛 𝛼)(ℎ´) − (ℎ)(𝑠𝑒𝑛 𝛼´) (𝑐𝑜𝑠 𝛼)(𝑑´) − (𝑑)(𝑐𝑜𝑠 𝛼´) = + 𝑑𝛼 (𝑠𝑒𝑛 𝛼)2 (𝑐𝑜𝑠 𝛼)2 𝑑𝐿

=

0 − ℎ 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛2𝛼

𝑑𝛼 𝑑𝐿 ℎ 𝑐𝑜𝑠𝛼 =− + 𝑑𝛼 𝑠𝑒𝑛2𝛼

0 + 𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛼

+

𝑐𝑜𝑠2 𝛼

𝑑𝐿 −ℎ 𝑐𝑜𝑠3𝛼 + 𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑑𝛼 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 𝑑𝐿 =0 𝑑𝛼 𝑑𝐿 −ℎ 𝑐𝑜𝑠3𝛼 + 𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑑𝛼 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 −ℎ 𝑐𝑜𝑠3𝛼 + 𝑑 𝑠𝑒𝑛3𝛼 = 0 ℎ 𝑐𝑜𝑠3𝛼 = 𝑑 𝑠𝑒𝑛3𝛼 ℎ 𝑐𝑜𝑠 3𝛼

= 𝑠𝑒𝑛3𝛼 𝑑 ℎ 𝑠𝑒𝑛3𝛼 = 𝑑 𝑐𝑜𝑠3𝛼 ℎ 𝑡𝑎𝑛3𝛼 = 𝑑 3ℎ tan 𝛼 = √ 𝑑 3

tan 𝛼 =

√ℎ

3

√𝑑 1

tan 𝛼 =

ℎ3 1

𝑑3

29

𝑠𝑒𝑛 𝛼 =

1

1

ℎ3

𝑑3

√ ℎ23

𝐿=

ℎ 𝑠𝑒𝑛 𝛼

+

+

cos 𝛼

2

𝑑 1

+

1 ℎ3

√

√ ℎ23 + 𝑑32

𝑑

ℎ 1

𝐿=

𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 2 𝑑3

1

𝑑3 2

√ ℎ3 + 𝑑 3

ℎ3 + 𝑑 3 √ ℎ23 + 𝑑3 2

𝐿=ℎ [

]

2

√ ℎ23 + 𝑑32

+𝑑

1 ℎ3

2

1

[

𝑑3

2 2 2 2 𝐿 = ℎ3 ( √ ℎ 3 + 𝑑 3) + 𝑑 3 (

]

3) ℎ3 + 𝑑√

2

2

2 2 2 √ 2 𝐿 = ( ℎ 3 + 𝑑 3 ) + (ℎ3 + 𝑑 3)

𝐿=

2 (ℎ3 +

3 22

𝑑3)

Hallar la ecuación del plano tangente a la parábola de 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 en el punto P(2,-1,5) 𝑧´ = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧´ = (2𝑥2−1) + (2𝑦2−1) 𝑧´ = 2𝑥 + 2𝑦 𝑎𝑧 𝑎𝑧 = 2𝑥 ; = 2𝑦 𝑎𝑥 𝑎𝑥 Derivada parcial P (2,-1,5) 𝑧´ = 2(2) + 2(−1) 𝑧´ = 4 − 2 𝑎𝑧 ( )𝑝=4 𝑎𝑥

𝑎𝑧 ;

(

𝑎𝑥

) 𝑝 = −2

30

Ecuación del plano tangente en el plano P (2,-1,5) es: 𝑧 − 𝑧𝑜 = (

𝑎𝑧 𝑎𝑧 ) 𝑝 (𝑥 − 𝑥𝑜) + ( ) 𝑝 (𝑦 − 𝑦𝑜) 𝑎𝑥 𝑎𝑥

𝑧 − 5 = 4(𝑥 − 2) − 2(𝑦 − 1) 𝑧 − 5 = 4𝑥 − 8 − 2𝑦 − 2 𝑧 = 4𝑥 − 8 − 2𝑦 − 2 + 5 𝑧 = 4𝑥 − 2𝑦 − 5

31

Bibliografía SlideShare. (25 de Junio de 2009). Obtenido de https://es.slideshare.net/gesa658/28-aplicaciones-de-la-derivada YouTube. (2011). Optimización. Obtenido de: https://www.youtube.com/watch?v=WHakcQRxuQU. YouTube. (2013). Problema 2 de OPTIMIZACIÓN. Obtenido de: https://www.youtube.com/watch?v=27D-xn7X3-I. Puentes, H. (30 de Noviembre de 2011). Youtube. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=8Mg49WpRVcI SlideShare. (25 de Junio de 2009). Obtenido de https://es.slideshare.net/fdespinoza/aplicaciones-de-la-derivada SlideShare. (12 de Marzo de 2015). Obtenido de https://es.slideshare.net/alfonsojroque/ejercicios-planotangente

