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EXAMEN DE ADMISIÓN UNT 2013 – I”A” RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 1. Mi edad es el doble de la edad que tenías cuando yo tenía tres años más que tu edad actual. Además, cuando tu edad era la tercera parte de tu edad actual, nuestras edades sumaban 29 años. La suma de las cifras de mi edad actual es: a) 4

b) 7

c) 9

d) 10

e) 11

 Faltan 1814 – 189 = 1625/3 = 541 CLAVE “D” 3. En la figura mostrada:

RESOLUCIÓN:

R

 Tema : EDADES

48 º

Pasado

Pasado

Hoy

Yo

29 –y

3 y+3

2x

Tú

y

x

3y

S

SUMA: 29

Del cuadro:

36 º

Q

x = 2y +1…… (1) *) 4y + 3 = x + 29 – y 5y = x + 26…… (2) Reemplazando:

RESOLUCIÓN:

5y = (2y + 1) + 26

 Tema : TRIÁNGULOS

⇒y=9

R

Piden:

12 º 48 º

x = 2(9) + 1 = 19 1 + 9 = 10

S

48 + x

CLAVE “D” 2. Se forma un numeral escribiendo los números naturales de izquierda a derecha a partir de 1, en forma consecutiva. La cifra que ocupa el lugar 1814 es: a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 RESOLUCIÓN:  Tema : SUCESIONES:

LOYDA LEÓN LOLOY

P

T

Si QT = RS, entonces la medida del ángulo x es: a) 15º b) 20º c) 25º d) 30º e) 37º

*) 3x = 6y +3

∴

x

84 º

60 º 24 º

x

Q

∆ QST

36 º

48

P

T

ISOSCELES

2(48 + x) = 156 x = 30

CLAVE “D”

1

EXAMEN DE ADMISIÓN UNT 2013 – I”A” 4. Dos móviles A y B parten simultáneamente y en el mismo sentido de un punto común con velocidades V y 2V. A 900 metros parte un móvil C en el mismo instante y en sentido opuesto con velocidad 1,5 V. Si transcurridos 10 segundos, B equidista de A y C, entonces la velocidad del móvil C, en metros por segundo, es: a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 RESOLUCIÓN:  Tema : MÓVILES A

v

2e 10 s

B

2v

B 4e

2

24m2

80%(2) L

4

75%(L)

3

[5(2)]. [4(L)] = 24 ∴ L = 20 m CLAVE “B” 6. Las edades de 11 personas están en progresión aritmética. Si se repartiera equitativamente una gratificación, al menor le correspondería 20% más que si el reparto se hiciera en forma proporcional a las edades, entonces la razón geométrica entre la edad del mayor y el menor es:

A 2e

Después de lavarla

2e 10 s C

1,5v C7.

8

b)

7 5

e)

a) 7 d)

3 2 5 4

c)

4 3

3e 9e = 900 e = 100

RESOLUCIÓN:  Tema : REPARTO PROPORCIONAL

Piden: Velocidad del móvil “C” =

3(100) 2

1° reparto equitativo: x, x, x, …x = 11x

∴ 30m/ s

|11 veces

CLAVE “C” 2° reparto proporcional a las edades: 5. Después que Karla lava una tela, se encoge el 20% en el ancho y el 25% en el largo. Se sabe que una tela siempre mide 2m de ancho. Si Karla necesita 24 metros cuadrados de tela después del lavado, el número de metros de largo de tela que debe comprar es: a) 10 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 RESOLUCIÓN:  Tema : TANTO POR CUANTO

5𝑥 6

; …;

7𝑥 6

11 términos

RAZÓN GEOMÉTRICA =

7𝑥/6 5𝑥/

= 7/5

CLAVE “D” 7. De las proposiciones: 1)

∀ a, b ∈ ℝ, a < b ⇒ 1/a > 1/b

2)

