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• Ivan Nina

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Preguntas de exámenes de admisión ARITMÉTICA

Por dato, tenemos lo siguiente: •  MCD (A; B) = 19 Entonces:

Pregunta 1 El producto de tres números reales es 900 y la suma de sus inversos multiplicativos es 1/5. Determina la suma de los productos de dichos números tomados de dos en dos sin repetición. UNMSM 2010 - II

A) 160 D) 210

B) 180 E) 170

C) 190

A = 19 p B = 19 q

• A + B = 114

PESÍ

19(p + q) = 114 . . 5 1 (son PESÍ)

Luego: A = 19 . p = 19(5) = 95

Resolución:

B = 19 . q = 19(1) = 19

Tema: Operaciones fundamentales

` A - B = 95 - 19 = 76

Análisis y procedimiento

Rpta. 76

Sean a; b y c los tres números reales.

Clave E

Por dato tenemos: • a # b # c = 900 … (I) • 1 + 1 + 1 = 1 … (II) a b c 5

Pregunta 3 Sean a; b enteros positivos que satisfacen: a + b = 0, 969696... 11 3 Halla a + b.

Nos piden hallar a # b + a # c + b # c. Del segundo dato (II) tenemos: 1 +1 +1 =1 a b c 5 b#c+a#c+a#b = 1 a#b#c 5

UNMSM 2012 - II

A) 6 D) 8

Pero de (I): a # b # c = 900

C) 9

Resolución:

& b#c+a#c+a#b = 1 900 5

Tema: Números decimales

 b # c + a # c + a # b = 180 ` a # b + a # c + b # c = 180

Rpta. 180 Clave B

Recuerda que la fracción generatriz de un número decimal periódico puro es de la siguiente manera: ! 0, mnmnmn... = 0, mn = mn 99 Análisis y procedimiento

Pregunta 2 El máximo común divisor de dos números enteros positivos es 19. Halla la diferencia positiva de estos números sabiendo que su suma es 114. UNMSM 2011 - II

A) 57 D) 63

B) 10 E) 7

B) 38 E) 76

C) 45

Resolución: Tema: MCD y MCM Recuerda que si el MCD (A; B) = d, entonces: A=d.p B=d.q Análisis y procedimiento Sean A y B los números (A > B).

PESÍ

Nos piden a + b, sabemos que a y b son enteros positivos. Por dato, tenemos: a + b = 0, 969696... 11 3 a + b = 0,! 96 11 3 Llevando el número decimal a su fracción generatriz, tenemos: 3a + 11b = 96 33 99 1 3 3a + 11b = 32 . . 7 1 Entonces:

a=7 y b=1

` a + b = 8

Rpta. 8 Clave D

Preguntas de exámenes de admisión

1

e d s a s i t n m d u a rP eg exámenes de Pregunta 4

Por el algoritmo de Euclides, se tiene:

1583n = 178(8n + 3) + r

¿Qué tanto por ciento del 50% de 0,005 es 0,01?

UNMSM 2013 - II

A) 40% D) 400%

B) 4% E) 0,04%

C) 0,4%

159n = 534 + r . . 4 102 (único caso)

` n=4

Rpta. 4 Clave E

Resolución: Pregunta 6

Tema: Tanto por ciento Ten en cuenta que, de forma práctica: • Las palabras de, del y de los indican multiplicación. • Las palabras es y equivalente indican igualdad.

En una biblioteca municipal existen en total 72 libros de matemática y literatura, los que están en relación de 5 a 3 respectivamente. El número de libros de literatura que deben agregarse para que la relación sea de 9 a 10, es: UNI 2010-I

Análisis y procedimiento

A) 21 D) 24

Según el enunciado ¿Qué tanto por ciento del 50% de 0, 05 es 0, 01? S S 144444 244444 3 S # # = x% Entonces:  x%  #  50%  #  0,05 = 0,01 x # 50 # 5 = 1 100 100 100 100

Tema: Razones Análisis y procedimiento

Lo anterior, es equivalente a decir: Rpta. 400% Clave D

Pregunta 5 Halla el menor número entero positivo n, tal que al dividir 1583n entre 178 se obtiene (8n + 3) de cociente por defecto. UNMSM 2014-I

B) 5 E) 4

C) 6

Resolución: Tema: Operaciones fundamentales En una división: Por defecto

Por exceso

D

d

D

rd

q -

re q + 1

d

cociente por defecto

Total de libros

5 # (9)

3 # (9)

8 # (9) = 72

Se observa que hay lo siguiente: • 45 libros de matemática y • 27 libros de literatura. Luego, si agregamos x libros de literatura, tendríamos: • 45 libros de matemática • 27 + x libros de literatura Por condición del problema, tenemos: 45 = 27 + x 9 10 ` x = 23

Rpta. 23 Clave C

Pregunta 7 ¿Cuántos números enteros menores que 100 existen que son cubos perfectos y que al ser multiplicados por 3 se convierten en cuadrados pefectos? UNI 2011 - I

