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UNIVERSIDAD ANÁHUAC QUERÉTARO EXAMEN Final PERIODO 201560 MATERIA: PROCESOS ESTOCASTICOS CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL CLAVE: 2250 SEMESTRE: QUINTO PROFESOR: JAVIER ALEJANDRO BERUMEN TORRES FECHA: 2/DICIEMBRE/2015 Nombre: _________________________________________________________ ID: ______________________________________________________________

1.

2. 3. 4.

INSTRUCCIONES INSTRUCCIONES DE PUNTAJE. El examen consta de 100 puntos distribuidos en diferentes secciones. El valor de cada sección, así como sus instrucciones, están indicadas al principio de la misma. INSTRUCCIONES DE RECURSOS PERMITIDOS. No se permite utilizar, libros de texto, apuntes, celular, formularios ni diccionarios. INSTRUCCIONES DE DURACIÓN. Tiempo máximo para resolver el examen: 150 minutos. INSTRUCCIONES DE FORMA (criterios a considerar). Se considerará la precisión en la definición de los conceptos, la propiedad en el uso del lenguaje, la solidez en la argumentación y la rectitud en el seguimiento de las normas ortográficas y gramaticales.

I.- Responda de manera clara las siguientes preguntas. (10 pts) 1. ¿Una cadena de Markov es un ejemplo de Proceso estocástico de que tipo? 2. ¿En qué consiste la propiedad de pérdida de memoria en una cadena de Markov? 3. ¿Qué es un DTA y en qué consiste? 4. ¿Qué información nos da la matriz de transición? 5. ¿Qué es un conjunto ergodico? 6. ¿Cuál es la diferencia entre accesibilidad y comunicación en una cadena de Markov? 7. ¿Cuáles son las propiedades de la comunicación en una cadena de Markov? 8. Defina la confiabilidad en un proceso estocástico.

9. Ejemplifique 2 tipos de estructuras típicas de colas. 10. En la notación de Kendall en teoría de colas, ¿a que se refieren los símbolos A/B/s/k/t/d? II.- Resuelva los siguientes problemas. 1. En una población de 10,000 habitantes, 5000 no fuman, 2500 fuman uno o menos de un paquete diario y 2500 fuman más de un paquete diario. En un mes hay un 5% de probabilidad de que un no fumador comience a fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de que un no fumador pase a fumar más de un paquete diario. Para los que fuman un paquete, o menos, hay un 10% de probabilidad de que dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a fumar más de un paquete diario. Entre los que fuman más de un paquete, hay un 5% de probabilidad de que dejen el tabaco y un 10% de que pasen a fumar un paquete, o menos. (20 pts.) a) Construya la matriz de transición para este sistema. b) Dibuje el DTA de este sistema y defina que propiedades cumple. c) ¿Cuántos individuos habrá de cada clase el próximo mes? 2. En una comunidad hay 3 supermercados (S1, S2, S3) existe la movilidad de un cliente de uno a otro. El 1 de septiembre, ¼ de los clientes va al S1, 1/3 al S2 y 5/12 al S3 de un total de 10.000 personas. Cada mes el S1 retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que se va al S2. Se averiguó que el S2 solo retiene el 5% y pierde el 85% que va a S1 y el resto se va a S3, el S3 retiene solo el 40%, pierde el 50% que va al S1 y el 10% va al S2. (20 pts) a) Establecer la matriz de transición b) ¿Cuál es la proporción de clientes para los supermercados el 1 de noviembre? c) Hallar el vector de probabilidad estable. 3. Un analista de producción aproxima la confiabilidad de una operación de corte de la siguiente manera: (20 pts)

t 2 para 0 ≤ t ≤ t 0 t0

( )

R ( t ) = 1−

R ( t ) =0 en cualquier otra parte

a) Determinar la razón de falla. b) ¿Es esa razón creciente o decreciente en el tiempo? c) ¿Cuál es el tiempo medio de falla? 4 Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora con una distribución de Poisson. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora de manera exponencial. Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola mientras pasan a la única caja para ser atendidos. Calcule las medidas de desempeño del sistema: (15 pts.) a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado? c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola? d) ¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola? 5. Una entidad bancaria considera la posibilidad de instalar una red de cajeros en una de sus oficinas. Dado que se desconoce la afluencia de público que va a demandar dicho servicio, coloca un único cajero durante un mes. Diariamente se recogen datos sobre los tiempos de llegadas de los clientes, así como de los tiempos de servicio. Suponiendo que la sucursal se encuentra

emplazada en un barrio donde no existe otro servicio semejante, el cliente que llega prefiere esperar a poder utilizar el cajero, cuando este ocupado. Tras el oportuno análisis de los datos recogidos, se estima que: i) las llegadas siguen un proceso de Poisson; ii)la distribución del tiempo de servicio es exponencial; iii) el tiempo medio transcurrido entre dos llegadas consecutivas es de 7.5 minutos; iv) el tiempo medio de servicio es de 5 minutos por cliente. Calcule: (15 pts) a) Proporción del tiempo que el cajero esta desocupado. b) Tiempo medio de espera que debe sufrir cada cliente en cola. c) Tamaño medio de la cola. d) Probabilidad de que al acudir al cajero ya haya alguna persona en la cola. III. FORMULARIO Vector de Probabilidades iniciales

ω=νP Estado estable

⃗q P=⃗q Confiabilidad t

t

−∫ λ (t ) dt

−∫ λ ( t ) dt

R ( t ) =e

f ( t )=λ ( t ) e

0

Razón de falla

λ ( t )=

f (t) R (t )

Factor de utilización del sistema.

Modelo M/M/1

L=λW

Lq=λ W q 2 ρ Lq= 1−ρ

L=

λ μ−λ

0

f ( t )=

−dR(t) dt