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• Carlos Valenzuela Zegarra

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

EXAMEN PARCIAL

Apellidos y Nombres: E.A.P. : Asignatura. : Fecha : Docente :

Semestre Académico

2016-II

Nota

Ingeniería Industrial

II

Ciclo Matemática III 29 de Noviembre

2016

Duración

Nancy Rosa Moya Lázaro,

9 0 min

Sección

Carlos Enrique Castañeda Yaya

1.- En cada uno de los ítems siguientes, justifique su respuesta. 𝑖) Utilice la definición para obtener la Transformada de Laplace de la función escalón unitario Uc (t), donde c≥ 0. 𝑖𝑖) Sea la gráfica de la función 𝑓(𝑡)

Exprese, utilizando la función escalón unitario.

𝑖𝑖𝑖) Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial 𝑡

𝑡 − 2 𝑓(𝑡) = ∫ (𝑒 𝑢 − 𝑒 −𝑢 ) 𝑓(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢 0

𝑖𝑣) Estudie el orden exponencial de las siguientes funciones 2 t, si 0 ≤ t < π 𝑎) et b) sen (4t) c) g(t) = { 0, si t ≥ π 2

Ln 2

2.- Calcular 𝑖) 𝑙𝑖𝑚𝑛⟶+∞ 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋. cos 𝑛) [ Ln3 +

Ln 3 Ln 4

+ ⋯+

Ln (n+1) Ln(n+2)

]

𝑖𝑖) Halle una serie de potencias en 𝑥 que converja a la función 𝑥2 𝑓(𝑥) = . (1 − 𝑥)(1 + 𝑥 2 )

3.- 𝑖) Utilizando la transformada de Laplace, calcular +∞

∫ 0

1

𝑠 2 +9

𝑠

𝑠 2 +4

𝑖𝑖) Calcular 𝐿−1 { . 𝐿𝑛(

−𝑡

𝑒 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 𝑡

)} (𝑡)

4.- Determine el intervalo de convergencia y divergencia de la serie de potencias. Justifique su respuesta. +∞ 1 𝑘 (3) . (𝑥 + 1)𝑘 ∑ 𝑘 2 . 𝐿𝑛(𝑘) 𝑘=2

5. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de la transformada de Laplace y ′′ (t) + y(t) = f(t) ; y(0) = 1; y ′ (0) = 0, donde 𝑓(𝑡) = {

0; 0 ≤ 𝑡 < 𝜋 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡; 𝑡 ≥ 𝜋

6.- 𝑖) Diseñe un modelo, utilizando la función escalón unitario, para la temperatura de un pastel mientras está dentro del horno con base en las siguientes suposiciones: En t = 0, la mezcla del pastel está a temperatura ambiente de 70°F, el horno no se precalienta por lo que en t = 0, cuando la mezcla del pastel se coloca dentro del horno, la temperatura dentro del horno también es 70°F ; la temperatura del horno aumenta linealmente hasta 𝑡 = 4 cuando se alcanza la temperatura deseada de 300°𝐹 , luego la temperatura del horno se mantiene constante en 250°𝐹 para 4 < 𝑡 < 10, hasta que en 𝑡 = 10 ocurre un impulso unitario (una subida de calor de gran magnitud en 𝑡 = 10 ) luego de ese tiempo para 𝑡 > 10 la temperatura se mantiene constante en 100 °𝐹. ii) La ecuación diferencial que define el funcionamiento de un circuito L − C en 1 t serie con una fuente de voltaje V(t) y Q(0) = 0 es LI′ (t) + C ∫0 I(w)dw = V(t). donde 𝐼(𝑡) es la corriente, con carga inicial 0. Si 𝐿 = 10 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑖𝑜𝑠y 𝐶 = 0,1 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠. 𝑖) Utilizando la transformada de Laplace, halle la corriente instantánea si su valor inicial es 𝐼(0) = 0 𝑦 𝑉(𝑡) = 4𝛿2 (𝑡) + 5 𝑈4 (𝑡). 𝑖𝑖) Describa la corriente 𝐼(𝑡) si 2 ≤ 𝑡 < 4. Interprete los resultados.  

Se resuelven 5 de las 6 preguntas, indicar en la primera hoja del examen la pregunta que no se resuelve. El desarrollo del examen es con lapicero azul o negro.

Ciudad Universitaria, Martes 29 de Noviembre del 2016.

Los Profesores del Curso.