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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

TEXTO DE ESTADÍSTICA II PARA CIENCIAS EMPRESARIALES Autores: Ing. Mgr. Carlos Valdivieso T. Jefe de Ciencias Exactas UPB

Lic. Roberto Valdivieso C. Docente UPB

Ing. Oscar Valdivieso T. Docente UPB Cochabamba – Bolivia Año 2003

ANEXO DE TABLAS ESTADÍSTICAS Tabla I:

Distribución Binomial Acumulada

Tabla II:

Distribución de Poisson Acumulada

Tabla III:

Distribución Normal Estándar Acumulada

Tabla IV:

Distribución Normal Estándar de Cola Superior

Tabla V:

Números Aleatorios

Tabla VI:

Distribución t de Student

Tabla VII: Distribución Chi-Cuadrada Tabla VIII: Distribución F de Fisher Tabla IX:

Valores Críticos de U en la Prueba de Mann-Whitney

ANEXOS 1. Distribuciones de Densidad 2. Trabajo de Aplicación Final

PRÓLOGO Este texto ha sido escrito por la necesidad de contar con un texto práctico, que ayude a los estudiantes a entender de manera clara los conceptos, procedimientos, cálculos, objetivos y finalidad de la Estadística Inferencial, en cualquier área de preparación en la que se encuentren. Su cualidad es presentar una estructura adecuada para abordar esta parte de la Estadística, de manera que las distintas partes que la integran se complementen, conforme se avanza en su estudio capítulo por capítulo, de manera precisa y lógica, con el objeto que el estudiante forme un esquema mental que le ayude a aprehender con mayor facilidad. Además, su estructura y función permiten al profesor o docente encargado de enseñarla, hacer un seguimiento total de cada uno de los temas en particular, por las facilidades didácticas que presenta cada uno de sus capítulos, lo que facilita al docente construir un esquema que le permita fluidez en la transmisión de conocimientos hacia los alumnos. Los árboles de decisiones que se incluyen en cada tema, con el objeto que la resolución de problemas inferenciales se practique de manera sencilla, son aportes exclusivos de los autores. Por otro lado, en cada capítulo se han incluido ejercicios de clase, con el fin de que el docente pueda usarlos para realizar su explicación de manera efectiva, y también ejercicios propuestos, para que el estudiante pueda resolverlos en casa, en base a la enseñanza que recibió en el aula. En consecuencia, consideramos que el texto será un auxiliar de gran ayuda al encargado de impartir esta materia, por la capacidad sencilla y escalonada de abordar la Estadística Inferencial y la práctica de resolver sus problemas. Los planteamientos teórico-prácticos son realizados paso por paso, presentando ejemplos ilustrativos y fáciles de comprender. El capítulo 1 introduce al estudiante a las nociones de la inferencia estadística, respondiendo a la pregunta: ¿Cómo se organiza y presenta la información recopilada mediante un experimento aleatorio? El proceso a seguir es: a través de la determinación del espacio muestral, eventos de interés, asignación de probabilidades y formulación de la variable aleatoria, se define la distribución de probabilidades. Luego sigue la pregunta: ¿Cómo se puede resumir la información presentada en distribuciones de probabilidad? Mediante estadígrafos de Tendencia Central (que fijan la posición de la distribución). ¿Cómo se puede caracterizar una distribución? A través de estadígrafos de Tendencia Central y Dispersión (que define la forma de la distribución). Conformada la comprensión de las distribuciones de probabilidades, se desarrolla la Estadística Inferencial de dos variables, por su importancia para generar la imaginación de formular hipótesis y desarrollar la habilidad de cruzar la información elaborada, como respuesta a los objetivos de cualquier tipo de investigación en el proceso de construir el conocimiento. Se incluyen reglas para el cálculo de probabilidades, arboligramas y distribuciones bidimensionales de probabilidades. Una vez que se ha comprendido el concepto de distribución de probabilidades, el capítulo 2 da al lector la manera de formular, ajustar y/o reconocer para una situación empírica, modelos teóricos de distribuciones de probabilidad, tanto discretos como continuos.

En el capítulo 3 se exponen los conceptos fundamentales de los métodos de muestreo y el uso de las distribuciones de muestreo en la inferencia estadística, aplicando el teorema central del límite. Puesto el fundamento de Probabilidades y Distribuciones Muestrales, los capítulos 4 y 5 se dedican a mostrar con detalle los procedimientos para la exploración estadística a través de la Estimación y para establecer supuestos a través de las Pruebas de Hipótesis, todo esto en el mercado de la Estadística Inferencial Paramétrica. El capítulo 6 desarrolla la prueba del Análisis de Varianza, más conocida como ANOVA, con el objeto de introducir al lector en el análisis de experimentos. Una vez comprendida la Estadística Paramétrica, el capítulo 7 presenta las más importantes pruebas de hipótesis no Paramétricas, muy usadas en el campo de la Ingeniería y Ciencias Empresariales, en la experimentación científica y la simulación. El texto que se ofrece nace como fruto de una larga experiencia en la labor docente universitaria, ejercitada en medio de diversos ambientes estudiantiles, unas veces en Economía, Administración, Mercadotecnia, Sociología y Comunicación, otras veces en Ingeniería Industrial, Civil, Producción, Química y Biología, y otras tantas en Derecho, Psicología y Pedagogía, en los cuales los autores han tenido la oportunidad de ofrecer el conocimiento sobre la Estadística existente en muchos libros, el elaborado por su propia experiencia, su personalidad didáctica y el aporte estudiantil, con excelentes resultados para los formados. Esperamos que el texto de Estadística II que presentamos pueda ser de gran ayuda a los estudiosos que tengan interés de usar esta rama científica para el beneficio de su entorno profesional. Los autores