32

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

MATEMÁTICAS

EXPOSICION: EJERCICIOS DE DERIVADAS GRUPO 4 INTEGRANTES: + KATHERINE CASTAÑEDA S. + KAREN LONDOÑO L. + ANGELA ZAVALA B. PROFESOR: ARQ. JORGE SILVA

2° SEMESTRE / GRUPO1 33

1. El perímetro de la ventana del dibujo mide 6 metros. Los dos lados superiores forman entre sí un ángulo de 90° Calcula la Longitud de los lados a y b para que el área de la ventana sea máxima. Solución: Suponemos que los dos lados superiores son iguales (El enunciado no lo dice, pero así lo sugiere la figura). Si su medida es x se tendrá

Por Pitágoras

El perímetro es: El área de la ventana es la suma del área de la sección rectangular más la de la sección triangular:

Para que sea máxima:

Luego, para el valor de b hallado se tiene el máximo de A.

34

3) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuente las dimensiónes de la ventana que deja pasar más luz, si su perímetro mide 5m.

Lcircunferencia= L=2πr

L

Lcircunferencia= = = 𝜋𝑟 2

Perímetro rectángulo= x+2y Perímetro total= x+2y+𝜋𝑟= 5(Condición) Función: Área: A(x,y) = x*y+

𝜋∗𝑟2 2

Condición: Función:

X=1.4 es un máximo.

Solución: Dimensiones de la ventana: Ancho x= 1.4m; Alto: y+r= 0.7+0.7= 1.4m

1. PROBLEMA Para fabricar un depósito cilíndrico de agua se necesitan materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $2 y el del lateral es de $15.

35

Calcular la altura hh y el diámetro d=2rd=2r para que el coste de un depósito de 10 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del depósito? Solución Tendremos que utilizar las fórmulas del área y del volumen de un cilindro. Sean rr el radio y hhsu altura. El volumen se calcula fácilmente multiplicando el área de la base (que es un círculo) por su altura:

El área de la superficie es el área de las bases más el área del lateral. Como las bases son dos círculos de radio rr, sus áreas suman

El lateral es un rectángulo de altura hh y cuya base coincide con el perímetro de la base del cilindro, así que su área es

Por tanto, el área total del cilindro es

Como los precios de los materiales del cilindro son por metro cuadrado, la unidad de medida que utilizaremos será el metro. La capacidad del cilindro debe ser 10000L. Sabiendo que un litro equivale a 1dm31dm3, la capacidad ha de ser de 10 000 dm3dm3. Es decir,

Igualamos el volumen del cilindro a su capacidad:

36

El precio del material es de $2 por metro cuadrado de base. Como hay dos bases, la cantidad asciende a

Y como el precio del lateral es de $15 por metro cuadrado, éste asciende a

Luego la función precio del cilindro (del depósito) es

Podemos escribir hh en función de rr:

Así, la función es

Derivamos la función:

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos:

37

Representamos la recta real con el único punto crítico:

Ahora estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo. Nosotros escogemos los puntos r=1r=1 y r=3r=3:

Luego la función tiene un mínimo en r=2.29r=2.29. Por tanto, el radio debe medir 2.29m y la altura

El precio del depósito nos lo proporciona la función:

El precio del depósito es $196.9.

2.

Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región como la de la figura. ¿Cuáles son los valores de x e y que hacen que el área encerrada sea máxima?

Solución: Se trata de un problema de optimización. Objetivo: que el área de la figura sea máxima.

38

La figura está formada por un triángulo equilátero de lado x y por un rectángulo de lados x e y. Área del triángulo:

La altura del triángulo es:

Área del rectángulo: Ar=xy

Área Total:

3

Condición: perímetro de la figura = 100 m → 100 = 3x + 2y  y= 50

- 𝑥 5

Sustituyendo en la expresión anterior, se tiene:

Esta función alcanza el máximo en las soluciones de A´(x) = 0 que hacen negativa a A´´(x)

. Como A’’(X)= √3−6 < 0 para ese valor hallado se tendrá el máximo buscado. 2

El valor de y será: y=50- 50(6+√3 11

•

Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería de manera que esta tenga la máxima superficie interior posible x a) ¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero? b) ¿Qué superficie máxima interior tiene la portería?

