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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA INGENIERÍA CIVIL

SOLUCIÓN EXAMEN FINAL

SEMESTRE II/2017

Resolver la estructura mostrada en la FIG. 1, usando la estructura isostatizada de la FIG.2. Considerar el efecto del momento flector y la normal. 𝑇1 → 25𝑥45 𝑐𝑚 𝐾𝑔 𝐸 = 2.4𝐸5 [𝑐𝑚2 ] 𝑡

𝑟 = 6𝐸3 [𝑚]

𝐹𝐼𝐺. 1 1. GRADO HIPERESTÁTICO-. 𝐺𝐻 = 3𝐴 − 𝐺𝐿 + 𝑁°𝑟𝑒𝑠 𝐺𝐻 = 3(2) − 6 + 1 𝐺𝐻 = 1 Estructura una vez hiperestático 2. ESTRUCTURA ISOSTÁTICA-. Como el pórtico es una vez hiperestático solo hay una redundante 𝑥1 , en este caso la reacción vertical del apoyo fijo, de acuerdo con la estructura isostática dada.

𝐹𝐼𝐺. 2

3. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS-. 𝐿23 = √4.52 + 22 = 4.924 𝑚 2 𝛼 = tan−1 ( ) = 23.96° 4.5 1 𝑅1 = ∗ 1 ∗ 4 = 2 𝑡 2 𝑅2 = 3 ∗ 4 = 12 𝑡 𝑅3 = 4 ∗ 4.5 = 18 𝑡

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

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4. ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD-. 𝐷𝐴 = 0 𝐴 𝐴 𝐷𝐴 = 𝑓11 ∗ 𝑥1 + 𝐷10 =0 𝐴 𝐴 𝑓11 ∗ 𝑥1 = −𝐷10 Donde: 𝐴 𝐷10 = ∑ ∫ 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠

𝐴 𝑓11 = ∑ ∫ 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠

𝑀𝑚1 𝑁𝑛1 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑑𝑧 + 𝐸𝐼 𝐸𝐴 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠

∑ 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠

𝑚1 𝑚1 𝑛1 𝑛1 𝑑𝑧 + ∑ ∫ 𝑑𝑧 + 𝐸𝐼 𝐸𝐴 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠

𝑃𝑜 𝑃1 𝑟

∑ 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠

𝑃1 𝑃1 𝑟

5. ESTRUCTURA A + CARGAS-.

Reacciones de apoyo 𝐻1 − 3.830 = 0 𝐻1 = 3.830 𝑡 Lado derecho de art. C (𝑉4 ∗ 4.5) − (3.214 ∗ 3) = 0 𝑉4 = 2.143 𝑡 (2.143 ∗ 14) − (3.214 ∗ 12.5) + (𝑉3 ∗ 9.5) − (18 ∗ 7.25) + (𝑉2 ∗ 5) − (12 ∗ 2) − (2 ∗

1 ∗ 4) + (3.83 ∗ 2) = 0 3

9.5 ∗ 𝑉3 + 5 ∗ 𝑉2 − 159.680 = 0 … (1)

𝑉2 + 𝑉3 + 𝑉4 − 3.214 − 18 − 2 − 14 = 0 𝑉3 + 𝑉2 − 33.071 = 0 … (2) Resolviendo (1) y (2) 𝑉2 = 34.332 𝑡 𝑉3 = −1.261 ANÁLISIS ESTRUCTURAL

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Desmembramiento:

Función de fuerzas internas-. Barra 1-5 origen de z en 5

𝑞𝑧 =

1 ∗𝑧 4

𝑧 1 1 𝑧 𝑀 = −29.333 + 14 ∗ 𝑧 − 3 ∗ 𝑧 ∗ − ∗ ∗ 𝑧 ∗ 𝑧 ∗ 2 2 4 3 1 𝑀 = −29.333 + 14 ∗ 𝑧 − 1.5 ∗ 𝑧 2 − ∗ 𝑧3 24 𝑁 = −3.83 ANÁLISIS ESTRUCTURAL