CONTENIDO PRÓLOGO i CONTENIDO iii PARTE I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE PROBABILIDAD 1 CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES 2 1. Introducción 2 2. Experimento Determinístico y Aleatorio 2 3. Características de un Experimento Aleatorio 2 4. Probabilidad 6 5. Variable Aleatoria 8 6. Distribución de Probabilidades 9 7. Estadígrafos de Posición y Dispersión Esperados 13 8. Reglas de Composición para el Cálculo de Probabilidades 22 9. Cálculo de Probabilidades Utilizando Diagrama de Árbol 29 10. Generalización de las reglas para el cálculo de probabilidades 33 11. Distribución Bidimensional de Probabilidades 35 Ejercicios de Clase 39 Ejercicios Propuestos 44 Ejercicios para Examen 48 CAPÍTULO 2. DISTRIBUCIONES TEÓRICAS DE PROBABILIDAD 49 1. Introducción 49 2. Distribuciones Teóricas Discretas de Probabilidad 50 3. Distribuciones Teóricas Continuas de Probabilidad 58 4. Aproximación Normal a la Binomial 63 5. Árbol de Decisión para Elegir la Distribución Teórica Adecuada en la Resolución de Problemas 65 Ejercicios de Clase 67 Ejercicios Propuestos 70 Ejercicios Para Examen 75 PARTE II: MUESTREO 77 CAPÍTULO 3. MÉTODOS Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREO 78 1. Introducción 78 2. Tipos de Muestreo 79 3. Métodos de Muestreo Aleatorio 80 4. Distribuciones de Muestreo 83 5. Teorema Central del Límite 89

iii

6. Tamaño de la Muestra y Error Estándar 90 7. Multiplicador de Población Finita 91 8. Árbol de Decisión para las Aplicaciones de la Distribución Normal 92 9. Errores Sistemáticos en el Muestreo 94 10. Elementos de Importancia en las Encuestas Muestrales 95 Ejercicios de Clase 96 Ejercicios Propuestos 97 Ejercicios para Examen 98 PARTE III: INFERENCIA ESTADÍSTICA 101 CAPÍTULO 4. ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA 103 1. Introducción 103 2. Tipos de Estimaciones 103 3. Criterios de un Buen Estimador 104 4. Estimación por Intervalos 104 5. Árbol de Decisión para la elección del Intervalo de Confianza Adecuado en la Resolución de Problemas 133 Ejercicios de Clase 135 Ejercicios Propuestos 139 Ejercicios para Examen 144 CAPÍTULO 5. PRUEBAS DE HIPÓTESIS 147 1. Introducción 147 2. Conceptos Básicos del Procedimiento de la Prueba de Hipótesis 147 3. Prueba de Significación de Una y Dos Colas 149 4. Pruebas de Hipótesis 149 5. Árbol de Decisión para la Elección de la Prueba de Hipótesis Adecuada en la Resolución de Problemas 165 Ejercicios de Clase 167 Ejercicios Propuestos 171 Ejercicios para Examen 177 CAPÍTULO 6. ANÁLISIS DE VARIANZA 180 1. Introducción 180 2. Suposiciones 180 3. Procedimiento 180 4. ANOVA con un Factor 181 5. ANOVA con dos Factores sin Interacción 185 Ejercicios de Clase 190 Ejercicios Propuestos 191 Ejercicios para Examen 193

iv

CAPÍTULO 7. MÉTODOS NO PARAMÉTRICOS 195 1. Introducción 195 2. Pruebas No Paramétricas 195 3. Ventajas y Desventajas de los Métodos No Paramétricos 195 4. Pruebas Chi-Cuadrada 196 5. Prueba del Signo para Datos Pareados 202 6. Pruebas de Suma de Rangos 207 7. Árbol de Decisión para Elegir la Prueba Paramétrica o No Paramétrica en la Resolución de Problemas 214 Ejercicios de Clase 216 Ejercicios Propuestos 220 Ejercicios para Examen 226 BIBLIOGRAFÍA 229 ANEXOS 231 1. Distribuciones de Densidad 231 2. Trabajo de Aplicación Final 236 ANEXOS DE TABLAS ESTADÍSTICAS 250 I. II. III. IV. V. VI. VII. VIIII. IX.

Distribución Binomial Acumulada 250 Distribución de Poisson Acumulada 257 Distribución Normal Estándar Acumulada 262 Distribución Normal Estándar de Cola Superior 263 Números Aleatorios 264 Distribución t de Student 265 Distribución Chi-Cuadrada 266 Distribución de Fisher 267 Valores Críticos de U en la Prueba de Mann-Whitney 272

v

PARTE I CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE PROBABILIDAD CONCEPTO Una probabilidad es un grado de certeza que se puede obtener de cualquier evento que vaya a ocurrir o que ocurrió, en base a una escala de 0 a 1. Si el evento nunca ocurrirá, se le asigna una probabilidad de 0, caso contrario, si el evento siempre pasará, se le asigna la probabilidad de 1. Dependiendo si es menos o más probable que el suceso se dé, se tendrán probabilidades de 0 a 0.5 o de 0.5 a 1, respectivamente.

DETERMINACIÓN La probabilidad puede ser hallada cuantitativamente de manera histórica, mediante la frecuencia relativa de la repetición del suceso en análisis, o si nunca se dio anteriormente o no se tienen los datos, mediante la división de los casos favorables a que ocurra el evento sobre el número de casos posibles. Sin embargo, existen sucesos en los que por su naturaleza no se puede saber su probabilidad exacta o asignarle un valor específico, por lo cual se procede a realizar un criterio subjetivo o cualitativo, en base a la experiencia, sobre su posibilidad de ocurrencia.