y Perímetro de la portería x+2y= 10 → x=10-2y La superficie máxima interior que tiene la portería a(y) = xy = (10-2y).y = 10y – 2y2

39

a’(y) = 10 – 4y a’(y) = 0 → 10 – 4y = 0 → y= 10/4 = 2,5 a’(y) = -4 < 0; y = 2,5 es un máximo

Los postes deben medir cada uno y= 2,5m El largo deberá medir x= 10 – (2 x 2,5) = 5m La superficie encerrada será a (2,5) = 10(2,5) – 2(2,5)2 = 12,5 m2 •

Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que el perímetro de uno de ellos sea el triple del perímetro de otro, se necesitan exactamente 1248 metros de valla para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible

x

y

z

Llamamos x, y, z a los lados de las tres parcelas Condiciones: i) ii)

Z= 3x 4x+4y+4z= 1248 De donde z=3x entonces y=312-4x Función: S(x,y,z) = x2 + y2 + z2 S(x) = x2 + (312-4x) + z2 S(x) = 26 x2 – 249x+3122 S’(x)= 52x-2496 y para S’(x) = 0tenemos que x= 48 S’’(x) = 52 → S’’(48) > 0, por tanto, es mínimo.

40

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO “ARQ. GUILLERMO CUBILLO RENELLA” CARRERA DE ARQUITECTURA ASIGNATURA: MATEMATICAS EXPOSICION GRUPO 5 INTEGRANTES: ❖ EDUARDO PERERO LIMONES ❖ MELANY VELEZ INTIRAGO ❖ DIEGO MOREIRA

GRUPO: 2-1

41

Para efectos decorativos de un edificio, de una pieza cuadrada de lado a se desea construir una caja, abierta por arriba, del mayor volumen posible, cortando de las esquinas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para formar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados? Sea x = lado del cuadrado pequeño = profundidad de la caja Entonces. a – 2 x = lado del cuadrado que forma el fondo de la caja 2

V= (a – 2x) x es el volumen de la caja. Queremos calcular el valor de x para el cual esta función V es un máximo. Primer paso 2

V´= (a-2x) -4x(a-2x) Segundo paso

2

= a -8ax+12x

2

Resolviendo la ecuación a2 -8ax+12x2 = 0 se obtienen los valores críticos 𝒙 = 𝒂

𝟐𝒂𝟑

𝒂 𝟐

𝒚=

𝒂 𝟔

Se halla que 𝒙 = 𝟔 da el volumen máximo 𝟐𝟕 Luego que el cuadrado que se ha de cortar es un sexto del lado del cuadrado dado Se dispone de una barra de hierro de 8 metros para construir el marco de un portón, de manera que el marco tenga la máxima superficie interior posible. a) ¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero? b) ¿Qué superficie máxima interior tiene el marco? Perímetro= x + 2y A= (8 – 2y) . y 8= x + 2y A= 8y – 2y2 X= 8 – 2y A’= 8(1) – (2)2y 2-1 A’= 8 – 4y Superficie= x.y Aplicamos criterio de primera derivada, se iguala a 0 0=8 – 4y 4y= 8 Y= 8/4 Y= 2m Sacamos valor de x X= 8 – 2y X= 8 – 2(2) X= 8 – 4 X= 4m Sacamos valor de superficie o área A= x.y A= 4m.2m

Aplicamos criterio de la 2da derivada para verificar valor máximo o mínimo A’= 8 – 4y A’’= 0 – 4(1) A’’=-4 < 0 tenemos valor máxim

A= 8m2

42

DERIVADAS Una empresa constructora ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de dolar la unidad de saco de cemento, vende una media de 200 sacos diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos sacos menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene la empresa? ¿Cuál será ese beneficio? Solución: Llamamos x al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada saco costará 50 + x céntimos; y venderá 200 - 2x sacos diarios. Por tanto, por la venta de los sacos obtendrá unos ingresos: I (x) = (50 + x) (200 - 2x) Pero tiene unos gastos de: G (x) = (200 - 2x) · 40 Luego, el beneficio será de: B (x) = I (x) - G (x) = (50 + x) (200 - 2x) - (200 - 2x) · 40 = (200 - 2x) (50 + x - 40) = = (200 - 2x) (x + 10) = -2x2 + 180x + 2 000 Hallamos x para que el beneficio sea máximo: B '(x) = -4x + 180 B '(x) = 0 = -4x + 180 = 0 = x = 45 B ''(x) = -4; B ''(45) < 0 = en x = 45 hay un máximo Por tanto, obtendrá el máximo beneficio vendiendo cada saco a 50 + 45 céntimos de dolar. En este caso, el beneficio sería de B (45) = 6050 céntimos, es decir, de 60,50 dolar.

