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Anjo de Deus, meu querido amigo, a quem o amor de Deus me destina aqui; sempre neste dia esteja comigo para iluminar e guardar, governar e guiar…

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

SOLUCIÓN DEL EXAMEN CON MATLAB CURSO: METODOS NUMERICOS

ALUMNO: ROQUE CHARCA, Rosand DOCENTE: Lic. Faustino Murillo Mamani

UNA - PUNO

2012

Dedicado al alma mater de mi formación académico científico…Universidad Nacional del Altiplano - Puno

1º EXAMEN PARCIAL (TIEMPO: 120min) 1. Obtenga el polinomio de Taylor de tercer grado para alrededor de y use el polinomio para aproximar . Encuentre el valor exacto y halle el error absoluto y relativo. SOLUCIÓN: Puesto que

podemos aplicar el teorema de Taylor de grado 3, además: donde:

Para

y

tenemos: donde:

(

)

donde:

(

)

entonces cuando x=

Hallamos una cota para el error: | | error relativo

|

podemos evaluar con Taylor:

| |

| el cual es un valor aceptable, ahora hallamos para hacer comparaciones estos resultados

evaluamos y hallamos las posibles raíces con un programa desarrollado en matlab utilizando un algoritmo para esta aproximación: 1º GRAFICAMOS

Rosand Roque Charca – V Semestre 1

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2012

GRAFICO Nº 1 EN MATLAB 120

De este grafico nos damos cuenta que existe una posible raíz en el punto o a partir del punto 〉 además se ve que en el punto puesto que 〈 no existe raíz pues es una asíntota vertical; luego utilizamos un algoritmo de un programa desarrollado en matlab que para este caso utilizaremos newton raphson.

100 80

 f (x )  (1  x )2

EJE Y

60 40 20 0 -20

P (x )  1  2x  3x 2  4x 3  Rn (x ) 

-40 -60 -2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 EJE X

0.5

1

1.5

2

2.5

Como estamos viendo en el programa en 3 iteraciones ya hacemos una posible aproximación de la raíz que sería de 2.54376, aunque el problema no nos pide la raíz ya entendemos cómo funciona el polinomio de aproximación de Taylor.

2. Sea F(x)=

∫ expandido alrededor de

. Usando el polinomio de Taylor de tercer grado para

,

, Aproxime F(0.1)

SOLUCIÓN: Puesto que aproximación, además:

aplicamos el teorema de Taylor de grado 3 para calcular la

Rosand Roque Charca – V Semestre 2

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2012

Donde:

Para

y

tenemos: donde:

(

)

Dónde: Taylor:

(

)

entonces cuando x=

∫

podemos aproximar la integral

∫

con el polinomio de

∫

∫ ̂ Una cota para el error en esta aproximación se determina con la integral del Por tanto: residuo de Taylor y el hecho de que ∫

(

)

El error de esta aproximación se halla dentro de la cota, siendo el valor verdadero de esta integral:

3. Use el algoritmo de bisección para encontrar soluciones de: a) para b) para c) para SOLUCIÓN: Analizamos cada ejercicio primero gráficamente luego utilizaremos el algoritmo de bisección con nuestro programa. a) Sea la ecuación donde obtenemos la función asociada despejando tenemos: Luego: , de la grafica Nº 2 podemos claramente que es continua en GRAFICA Nº 2 EN MATLAB 70 60 50

EJE Y

40

 f 2(x )  2 x

30 20 10 0 -10 -6

 f 1(x )  x -4

-2

0 EJE X

2

4

6

Sabiendo que nuestra raíz se halla entre , nuestro programa desarrollado en matlab arroja el resultado de , visto de dos formas en matlab: Rosand Roque Charca – V Semestre 3

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b) Sea claramente que

2012

la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 3” podemos ver es continua en dos intervalos pero nos piden la raíz aproximada en el intervalo GRAFICO Nº 3 EN MATLAB

200 180 160 140

f (x )  e x  2 x  2cos x  6 

120

Entonces para hallar la raíz que se halla entre , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , visto de las dos formas en matlab:

100 80 60 40 20 0 -6

-4

-2

0 x

2

4

6

Rosand Roque Charca – V Semestre 4

UNA - PUNO c) Sea claramente que

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la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 4” podemos ver es continua en el intervalo GRAFICO Nº 4 EN MATLAB

200

150

Entonces para hallar la raíz por el método de bisección entre , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , visto de las dos formas en matlab:

f (x )  e x  x 2  3x  2  100

50

0

-50 -6

-4

-2

0 x

2

4

6

4. Use el método de Newton para aproximar las soluciones de las siguientes ecuaciones: a) b) c) d) SOLUCIÓN: Analizamos cada ejercicio observando su gráfico para que de manera inmediata hallemos el punto de inicio o valor inicial utilizando para ello el algoritmo de Newton Raphson de nuestro programa. a) Sea podemos ver claramente que próximo a la raíz sería:

la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 5” es continua en el intervalo ”

de donde nuestro valor inicial más

Rosand Roque Charca – V Semestre 5

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GRAFICO Nº 5 EN MATLAB 50

0

Entonces para hallar la raíz por el método de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,