APLICACIÓN El análisis de probabilidades surgió como una manera para predecir los triunfos o derrotas en los juegos de azar. Posteriormente se aplicó en el campo de los seguros de vida. Por su utilidad y versatilidad en ese campo, todas las ramas científicas la adoptaron a sus respectivas necesidades. Es así que las ingenierías la utilizaron para el control de calidad, diseño y análisis de experimentos, pronósticos en la producción y la dirección de operaciones, optimización multivariable, modelación y para decisiones diversas. Las Ciencias Económicas utilizaron la estadística como una metodología de investigación, en el análisis econométrico, investigación de mercados y decisiones gerenciales diversas.

1

CAPÍTULO 1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES 1. INTRODUCCIÓN La teoría de las probabilidades tuvo su origen en los problemas relacionados con los juegos de azar (dados, barajas, etc.). Mas tarde el concepto de probabilidad, convenientemente modificado, se ha aplicado a los seguros y a los problemas de inferencia estadística. Estos últimos poseen numerosas aplicaciones en la física moderna, la biología, la agricultura, la industria, las ciencias sociales y la economía. De aquí que la teoría de las probabilidades tenga hoy gran interés práctico y teórico y constituya una rama importante de la matemática, ingeniería y de las ciencias sociales.

2. CLASES DE EXPERIMENTOS: DETERMINÍSTICO Y ALEATORIO Un experimento es determinístico cuando, conocidas las condiciones en que se produce, los resultados que se obtienen están sujetos a dichas condiciones. En general, este tipo de conclusiones corresponden al campo de la física y química. Por ejemplo: Combinando una molécula de oxígeno (O) con dos de hidrógeno (2H), se obtiene la molécula de agua (H2O) indefectiblemente, si se usa como catalizador una chispa eléctrica. Los datos para una variable pueden obtenerse no solo por un experimento determinístico, sino también mediante experimentos aleatorios. Un experimento aleatorio se define como aquél que se puede producir de manera indefinida, con las mismas condiciones, sin la posibilidad de determinar de antemano el resultado de una prueba, en observación a dichas condiciones. Ejemplo: fabricación de un bien estándar o defectuoso, lanzar una moneda o un dado, observar un nacimiento y ver el sexo, determinar el día en que una máquina va a fallar, etc. En todos estos ejemplos no se puede saber el resultado preciso antes de realizar los experimentos.

3. EXPERIMENTO ALEATORIO 3.1. Características Un experimento aleatorio, tiene las siguientes características. • Se puede repetir de manera indefinida, esto asegura que los resultados sean simétricos y que el elemento del experimento sea homogéneo. • Los resultados del experimento son numerables y registrables. • No es posible determinar el resultado exacto de un experimento aleatorio antes de que ocurra, pero si obtener una lista de los posibles. • Por el principio de la regularidad estadística es posible estimar un resultado cualquiera del experimento cuando este se haya realizado muchas veces.

2

3.2. Espacio muestral Es el conjunto de resultados posibles o imaginables de un experimento aleatorio. Por ejemplo, lanzar un dado genera el siguiente espacio muestral: S = S (1, 2, 3, 4, 5, 6) S = S (x ∈ N / 1 ≤ N ≤ 6)

Por extensión Por comprensión

Los espacios muestrales pueden ser finitos o infinitos. Es finito cuando se trata de un conjunto numerable, como por ejemplo los resultados posibles que existen al elegir un número de la lotería de entre 100000 boletos. Es infinito cuando es continuo no numerable, como por ejemplo los resultados posibles que se pueden dar al elegir una persona de todas las que hay en el mundo.

3.3. Determinación del espacio muestral Dado un experimento aleatorio, los resultados posibles o imaginables a que da lugar dicho experimento pueden determinarse utilizando: • • •

El arboligrama (que es el método más versátil), un cuadro de doble entrada (sólo aplicable en el caso de dos intentos o ensayos), aplicando números combinatorios, permutaciones o variaciones (que tan solo entregan el número de posibles resultados), según el caso del experimento.

Cualquiera de los instrumentos señalados son alternativos, con las restricciones descritas. Ejemplo. Experimento aleatorio con reposición o reemplazo. En el bolsillo de un estudiante hay billetes de 10, 20 y 50 bolivianos. Si se obtienen dos billetes, uno tras otro, elegidos al azar, con reposición. ¿Qué resultados pueden obtenerse? Se pretende determinar el espacio muestral. Resolución. • Se trata de un experimento aleatorio, porque es posible efectuar la extracción de dos billetes, uno tras otro elegidos al azar, de manera permanente y bajo las mismas condiciones, observar los resultados y registrarlos. • Los resultados posibles o imaginables de dicho experimento pueden ser obtenidos mediante un arboligrama. Para construirlo se debe preguntar: ¿cuáles son los posibles billetes que se puede sacar en la primera extracción? La segunda pregunta: habiendo sacado un billete de 10, 20 o 50, ¿qué posibles billetes puedo sacar en la segunda extracción?

3

1a extracción

10 20 50

2a extracción

10

10 20 50

20

10 20 50

50

10 20 50

S = { 10-10 ; 10-20 ; 10-50 ; 20-10 ; 20-20 ; 20-50 ; 50-10 ; 50-20 ; 50-50 } Una segunda forma de obtener el espacio muestral, es empleando un cuadro de doble entrada de la siguiente forma: En las columnas se registran los resultados de la primera extracción y en las filas, los de la segunda extracción. El cuerpo de dicha tabla registra los resultados posibles o imaginables, es decir el espacio muestral: 2