43

Ejercicio 2 Una cisterna con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros, ¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lomás económica posible?

Solución:

Llamamos x al lado de la base e y a la altura de la cisterna. Así, el volumen es: V = x 2 y = 4000 dm3

→y=

4 000 x2

La superficie total del depósito (recordemos que está abierto) será: A = 4xy + x 2 = 4x ·

4000

+ x2 =

16000

x2

+ x2 ;

x0

x

Buscamos x para que A sea mínima: − 16 000 −16000 + 2x3 2 A' = + 2x = x x2 A' = 0 → −16 000 + 2x3 = 0 → 2x3 = 16 000 → → x 3=

16 000

= 8 000 → x =

= 20 dm

2

Por tanto, el lado de la base debe medir x = 20 dm y la altura, y = 10 dm.

44

45

46

47

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

INTEGRANTES: YULIANA INTRIAGO LUCIO SAMANTHA MONAR FLORES ERIKA VASQUEZ SALINAS

TRABAJO DE MATEMÁTICAS

PROBLEMAS DE DERIVADAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA

PROFESOR: ARQ. JORGE SILVA

SEGUNDO SEMESTRE

GRUPO: 2-1

48

1. Una empresa está trazando parcelas iguales y rectangulares sobre el plano de un terreno para construir chalets de 200m2 de superficie. Según la legislación de la zona, entre el chalet y la valla de la parcela debe haber un margen de 3 metros en los lados verticales y uno de 10 metros en los lados horizontales. Calcular las dimensiones que deben tener las parcelas para que su área sea mínima. ¿Cuál será el área de una parcela? Resolución: Sean x e y las longitudes de los lados de la parcela (sin contar los márgenes), siendo x el lado horizontal. El lado horizontal de la parcela, x, más el margen lateral izquierdo y el margen lateral derecho mide

El lado vertical de la parcela, y, más el margen superior y el margen inferior debe medir

Como la superficie de la construcción debe medir 200m 2 sin contar los márgenes,

de donde podemos obtener y en función de x:

La función área de la parcela es

Como x está en el denominador, tenemos que exigir que sea distinto de 0. Derivamos la función:

49

Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos:

Representamos la recta real con los puntos críticos y el punto x=0 (ya que en x=0 la función no está definida):

Estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo. Nosotros escogemos los puntos x=−8, x=−1, x=1, y x=8

Sólo hay un mínimo y está en la parte de los reales positivos que es la que nos interesa (ya que la longitud debe ser positiva). Por tanto,

50

Para calcular las dimensiones de la parcela tenemos que sumar los márgenes. El lado horizontal de la parcela (con márgenes) mide

Y el lado vertical (con márgenes) mide

Luego las dimensiones de la parcela deben ser 45.8 x 13.75 metros y su área total es 629.75m2.

2. Una empresa de fabricación de puertas de madera utiliza un tablón rectangular para la hoja y tres listones de 10cm de ancho para el marco (lados laterales y lado superior). El precio del tablón es de $128 por metro cuadrado y el de los listones es de $87 por metro lineal.

Calcular: a. Las dimensiones de una puerta de 2m2 de superficie de hoja para que el coste sea mínimo. ¿Cuál será su precio? b. Si la puerta es de 2.5 metros de ancho y 0.8 metros de alto, ¿cuál es su precio?

51

Resolución Sean x e y la anchura y altura de la hoja de la puerta, respectivamente. Como la superficie de la hoja es 2m2, tenemos que

Como la anchura de los listones es de 10cm, la longitud del listón del lado superior debe ser (escribimos 0.1 ya que los precios son por metro)

La longitud de los dos listones de los lados laterales debe ser

El coste total es el coste de la hoja más el del marco. El coste de la hoja es

El costo del listón superior es

Y el costo de los listones laterales es

Por tanto, el costo total es

Como tenemos dos variables, escribimos y en función de x:

52

Calculamos la derivada:

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación para buscar los puntos críticos:

Situamos los puntos críticos en la recta real y estudiamos el signo de la derivada en los 4 intervalos:

Nota: hay que incluir el punto x=0 como punto crítico ya que la función no está definida en dicho punto (no se puede dividir entre 0). Escogemos x=−3 para el primer intervalo, x=−1 para el segundo, x=1 para el tercero y x=3 para el cuarto:

53

La función es creciente para x≤−2x≤−2, decreciente en el intervalo [−2,2][−2,2] y creciente para x≥2x≥2. Además, tiene un en x=2x=2. Nota: cuando xx tiende a −∞−∞ la función decrece, pero como xx representa una longitud, debe ser positiva. Las dimensiones son

Es decir, 2 metros de ancho y 1 de alto. Calculamos el coste:

Luego el coste total de la puerta es $621.4. Apartado b: Evaluando la función en (x=2.5x=2.5),

54

3. Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 20x10cm. Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja levantando los cuatro laterales de la caja.