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

Tema: Potenciación

Análisis y procedimiento

Análisis y procedimiento

Del enunciado, n ! Z+ donde n es mínimo. Además: 1583n

178

r

8n + 3

2.° de Secundaria

N.° de libros de literatura

Resolución:

D = d # q + rd

2

N.° de libros de matemática Lo que se tiene

x% = 400%

A) 8 D) 7

C) 23

Resolución:

x = 400



B) 22 E) 25

; r < 178

Sean N los números que cumplen la condición. Por dato se tiene lo siguiente: • N < 100 • N = K3 • 3N = R2

e d s a i t n m d u a rP eg exámenes de Como

Resolución:

N = K3 < 100 & K < 4,64 … 1; 2; 3; 4

Tema: Cuatro operaciones Análisis y procedimiento

Como 3N debe ser cuadrado perfecto, solo se cumple cuando 3N = 81.

& N: 1; 8; 27; 64

& 3N: 3; 24; 81; 192

` Solo existe un valor para N.

Sea A = abcd del cual debemos hallar a + b + c + d. Del dato tenemos: Rpta. 1



Clave A

Pregunta 8

abcd # 999 = …5352

abcd # (1000 - 1) = …5352 abcd000 - abcd = …5352

Entonces:

Se tiene un número capicúa de seis cifras cuya última cifra es 2. Sea N el residuo de dividir dicho número entre 1000 y M el cociente. Si N - M = 99, calcula el valor máximo que puede tomar la suma de las cifras del número capicúa.

abcd000 abcd 5352 10 - d = 2 9-c=5 9-b=3 7-a=5

UNI 2012-II

A) 24 D) 30

B) 26 E) 32

C) 28

& & & &

d=8 c=4 b=6 a=2

` a + b + c + d = 20

Rpta. 20

Resolución:

Clave C

Tema: Cuatro operaciones

Pregunta 10

Análisis y procedimiento

La media aritmética de dos números enteros es los 5/4 de su media geométrica. Halla la razón de dichos números.

Del enunciado, se tiene lo siguiente: dividendo

.

•

.

2abba2

1000

N

M

residuo

cociente

-

UNFV 2011 - II

divisor

• N - M = 99



A) 2 D) 4

...( I )

-

C) 5

Resolución: Tema: Promedios

...( II )

• Media aritmética de a y b: a + b 2 • Media geométrica de a y b: ab

Realizamos la división en ( I ): 2abba2 200 abba a000 bba2 b000 ba2

1000 2ab

!M

Análisis y procedimiento Sean los números a y b. Del enunciado planteamos: a + b = 5 ab 4 2 2(a + b) = 5 ab

!N

ba2 - 2ab = 99 99b - 198 = 99 b = 3 & amáx. = 9



4(a2 + 2ab + b2) = 25ab



4a2 + 8ab + 4b2 = 25ab



Luego, el dividendo es 293 392. Rpta. La suma de sus cifras es 28. Clave C

Pregunta 9 Al multiplicar un número A de cuatro cifras por 999 se obtiene un número que termina en 5352. Calcula la suma de las cifras del número A. UNI 2013 - II

B) 19 E) 22

[2(a + b)]2 = 75 ab A

2

En (II):

A) 18 D) 21

B) 3 E) 7

C) 20



4a2 + 4b2 = 17ab ab ab ab 4 a + 4 b = 17 ; si a = x b a b & 4x + 4 = 17 x 2 4x - 17x + 4 = 0 4x -1 x -4 (4x - 1)(x - 4) = 0

Entonces: x = 1 0 x = 4 4 Nos piden: a = x b

Rpta. 4 Clave D

Preguntas de exámenes de admisión

3

e d s a s i t n m d u a rP eg exámenes de Álgebra

Pregunta 11

! Halla m + n, si m = 0, 6n . 11

A) 8 D) 12

UNFV 2012 - I

B) 9 E) 11

log22 x - 5 log2 x + 6 = 0 UNMSM 2010 - II

A) 12 D) 32

Tema: Numeración

! 0, ab = ab 99

Resolvemos la ecuación logarítmica mediante un cambio de variable para facilitar la factorización de la expresión logarítmica. Análisis y procedimiento (log2x)2 - 5(log2x) + 6 = 0

9 . m = 6n . . 7 3

Hacemos el cambio: log2x = t ; x > 0 Luego: t2 - 5t + 6 = 0

& m = 7; n = 3 m + n = 10

Factorizamos: (t - 2)(t - 3) = 0 Rpta. 10 Clave C

Pregunta 12

& t - 2 = 0

0

t-3=0

& t = log2x = 2

0

t = log2x = 3

Por definición de logaritmos obtendremos:

Syd agrupa cierta cantidad de discos de 7 en 7 y le sobran dos. Cuando Robert los apila de 8 en 8, sobran tres discos para completar una pila. David, en cambio, lo guarda en cajas de a 6 y uno queda suelto. ¿Cuántos discos hay, como máximo, si dicha cantidad no es mayor que 700? PUCP 2014 - I

B) 635 E) 620

x = 22 0 x = 23 Luego: x1 = 4 0 x2 = 8 Nótese que ambas soluciones son positivas. Por lo tanto: x1 . x2 = 32 Rpta. El producto de valores de x que satisfacen la ecuación es 32. Clave D

C) 667

Pregunta 14

Resolución:

Halla el producto de la suma de coeficientes de (2x2 - 3y)5 con la suma de los coeficientes de (x + y)4.

