• Author / Uploaded
• documentos.utpl.cayg

• Categories
• Excedente económico
• Microeconomía
• Ciencias económicas
• Mercado (economía)
• Economias

Citation preview

14.11

Excedente de los consumidores y de los productores

Problemas 14.11 Páginas 677- 678. Ejercicios: 4, 5, 8, 10 En los problemas 1 a 6, la primera ecuación es una ecuación de demanda y la segunda es una ecuación de oferta de un producto. En cada caso, determine el excedente de los consumidores y de los productores, bajo equilibrio del mercado.

𝒑 = 𝟒𝟎𝟎 − 𝒒𝟐 𝒑 = 𝟐𝟎𝒒 + 𝟏𝟎𝟎

4.

Ecuación de demanda: 𝑝 = 𝑓(𝑞) = 400 − 𝑞 2 Ecuación de oferta: 

𝑝 = 𝑔(𝑞) = 20𝑞 + 100

Calculamos el punto de equilibrio (𝑞0 , 𝑝0 ): 20𝑞 + 100 = 400 − 𝑞 2 (𝑞 + 30)(𝑞 − 10) = 0 ⟺ 𝑞 = 10 ya que el número de 𝑞 2 + 20𝑞 − 300 = 0 ⟹ unidades debe ser positivo. Luego, si 𝑞 = 10 ⟹ 𝑝 = 20(10) + 100 = 300 Así tenemos (𝑞0 , 𝑝0 ) = (10,300)



Calculamos el excedente de consumidores, es conveniente graficar las funciones 𝑞0

𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑞) − 𝑝0 ]𝑑𝑞 0 10

= ∫ [(400 − 𝑞 2 ) − 300]𝑑𝑞 0

= (100𝑞 −

𝑞 3 10 )| 0 3

= (1000 −

1000 )−0 3

=

1

2000 3



Calculamos el excedente de productores 𝑞0

𝐸𝑃 = ∫ [𝑝0 − 𝑔(𝑞)]𝑑𝑞 0 10

= ∫ [300 − (20q + 100)]dq 0

10 = (200q − 10q2 ) | 0 = (2000 − 1000) − 0 = 1000

𝒒 = 𝟏𝟎𝟎(𝟏𝟎 − 𝟐𝒑)

5.

𝒒 = 𝟓𝟎(𝟐𝒑 − 𝟏) 





Establecemos la funciones de demanda y de oferta respectivamente como: 𝑞 = 𝑓(𝑝) = 100(10 − 2𝑝) 𝑞 = 𝑔(𝑝) = 50(2𝑝 − 1) Graficamos las funciones

Calculamos el punto de equilibrio Función de demanda = Función de oferta 100(10 − 2𝑝) = 50(2𝑝 − 1) ⟹ 𝑝 =

7 2

Luego: 7

𝑞 = 100 (10 − 2( )) = 300 2



⟹

(𝑝0 , 𝑞𝑜 ) = (3.5,300 )

Calculamos el excedente de productores con la fórmula alterna

2

𝑝

0 3.5 3.5 𝐸𝑃 = ∫ [𝑔(𝑝)]𝑑𝑝 = ∫ [50(2𝑝 − 1)]𝑑𝑝 = 50(𝑝 2 − 𝑝) | 0.5 0.5 𝑝1

= 50[(12.25 − 3.5) − (0.25 − 0.5)] = 450 

Calculamos el excedente de consumidores con la fórmula alterna 𝑝

2 5 5 𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑝)]𝑑𝑝 = ∫ 100(10 − 2𝑝)𝑑𝑝 = 100(10𝑝 − 𝑝 2 ) | 3.5 3.5 𝑝0

= 100[(50 − 25) − (35 − 12.25)] = 225

8. La ecuación de demanda de un producto es 𝒒 = 𝟒𝟎𝟎 − 𝒑𝟐 . Y la ecuación de oferta es 𝒑=

𝒒 𝟔𝟎

+ 𝟓. Encuentre el excedente de los productores y de los consumidores bajo equilibrio del

mercado. Función de demanda: 𝑞 = 400 − 𝑝 2 ⟹ Función de oferta: 

𝑝 = 𝑔(𝑞) =

𝑞 60

+5

𝑝 = 𝑓(𝑞) = √400 − 𝑞 ⟹

𝑞 = 60𝑝 − 300

Calculamos el punto de equilibrio 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 = 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 60𝑝 − 300 = 400 − 𝑝 2 𝑝 2 + 60𝑝 − 700 = 0 (𝑝 + 70)(𝑝 − 10) = 0 ⟺ 𝑝 = −70 𝑜 𝑝 = 10 El precio por artículo es siempre positivo entonces: 𝑝 = 10 El valor de 𝑞 es: 𝑞 = 400 − 102 = 300 Así es punto de equilibrio es: 𝑞0 , 𝑝0 = (300,10)

3



Calculamos el excedente de consumidores 𝑞0

𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑞) − 𝑝0 )]𝑑𝑞 0 300

=∫

[√400 − 𝑞 − 10)]𝑑𝑞

0 300

1

300

=∫

(400 − 𝑞)2 𝑑𝑞 − ∫

0

0

10𝑑𝑞

2 300 300 = − [(400 − 𝑞)3/2 ] − [10𝑞] 3 0 0 2 = − [1003/2 − 4003/2 ] − [3000] 3 2 = − [−7000] − [3000] = 1666,67 3 

Calculamos el excedente de los productores 𝑞0

𝐸𝑃 = ∫ [𝑝0 − 𝑔(𝑞)]𝑑𝑞 0 300

𝑞 [10 − ( + 5)] 𝑑𝑞 60 0 300 𝑞 = ∫ [5 − ] 𝑑𝑞 60 0 2 𝑞 300 = [5𝑞 − ] 120 0 = (1500 − 750) − 0 = 750 =∫

10. La ecuación de demanda para un producto es (𝐩 + 𝟏𝟎)(𝐪 + 𝟐𝟎) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 Y la ecuación de oferta es 𝐪 − 𝟒𝐩 + 𝟏𝟎 = 𝟎 a) Verifique, por sustitución, que el equilibrio del mercado ocurre cuando 𝐩 = 𝟏𝟎 y 𝐪 = 𝟑𝟎. 

Reemplazamos los valores de p = 10 y q = 30 en la ecuación de demanda y la ecuación de oferta, así: (p + 10)(q + 20) = 1000 (10 + 10)(30 + 20) = 1000 (20)(50) = 1000 1000 = 1000 q − 4p + 10 = 0 4

30 − 4(10) + 10 = 0 30 − 40 + 10 = 0 0=0 b) Determine el excedente de los consumidores bajo equilibrio del mercado. 

Despejamos P de la ecuación de demanda: (p + 10)(q + 20) = 1000 p = f(q) =



1000 − 10 q + 20

Calculamos el excedente de consumidores: 𝑞0

30

𝐸𝐶 = ∫ [𝑓(𝑞) − 𝑝0 ]𝑑𝑞 = ∫ 0

0

1000 [( − 10) − 10] dq q + 20

= [1000ln(q + 20) − 20q]|30 0 = 1000ln(50) − 600 − [1000 ln(20)] 50 = 1000ln ( ) − 600 20 5 = 1000ln ( ) − 600 2

5