Determinar las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo si el lado \(L\) debe medir entre 2 y 3 cm (\(2\leq L\leq 3\)). SOLUCIÓN Si \(a\) es el ancho de la caja, \(h\) es su altura y \(p\) es su profundidad, entonces su volumen es

Al cortar los cuatro cuadrados de lado \(L\), el ancho de la caja es

La profundidad es

Por último, la altura coincide con el lado del cuadrado recortado:

Luego el volumen de la caja en función de \(L\) es (paso 1)

55

Derivamos la función volumen (paso 2):

Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos (paso 3):

Situamos los puntos en la recta real y estudiamos los signos en los intervalos (paso 4):

Escogemos los puntos \(x=1\) del primer intervalo, \(x =3\) del segundo intervalo y \(x=8\) del tercero:

Luego la función es creciente en el primer intervalo, decreciente en el segundo y creciente en el tercero:

56

Pero el lado \(L\) debe medir entre 2 y 3, es decir, debe ser

Como en el intervalo \([2.11, 3]\) la función es decreciente, el volumen será máximo para \(L=2.11cm\). Por tanto, las dimensiones de la caja deben ser

Es decir, las dimensiones son 15.78 x 5.78 x 2.11 cm y su volumen es \(192.45 cm^2\). 4. Se desea construir una mesa con la siguiente forma

Siendo \(L\) la longitud del ancho del rectángulo y \(R\) el radio del extremo semicircular. El precio del cristal a medida con forma rectangular es de $90 por metro cuadrado. Sin embargo, el precio del cristal con corte circular viene dado por la función $$ Coste(R) = 150·R^2 $$ Calcular las medidas de la mesa de \(6m^2\) para que el coste sea mínimo bajo la condición \(1\leq R\leq 2\) y comentar el resultado obtenido.

57

SOLUCIÓN La altura de la mesa (h) coincide con el diámetro del semicírculo:

El área de la parte rectangular es

Y el área del semicírculo es

Luego la fórmula del área total de la mesa es

Como el área de la mesa ha de ser de \(6m^2\), tenemos que

De esta relación podemos aislar el producto \(hL\):

Para calcular el coste de la parte rectangular tenemos que utilizar el área del rectángulo (porque el precio es por metro cuadrado). Su coste es

En cambio, el coste del semicírculo es función del radio es

El coste total es

58

La derivada de la función es

Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación:

La función \(f\) es decreciente en los negativos y creciente en los positivos. Por tanto, el coste de la mesa será mínimo cuando \(R\) tome el menor valor (no negativo) posible. Luego el radio de la mesa debe ser \(R=1m\). Calculamos la altura y la anchura de la mesa:

El coste de la mesa es $548.62:

Como comentario, podemos decir que el mínimo encontrado no se corresponde con un mínimo propio de la función (de los que anulan la primera derivada), sino del extremo de definición del radio \(R\).

59

Como el coste de la parte semicircular de la mesa es mucho mayor que el de la parte rectangular, minimizar el coste sin restricciones implica fabricar la mesa sin la parte semicircular. Ejercicio 5

60

Ejercicio 6

61

62

Ejercicio 7

63

Ejercicio 8

Para fabricar un depósito cilíndrico de agua se necesitan materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $2 y el del lateral es de $15.

64

Calcular la altura \(h\) y el diámetro \(d=2r\) para que el coste de un depósito de 10 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del depósito? Solución

Tendremos que utilizar las fórmulas del área y del volumen de un cilindro. Sean \(r\) el radio y \(h\) su altura. El volumen se calcula fácilmente multiplicando el área de la base (que es un círculo) por su altura:

El área de la superficie es el área de las bases más el área del lateral. Como las bases son dos círculos de radio \(r\), sus áreas suman

El lateral es un rectángulo de altura \(h\) y cuya base coincide con el perímetro de la base del cilindro, así que su área es