Tema: Divisibilidad Análisis y procedimiento

UNMSM 2011- II

Sea “x” la cantidad de discos: x # 700 Según Syd: x = 7° + 2 = 7° - 5 Según Robert: Según David:

x = 8° + 3 = x = 6° + 1 =

A) 15 D) -18

8° - 5 6° - 5

Propiedad: x = MCM(7; 8; 6) - 5 Se sabe que:



Tema: Polinomios

… (a)

Para una variable:

MCM(7; 8; 6) = 168

Recuerda que: Si P(x) = x2 + 2x + 5

x = 168K - 5 # 700 k # 700 + 5 168 k # 4,196

& Suma de coeficientes = P(1) = 8 Para más de una variable: Si P(x; y) = 3x2 + 5xy + 6y2

Máximo valor (k = 4): x = 168(4) - 5 = 667 Rpta. 667 Clave C

4

2.° de Secundaria

B) -16 E) 20

Resolución:

En (a):

C) 30

Tema: Ecuación logarítmica

! 0, 6n = 6n 99 m 6 & = n 11 99



A) 597 D) 541

B) 6 E) 5

Resolución:

Análisis y procedimiento Sabemos:

Halla el producto de los valores de x que satisfacen la ecuación:

C) 10

Resolución: Recordar:

Pregunta 13

& Suma de coeficientes = P(1; 1) = 14

C) 30

e d s a i t n m d u a rP eg exámenes de Análisis y procedimiento • P(x; y) = (2x2 - 3y)5

Suma de coeficientes = P(1; 1) = (2 - 3)5 = -1 4

• Q(x; y) = (x + y)



Suma de coeficientes = Q(1; 1) = (1 + 1)4 = 16 Piden: (-1)(16) = -16

& ab + 1 = 1 / b

bc + 1 = 1 c

& ab + 1 = b /

bc + 1 = c

& (ab + 1) # c = b # c / bc + 1 = c & abc + c = bc S

bc = c - 1

 /

c-1

Rpta. -16

abc + Y c =Y c -1   ` abc = -1

Clave B

Rpta. -1

Pregunta 15

Clave C

Halla la suma de tres números que están en progresión aritmética, sabiendo que la suma del primero y el tercero es 12, y que el producto del primero por el segundo es 24. UNMSM 2012 - II

A) 14 D) 15

B) 18 E) 12

Pregunta 17 Si las ecuaciones en x: x2 + x + a = 0



C) 16

x2 + 2x + b = 0 tienen un raíz común, calcula:

Resolución:

2

5 _a - b i b - 2a

Tema: Progresiones aritméticas

; b ! 2a UNMSM 2014 - I

Análisis y procedimiento

A) 5 D) 1

Sean los números que están en progresión aritmética. ? ? ? a ; a + R ; a + 2R t1



t2

+R

Por dato tenemos: Además:



t3

C) 6

Resolución:

+R

a + (a + 2R) = 12 2a + 2R = 12 a + R = 6

B) 4 E) 3

Tema: Ecuaciones cuadráticas Análisis y procedimiento Sea a la raíz en común de las siguientes ecuaciones en x:

… (I)

x2 + x + a = 0 … (I) x + 2x + b = 0 … (II) 2

a # _a + R i = 24 S _I i a # 6 = 24 a=4 & R=2

Entonces de (II) y (I):

Entonces los números son 4; 6 y 8. ` t1 + t2 + t3 = 4 + 6 + 8 = 18 Rpta. 18 Clave B

Pregunta 16

a2 + 2a + b = 0 a2 + a + a = 0

(-)

a+b-a =0 a = a - b … (III)

Luego, reemplazamos (III) en (I):

(a - b)2 + (a - b) + a = 0 (a - b)2 = b - 2a

Finalmente, nos piden calcular:

Sean b ! 0 y c ! 0. Si a + 1 = 1 y b + 1 = 1, halla el valor b c de abc.

2 5_b - 2a i 5 _a - b i = =5 b - 2a b - 2a

Rpta. 5

UNMSM 2013 - I

A) 1 D) -2

B) 2 E) 1/2

Clave A

C) -1

Pregunta 18 Halla el valor de x en la siguiente ecuación:

Resolución: Tema: Teoría de ecuaciones

logxlogx - logx - 6 = 0 Da como respuesta la suma de soluciones.

