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MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES

Examen Parcial

Curso 2010/11

09-04-2011

EJERCICIO 1 (2 Puntos) Para el mecanismo de la figura calcular el número de grados de libertad y deducir, mediante métodos gráficos, el sentido del movimiento de cada uno de los eslabones.

D A

ωOA O2

O1

B

C

EJERCICIO 2 (3,5 Puntos) El mecanismo de Whitworth representado en la figura acciona una cepilladora. Determinar: a) grados de libertad del mecanismo. b) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones. c) velocidad y aceleración del cepillo C cuando la manivela O1A forma 20º con la horizontal. d) par resistente en O1, para la posición del apartado anterior, si la fuerza del cepillo C debe ser de 50 kgf.

A O1

ωOA B

Datos: O1A = 25 cm; O1O2 = 15 cm; O2B = 10 cm; BC = 30 cm; ωOA = 40 rad/s (cte); mC = 10 kg

O2

C

MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES

EJERCICIO 3 (4,5 Puntos) La figura muestra una plataforma elevadora hidráulica, en donde O1O2 es la base fija. El accionamiento se realiza a través del cilindro O2B. Para θ = 40º determinar: G

a) velocidad y aceleración de la plataforma si el cilindro hidráulico O2B se expande a razón de 0,1 m/s de forma constante.

0,45 m

D

b) fuerza necesaria en el cilindro hidráulico si el peso total de la plataforma con carga es de 500 kgf aplicada en G, así como todas las reacciones en apoyos y fuerzas en uniones.

C

A B

θ O1

0,1 m/s

Datos: O1A = AC = AD = AB = 0,6 m; Coeficiente de rozamiento cinético µk = 0,2

FORMULARIO Análisis cinemático de mecanismos Movilidad



m = 3 . (n - 1) - 2 . j1 - j2

Análisis vectorial

[

]

     v B = v A + ωBA x rB/A + v desliz.B / A



] [

[

)]

(

[

          aB = aA + αBA x rB/A + ωBA x ωBA x rB/A + adesliz.B / A + 2.ωBA x vdesliz.B / A

Números complejos



]

 rA = a.cosθ + a.senθ.j

 da  da  vA =  ⋅ cosθ + ⋅ senθ . j + [- a . ω . senθ + a . ω . cosθ . j] dt dt  

 aA =

 d2 a  da d2 a da    ⋅ cosθ + ⋅ senθ . j  +  - 2 ⋅ ⋅ ω . senθ + 2 ⋅ ⋅ ω . cosθ . j  +  dt dt  dt 2   dt 2  +

[ (- a . α . senθ

(

+ a . α . cosθ . j) + - a . ω2 . cosθ - a . ω2 . senθ . j

Análisis de esfuerzos en mecanismos Equilibrio dinámico



Potencias Virtuales





∑F

ext

∑ (F 

ext

 + Fi = 0 ;

) ∑ (M

.v +



∑M

G(ext)

ext

 + Mi = 0

) ∑ (F

.ω +

in

) ∑ (M

. vG +

in

)

.ω = 0

)]

O2

MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES SOLUCIÓN EJERCICIO 1 m = 3 x (6-1) – 2 x 7 – 0 = 1

vA vA

A

A

ωOA O1

vB

O2

B

ωAB

CIR(AB)

ωO BC

vB

2

O2

B

CIR(CD)

C vC

D vD

ωCD D vD

O2

C vC

MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES SOLUCIÓN EJERCICIO 2 a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 – 0 = 1 b) Son necesarios dos polígonos:

A r2 O1

θ2 r3

r1

B

r6

r4

θ3

θ6

θ4

O2

r5

O2

C

r5 + r6 = r4

r1 + r2 = r3

POSICIÓN

0,25 x cosθ 2 = r3

x

cosθ 3

0,15 + 0,25 x senθ2 = r3

x

senθ3

θ3 = θ 4

;

r5 + 0,3 x cosθ 6 = 0,1 x cosθ 4

;

0,3 x senθ 6 = 0,1 x senθ 4

VELOCIDAD

- 0,25 x (-40) x senθ2 = v des 0,25 x (-40) x cosθ2 = v des

x x

cosθ3 - r3 x ω3 x senθ3

senθ3 + r3 x ω3 x cosθ3

; ω3 = ω4 ;

vC - 0,3 x ω6 0,3 x ω6

x

x

senθ6 = −0,1 x ω4

cosθ6 = 0,1 x ω4

x

x

senθ4

cosθ4

ACELERACIÓN - 0,25 x (-40)2

x

cosθ2 = ades

x

cosθ3 - 2 x v des

- 0,25 x (-40)2

x

senθ2 = ades

x

senθ3 + 2 x v des

aC - 0,3 x α 6

senθ6 - 0,3 x ω26

0,3 x α 6

x

x

cosθ6 - 0,3 x ω

2 6 x

c) Para θ2 = 20º



x

ω3 x senθ3 - r3 x α 3 x senθ3 - r3 x ω23 x cosθ3

x

x

ω3 x cosθ3 + r3 x α 3 x cosθ3 - r3 x ω23 x senθ3

cosθ6 = -0,1 x α 4

senθ6 = 0,1 x α 4

x

x

senθ4 - 0,1 x ω24

cosθ4 - 0,1 x ω

2 4 x

x

cosθ4

α3 = α 4

senθ4

r3 = 0,3326 m ; θ3 = θ4 = 45,071º ; θ6 = 166,35º ; r5 = 0,3621 m

v des = -4,237 m/s ades = -115,67 m/s2

; ω3 = ω4 = -27,23 rad/s ; α 3 = α 4 = -184,197 rad/s2

v C = 2,395 m/s

;