Por tanto, el área total del cilindro es

Como los precios de los materiales del cilindro son por metro cuadrado, la unidad de medida que utilizaremos será el metro. La capacidad del cilindro debe ser 10000L. Sabiendo que un litro equivale a \(1dm^3\), la capacidad ha de ser de 10 000 \(dm^3\). Es decir,

Igualamos el volumen del cilindro a su capacidad:

65

El precio del material es de $2 por metro cuadrado de base. Como hay dos bases, la cantidad asciende a

Y como el precio del lateral es de $15 por metro cuadrado, éste asciende a

Luego la función precio del cilindro (del depósito) es

Podemos escribir \(h\) en función de \(r\):

Así, la función es

Derivamos la función:

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos:

66

Representamos la recta real con el único punto crítico:

Ahora estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo. Nosotros escogemos los puntos \(r=1\) y \(r=3\):

Luego la función tiene un mínimo en \(r=2.29\). Por tanto, el radio debe medir 2.29m y la altura

El precio del depósito nos lo proporciona la función:

67

El precio del depósito es $196.9. Ejercicio 9 Se desea construir una mesa de madera de 3 metros cuadrados con la siguiente forma:

La mesa está formada por un rectángulo de lados \(b\) y \(h\) y en los lados que miden \(h\) hay adosados dos semicírculos de igual radio \(R\). Si el precio de la madera es de 120€ por metro cuadrado y el coste del biselado de los bordes de la mesa es de 5€ por decímetro para los bordes rectos y 11€ por decímetro para los bordes curvos, calcular las dimensiones de la mesa (\(b\) y \(h\)) para que su coste sea mínimo. SOLUCIÓN Como el precio de la madera es por superficie y la superficie es de 3 metros cuadrados, el coste de la madera es

Si \(R\) es el radio de los semicírculos (son iguales), el lado \(h\) del rectángulo es

El área total de la mesa es la suma del área de un círculo de radio \(R\) y la del rectángulo:

68

Como el área debe ser 3 metros cuadrados, podemos escribir el lado \(b\) en función del radio \(R\):

El coste total de la mesa es la suma de los costes de: a. la madera (son 360€); b. el biselado de los bordes rectos, es decir, de los dos lados \(b\); c. el biselado de los dos semicírculos. Esto equivale al biselado del borde de un círculo. Como el área es en metros cuadrados, tenemos que escribir el coste de cada biselado en metros:

Por tanto, el coste de la mesa en función del radio \(R\) es

Nótese que \(R\) debe ser no nulo. Derivamos la función:

69

Igualamos a 0 la derivada y resolvemos la ecuación:

Ahora representamos los puntos críticos en la recta real y estudiamos el signo de la derivada. Como el radio debe ser positivo, estudiamos el signo en los dos intervalos de la derecha. Escogemos los puntos \(R = 0.1\) y \(R =0.6\):

Como la función decrece y luego crece, tiene un mínimo en \(R=0.53\). Calculamos los lados óptimos de la mesa (\(h\) y \(b\)):

70

Luego las dimensiones de la mesa son 1.06 x 1.99 metros y su coste es 926.07€:

BIBLIOGRAFÍA

https://www.matesfacil.com/BAC/optimizar/problemas-resueltos-optimizar-extremos-maximominimo-derivada-creciente-decreciente-monotonia.html

Problemas resueltos de derivadas Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010

71

Enunciados y Procedimientos Ejercicio #1 Un arquitecto va a construir una piscina de forma de un cubo en una casa, y se encuentra con un hueco justo como lo quería y en el lugar indicado, por accidente se caen varios tanques de agua que a su vez conforman 64 m3 llenando por completo la piscina. El arquitecto quiere saber sus lados y la altura para comenzar a construir la piscina.

Datos del volumen V = ab · h 64= l² · h h=

64 l²

área total at= l² + lh+lh+lh+lh at= l² + 4 lh at= l² + 4 l 64

l²

simplificamos l sobre l²

at= l² + 4 64 l

at= l² + 4 (64) 𝑙−1 at= l² + 256 𝑙−1

derivamos

at’= 2l - 256 𝑙−2

72

Despejamos l 0= 2l - 256 𝑙−2

Remplazamos

2l= +256 𝑙−2

h= 64

l²

256

2l=

64

h= 5.03²

l²

64

l²(2l)= 256

h=

2 l3 = 256

h= 2.52

l3 =

25.40

256 2

l3 = 128 3

l = √128 l =5.03 m

Ejercicio #2 una fábrica de arcilla vende cada kilo a $20 euros y los gastos de producción 2 están dado por la formula P(x)= 𝑥 , los gastos de envió es de $1 x euro por 1000

cada kilo entregado. ¿Cuántas unidades se debe de producir para que el benéfico sea máximo? ¿Cuánto será dicho beneficio?