Análisis y procedimiento Como: a+ 1 =1 / b

b+ 1 =1 c

UNI 2011-II

A) 10,01 D) 999,99

B) 99,99 E) 1000,01

C) 100,01

Preguntas de exámenes de admisión

5

e d s a s i t n m d u a rP eg exámenes de Resolución:

Resolución:

Tema: Logaritmos

Tema: Productos notables

Regla del sombrero

Recuerda que:

Siendo a; b positivos se tiene: logabn = n . logab

Análisis y procedimiento

con a ! 1 ; n ! R.

Como: abc = 0 & a = 0 0 b = 0 0 c = 0

Análisis y procedimiento

Si: a = 0 & b + c = 1 • (b + c)2 = (1)2

logxlogx - logx - 6 = 0 (logx) . (logx) - logx - 6 = 0 (logx)2 - logx - 6 = 0 logx -3 logx +2

& b2 + c2 + 2bc = 1 b2 + c2 = 1 - 2bc • (b + c)3 = (1)3 & b3 + c3 + 3bc _b + c i = 1 S 1 b3 + c3 = 1 - 3bc

& (logx - 3)(logx + 2) = 0 & logx = 3 0 logx = -2   x = 103 0

(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)

  x = 10-2

Luego:

` La suma de soluciones = 103 + 10-2 = 1000,01

Rpta. 1000,01 Clave E

2 2 2 3 3 3 K = da + b + c n-da + b + c n 2 3 2 3 K = d 0 + 1 - 2bc n - d 0 + 1 - 3bc n 2 3

K= 1 6

Pregunta 19 Si x1 = 2 y x2 = -1 son raíces de x4 - ax2 + b = 0, halla a - b. UNI 2012 - I

A) -1 D) 2

B) 0 E) 3

C) 1

Análogamente: Si: b = 0 & K= 1 6

Si: c = 0 & K= 1 6

` K= 1 6

Resolución:

Rpta. 1/6

Tema: Ecuaciones

Clave B

Para resolver el problema usaremos y aplicaremos el concepto de solución o raíz de una ecuación polinomial. Análisis y procedimiento Como x1 = 2 y x2 = -1 son raíces (o soluciones) de la ecuación bicuadrada x4 - ax2 + b = 0, entonces verifican la ecuación.

Pregunta 21 Considera a > b > 0 y determina el cociente entre la menor y mayor de las raíces de la ecuación en x. 1 +1 +1 = 1 x a b x+a+b

En particular, para x2 = -1 tenemos: (-1)4 - a(-1)2 + b = 0

A) a/b D) a + b

& 1-a+b=0   ` a - b = 1

B) b/a E) 1

Rpta. 1

Resolución:

Clave C

Tema: Ecuaciones

Pregunta 20

Análisis y procedimiento

Sabemos que se cumple: abc = 0 a+b+c=1

Resolvemos:

2

2

3

3

3

K = da + b + c n-da + b + c n 2 3

A) 0 D) 1/2

a+b = x-x-a-b ab x_ x + a + bi

UNI 2013 - II

B) 1/6 E) 1

C) 1/3

1 1 +1 +1 = x+a+b x a b 1 1 +1 = -1 x+a+b x a b

Halla el valor de: 2

Se obtiene: x2 + (a + b)x + ab = 0 (x + a)(x + b) = 0 x = -a 0 x = - b

6

2.° de Secundaria

C) ab

UNI 2014 - II

e d s a i t n m d u a rP eg exámenes de Como: a > b > 0 & -a < - b < 0 Luego: x1 - a a = = x2 - b b

Pregunta 24

Si F es una función constante, tal que: F _ 3 i + F _2 i

Rpta. a/b Clave A

Pregunta 22

F _5 i - 3

=8

Encuentra F(1997) + F(1998). PUCP 2014 - I

Halla x + y, dado el siguiente sistema de ecuaciones:

A) 2 D) 8

xy(x + y) = 420 x3 + y3 = 468 UNFV 2011 - II

A) 11 D) 10

B) 24 E) 13

C) 12

B) 4 E) 9

C) 6

Resolución: Tema: Funciones Análisis y procedimiento

Resolución:

Sea la función constante: F(x) = a ; a ! R

Tema: Productos notables

Dato:

F _ 3 i + F _2 i

=8 F _5 i - 3 a+a =8 a-3 a=4

Binomio al cubo (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Resolución y procedimiento

Datos: xy(x + y) = 420 x3 + y3 = 468 Piden: x + y Sabemos: (x + y)3 = x3 + y3 + 3 xy _ x + y i S 468



& F(x) = 4

Piden: F(1997) + F(1998) = 4 + 4 = 8 Rpta. 8 Clave D

Geometría

1 44 2 44 3 420

(x + y)3 = 468 + 3 . 420 (x + y)3 = 1728 x + y = 3 1728 = 12

Pregunta 25

Rpta. 12

La figura ABCD es un trapecio, CB = CD = 1 m, BD = 3 m y la medida del ángulo BAD es 45°. Halla la medida del ángulo ADB.

Clave C

D

UNMSM 2010 - II

C

Pregunta 23 Después de factorizar: x4 - 6x3 + 5x2, señala la suma de los términos independientes de los factores.