1a

a

10 20 50

10

20

50

10 – 10 20 – 10 50 - 10

10 – 20 20 - 20 50 - 20

10 – 50 20 – 50 50 - 50

Ejemplo. Experimento aleatorio sin reposición o reemplazo. En el bolsillo de un estudiante hay billetes de 10, 20 y 50 bolivianos. Si se obtienen dos billetes, uno tras otro, elegidos al azar, sin reposición. ¿Qué resultados pueden obtenerse? Hallar el espacio muestral. Resolución. • No se trata del mismo experimento aleatorio, porque en este caso se extraen los billetes uno tras otro, pero sin reposición. • Los resultados posibles o imaginables de dicho experimento pueden ser obtenidos mediante un arboligrama. Aquí se realizan las mismas preguntas que en ejemplo anterior. Se observará que basta que una condición del experimento cambie, para que éste tenga otro espacio muestral. 4

1a extracción

2a extracción 20

10 50 10 20 50

10 20 50 10 50 20 S = { 10-20 ; 10-50 ; 20-10 ; 20-50 ; 50-10 ; 50-20 }

También se puede usar un cuadro de doble entrada de la siguiente forma:

2

1a

a

10 20 50

10

20

50

X 20 – 10 50 - 10

10 – 20 X 50 - 20

10 – 50 20 – 50 X

Para ello se han omitido los resultados de la diagonal principal de la tabla.

3.4. Eventos o sucesos aleatorios Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: Si el experimento aleatorio consiste en lanzar al aire una moneda tres veces y observar los resultados conjuntos, un evento puede ser: E1 = obtener tres caras en 3 lanzamientos. E1 = E (c c c) Un evento es un resultado o varios resultados de un espacio muestral en los que se está interesado, con el propósito de estudiarlos o analizar los resultados.

3.5. Clases de eventos a) Sucesos simples y compuestos Los eventos o sucesos aleatorios pueden ser simples o compuestos, según puedan o no descomponerse en otros resultados del experimento. Ejemplo: al lanzar una moneda sale cara o cruz, estos resultados son simples. Al lanzar una moneda 2 veces: cs, cc o ss, son eventos compuestos. 5

b) Sucesos ciertos e imposibles Un suceso es cierto cuando los resultados que se obtienen cumplen las condiciones del experimento. Ejemplo: al lanzar una moneda, los sucesos ciertos son cara o cruz. El suceso imposible se da cuando el resultado del experimento no cumple las condiciones esperadas. Ejemplo: cuando la moneda cae de perfil. c) Sucesos mutuamente excluyentes o no. Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos excluye la aparición de los otros. Ejemplo: al lanzar un dado la aparición de 5 excluye la aparición de 1, 2, 3, 4 y 6. d) Sucesos igualmente posibles o no. Dos o más eventos son igualmente posibles cuando ninguno tiene mayor posibilidad de ocurrencia que el otro. Ejemplo: al lanzar una moneda hay la misma posibilidad que salga cara o sello si ésta está bien hecha. Las monedas “cargadas” dan la posibilidad a sucesos que no son igualmente posibles. e) Sucesos dependientes e independientes Un suceso es dependiente de otro cuando la ocurrencia de uno afecta al resultado del otro. Ejemplo: si se tiene 3 bolas rojas y una azul en una urna y en la primera extracción se eligió al azar una bola roja, el suceso que se extraiga una bola roja en la segunda extracción es dependiente de la primera. Sin embargo, si la bola roja extraída se repone a la urna, la segunda extracción será independiente de la primera.

4. PROBABILIDAD La probabilidad es una medida del riesgo o de la incertidumbre. Se dice que existe riesgo cuando se conoce el espacio muestral y la probabilidad de aparición de los sucesos. La situación que indica incertidumbre, desconoce la presencia del espacio muestral, la probabilidad de los sucesos o ambos. La probabilidades pueden clasificarse en tres tipos:

4.1. Probabilidad a priori La probabilidad de un suceso simple A, es el número que se determina mediante el cociente de los casos favorables de la ocurrencia del evento y el número de casos posibles.

P (A ) =

n (A ) Número de casos favorables al evento A = n Número de casos posibles

Algunas propiedades que presentan los sucesos, al hablar de sus probabilidades son: • La suma de probabilidades de dos sucesos independientes es: P (A U B) = P(A) + P(B) • La suma de probabilidades de dos eventos mutuamente excluyentes es: P(A’) = 1 - P(A) 6

• La probabilidad de cualquier evento presenta los siguientes valores: 0 ≤ P(A) ≤ 1 • Cada resultado debe ser igualmente posible. • Se puede determinar la probabilidad de antemano. Ejemplo. Supongamos 3 nacimientos. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan 2 varones nacidos? Resolución. • Determinar el sexo del recién nacido, es un experimento aleatorio porque el experimento se puede repetir de la misma manera y bajo las mismas condiciones y no es posible saber el resultado antes de realizarlo. • Los resultados del experimento cuando se observa el nacimiento uno tras otro, en la determinación del sexo son: 1 2 1 2

H

1 2

M

H

H

M

1 2

H

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

M 1 2

H

1 2

M

H

M M

1 2

1 2 1 2

H M

S=S (HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM) • Calcular la probabilidad del evento E1 de que haya exactamente 2 nacidos hombres. P(E1) = P(HHM, HMH, MHH) = P (HHM) + P (MHH) + P (HMH) Para el análisis de dichas probabilidades es necesario recurrir a eventos simples.

 1  1  1  1 P(HHM) = P(H)P(H)P(M) =     =  2  2  2  8 1 1 1 3 P(E1 ) = + + = 8 8 8 8 La probabilidad de 2 nacidos hombres es de 3 veces en 8 nacimientos, o del 37.5%. Nota: Un problema de probabilidad sin todos estos pasos, no sirve. 7

4.2. Probabilidad a posteriori • Es la frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos. • La fracción de veces que un evento se presenta cuando las condiciones son estables. • Falla cuando los datos son insuficientes. Ejemplo. Según datos históricos se sabe que 20 de 100 taxis sufren choques muy fuertes al año en Cochabamba ¿Cuál es la probabilidad de que se suba a un taxi y se choque? Esta es una probabilidad a posteriori, y se la calcula, mediante la frecuencia relativa:

P(A) =

20 *100 = 20% 100

Existe una probabilidad del 20% de que el taxi al que se subió sufra un choque fuerte.