2

2

P(x)= 𝑥

G(x)= 𝑥

1000

1000 𝑥

B(x)= 20 x - (

2

1000

B(x)= 20 x -

𝑥

2

+ 1x

+x)

-x

1000

B(x)= 19 x -

𝑥

2

1000

73

𝑥

B(x)= 19 x -

2

derivamos

1000

B(x)’= 19 -

2𝑥

1000

Despejamos x 0= 19 2𝑥 1000

2𝑥

1000

= 19

2x= 19 (1000) 2x= 19000 x=

19000 2

x= 9500 verificamos si es máximo con la derivada de la derivada B(x)’= 19 B(x)’’= -

2𝑥

1000

2

es menor que cero entonces es máximo, si cumple

1000

¿Cuánto será dicho beneficio? B(x)= 19 x -

𝑥

2

1000 𝑥

B(9500)= 19 x -

2

1000 2

9500

B(x)= 19 (9500) -

1000

B(x)= 180,500 x -

B(x)=

90,250,000 1000

180,500,000 − 90,250,000 1000

B(x)= 90,250

euros

74

Plan B: Para fabricar un depósito cilíndrico de agua se necesitan materiales distintos para las bases y el lateral. El precio por metro cuadrado del material de las bases es de $2 y el del lateral es de $15.

Calcular la altura hh y el diámetro d=2rd=2r para que el coste de un depósito de 10 mil litros de capacidad sea mínimo. ¿Cuál es el precio del depósito? Tendremos que utilizar las fórmulas del área y del volumen de un cilindro. Sean rr el radio y hhsu altura. El volumen se calcula fácilmente multiplicando el área de la base (que es un círculo) por su altura:

El área de la superficie es el área de las bases más el área del lateral. Como las bases son dos círculos de radio rr, sus áreas suman

El lateral es un rectángulo de altura hh y cuya base coincide con el perímetro de la base del cilindro, así que su área es

Por tanto, el área total del cilindro es

Como los precios de los materiales del cilindro son por metro cuadrado, la unidad de medida que utilizaremos será el metro. La capacidad del cilindro debe ser 10000L. Sabiendo que un litro equivale a 1dm31dm3, la capacidad ha de ser de 10 000 dm3dm3. Es decir,

75

Igualamos el volumen del cilindro a su capacidad:

El precio del material es de $2 por metro cuadrado de base. Como hay dos bases, la cantidad asciende a

Y como el precio del lateral es de $15 por metro cuadrado, éste asciende a

Luego la función precio del cilindro (del depósito) es

Podemos escribir hh en función de rr:

Así, la función es

Derivamos la función:

76

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos:

Representamos la recta real con el único punto crítico:

Ahora estudiamos el signo de la derivada en cada intervalo. Nosotros escogemos los puntos r=1r=1 y r=3r=3:

Luego la función tiene un mínimo en r=2.29r=2.29. Por tanto, el radio debe medir 2.29m y la altura

77

El precio del depósito nos lo proporciona la función:

El precio del depósito es $196.9.

Ejercicio 1 Un granjero tiene 120 metros de malla de alambre con la cual planea construir un corral al lado de su establo de 100 metros de longitud según la figura (el lado a lo largo del establo no requerirá malla de herramienta). Cuales serian las dimensiones del corral que le darían la, máxima área.

Establo

Corral

x y Aplicación de la derivada máximo y mínimo P= 2x + y =120m Y= 120 - 2x A= x . y = x( 120 -2x) A= 120x – 2x da/dx = 120 - 4x da/dx = (puntos cardinales ) 120 – 4x =0 4x = 120 X= 30m Y= 120 -2x

78

Y= 120 – 2( 30) y = 60 A máximo= (30m) (60m) = 180 m

Ejercicio 2

Un faro ilumina un muro que está a 10 metros de distancia, si Luisa, que mide 2 metros de alto, camina desde el faro al muro a una velocidad de 1.6m/s. ¿Con que rapidez decrece su sombra proyectada sobre el muro cuando se encuentra a 4 metros de este?

2m

X

y-12

y Luisa

De esta figura se tiene la relación: x/12=2/y luego, despejamos las variables xy=2*12 xy=24 derivando esta igualdad con respecto al tiempo (t) nótese que tenemos x(t) y y(t).

x´y + xy´ = 0

x´=

-xy´ /y

79

En el momento de las figuras A tenemos los valores y´ = 1.6m/s y=8 m

y

x= 24/8 = 3m

Por lo tanto, en ese momento, su sombra decrece con la rapidez igual a x´ = -3x1.6/8

= -3/5 m/s.