A

UNFV 2014

A) 5 D) -6

A) 90° D) 135°

C) -5

B) 6 E) 7

B

B) 120° E) 75°

Resolución:

Resolución:

Tema: Cuadriláteros

Tema: Factorización

Recuerda:

Análisis y procedimiento

a

x4 - 6x3 + 5x2

Factorizamos: 2

2

x (x - 6x  +  5) x  - 5 x -1 x2(x - 5)(x - 1)

a

θ

θ = 30º θ

a

3

Análisis y procedimiento Piden m+ADB = x

1m

D

& Términos independientes: -5; -1 ` -5 + -1 = -6

C) 105°

x Rpta. -6

θ 3 m

Clave D A

45°

C 1m θ

θ B

Preguntas de exámenes de admisión

7

e d s a s i t n m d u a rP eg exámenes de Datos: DC = CB = 1 m DB = 3 m m+DAB = 45°

Pregunta 27

En la figura, A y B son puntos de tangencia y el ángulo ACB mide 60°. Halla la medida del arco ADB. UNMSM 2012-II

Como ABCD es un trapecio entonces: DC // AB , luego por el teorema de los ángulos conjugados internos: (x + q) + 45° = 180°   & x + q = 135° En el triángulo DCB, se deduce: q = 30° Reemplazamos (II) en (I): x + 30° = 135°   ` x = 105°

C



A

D

… (I) … (II)

B

Rpta. 105° Clave C

Resolución: Tema: Circunferencia

Pregunta 26

Recuerda que:

En un triángulo ABC, D es un punto medio de AB y E es un punto de BC , tal que DE // AC . Si P y Q son los puntos medios de AE y DC , respectivamente, y PQ = 6 cm, halla AC.



UNMSM 2011 - II

A) 16 cm D) 24 cm

B) 28 cm E) 18 cm

C) 22 cm

En el ángulo exterior determinado por dos tangentes. x



P

Se cumple: x + α = 180º

α



(P y Q son puntos de tangencia)

Q

Resolución:

Análisis y procedimiento

Tema: Cuadriláteros

! Nos piden la medida del arco ADB = mADB = x.

Análisis y procedimiento

Datos: m+ACB = 60°, A y B son puntos de tangencia. C

Piden AC.

B

60°

A

,

, m

D a n m

D P

A

6

Q

2a

B n C

Entonces, por el teorema de la base media en el triángulo ABC tenemos: DE = AC = a 2 Por dato, tenemos que P y Q son puntos medios de las diagonales AE y DC del trapecio respectivamente; además PQ = 6. Entonces, por teorema: Pero AC = 2a ` AC = 24

De la observación inicial, se cumple que: ! m+ACB + mADB = 180° 60° + x = 180° ` x = 120° Rpta. 120° Clave C

Pregunta 28 En la figura, halla a + b.

6 = 2a - a 2 a = 12

C

D β A Rpta. 24 cm Clave D

2.° de Secundaria

x

E

Como AD = DB y DE // AC

8

A) 60° B) 75° C) 120° D) 90° E) 105°

20°

70° 150° B E

UNMSM 2013 -I

A) 70° D) 60°

B) 90° E) 100°

C) 80°

e d s a i t n m d u a rP eg exámenes de Resolución:

Resolución:

Tema: Triángulos

Tema: Triángulos rectángulos notables

Recuerda:

Análisis y procedimiento

Suma de las medidas de los ángulos interiores:

Nos piden CE. Datos: AC = 4 ; BE = 1 m y AD = 6 m BC 3

β

B

α

E

α + β + θ = 180º

θ

β = 37°

Medida del ángulo exterior en función de 2 ángulos internos:

β = 37°

A x

3a

4k

β α

1m

D

6m

x = α+β

C

3k 4a

Del dato, AC = 4 , entonces AC = 4a y BC = 3a. BC 3 ABC notable 37° y 53°, entonces b = 37°.

Se observa:

Análisis y procedimiento Nos piden a + b.

Luego, el

C

DCE notable 37° y 53°, entonces CD = 3k y CE = 4k.

Como 3a = 4k + 1 y 4a = 3k + 6, dividimos las expresiones:

α

3 = 4k + 1 4 3k + 6

D β A

20°

k=2

Finalmente CE = 4(2)

70° 150° B E



` CE = 8 m

Rpta. 8 m

Por teoremas previos:

Clave C

• En el TABC: 20° + 150° + a = 180° a = 10°

Pregunta 30

• En el TADE: 70° = b + 20° b = 50° ` a + b = 60°

Rpta. 60°

En la figura, se tiene una semicircunferencia con diámetro BF, donde D es un punto de tangencia. Si AD = 3 cm, EC = 2 cm, calcula AC (en cm). B

Clave D

Pregunta 29 En la figura, AC = 4 , BE = 1 m y AD = 6 m. BC 3 Halla CE.