4.3. Probabilidad subjetiva • Está basada en las creencias de las personas que efectúan la estimación. • Es la probabilidad asignada a un evento por un individuo, basada en la evidencia disponible. • Útil cuando los eventos se presentan una vez o pocas veces. Ejemplo. Un estudiante no realizó ningún esfuerzo en su preparación para rendir su examen de estadística. No fotocopió el texto de la materia, no hizo las prácticas, no estudió los ejercicios resueltos, y no atendió al docente en las clases dirigidas. Por lo tanto, tiene muy pocas probabilidades de pasar el examen.

5. VARIABLE ALEATORIA Es una función que permite transformar puntos del espacio muestral en puntos del conjunto de los números naturales. Puede ser continua o discreta. Ejemplo. Supóngase el espacio muestral del sexo de 3 recién nacidos. S=S(HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM) Corresponde a la situación de observar 3 nacimientos uno tras otro. Si interesa el número de hombres recién nacidos se puede observar la siguiente relación entre la variable definida y el espacio muestral.

8

Casos del espacio muestral MMM MMH, MHM, HMM MHH, HMH, HHM HHH

Valores de la variable aleatoria discreta: (Xi). X1 = 0 X2 = 1 X3 = 2 X4 = 3

=> Los recién nacidos son todos mujeres Significa 1 hombre entre los recién nacidos Significa 2 hombres Significa 3 hombres

Si dentro el espacio muestral, teniendo en cuenta la variable aleatoria definida, se define una función de probabilidades que determine la ocurrencia de los diferentes valores de la variable, se dice que se ha definido en: P(x en A)

6. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Sea un experimento aleatorio que permite definir un espacio muestral, sea x la variable aleatoria y P(x) las probabilidades respectivas. La función de probabilidad se obtiene cuando determinada una variable aleatoria para el espacio muestral se dispone de las probabilidades correspondientes producidas en el experimento aleatorio. En el ejemplo anterior, la distribución de probabilidades es la siguiente: Variable xi x1 = 0 x2 = 1 x3 = 2 x4 = 3

Casos del espacio muestral MMM MMH, MHM, HMM MHH, HMH, HHM HHH

P(xi) 1/8 3/8 3/8 1/8

que corresponde a una distribución de probabilidad para variable aleatoria discreta.

6.1. Función de cuantía a) Propiedades. La distribución de probabilidades, cuando la variable es discreta, se denomina función de cuantía y debe cumplir con: • Cualquier P(x) debe ser un número real. • La suma de las distintas probabilidades de los valores de la variable debe ser 1: n

∑ P(x ) = 1 i

x =1

• En consecuencia, cualquier P(x) debe estar entre 0 ≤ P(x) ≤ 1 para

x = 0, 1, 2, ..., n.

Para determinar si una función es de cuantía debe cumplir con las condiciones anteriores. Para evaluar la segunda condición: “La suma de la función de cuantía en el recorrido de la variable debe sumar la unidad”, es necesario incorporar una variable de trabajo “k”, tal que: • Si k = 1, entonces la función propuesta es de cuantía. • Si k ≠ 1, entonces debe corregirse la función de cuantía en dicha constante. 9

Ejemplo. Sea la siguiente función de cuantía: f(x) = 2x + 1

Para x = 0, 1, 2, 3.

a) Determine si es o no una función de cuantía, si no fuera, entonces corríjala. b) Halle la probabilidad de que x sea menor que 2. c) Halle la función de distribución y verifique el resultado anterior. Resolución. • Se verifica que la función propuesta admite solo valores reales. • Debe cumplir la condición: “La suma de la función de cuantía en el recorrido de la variable debe sumar la unidad". Para verificar esta propiedad se usa una variable constante "k”: 1 = k ∑ (2x+1) = k + 3k + 5k + 7k 1 = 16 k k = 1/16 La función propuesta no es de cuantía porque no cumple la segunda propiedad. Por lo tanto debe modificarse. a) Entonces la nueva función es: P(x) =

2x + 1 para x = 0, 1, 2, 3. 16

b) Se pide P(x 0 si f 1 (x ) > 0

Ejemplo. Suponga que la función de densidad de probabilidad conjunta para las variables no negativas x e y es f (x, y) = xe− x e − y . Halle la probabilidad que 0 ≤ x ≤ 1 y 0≤ y≤2 Resolución: • La integral a resolver es la siguiente:

P(0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2) = ∫

1

∫

2

0 0

xe − x e − y dy dx

• Se resuelve primero la integral interna:

∫

2

0

2

e − y dy = − e− y 0 = −e −2 + 1 = −

1 e2 − 1 + 1 = e2 e2

• Se reemplaza la integral interna y se resuelve la integral externa: 2 1  e2 − 1 1 −x  e2 − 1   −x 1 −x  =  e − 1   − xe − x − e − x  1 xe dx = − xe + e dx  e2  ∫0  e 2   ∫0 0 0   e 2      

 e2 − 1  e 2 − 1   −2   e 2 − 1   e − 2  −1   − 2e + 1 =  e2     e 2   e + 1 =  e 2   e  = 0.2285         Conclusión: La probabilidad conjunta que 0 ≤ x ≤ 1

y

0 ≤ y ≤ 2 es del 22.85%.

