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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS UNIVERSIDAD DEL PERÚ, DECANA DE AMÉRICA VICERRECTORADO ACADÉMICO DE PREGRADO ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES

EVALUACIÓN

EXAMEN FINAL

CURSO

CALCULO I Mg. NOLAN JARA JARA

COORDINADOR AREA ACADÉMICA

INGENIERÍA

AÑO ACADÉMICO SECCIÓN DURACIÓN SEMESTRE

2018 Todas 100 minutos 2018-I

Instrucciones al estudiante:  Está prohibido el uso de celular durante el examen  No se permite el uso de ningún material ajeno al que se entrega o permite en el examen  Los exámenes que utilizan lápiz y/o liquid paper no tienen derecho a reclamo.

1

2 1. Sea 𝑓(𝑥 ) = { 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 0 𝑠𝑖 𝑥 = 0 Determine: f´(x) con su respectivo dominio, La ecuación de la recta tangente en x=0. Solución 1 1 𝑓 `(𝑥 ) = {2𝑥𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ) − 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 ) ; 𝑥 ≠ 0 0; 𝑥=0 1 𝑥²𝑠𝑒𝑛 (𝑥 ) 𝑓(𝑥 ) − 𝑓(0) 1 𝑓 `(0) = lim = lim = lim 𝑥𝑠𝑒𝑛 ( ) = 0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥−0 𝑥 𝑥 1 𝑠𝑒𝑛 ( ) … 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑥

3  ,1 y es tangente a la gráfica de 2 

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto  f(x) = x2 + 2x + 2, Graficar. Solución

(a2 + 2a + 2) − 1 3 ( ) ( ) 𝐿𝑇: 𝑦 − 1 = 𝑓 ` 𝑎 (𝑥 − ) ; 𝑚 = 𝑓 ` 𝑎 → = 2𝑎 + 2 → 3 2 𝑎−2 a2 + 2a + 1 = 𝑎 + 1 → a2 + 2a + 1 = 2a2 − a − 3 → a2 − 3a − 4 = 0 → a = {−1,4} 2𝑎 − 3 3 𝑓 `(−1) = 0 → 𝐿𝑇1: 𝑦 − 1 = 0; 𝑓 `(4) = 10 → 𝐿𝑇2: 𝑦 − 1 = 10 (𝑥 − ) 2

x2 . Mostrando: los intervalos donde la función es creciente, x2 decreciente, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo. Los valores extremos relativos y los puntos de inflexión. Solución.

3. Trace la gráfica de f (x) =

𝐷𝑜𝑚(𝑓 ): 𝑥 ≠ −2; 𝑓 `(𝑥 ) =

𝑥 (𝑥 + 4) 8 ( ) ; 𝑓 `` 𝑥 = (𝑥 + 2)2 (𝑥 + 2)3

𝑥(𝑥 + 4) = 0 ↔ 𝑥 = {−4,0} … 𝑃𝐶 (𝑥 + 2)² 𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑒𝑛 ]−∞, −4] ∪ [0, ∞[ 𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑒𝑛 [−4, −2[ ∪ ]−2,0] ( ) 𝑓 `` −4 < 0 → 𝑀 = (−4, −8) … 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑓 ``(0) > 0 → 𝑚 = (0,0) … 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑛 ]−∞, −2[ 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎𝑜 𝑒𝑛 ]−2, ∞[ 𝑓 `(𝑥 ) = 0 ↔

4. Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto con velocidad constante. Uno viaja hacia el sur a 60 km/h y el otro hacia al oeste a 25 km/h ¿Con que razón aumenta la distancia entre los dos automóviles dos horas más tarde? Solución X(t)=25t O

Y(t)=60t Z(t)

S 𝑧 = √(25𝑡)2 + (60𝑡)2 = 5(13𝑡) → 𝑧 `(𝑡) = 65 → 𝑧 `(2) = 65𝑘𝑚/ℎ 5. Dos postes de 12 m y 18 m de altura distan entre si 30 m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos con los extremos de estos. ¿Dónde hay que situar los puntos del suelo para que la longitud total del cable Sea mínima? Solución

√(30 − 𝑥 )2 + 324 √𝑥 2 + 144

18

12 x

30-x

𝐿(𝑥 ) = √𝑥 2 + 144 + √(30 − 𝑥 )2 + 324 𝐿`(𝑥 ) =

𝑥 √𝑥 2 + 144

+

𝑥 − 30 √(30 − 𝑥 )2 + 324

+

FECHA

Ciudad Universitaria, 23 de julio del 2018

= 0 ↔ 𝑥 = 12