-50

f (x )  x 2  e x  3x  2  -100

-150

-200

-6

-4

-2

0 x

2

4

6

b) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 6” podemos ver claramente que es continua en varios intervalos, primero en , segundo intervalo , etc., entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en el primer intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial más próximo a la raíz de: ” GRAFICO Nº 6 MATLAB

100

50

Entonces para hallar la raíz por el método de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,

0

f (x )  3x 2  e x  -50

-100

-150 -6

-4

-2

0 x

2

4

6

Rosand Roque Charca – V Semestre 6

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c) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 7” podemos ver claramente que es continua en dos intervalos, primero en , segundo intervalo , entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en el segundo intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial más próximo a la raíz de: ” GRAFICO Nº 7 EN MATLAB 200 180

Entonces para hallar la raíz por el método de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,

160 140 120

f (x )  e x  2 x  2cos x  6 

100 80 60 40 20 0 -6

-4

-2

0 x

2

4

6

Rosand Roque Charca – V Semestre 7

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d) Sea la ecuación que graficando directamente en “grafica Nº 8” podemos ver claramente que es continua en varios intervalos, de los cuales trabajamos en el intervalo , entonces solo vamos a mostrar el comportamiento en este intervalo por cuestiones de tiempo, dando un valor inicial más próximo a la raíz de: ” GRAFICO Nº 8 EN MATLAB 50

40

Entonces para hallar la raíz por el método de Newton raphson con un , nuestro programa desarrollado en matlab muestra el resultado de , lo cual es un valor aceptable, seguidamente se muestra las dos formas en matlab,

30

f (x )  x 2  10cos x  20

10

0

-6

-4

-2

5. La función

0 x

2

4

tiene un cero en

6

. Use el método de Newton con las siguientes

aproximaciones lineales y explique los resultados gráficamente: 1. 2. 3. 4. 5. 6. SOLUCIÓN: La ecuación

tiene una asíntota vertical en

donde la función no es continua en

este punto, entonces ahora vamos analizar la función en los respectivos puntos, el grafico general de la función se muestra en el gráfico Nº 9 donde podemos apreciar los posibles intervalos de continuidad

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GRAFICO Nº 9 EN MATLAB

5.5

5

f (x ) 

4.5



4

Entonces vamos evaluar todos los puntos usando el método de Newton raphson, nuestro programa desarrollado en matlab muestra los siguientes resultados en matlab

4x  7  x 2

3.5

3

2.5

-6

-4

-2

0 x

2

4

6

1. Para la primera aproximación de 1.625 que la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor de 1.750000000 con un error de 0.000002 lo cual es bastante aproximado a la raíz real y es un valor aceptado.

2. Para la segunda aproximación de 1.875 la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor de 1.750000000 con un error de 0.000002, que es igual al anterior punto, esto ocurre debido a que newton Raphson trabaja en función a intervalos y por ejemplo un intervalo es

3. Para la tercera aproximación de 1. 5 la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor no admitido o no existe respuesta, esto ocurre debido a que newton Raphson trabaja en función a intervalos y por ejemplo la asíntota vertical genera un vecindad donde no es posibles calcular raíces.

4. Para la cuarta aproximación de 1. 95 la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor de 1.750000000 con un error de 0.000113 lo cual se va alejando de la raíz real y aun así sigue mostrando un valor aceptado.

Rosand Roque Charca – V Semestre 9

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5. Para la quinta aproximación de 3 la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor de infinito con un error muy grande de 0.998382 lo que significa que la raíz real está muy lejos del intervalo de continuidad.

6. Para la sexta aproximación de 7 la raíz calculada por newton Raphson muestra un valor de infinito como en el caso anterior, con un error muy grande de 0.997697 lo que significa que la raíz real está muy lejos del intervalo de continuidad.

6. El valor acumulado en una cuenta de ahorros basada en pagos periódicos regulares puede determinarse de la ecuación de vencimiento anual, , en esta ecuación A es la cantidad en la cuenta, P es la cantidad depositada regularmente, e, i, es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero le gustaría tener una cantidad de $75,000 en una cuenta de ahorros cuando se retire en 20 años y puede, para este fin, depositar $150 al mes. Cuál es la tasa de interés mínima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se compone cada trimestre. Cuál es la tasa de interés mínima si el interés es compuesto diariamente

SOLUCIÓN: Se sabe que el interés que genera un capital prestado se acumula al capital, al final cada intervalo de tiempo especificado. Entonces tenemos para> a) La tasa de interés mínima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se compone de cada trimestre. en 20 años si deposita $150 al mes tendría $36000

Entonces evaluando en la ecuación de vencimiento anual que: b) La tasa de interés mínima a la cual esta cantidad puede ser depositada, suponiendo que el interés se compone diariamente. en 20 años si deposita $150 al mes tendría $36000

Entonces evaluando en la ecuación de vencimiento anual tenemos que:

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