Ejemplo. Suponga que x representa el tiempo (en minutos) que una persona pasa con un agente mientras elige una póliza de seguro de vida e y el tiempo que el agente emplea en hacer el papeleo una vez que el cliente se ha decidido. Usted acuerda encontrarse con un agente de seguros para suscribir una póliza de seguro de vida. Si la función de densidad de probabilidad conjunta de x e y es: 37

f (x, y) =

1 − 30x −10y e e 300

Halle la probabilidad de que la operación requiera más de media hora. Resolución. Se quiere hallar: P(x + y > 30) = 1 − P(x + y ≤ 30) Se dibuja la inecuación y se plantea la región de integración:

30

Región:

y = 30 − x

0 ≤ x ≤ 30 0 ≤ y ≤ 30 − x

R 30 Se plantea la integral:

P(x + y ≤ 30) = ∫

30

0

∫

30 − x

0

1 − 30x −10y e e dy dx 300

Se resuelve:

10 30  − 30x −10y  =− e e  300 ∫0  

30− x

0

−30  1 30 − 30x  x10 dx = − ∫ e  e − 1 dx 30 0   30

x x −  30 −  1  30 2x30−90 1  30 2x30−90 30 30 = − ∫ e + 30 e  dx − ∫ e dx  = −  e 0 30  0 30  2  0

=−

1 1 1 + 3 − + 1 = 0.4730 2e 2e e

La probabilidad buscada es:

P(x + y > 30) = 1 − P(x + y ≤ 30) = 1 − 0.4730 = 0.5269 Respuesta: La probabilidad de que la operación completa requiera más de media hora es de 52.69%. Acción: Si usted no tiene disponibilidad de media hora, entonces vuelva a programar su cita para obtener una póliza de seguro de vida. 38

EJERCICIOS DE CLASE Espacio muestral. 1. Dé una lista de los posibles resultados que se consiguen al lanzar dos dados. Dibuje el arboligrama y un cuadro de doble entrada. 2. ¿Cuáles de los siguientes resultados son mutuamente excluyentes en el lanzamiento de dos dados? a) Un total de 5 y un 5 en un dado. b) Un total de 7 y un número par de puntos en ambos dados. c) Un total de 10 puntos y un 4 en un dado. Distribución de cuantía. 3. Como se sabe, la respuesta a una pregunta de verdadero o falso es correcta o incorrecta. Considere que un examen está formado por 3 preguntas de este tipo, y un estudiante no sabe nada sobre el tema. a) Construya la tabla de distribución de cuantía. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda todas las preguntas mal? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda por lo menos una bien? 4. El Ministerio de Informaciones sobre asuntos políticos emite 17 de cada 20 noticias para evitar la disminución de imagen del gobierno que representa. Se seleccionan 3 noticias emitidas por dicho Ministerio al azar. a) Cuál es la probabilidad de que se encuentren 2 noticias que vayan en desmedro de la imagen del gobierno? b) Cuál es la probabilidad de que puedan encontrarse a lo más 2 noticias que cuiden la imagen del gobierno? 5. En Alke se acaba de recibir un embarque de 10 aparatos de TV. Poco después de recibirlos, el fabricante llamó para informar que por descuido habían enviado tres aparatos defectuosos. Se decidió probar dos de éstos. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos esté defectuoso?. 6. Un profesor tiene un conjunto de 15 preguntas de opción múltiple referente a Estadística I. Cuatro de estas preguntas se relacionan con distribuciones de probabilidades. ¿Cuál es la probabilidad que al menos una de estas preguntas sobre distribuciones de probabilidad aparezca en el examen de tres preguntas del próximo lunes? 7. En un día veraniego muy caluroso, 10% de los trabajadores de producción de una empresa están ausentes del trabajo. Se van a seleccionar al azar 4 obreros para un estudio especial a profundidad sobre el ausentismo. a) ¿Cuál es la variable aleatoria en este problema ? b) ¿Tal variable es discreta o continua? ¿Por qué? 39

c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar 4 nombres de trabajadores y descubrir que ninguno está ausente? d) Represente la distribución mediante una gráfica. 8.

Entre los quince solicitantes para tres puestos en un periódico, diez son graduados de universidad. Si las selecciones se hacen al azar. a) Determine la distribución de probabilidad, definiendo la variable como el número de graduados de universidad que solicitan los puestos. b) ¿Cuál es la probabilidad de que los puestos sean cubiertos por menos de 2 graduados de universidad?

9.

Una pastelería ofrece pasteles con decoración especial para cumpleaños, bodas y otras ocasiones. También tiene pasteles normales en su tienda. En la tabla que sigue se proporciona el número total de pasteles vendidos al día y las probabilidades correspondientes. Nº de pasteles Probabilidad vendidos/día 12 0.25 13 0.40 14 0.25 15 0.10 a) Complete la tabla y diga de qué tipo de distribución se trata. b) Realice una gráfica de la distribución. c) ¿Cuántos pasteles venderá al día, si tomamos en cuenta la mayor probabilidad?

Distribución de densidad. 10. Dada la siguiente función:

f(x) = 3 x2 + 5 x + 4.

Para 0 ≤ x ≤ 3

a) Determinar si es o no una función de densidad. Si no es, corregirla. b) Hallar la probabilidad de que x sea menor que 2. c) Hallar la función de distribución y graficarla. d) Hallar todos los estadígrafos de posición y dispersión esperados. e) Realizar los pasos a) hasta d) para el caso de una distribución discreta para x = 0, 1, 2, 3. 11. Se aplica un examen de 3 horas de duración a todos los candidatos al cargo de Administrador de Producción en una Empresa líder en el mercado nacional en la fabricación de sogas y productos plásticos. Se ha descubierto que el tiempo x en horas necesario para efectuar el examen es aleatorio y tiene la siguiente función de densidad: f (x) = − x 2 + 10x para 0 ≤ x ≤ 3 . a) Halle la distribución de densidad. b) Determine la probabilidad que alguien termine la prueba en 2 horas o en menos tiempo. c) Halle los estadígrafos de posición y dispersión esperados. 40