∀ a, b ∈ ℝ, a > 0 ∧ –b > 0 ⇒ 1/b < 1/a

3) ∀ a, b ∈ ℝ, a < b ⇒ a2 < b2 4) ∀ a, b ∈ ℝ, a > 0 ∧ –b > 0 ⇒ b (b – a) > 0 5) ∀ a, b ∈ ℝ, a < b ⇒ a3 < b3 El valor de verdad de cada una de ellas, respectivamente, es: a) FVFVF

LOYDA LEÓN LOLOY

b) VFVFV

c) FVFVV 2

EXAMEN DE ADMISIÓN UNT 2013 – I”A” d) VFVFF

9.

e) FVFFV

RESOLUCIÓN: 1)

Recordar: ∃a–1 ∈ ℝ; ∀a ∈ ℝ – {0} FALSO

2)

Tenemos: a > 0 ∧ b < 0

Si P = 999…999(39 cifras) × 6518, la suma de las 8 primeras cifras de P es: a) 37 b) 46 c) 55 d) 64 e) 73

RESOLUCIÓN:  Tema : HABILIDAD OPERATIVA P =6518×9999…999(39 cifras)

⇒ 6518000…00000000 – (39 ceros)

⇒ VERDADERO 3)

6518

∀ a, b ∈ ℝ+, a < b ⇒ a2 < b2

65179999…99993482

FALSO 4)

Tenemos: a > 0 ∧ b < 0 ⇒ (b – a) < 0 ∧ b < 0

Piden:

⇒ b(b – a) > 0

Suma de cifras: = 6 + 5 + 1 + 7 + 9(4) = 55

VERDADERO 5)

CLAVE “C”

∀ a, b ∈ ℝ; a < b ⇒ a3 < b3 VERDADERO CLAVE “C”

8. Si Sn =23+ 46 +69+…{n sumandos}, el valor de S1 + S2 + S3 +… + S30 es: a) 11200 b) 114080 c) 116040 d) 118060 e) 119020 RESOLUCIÓN:  Tema : SERIES

10.

Si se sabe que:

(m−3)x; para m≥ 200 ∫mx = ∫∫(m+6)x; para m< 200 Luego el valor de ∫∫198x es:

De la condición: Sn 23(1+ 2+3+….) ->n sumandos

a) 195x

b) 198x

d) 202x

e) 204x

c) 201x

RESOLUCIÓN:

Sn = 23.n(n+1)

 Tema : OPERACIONES

2 Piden:

Sabemos:

S = S1 + S2 + S3 +…… + S30 S = 23/2 (1×2+ 2×3+ 3× 4 +…+ 30×31) S = 23/2 [30×31×32]

(m−3)x; para m ≥ 200 ∫mx = ∫∫(m+ 6)x; para m < 200

3 S = 114080 CLAVE “B”

Halamos: ∫198x= ∫∫204x= ∫201x=198x

LOYDA LEÓN LOLOY

3

EXAMEN DE ADMISIÓN UNT 2013 – I”A” 2º vez

Piden:

6

∫ ∫198x= ∫198x=198x

5

CLAVE “B”

4 3

11. Ana tiene una caja que contiene 4 focos defectuosos y 6 buenos. Ana saca dos focos a la vez y prueba uno de ellos, y encuentra que es bueno. La probabilidad de que el otro foco también sea bueno es: a)

4 9

1

b) 2

c)

5 9

d)

4 7

e)

3 5

RESOLUCIÓN:  Tema : PROBABILIDAD

2 1 1

2

3

5

4

6

1º vez

n(Ω) = 15 (casos totales) Casos favorables = 13 P=

CLAVE “E”

Prueba y resulta BUENO 4D B 6B

2 focos 5

13. Un alambre de A cm de longitud se va a cortar en dos partes, una de ellas se doblará Probabilidad que el segundo foco sea para formar un cuadrado y la otra para formar 5 BUENO = una circunferencia. Si la suma de las áreas de 9 las regiones de las figuras formadas anteriormente es mínima, entonces la longitud, CLAVE “C” en centímetros, de la parte con la que se formó la circunferencia es: 𝜋𝐴

12.Gretel lanza un dado dos veces; si se sabe que el resultado obtenido la primera vez fue mayor que el obtenido la segunda vez, la probabilidad de que la suma de los resultado, obtenidos en la cara superior del dado, sea por lo menos cinco es: a)