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Barra 5-2 origen de z en 5

𝑀 = −29.333 − 14 ∗ 𝑧 𝑁 = −3.83

Barra 2-3 origen de z en 2

𝑀 = −2.332 ∗ 𝑧 ∗ cos(23.96°) + 3.83 ∗ 𝑧 ∗ sin(23.96°) − 4 ∗ 𝑧 ∗ cos(23.96°) ∗

𝑧 ∗ cos(23.96°) 2

𝑀 = −0.5756 ∗ 𝑧 − 1.6701 ∗ 𝑧 2 𝑁 = −3.83 ∗ 𝑧 ∗ cos(23.96°) − 2.332 ∗ 𝑧 ∗ sin(23.96°) − 4 ∗ 𝑧 ∗ cos(23.96°) ∗ sin(23.96°) 𝑁 = −4.447 − 1.4845 ∗ 𝑧 Barra 3-6 origen de z en 3

𝑀 = 1.071 ∗ 𝑧 𝑁 = −3.83

Barra 6-4 origen de z en 4

𝑀 = 2.143 ∗ 𝑧 𝑁=0

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6. ESTRUCTURA A + 𝑥1 = 1-.

Reacciones de apoyo 𝐻1 = 0 𝑉4 = 0 9.5 ∗ 𝑉3 + 5 ∗ 𝑉2 = 0 … (1) 𝑉3 + 𝑉2 + 1 = 0 … (2) Resolviendo (1) y (2) 𝑉2 = −2.111 𝑉3 = 1.111 Desmembramiento:

Función de fuerzas internas: Barra 1-5 origen de z en 5 𝑚1 = 4 − 𝑧 𝑛1 = 0 ANÁLISIS ESTRUCTURAL

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Barra 5-2 origen de z en 5 𝑚1 = 4 + 𝑧 𝑛1 = 0

Barra 2-3 origen de z en 2 𝑚1 = 1.111 ∗ 𝑧 ∗ cos(23.96°) 𝑚1 = 1.0153 ∗ 𝑧 𝑛1 = 1.111∗ sin(23.96°) 𝑛1 = 0.4512 Barra 3-6 origen de z en 3 𝑚1 = 0 𝑛1 = 0 Barra 6-4 origen de z en 4 𝑚1 = 0 𝑛1 = 0 7. PROPIEDADES DEL MATERIAL: 0.25 ∗ 0.453 𝐸𝐼 = ∗ 2.3𝐸6 = 4366.40625 12 𝐸𝐴 = 0.25 ∗ 0.45 ∗ 2.3𝐸6 = 258750 8. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y FLEXIBILIDAD-. 4 (−29.333 +

𝐴 𝐷10

=∫

4366.40625

0 4.924

+∫ 0

+

1 14 ∗ 𝑧 − 1.5 ∗ 𝑧2 − 24 ∗ 𝑧3 ) ∗ (4 − 𝑧)

1 (−29.333

𝑑𝑧 + ∫

0

− 14 ∗ 𝑧) ∗ (4 + 𝑧) 𝑑𝑧 4366.40625

4.924 ( (−0.5756 ∗ 𝑧 − 1.6701 ∗ 𝑧2 ) ∗ (1.0153 ∗ 𝑧) −4.447 − 1.4845 ∗ 𝑧) ∗ (0.4512) 𝑑𝑧 + ∫ 𝑑𝑧 4366.40625 258750 0

−1.261 ∗ 1.111 6000

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𝐴 𝐷10 = −0.127773 𝑚

4 (4

𝐴 𝑓11 =∫

0

1 (4 4.924 (1.0153 − 𝑧) ∗ (4 − 𝑧) + 𝑧) ∗ (4 + 𝑧) ∗ 𝑧) ∗ (1.0153 ∗ 𝑧) 𝑑𝑧 + ∫ 𝑑𝑧 + ∫ 𝑑𝑧 4366.40625 4366.40625 4366.40625 0 0

4.924 (0.4512)

+∫

0

∗ (0.4512) 1.111 ∗ 1.111 𝑑𝑧 + 258750 6000

𝐴 𝑓11 = 0.019147 𝑚

Reemplazando en la ecuación de compatibilidad: 𝐴 𝐴 𝑓11 ∗ 𝑥1 = −𝐷10

(0.019147) ∗ 𝑥1 = −(−0.127773) 0.127773 𝑥1 = = 6.673 𝑡 0.019147 𝑥1 = 𝑉1 = 6.673 𝑡 9. REACCIONES FINALES-. 𝑥1 = 𝑉1 = 6.673 𝑡 𝑅 = 𝑅𝑜 + 𝑅1 ∗ 𝑥1 𝐻1 3.830 3.830 0 𝑉2 20.245 34.332 −2.111 [ ]=[ ]+[ ] ∗ [6.673] = [ ] 𝑉3 −1.261 1.111 6.153 0 2.143 𝑉4 2.143

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