ω6 = 6,596 rad/s

; α 6 = 214,122 rad/s2

aC = -36,85 m/s2

MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES

d)

O1

A

ωOA

Mr(O1)

O1(y)

O1(x) B

O2(y)

vC aC O2(x)

O2

FC

Fi(C) NC

Aplicando el método de las Potencias Virtuales:

∑ (F

ext

) ∑ (M

.v +

ext

) ∑ (F . v ) + ∑ (M . ω)

.ω +

i

G

i

= 0

Los esfuerzos que producen potencia son el par resistente Mr(O1), la fuerza externa en el cepillo FC y la fuerza de inercia en el cepillo Fi(C). Por tanto:

(M

r(O1)

- (Mr(O1)

x

) (

)

) (

. ωOA + FC . v C + Fi(C) . v C = 0

40) – (50

x

9,81

x

2,395) + (10

De donde: Mr(O1) = -7,305 N.m

x

36,85

x

2,395) = 0

MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES

SOLUCIÓN EJERCICIO 3 a) Tomando dos polígonos:

D r4 A

r5

r3

r2

θ2 O1

θ2 O1

B

r1

A

r2

θ3

θ4

r1 + r3 = r2

r2 + r4 = r5

De donde:



r1 + r3 = r5 - r4

r1 + r3 + r4 = r5

siendo: r3 = r4 = 0,6 m , θ 3 = θ 4 = 180º - θ 2 , ω3 = ω4 , α3 = α 4 Para θ2 = 40º  θ3 = θ4 = 140º: POSICIÓN

r1 + (0,6 + 0,6 ) x cosθ3 = 0

(0,6 + 0,6)

x

r1 = 0,9192 m

senθ3 = r5

r5 = 0,7713 m

VELOCIDAD

− 0,1 − (0,6 + 0,6 ) x ω3

(0,6 + 0,6)

x

x

ω3 = - 0,1296 rad/s

senθ3 = 0

ω3 x cosθ3 = vP

vP = 0,1192 m/s

ACELERACIÓN

− (0,6 + 0,6) x α3

(0,6 + 0,6)

x

x

senθ3 − (0,6 + 0,6) x ω23

x

cosθ3 = 0

α3 x cosθ3 − (0,6 + 0,6) x ω23 x senθ3 = aP

α3 = 0,02 rad/s2 aP = - 0,0314 m/s2

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b) Realizando el análisis de esfuerzos para cada uno de los eslabones: PLATAFORMA Fi = 500x0,0314

Dy

G

0,45 m

D

C 0,2xNC

Dx

NC

W = 500xg 0,9192 m

∑ Fx = 0 ⇒ Dx - 0,2 NC = 0 ∑ Fy = 0 ⇒ Dy + NC + 500 0,0314 - 500 ∑ MD = 0 ⇒ (NC 0,9192) + (500 0,0314 x

x

x

x

x

g=0 x

0,45) - (500 x g x 0,45) = 0

De donde:

Dx = 478,72 N NC = 2.393,59 N Dy = 2.495,71 N

BRAZO OC NC = 2.393,59 N

Ay

0,6 m

O1(y)

0,6 m

C

0,2xNC = 478,72 N

Ax

A

40º O1

O1(x)

∑ Fx = 0 ⇒ O1(x) + A x + 0,2 NC = 0 ∑ Fy = 0 ⇒ O1(y) + Ay − NC = 0 ∑ MD = 0 ⇒ (Ay 0,6 cos40º) - (Ax 0,6 sen40º) - (2.393,59 1,2 cos40º) - (478,72 1,2 sen40º) = 0 x

x

x

x

x

x

x

x

x

(1)

MECANISMOS Y MÁQUINAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE LOS MATERIALES BRAZO BD Dx= 478,72 N

D 0,6 m

Dy= 2.495,71 N

Ax

A 0,6 m Ay

40º

B 0,2xNB

FC

NB

∑ Fx = 0 ⇒ −478,72 − A x - FC + 0,2 NB = 0 ∑ Fy = 0 ⇒ − 2.495,71 − A y + NB = 0 ∑ MB = 0 ⇒ (A y 0,6 cos40º) + (A x 0,6 sen40º) + (2.495,71 1,2 cos40º) + (478,72 1,2 sen40º) = 0 x

x

x

x

x

x

x

De (1) y (2):

A x = - 6.784,28 N A y = - 102,13 N Despejando:

O1(x) = 6.305,56 N O1(y) = 2.495,71 N NB = 2.393,59 N FC = 6.784,28 N

CILINDRO HIDRÁULICO O2(y) O2(x)

B

FC

O2

∑F ∑F

x

= 0 ⇒ FC + O2(x) = 0

y

= 0 ⇒ O2(y) = 0

Por tanto:

O2(x) = - 6.784,28 N O2(y) = 0

x

x

(2)