1 18

b)

1 6

c)

5 8

d)

11 15

e)

2𝜋𝐴

a) 𝜋+4

b) 𝜋+4

c)

4𝐴 𝜋+4

𝐴

d) 𝜋+4

𝜋𝐴

e) 2(𝜋+4)

RESOLUCIÓN:  Tema : MODELOS FUNCIONALES A −x

13 15

x

A −x 4

RESOLUCIÓN:  Tema : PROBABILIDAD

r

A −x

r=x 2π 𝐴−𝑥 2 𝑥 ) + 𝜋(2𝜋)2 4 𝐴2 𝑥2 2𝐴𝑥 𝑥2 + − + 𝜋[ 2 ] 16 16 16 4𝜋 1 1 𝐴2 2 𝐴 (4𝜋 + 16) x - 8 x+16 𝜋+𝐴 𝐴 𝐴2 ( 16𝜋 ) x2- 8 x + 16

S=( S= S= S= LOYDA LEÓN LOLOY

4

EXAMEN DE ADMISIÓN UNT 2013 – I”A” -----------------------------------------1

S =

𝜋+𝐴 𝐴 ( 8𝜋 ) x - 8 𝜋+𝐴 ( 8𝜋 ) x

N 2

=0 =

x=

P

𝐴 8 𝐴𝜋 𝜋+4

4

1 4

1

b) 3

c)

RESOLUCIÓN: M 150 60

60

P ab

AMNQ= 2

en150

ab/2

= 1/2

APQR

1 2

4

2

4.4

2 2

.Sen45

As = 8

CLAVE “C”

16. En un criadero de especies marinas existe una especie que cuenta con 2n miembros, n machos y n hembras, y se forma con ello n parejas. Se observa que los N nacimientos son producto del azar y lo 60 curioso fue que la primera pareja tuvo una cría, la segunda pareja tuvo dos crías, la NB = 2 √2 tercera pareja tuvo tres crías, y así sucesivamente hasta llegar a una población 60 total de 40n miembros. Si se sabe que todas R las crías de una hembra murieron, disminuyendo la población en , entonces el número de crías que murieron es: a) 12 b) 18 c) 20 d) 24 CLAVE “C”e) 30 d)

2 3

e)

3 4

15.En la figura mostrada, el punto O es el centro ⊥ de la semicircunferencia y OP AN:

RESOLUCIÓN:  Tema : PLANTEO DE ECUACIONES Población

N P

MACHOS

45 º

HERMANOS +

n A

O

B

Si PB = 4u, entonces el área de la región sombreada expresada en unidades cuadradas es: a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12 RESOLUCIÓN:  Tema : ÁREAS SOMBREADAS LOYDA LEÓN LOLOY

B

O

CLAVE “A”

14. En un triángulo rectángulo PQR, recto en Q, exteriormente a dicho triángulo se construyen los triángulos equiláteros PQM y QRN. Luego la razón geométrica del área de la región MNQ y el área de la región PQR es: a)

45 º

A

AS =

2

n

=

inicial 2n

n sumandos 1+ 2+3+…+ 2n = 40 n n(n+1) = 38 n 2 n + 1 = 76 n = 75 Al morir “x” crías: x=

1 150

40(75) 5

EXAMEN DE ADMISIÓN UNT 2013 – I”A” x = 20 CLAVE “C” 17. En la sucesión: 10; 30; 68; 130; 222; 350 (20 términos) la diferencia entre el último y penúltimo término es: a) 1175 b) 1262 c) 1353 d) 1522 e) 1682 RESOLUCIÓN:  Tema : SUCESIONES

Piden: (213+21) - (203+20) = 1262 CLAVE “B”