F A

B

D

E

C

UNI 2010 - II

E

A) 6,0 D) 7,2

β

B) 6,4 E) 7,6

C) 6,8

Resolución: Tema: Semejanza de triángulos A

β D

C

UNMSM 2014 - I

A) 9 m D) 7 m

B) 10 m E) 6 m

C) 8 m

Análisis y procedimiento Piden: DE = , Al tener los puntos de tangencia B, F y D, se cumple que: AD = AB = 3 DE = EF = ,

Preguntas de exámenes de admisión

9

e d s a s i t n m d u a rP eg exámenes de En el TABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ. & AM = MQ = BM = 6 El TMBC es isósceles, por lo tanto, x = 6.

B

3

Rpta. 6

F

Clave D

´

A

D

3

´

C

E

Pregunta 32

2

En la figura, el triángulo ABC recto en B, BH es la altura, BD es la bisectriz del ángulo ABH y BE es la bisectriz del ángulo HBC. Si AB = 7 u y BC = 24 u. Calcula el valor del segmento DE (en u).

Luego: ABC a EFC 3 = , 5+, 2 6 = ,(5 + ,) . . 1 1



UNI 2013-II

B

Entonces: , = 1 ` DE = 1 Rpta. 6,0 Clave A

A C D

H

E

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9

Resolución:

Pregunta 31 En un triángulo ABC se tiene que m+C = 2m+A. Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B (P exterior a AB ). Si m+PAB = 1 m+C y AP = 12 u, determina el valor de BC (en u). 2 UNI 2012-Il

A) 3 D) 6

B) 4 E) 8

Tema: Líneas notables Recuerda algunos de los triángulos pitagóricos. 13

5

C) 5

25

7

12

24

Análisis y procedimiento Nos piden DE = x.

Resolución:

B

Tema: Aplicaciones de la congruencia Recuerda el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.

αα

B

θ

θ

7 m

A m

m

θ + 2α

α + 2θ

2θ D 1

Análisis y procedimiento Piden BC. Sea: BC = x Dato: AP = 12

A

C

M

H

2α E

x

C

24

Datos AB = 7, BC = 24 & AC = 25 Como BD y BE son bisectrices, entonces el TABE y el TBCD son isósceles (AB = AE).

P

Luego:

x+1=7 `  x = 6 Rpta. 6

B

12

Clave C

Pregunta 33

α 6 α A

En la circunferencia de radio R de la figura, determina el ángulo a de modo que , = R.

x 2α 2α

α 6

M 12

6

C

Q

Se prolongan AC y PB hasta Q. En el TAPQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el TPAQ es isósceles. & AP = AQ = 12

10

2.° de Secundaria

UNI 2014 - II

B α

A ,



C

A) 15º B) 18º C) 30º D) 36º E) 45º

e d s a i t n m d u a rP eg exámenes de Resolución:

Resolución:

Tema: Circunferencia

Tema: Triángulos

Análisis y procedimiento

Análisis y procedimiento

B

α

R 60°

A

& c-a=1

,=R

60°

c

x

R

60°

C C

B

a

Aplicamos el teorema de Pitágoras: x2 + a2 = c2

Dato: AC = , = R

x2 = c2 - a2

Piden a.

! Si AC = , = R & mAC = 60° Por ángulo inscrito:

A

Datos: c=a+1

x2 = _c - a i_c + a i S 1 ` x2 = c + a

! a = mAC = 60º = 30º 2 2

Rpta. c + a Clave B

Rpta. 30º Clave C

Pregunta 36 La figura muestra un triángulo equilátero ABC, donde DE // AC y:

Pregunta 34

AF = BE = 1 AB BC 3

¿Para qué valor de x, las rectas L1 y L2 serán paralelas? 2

x + 120 12(8 - x)

Calcula la medida del ángulo x.

L1

B L2



D

UNFV 2012 - I

A) 5,92 D) 5,14

B) 6,09 E) 8

PUCP 2013-I

C) 6



E

A) 60º



B) 30º

F

C) 37º



D) 25º

x

A

E) 40º

C

Resolución: B

Tema: Líneas y segmentos

Resolución:

Análisis y procedimiento

Tema: Triángulos

Si L1 y L2 & x2 + 120 + 12(8 - x) = 180°

Análisis y procedimiento



x + 120 + 96 - 12x = 180°



2

x - 12x + 36 = 0 (x - 6)2 = 0 ` x=6 Rpta. 6 Clave C

Pregunta 35 En un triángulo rectángulo un cateto “a” y la hipotenusa “c” son enteros consecutivos, ¿cuál es el cuadrado del segundo cateto?