Plan B

Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de300 ms. de ancho. El punto D está a 600 ms. de B y en su misma orilla. Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?

80

Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramo de cable bajo el agua. Se puede definir ahora las constantes y variables del problema: x: distancia de B a Q; 0 ≤ x ≤ 600 y: distancia de A a Q; (longitud de cable bajo el agua). 600 – x: distancia de Q a D; (longitud de cable por tierra). k (const): costo por metro de cable por tierra

(const): costo por metro de cable por agua.

P : costo total (función a minimizar). De acuerdo al teorema de Pitágoras

Ahora, la función costo total viene dada por:

Sustituyendo (1) en (2), la función costo total puede escribirse en términos solamente de la variable x así:

Como C (x) es una función continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un

81

valor máximo y un valor mínimo en [0, 600]. Al derivar en (3) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos:

Así que x = 400 es el único punto crítico y de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corresponde a un mínimo relativo (verifíquelo). En consecuencia, el mínimo absoluto es el menor entre los siguientes valores: C (0), C (400) y C (600).

Esto significa geométricamente, que el cable se tira desde A hasta B bajo el agua y desde B hasta D por tierra, implicando un gasto de 975 k pesos

82

Esto indica geométricamente, que el punto Q coincide con D, y en este caso el cable se tiende directamente desde A hasta D por agua, demandando un gasto total de

Esto significa que si el punto Q está a 400 mts. de B y se tiende el cable bajo el agua desde A hasta Q y por tierra desde Q hasta D, demandaría un gasto de 825 k pesos, menor, para la compañía que los dos anteriores.

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Ejercicio 1 Desde la parte superior del reloj de arena que se muestra en la FIGURA 4.2.5 la arena cae a razón constante de 4 cm3 /s. Exprese la razón a que crece la altura de la pila inferior en términos de la altura de la arena. Solo en Primero, como sugiere la figura 4.2.5, se establece la hipótesis de que la pila de arena en la parte inferior del reloj de arena tiene la forma del frustrum de un cono. En el instante t > 0, sean V el volumen de la pila de arena, h su altura y r el radio de su superficie plana inferior. Así,

Necesitamos encontrar el volumen V de la pila de arena en el instante t > O. Esto puede lograrse como se muestra a continuación: v = volumen de todo el cono inferior - volumen del cono que no es arena. Al usar la figura 4.2.5 y (6) con R = 6 y H = 12,

Podemos eliminar la variable r de la ultima ecuación al usar triángulos semejantes. Como se muestra en la FIG URA 4.2.6, el triangulo rectángulo rojo claro es semejante al triangulo rectángulo azul, y as! las proporciones de lados correspondientes son iguales:

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La ultima expresión se sustituye en (7) y se simplifica

AI diferenciar (8) con respecto a t obtenemos

Por ultimo, al usar la razon dada dV / dt = 4 es posible despejar dh / dt:

Observe en (9) del ejemplo 5 que la altura de la pila de arena en el reloj de arena crece mas rápido cuando la altura h de la pila esta próxima a 12 cm Ejercicio 2

Un canalón para agua de 20 pies de longitud tiene extremos en forma de triángulos isósceles cuyos lados miden 4 pies de longitud. Determine la dimensión a través de la extrema triangular I de modo que el volumen del canalón sea máximo. Encuentre el volumen máximo. Solución EI canalón con la dimensión desconocida x se muestra en la FIGURA 4.8.3. El volumen V del canalón es:

cPor la FI GURA 4.8.4 Y el teorema de Pitágoras, el área del extremo triangular como una función de x es t xV16 - x 2 /4. En consecuencia, el volumen del canalón como una función de x, la funci6n objetivo, es

La función Vez) solo tiene sentido sobre el intervalo cerrado [0, 8]. (¿~Por qué?) AI tomar la derivada y simplificar se obtiene

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Aunque V'(x) = 0 para x =, el (mico numero criticó en el intervalo abierto (0, 8) es Puesto que la función Vex) es continua sobre [0, 8], sabemos por el teorema que debe ser su mínimo absoluto. Entonces, el máximo absoluto de Vex) debe ocurrir cuando el ancho a través de la parte superior del canalón es pies. El volumen máximo es

Plan B Se tiene un trozo de vidrio con forma de un triángulo rectángulo y se desea cortar un pedazo de vidrio rectangular que tenga el área máxima posible

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