LOYDA LEÓN LOLOY

6

EXAMEN DE ADMISIÓN UNT 2013 – I”A” MATEMÁTICA

2,5 > b->2

 a x b = 9 x 2 = 18 1. Si

𝑎 𝑏

=

𝑐+𝑎 𝑑+𝑏

=

𝑏+𝑐 𝑐+𝑑

positivos, el valor de: a) k

b) k

2

c) k

3

𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐 𝑐(𝑎+𝑏+𝑐)

d) k

4

es: e) k

5

RESOLUCIÓN:  Tema : RAZONES Y PROPORCIONES a=bK 𝑎

𝑐

Reconstruyendo: 𝑏 = 𝑑 = k

c=dK a=bk

𝑎 𝑏

CLAVE “C”

= k; a, b, c y d enteros

=

𝑏 𝑐

=

𝑐 𝑑

=k

3

b=dK2 c=dK

Reemplazando: dK3 dk2 + dk2 dk + dk dk

3. Sea la función f(x) = 2a + 3x. Si f–1(a+2) = f(a2), uno de los valores de “a” es: 2 1 2 2 a) − 3 b) − 3 c) 1 d) 9 e) 3 RESOLUCIÓN: F(x) = 2a + 3x F(a2) = 2a + 3a2→ (1) Ahora: F(x) = 2a + 3x 𝑦−2𝑎 =3 3

𝑥−2𝑎 3 2−𝑎 –1 F (a+2) = 3

F–1(x) =

→ (2)

dK3 dk + dk2 dk + d2 k2

De (1) y (2): 2−𝑎 = 2a+3a2

Factorizando:

9a2+ 7a – 2 = 0 (9a – 2) (a+1) = 0 2 a= v a = –1

3

d2k3(k2+1+k) = k d2k2(k2+1+k)

9

CLAVE “D”

CLAVE “A” 2. Es un número de dos cifras, se sabe que la suma de ellas es mayor que 10 y que la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de la cifra que ocupa el lugar de las unidades es mayor que 4. El producto de las cifras del número es: a) 5 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24 RESOLUCIÓN:  Tema : CUATRO OPERACIONES

4. En un triángulo isósceles ABC con incentro “I”, el área del triángulo AIC es 7u2 . Su AB BC = y AB 5 AC 4 = , el área del cuadrilátero ABCI, en unidades cuadradas, es: a) 14,0 b) 15,5 c) 16,5 d) 17,5 e) 24,5 RESOLUCIÓN:  Tema : ÁREAS B

Sea ab el número:

5n

a+b > 10 ------> 2a + 2b > 20 a - 2b > 4 ---->

5k

5k

a - 2b > 4

I

3a > 24 a>8 ↓ 9 LOYDA LEÓN LOLOY

2n A

2k

H

B

2k

4k 7

EXAMEN DE ADMISIÓN UNT 2013 – I”A” AB . Si AC = 68 cm, AD=17 cm, entonces la longitud de DB , en centímetros, es: a) 17 b) 15 c) 13 d) 12 e) 10

Dato: 2𝑛.4𝑘 2

=7

𝑛. 𝑘 = 7/4 RESOLUCIÓN: T. del Incentro: 𝐴𝐵+𝐵𝐶 𝐴𝐶

=

𝐵𝐼 𝐼𝐻

=

5 2

Propiedad:

=n n

Luego: As

=

5.2 . nk 2

CLAVE “D” 5. Una elipse pasa por el punto P

√7 ( , 3), 2

tiene su

centro en el origen, su eje menor coincide con el eje X y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor. La ecuación de la elipse es: a) 4x2 – y2 = 16 b) x2 + 4y2 = 16 c) x2 + y2 = 4 d) 4x2 + y2 = 16 e) 4x2 + y2 + 16 = 0 RESOLUCIÓN:  Tema : GEOMETRÍA ANALÍTICA +

𝑥2 𝑏2

an

α

A

Dato: 2a =2 .2b

bn

α C

68

682 = 16n2 + (17 + n)2 Resolviendo: n = 15 CLAVE “B” 7. Al factorizar: P(x) = (x+1)2 + (x3+1) (x2 ) (x+1) + x7 , uno de los factores, es: a) 4x2 + 2x + 1 b) x2 + x + 2 c) 4x2 + 1 d) x3 – x2 + 1 e) x2 – x – 3