A) c - a D) 2a + c

UNFV 2013

B) c + a E) 2c - a

3m m

Por la proporción: Si AF = m & AB = 3m

2



m 60°

C) ca

DABC por ser equilátero, entonces: DB = BE = DE

D 60° 60° m 120°

m E

x

2m

F m

C

A

Además: AB = BC = 3m Por el dato de la proporción: BC = 3m & BE = m De la figura: BE = DB = m & DA = 2m & FD = m TFDE es isósceles: x = 30° Rpta. 30° Clave B

Preguntas de exámenes de admisión

11

e d s a s i t n m d u a rP eg exámenes de Trigonometría

Resolución:

Tema: Identidades trigonométricas del ángulo doble

Pregunta 37

En la figura, CB = 4 cm, M es punto medio de AB , CM = MB y AB = 2 6 cm. Halla cosa. C

• 2sen2q = 1 - cos2q

• 2cos2q = 1 + cos2q

• sen2q = 2senqcosq Análisis y procedimiento Piden simplificar: E = 1 - cos 2θ + sen2θ 1 + cos 2θ + sen2θ

A

Por identidades del ángulo doble:

α

B

M



UNMSM 2010-II

2 B) 3 C) 3 3 3 2 2 2 2 D) E) 3 2

A)



2senθ _senθ + cos θ i 2 cos θ _cos θ + senθ i Simplificando tenemos: E = senθ cos θ ` E = tanq

Resolución: Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

2 E = 2sen 2 θ + 2senθ cos θ 2 cos θ + 2senθ cos θ

E=

Rpta. tanq

Propiedad: Si x + y = 90°, entonces, cosx = seny.

Clave C

Análisis y procedimiento

Pregunta 39

Piden cosa.

Si cosa = m , donde |m| ! |n|, halla el valor de: n K = (cota + csca)(tana - sena)

C 2

θ



L

A

2

2θ M

6

θ 6

B

2 2 2 2 D) m - n E) n - m

mn

Resolución:

Se traza la altura ML: & CL = LB = 2

• tanqcotq = 1 • tanq = senθ cos θ

2

_ML i + 2 = _ 6 i & ML = 2 Se observa que: a + 2q = 90° Entonces: cosa = sen2q cosa = 2senqcosq

Dato: cosa = m ; |m| ! |n| n K = (cota + csca)(tana - sena) K = cotatana - cotasena + cscatana - cscasena

` cosa = 2 2 3

Rpta. 2 2

3

Clave D

Pregunta 38 Si 0 < q < π , simplifica la expresión: 4 E = 1 - cos 2θ + sen2θ 1 + cos 2θ + sen2θ

12

1 cos θ • senqcscq = 1

• secq =

Análisis y procedimiento

cosa = 2 f 2 pd 2 n 6 6

A) cotq D) cosq

mn

Tema: Identidades trigonométricas fundamentales

 MLB (teorema de Pitágoras): 2

mn

n

m

M es punto medio de AB & AM = MB = 6 CM = MB & m+MCB = m+CBM = q

2

2

2 A) n 2 - 1 B) m2 - 1 C) m - 1

2 α

UNMSM 2012-II 2

B) senq E) tan2q

2.° de Secundaria

UNMSM 2011-II

C) tanq

K = 1 - b cos α l senα + 1 b senα l - 1 senα senα cos α K = -cosa + seca Reemplazamos el dato: K = - m + n = n - m n m m n 2 2 ` K = n - m mn

2 2 Rpta. n - m

mn

Clave E

e d s a i t n m d u a rP eg exámenes de Pregunta 40

Resolución:

Se tiene el triángulo rectángulo BAC que es recto en A. Si CQ = a cm, AB = b cm; halla el valor de a . b

Tema: Funciones trigonométricas

C

-1 # senx # 1 ; x ! R

Análisis y procedimiento f(x) = (2 + senx)(2 - senx) Aplicamos diferencia de cuadrados: f(x) = 4 - sen2x

Q

45° 30°

A

B



UNMSM 2013-I

A) 1 _3 - 3 i B) 1 _3 + 3 i C) 1 _6 - 3 i 3 3 1 1 D) _6 + 3 i E) 3 3 3

3

Si x ! R & -1 # senx # 1 0 # sen2x # 1 0 $ -sen2x $ -1   4 $ 4 - sen2x $ 3 4$ f(x)    $ 3 3 #  f(x)   # 4 ` f(x) ! [3; 4] Rpta. [3; 4] Clave C

Resolución: Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Pregunta 42 Sea:

n

60°

2n

n

45°

n 2

30°

n 3

n

Entonces podemos afirmar que: UNI 2011-I

45°

A) A es una circunferencia. B) A es un segmento de recta. C) A es una semielipse. D) A es una recta. E) A es un segmento de parábola.

Análisis y procedimiento C a

a/2

30° a 3/2 a 3/2





Resolución:

Q

Tema: Ecuación paramétrica de la recta Recuerda: sen2 θ + cos2 θ = 1

45° 30°

A

B

b

Análisis y procedimiento

a _1 + 3 i tan30° = 2 b a = 2 tan 30º b 3 +1 a b a b a b a b

Sea:

A = {(x; y) ! R2 / x = cos2t; y = sen2t; t ! R} 2

x = cos t y = sen2t

… (I) … (II)

Donde 0 # x # 1 / 0 # y # 1

= 2 tan 30º f 3 - 1 p 3 +1 3 -1

Sumamos (I) y (II): x + y = 1

= tan 30º _ 3 - 1 i 3 _ 3 - 1i 3 = 1 _3 - 3 i 3

A = {(x; y) ! R2 / x = cos2t; y = sen2t; t ! R}

Se tiene la ecuación de un segmento de recta debido a que x e y están acotados.