Cálculo de probabilidades en cuadros bidimensionales y arboligramas. 12. Se sabe que el consumo de las personas (y), depende de los ingresos que perciben (x). Para un grupo de 50 personas, se tiene la siguiente información (cientos de bs.): Ingresos 1- 5 5’ - 11 11’ - 15

4 8 2 0

Consumo 9 7 6 5

15 3 9 10

a) ¿Cuál es la probabilidad de consumir 15 bs? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un ingreso entre 1100 y 1500 bs. y su consumo sea de 400 bs? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un ingreso entre 1100 y 1500 bs. dado que su consumo sea de 400 bs? d) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un ingreso entre 1100 y 1500 bs. o su consumo sea de 400 bs? 13. En un programa de entrenamiento para la gerencia de una empresa de cosméticos, 80% de los asistentes son mujeres y 20% son hombres; 90% de las mujeres son egresadas de la Universidad y 78% de los hombres También. a) Se selecciona al azar una de las personas en entrenamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de una mujer que no asistió a la universidad? b) Trace un arboligrama que muestre todas las probabilidades normales o marginales, condicionales y conjuntas. 14. Cada vendedor en una compañía se califica como abajo del promedio, promedio, o arriba del promedio, con respecto a su habilidad para las ventas. Además cada vendedor se clasifica con respecto a sus posibilidades de promoción: Habilidad en ventas Abajo del promedio Promedio Encima del promedio

Posibilidad de promoción Regular Buena Excelente 16 12 22 45 60 45 93 72 135

a) Utilizando una de las reglas para combinar probabilidades, ¿cuál es la probabilidad de que un vendedor seleccionado al azar tenga habilidad de ventas por encima del promedio y excelentes posibilidades de promoción? b) Trace un diagrama de árbol que muestre todas las probabilidades normales, condicionales y conjuntas. En los siguientes ejercicios emplee el teorema de Bayes: 15. Un equipo de béisbol juega 70% de sus partidos por la noche y 30% durante el día. El equipo gana 50% de sus juegos nocturnos y 90% de los diurnos. De acuerdo con el 41

diario del día de hoy ganó ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado por la noche? 16. Una profesora ha estado enseñando Estadística durante muchos años. Sabe que 80% de los estudiantes completan los problemas asignados. Determinó que de los alumnos que hacen las tareas 90% aprobarán el curso. De aquellos estudiantes que no realizan la tarea completa solo 60% aprobarán. Miguel Sánchez tomó Estadística el último semestre con la profesora y tuvo calificación aprobatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que sí haya hecho las tareas? 17. Tan solo el 20 % de las mujeres mayores de 40 años egresadas de la universidad ejercen su profesión, mientras que un 70% de las egresadas menores de 40 también lo hacen. La relación de mujeres profesionales mayores de 40 entre las menores de 40 es de 2 a 6. Francis Morales es Ingeniero Químico y no ejerce su profesión, cual es la probabilidad de que tenga menos de 40 años.(10 puntos). Dibuje el arboligrama con todas las probabilidades marginales, condicionales y conjuntas (10 puntos). Realice un cuadro de contingencias tomando en cuenta que N = 80 y verifique la probabilidad anterior. 18. Una compañía que fabrica tornillos, tiene 3 fábricas: A, B, C. Las fábricas B y C producen el mismo número de tornillos, mientras que A produce el doble de las de B. Por experiencia pasada, se sabe que el 2% de los tornillos producidos por A y B respectivamente son defectuosos, en tanto que el 4% de los fabricados por C son defectuosos. Los tornillos producidos por las tres fábricas se guardan en un mismo lugar. a) Dibuje un arboligrama, con todas las probabilidades. b) Si se escoge aleatoriamente un tornillo del almacén, ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tornillo defectuoso escogido haya sido producido en la fábrica A?. 19. Un grupo de investigación independiente ha estado estudiando las probabilidades de que suceda un accidente en una planta de energía nuclear que produzca como resultado una fuga radiactiva. El grupo considera que los únicos tipos posibles de accidentes que pueden suceder en un reactor son incendio, falla de material y error humano, y que dos o más accidentes nunca se presentan juntos. Ha llevado a cabo estudios que indican que si se desatara un incendio, habría 20% de posibilidades de que hubiera una fuga de radiación; si hubiese una falla mecánica, habría 50% de probabilidades de fuga radiactiva, y si se presentara un error humano, se tendría 10% de posibilidades de fuga. Sus estudios también han mostrado que la probabilidad de: • Que se presenten juntos un incendio y una fuga de radiación es de 0.0010. • Que se den juntas una falla mecánica y una fuga de radiación es de 0.0015. • Que se dé un error humano y haya una fuga de radiación al mismo tiempo es de 0.0012. a) Cuáles son las probabilidades respectivas de que se presente un incendio, una falla mecánica y un error humano? b) Cuáles son las respectivas probabilidades de que una fuga de radiación sea ocasionada por un incendio, una falla mecánica o por error humano? 42

20. Se realizó un estudio de mercado a nivel nacional para determinar las preferencias de varios grupos de hombres que tienen diferentes edades, para diferentes deportes. Se selecciona una muestra aleatoria de 1000 hombres y se les pide que indiquen su deporte favorito. Los resultados son los siguientes: < 20

Información adicional:

20-40 BO

40’-50 >50

111 225 P ( F ∪ < 20) = 0.494 P ( F / 20 − 40) =

0.134

< 20 20-40

P( > 50) = 0.2

0.222

0.427 0.1733 40’-50

F

>50 < 20 0.1981 20-40 BA

40’-50 >50

Edad\Deporte Voleibol Fútbol Hasta 20 26 20’ – 40 40’ – 50 96 Mayores a 50 Totales

Básquetbol Totales 150

a) Completar la bidimensional y el árbol de probabilidades. b) Hallar el porcentaje de los hombres que a lo menos tienen 40’ años y su preferencia es el básquetbol. c) ¿Cuál es la probabilidad que a un anciano le guste el básquetbol?