CLAVE “D”

Reemplazando: +

(√7/2)2 𝑏2

=1

b=2 a=4 2

b

RESOLUCIÓN: P(x) = (x+1)2+(x3+1)x2(x+1)+x7 = (x2+2x+1)+(x6+x5+x3+x2)+ x7 = x7+x6+x5+x3+x2+2x+1 = (x3-x2+1)(x4+2x3+3x2+2x+1)

=1

32 (2𝑏)2

4n

17

As = 17,5

𝑦2 𝑎2

a α α

B

2

4x + y = 16 CLAVE “D” 6. En el triángulo rectángulo ABC, m∢BCD=m∢DCA=α, donde D es un punto del lado

LOYDA LEÓN LOLOY

8

EXAMEN DE ADMISIÓN UNT 2013 – I”A” 2n(n-1) + RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 1. Un alumno antiguo le dice a una condiscípula nueva “Cuando yo tenía la edad que tienes, a suma de nuestras edades era 28 años y cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será el cuádruple de la edad que tenías el año anterior al que cuando yo tenía la edad que tienes.” La edad actual de la alumna nueva, en años es: a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20

Pasado Pste Futuro x

28-x

u

3x-28

x

+ 2n (4n)

= (2n -2n)+2n(4n-1)+8n2 = 18n2-4n CLAVE “E”

3. La diferencia del denominador y numerador del vigésimo término de la sucesión 3 9 19 3 51 ; ; ; ; ; … es: 2 10 24 4 70 a) 379 e) 579

b) 380

c) 479

d) 480

RESOLUCIÓN: 3 9 19 33 51 𝑁1 ; ; ; ; ; … 𝐷1 2 10 24 44 70

RESOLUCIÓN: Yo --

2

(4𝑛(4𝑛−1) 2

56-3x 28-x

Suman70 (en aspa)

84-4x =4(x-1) 84-4x = x – 1 4 x = 11 Alumna nueva: 28 – 11 = 17 CLAVE “C” 2. Se tiene en un mismo plano elipses y rectas tal que la cantidad de las primeras es a la cantidad de las segundas como 1 es a 4. Si n representa la cantidad de elipses, entonces la máximo cantidad de puntos de corte que se presenta en la situación es: a) 4n2-18n b) 4n2+18 c) 4n2+6n d) 6n2+4n e) 18n-4/1

N1 = 3; 9; 19; 33; 51 V V V V 6; 10; 14; 18 V V V 4; 4; 4; 4 N1 = 2n2+1

D1 = 2; 10; 24; 44; 70 V V V V 8; 14; 20; 26 V V V 6; 6; 6; 6 D1 = n(3n-1) 𝑁1

𝐷1 =

2𝑛2 +1 𝑛(3𝑛−1

Para n =20 𝑁1 810 = 1180 𝐷1

D1 – N1 = 379

RESOLUCIÓN:

CLAVE “A”

n° de elipse: n Tenemos n° de rectas: 4n

4. El valor de: 1 5 E= + + 1

a) 5 ELIPSE

RECTA

LOYDA LEÓN LOLOY

ELIPSES Y RECTAS

2.3

4.9

b)

19 65 211 + + … es: 8.27 16.81 32.243 1 1 3 c) 2 d) 1 e) 2 4

RESOLUCIÓN: Transformando 1 1 1 1 1 1 E = 2 − 3 + 4 − 9 + 8 − 27 + ⋯ 9

EXAMEN DE ADMISIÓN UNT 2013 – I”A”

1 2

1 4

DINERO x 2x/3

1 8

S1 = + + +... 1

1

1

S1= -(3 + 9 + 27 + ⋯

2x/3(y+8) = xy 2y+16 = 3y 16 = y Precio Actual: 16 + 8 = 14

Suman Límite 1/2

S1 = 1−1/2 = 1 1/3

S2 = 1−1/3 = ½

CLAVE “C” 5. Si “x” ∈ [-9,-1>, entonces la fracción pertenece al intervalo: 2 9 2 10 2 10 a) [3 , 11> b)