=

Rpta. A es un segmento de recta. Rpta. 1 _3 -

3

Clave B

3i

Clave A

Pregunta 41 Determina el rango de la función: f(x) = (2 + senx)(2 - senx), x ! R

Pregunta 43 Una escalera se encuentra apoyada en una pared haciendo un ángulo de 45°. Se resbala, la parte inferior se desliza 8 - 5 2 m de su posición inicial y el nuevo ángulo que forma con la pared es 53°. ¿Cuántos metros mide la escalera? UNI 2012-II

UNMSM 2014-I

A) [2; 4] D) [1; 9]

B) [1; 3] E) [1; 4]

C) [3; 4]

A) 8 D) 14

B) 10 E) 16

C) 12

Preguntas de exámenes de admisión

13

e d s a s i t n m d u a rP eg exámenes de Resolución:

Reemplazamos (I) y (II) en la expresión:

Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo

2 2 E = 1 + sec x - tan x 2 - cos x + cos x E = 1 + 1 2 ` E = 1

Triángulos rectángulos notables 45°

k

k 2

53° 3k

5k

Rpta. 1 Clave D

45°

37°

k

Pregunta 45

4k

Si tan2a = 2tan2x + 1, halla el valor de y = cos2a + sen2x.

Análisis y procedimiento Sea AB la longitud de la escalera.

UNI 2014-I

A

2

A) sen a D) tan2a

A'

8-5 2 B

C) 1 + sen2a

Tema: Identidades trigonométricas fundamentales • sec2q = 1 + tan2q • secq = 1 cos θ • sen2q = 1 - cos2q

M

4k - 8 + 5 2 4k

B) cos a E) 1 + cos2a

Resolución: 3k

B'

2

Análisis y procedimiento

Si A'M = 3k, entonces B'M = 4k y A'B' = 5k.

tan2a = 2tan2x + 1 1 + tan2a = 2(tan2x + 1) sec2a = 2sec2x 1 = 22 cos2 α cos x cos2x = 2cos2a

Se observa que AB = A'B'.

_4k - 8 + 5 2 i 2 = 5k 4 2 k - 8 2 + 10 = 5k 10 - 8 2 = 5k - 4 2 k 2 _5 - 4 2 i = k _5 - 4 2 i k=2 ` AB = 5k = 5(2) = 10 Rpta. 10 Clave B

Pregunta 44

Nos piden: y = cos2a + sen2x y = cos2a + 1 - cos2x y = cos2a + 1 - (2cos2a) y = 1 - cos2a y = sen2a Rpta. sen2a

Si secx = csc2q - cot2q, determina:

Clave A

2 2 E = sec θ - tan x 2 - cot θ + cos x

A) -1 D) 1

B) 0 E) 3/2

UNI 2013-I

C) 1/2

Resolución: Tema: Identidades trigonométricas de arco doble • tan b x l = cscx - cotx 2 • sec2x = 1 + tan2x Análisis y procedimiento De la condición: secx = csc2q - cot2q secx = tanq … (I) cosx = cotq … (II) Nos piden E: 2 2 E = sec θ - tan x 2 - cot θ + cos x 2 2 1 E = + tan θ - tan x 2 - cot θ + cos x

14

2.° de Secundaria

Pregunta 46 Si se cumple que cos(x - y) = 3senxseny, calcula tanxtany.

A) -2 B) -1/2 D) 1 E) 2

UNFV 2010

C) 1/2

Resolución: Tema: Arco compuesto Recuerda: cos(x - y) = cosxcosy + senxseny Análisis y procedimiento Al desarrollar cos(x - y) en la igualdad obtenemos: cos(x - y) = 3senxseny  cosxcosy + senxseny = 3senxseny      cosxcosy = 2senxseny 1 = senxseny 2 cos xcosy ` 1 = tanxtany 2

Rpta. 1/2 Clave C

e d s a i t n m d u a rP eg exámenes de Pregunta 47

Pregunta 48

Si: senx = cosx b a

En la figura, EF = 2 cm. Halla BC.

D

Calcula: R = acos2x + bsen2x

C



UNFV 2011

A) a2/2 D) a

B) a2 E) b

B

C) b2

Recuerda: cos2x = 1 - 2sen2x    sen2x = 2senxcosx

A) 2cosa cm D) 2tana cm

Análisis y procedimiento

Resolución:

senx = cosx b a

B) 2cota cm E) 2seca cm

Recuerda: … (I)

α x

Nos piden: R = acos2x + bsen2x

x = acot α a

Por identidad de arco doble sabemos: R = a(1 - 2sen2x) + b(2senxcosx)

Análisis y procedimiento

De (I) tenemos:

Dato: EF = 2 cm Piden: BC = x

R = a >1 - 2 d bcosx n H + b >2 d bcosx n cos x H a a 2

D

2 R = a