• Author / Uploaded
• Adrian Mendoza

Citation preview

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Cómputo Alfredo Rangel Guzmán Examen de Cálculo 3er parcial

Alumno: ________________________________________ Calificación: ________ Grupo: ______________ Fecha: __________

1. Calcule la siguiente integral mediante el método de suma de Riemann 0

� 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 −2

2. Evalué las siguientes integrales: 𝑥𝑥 3 +4

1) ∫ 𝑥𝑥 2 +4 𝑑𝑑𝑑𝑑 2) ∫

√𝑥𝑥+4 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 𝑥𝑥

3) ∫ 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 √𝑥𝑥 +4 4) ∫ 5)

𝑑𝑑𝑑𝑑

√𝑥𝑥(1+𝑥𝑥) 1 ∫0 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 𝑥𝑥

3. Rescate � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑

0

1. ∫−2 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0

0

0

∫−2(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫−2 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫−2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 0 �−2

𝑥𝑥 3 3

0 + �−2

𝑥𝑥 3 3

=0

(−2)3 3

+0−

𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 0 − (−2) 2 = = 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1) � 𝑖𝑖 = 2 ∆𝑥𝑥 = 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

2

2

8

= −2= 3

𝟐𝟐 𝟑𝟑

𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)(2𝑛𝑛 + 1) 6

� 𝑖𝑖 2 = 𝑖𝑖=1 0

(−2)2

𝑛𝑛

� (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 )𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim � 𝑓𝑓(𝑎𝑎 + 𝑖𝑖∆𝑥𝑥)∆𝑥𝑥 −2

|∆|→0

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 2

2 2 2 = lim � ��−2 + 𝑖𝑖� + �−2 + 𝑖𝑖�� 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

4 2 2 8 = lim � ��4 − 𝑖𝑖 + 2 𝑖𝑖 2 − 2 + 𝑖𝑖�� 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛

= lim � ��2 + 𝑛𝑛→∞

𝑖𝑖=1

𝑛𝑛

2 2 4 2 8 𝑖𝑖 − 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖�� 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛2 𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 2

𝑖𝑖=1

4 6 2 = lim �2 � 1 + 2 � 𝑖𝑖 2 − � 𝑖𝑖 � 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑛𝑛

= lim � 𝑛𝑛→∞

𝑖𝑖=1

12 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛 4𝑛𝑛 8 𝑛𝑛(2𝑛𝑛 + 𝑛𝑛 + 2𝑛𝑛 + 1) + 3� �− 2� �� 6 𝑛𝑛 2 𝑛𝑛 𝑛𝑛

8 (2𝑛𝑛3 + 3𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛) 12𝑛𝑛2 12𝑛𝑛 � � − − 2� 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛2 𝑛𝑛3 6 2𝑛𝑛 3 2 16𝑛𝑛 24𝑛𝑛 8𝑛𝑛 6 = lim �4 + + − − 6 − � 𝑛𝑛→∞ 6𝑛𝑛3 6𝑛𝑛3 𝑛𝑛3 𝑛𝑛 8 4 8 6 8 = lim �−2 + + + 2 − � = −2 + 𝑛𝑛→∞ 𝑛𝑛 3 𝑛𝑛 𝑛𝑛 3 𝟐𝟐 8 = −2= 𝟑𝟑 3 = lim �4 +

𝑥𝑥 3 +4

2. ∫ 2 +4 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑥𝑥 2 + 4 𝑥𝑥 3 + 4 −𝑥𝑥 3 − 4𝑥𝑥 -------------4x+4 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − 4 � 2 + 4� 2 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 + 4 𝑥𝑥 2 1 𝑥𝑥 = − 2 ln|𝑥𝑥 2 + 4| + 4 arctan + 𝑐𝑐 2 𝑥𝑥 2

2

𝑥𝑥

𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 2 + 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 2

2

= 2 − 2 ln|𝑥𝑥 2 + 4| + 2 arctan 2 + 𝑐𝑐 𝑥𝑥+4

3. ∫ √ 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑢𝑢2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢2 − 4 𝑢𝑢2 − 4 + 4 2� 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢2 − 4 𝑢𝑢2 − 4 4 2� 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢 − 4 𝑢𝑢 − 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 4 � (𝑢𝑢 + 2)(𝑢𝑢 − 2) 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 2 �𝑢𝑢 + 4 � (𝑢𝑢 + 2)(𝑢𝑢 − 2) 2�

1 𝐴𝐴 𝐵𝐵 = + (𝑢𝑢 + 2)(𝑢𝑢 − 2) (𝑢𝑢 + 2) (𝑢𝑢 − 2) 1 = 𝐴𝐴(𝑢𝑢 − 2) + 𝐵𝐵(𝑢𝑢 + 2) Cuando 𝑢𝑢 = 2

1 = 𝐵𝐵(2 + 2) 1 = 4𝐵𝐵 𝐵𝐵 =

1 4

Cuando 𝑢𝑢 = −2

1 = 𝐴𝐴(−2 − 2) 1 = −4𝐴𝐴

𝑢𝑢 = √𝑥𝑥 + 4 𝑢𝑢2 = 𝑥𝑥 + 4 𝑢𝑢2 − 4 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢

𝐴𝐴 = −

1 4

1 1 −4 𝑑𝑑𝑑𝑑 4 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 � = �� + (𝑢𝑢 + 2) (𝑢𝑢 − 2) (𝑢𝑢 + 2)(𝑢𝑢 − 2) Sea 𝑤𝑤 = 𝑢𝑢 + 2

1 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � + � 4 (𝑢𝑢 + 2) 4 (𝑢𝑢 − 2)

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑢𝑢

Sea 𝑚𝑚 = 𝑢𝑢 − 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑢𝑢

1 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � + � 4 𝑤𝑤 4 𝑚𝑚 1 1 − ln 𝑤𝑤 + ln 𝑚𝑚 4 4

1 1 − ln(𝑢𝑢 + 2) + ln(𝑢𝑢 − 2) 4 4 �

1 𝑢𝑢 − 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 [ln(𝑢𝑢 − 2) − ln(𝑢𝑢 + 2)] = ln � � = (𝑢𝑢 + 2)(𝑢𝑢 − 2) 4 4 𝑢𝑢 + 2

2 �𝑢𝑢 + 4 �

𝑢𝑢 − 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 � = 2 �𝑢𝑢 + 4 � ln � ��� + 𝐶𝐶 (𝑢𝑢 + 2)(𝑢𝑢 − 2) 𝑢𝑢 + 2 4

𝑥𝑥

4. ∫ √𝑥𝑥 2+4 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑈𝑈 = 𝑥𝑥 2 + 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

1 𝑑𝑑𝑑𝑑 � = √𝑢𝑢 + 𝑐𝑐 2 √𝑢𝑢 =√𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒 + 𝒄𝒄

5. ∫

𝑑𝑑𝑑𝑑 √𝑥𝑥(1+𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑

1

𝑑𝑑𝑑𝑑

∫ √𝑥𝑥(1+𝑥𝑥) = ∫ 𝑢𝑢(𝑢𝑢2 +1) (2𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢) = 2 ∫ 𝑢𝑢2 +1 = 2 arctan(𝑢𝑢) + 𝐶𝐶 = 2arctan(√𝑥𝑥) + 𝐶𝐶 𝑢𝑢 = √𝑥𝑥 𝑢𝑢2 = 𝑥𝑥

2𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

1

6. ∫0 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 1

𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

∫0 arctan(𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = xarctan 𝑥𝑥 − ∫ 1+𝑥𝑥2 1

= xarctan 𝑥𝑥 − ∫ 2

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢

1

= 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 − ln|1 + x 2 | + 𝑐𝑐 2

1 1 1 1 𝜋𝜋 arctan(1) − ln|2| − 0[arctan(0)] − ln|1| � = − ln(22 ) 2 2 0 4

𝑢𝑢 = arctan(𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢 = 1 + 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 =

1

1+𝑥𝑥 2

𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 2

𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

Rescate � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑

= � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛3 𝑥𝑥 cos 2 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑

= � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛3 𝑥𝑥 (1 − sen2 𝑥𝑥) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑢𝑢3 (1 − u2 ) 𝑑𝑑𝑑𝑑

= � 𝑢𝑢3 −u5 𝑑𝑑𝑑𝑑

= � 𝑢𝑢3 𝑑𝑑𝑑𝑑 − � 𝑢𝑢5 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢4

=4 − =

𝑢𝑢6

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛4 𝑥𝑥 4

6

−

+ 𝑐𝑐

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛6 𝑥𝑥 6

+ 𝑐𝑐

Autor; Bryan luz Martínez

Asignatura: Cálculo

𝑢𝑢 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