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Cuáles de los siguientes pares de eventos son mutuamente excluyentes? a) Un contratista del departamento de defensa pierde un contrato importante, y el mismo contratista aumenta su fuerza de trabajo en 50%. b) Un hombre es de mayor edad que su tío y es menor que sus primos. c) Un equipo de béisbol pierde su último juego y gana la Serie Mundial. d) Un gerente de banco descubre que uno de sus cajeros ha estado desfalcando a la institución y lo promueve. 2. ¿Cuáles de los siguientes pares de eventos son estadísticamente independientes? a) El número de veces que se utiliza una computadora hasta que ésta falla y una segunda computadora vendida por una firma distinta. b) El tiempo de vida del presidente de los Estados Unidos y el tiempo de vida del presidente de Rusia. c) La adquisición de una compañía y la elevación del precio de sus acciones. d) La frecuencia de donación de órganos de una comunidad y las orientaciones religiosas de esa comunidad. 3. Una persona vende automóviles nuevos para una empresa. Generalmente negocia el mayor número de autos los sábados. Ha establecido la siguiente distribución de probabilidad para el número de autos que espera vender un sábado en particular. N° de autos vendidos 0 1 2 3 4

Probabilidad 0.10 0.20 0.30 0.30 0.10

a) ¿Qué tipo de distribución es ésta? b) En un sábado común, ¿cuántos autos espera vender? c) ¿Cuál es la varianza esperada de la distribución? d) ¿Cuál es la mediana y la moda esperada? 4. Como se sabe, la respuesta a una pregunta de verdadero o falso es correcta o incorrecta. Considere que un examen está formado por 4 preguntas de este tipo, y un estudiante no sabe nada sobre el tema. a) Construya la tabla de distribución de cuantía. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda todas las preguntas mal? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda por lo menos una bien?

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5. Una florería tiene 15 vehículos de reparto que se utilizan principalmente para llevar flores y arreglos florales en una ciudad. Supóngase que 6 de los 15 camiones tiene problemas con los frenos. Se seleccionaron 3 vehículos al azar para probarlos. a) Construya la distribución de probabilidades para el experimento. b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los camiones probados tengan frenos defectuosos? 6. Suponga que tiene la siguiente función: f(x) = 3 x2 + 2 x +6 para 0 < x < 3. a) Determine si es función de densidad. Si no lo fuera corríjala. Calcule la probabilidad de que la variable sea al menos 1 y a lo más 2. b) Determine la función de distribución de densidad. c) Halle la media, mediana, moda y varianza de la distribución. d) Haga lo mismo considerando a la función como una de cuantía, para x = 0, 1, 2, 3. 7. Una encuesta de estudiantes de licenciatura en una universidad reveló lo siguiente en lo que se refiere al sexo y área principal de interés de los estudiantes:

Sexo Hombres Mujeres Total

Contabilidad 100 100 200

Área principal de interés Administración Finanzas 150 50 50 50 200 100

Total 300 200 500

a) Trace un diagrama de árbol y determine las probabilidades marginales, condicionales y conjuntas (Comenzar por el atributo de área principal de interés) b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar alguien cuya área de principal interés sea contabilidad, dado que la persona seleccionada es de sexo masculino? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una estudiante o alguien con área principal de interés en contabilidad? 8. Una empresa tiene cuatro proveedores de materia prima. En la tabla que sigue se muestran las cantidades adquiridas de cada proveedor y el porcentaje de materia prima defectuosa que cada uno proporciona: Proveedor A) Roberts Inc. B) Almus Mtg. C) Lewis Ltd. D) Melvin Inc.

Porcentaje adquirido 30.0 20.0 25.0 25.0

Porcentaje defectuoso 2.50 1.75 3.00 1.00

a) Trace un diagrama de árbol y determine las probabilidades marginales, condicionales y conjuntas. b) El material empleado esta mañana resultó defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de se haya adquirido en la compañía B? c) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un material defectuoso? 45

9. El departamento de crédito de una negociación comercial, informó que 30% de sus ventas son en efectivo, 30% se pagan con cheque en el momento de la adquisición y 40% son a crédito. Se tiene que 20% de las compras en efectivo, 90% de los cheques y 60% de las compras a crédito son por más de 50 $us. a) Dibuje un diagrama de árbol, mostrando las probabilidades marginales, condicionales y conjuntas. b) Usted acaba de comprar un jean nuevo que cuesta 120 $us. ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en efectivo? En los siguientes ejercicios emplee el teorema de Bayes: 10. Con base en la experiencia, se sabe que en cierta industria, el 60% de todas las discusiones entre los empleados y la gerencia se refieren a los salarios, el 15% es sobre las condiciones laborales y el 25% acerca de las prestaciones. Así mismo, el 45% de las discusiones referentes a los salarios se resuelven sin huelgas, el 70% de las discusiones sobre las condiciones laborales se resuelve sin huelgas y el 40% de las discusiones acerca de las prestaciones se resuelve sin huelgas. ¿Cuál es la probabilidad de que una discusión entre los empleados y la gerencia de esta industria se resuelva sin una huelga? 11. En una planta electrónica, se sabe con base en la experiencia pasada que la probabilidad de que un empleado nuevo que ha asistido al programa de capacitación de la compañía cubra su cuota de producción es 0.86, y que la probabilidad correspondiente para un empleado nuevo que no ha asistido al programa de capacitación es 0.35. Si 80% de todos los empleados nuevos han asistido al programa de capacitación, ¿cuál es la probabilidad de que: a) un empleado nuevo no cubra su cuota de producción. b) un empleado nuevo que no haya asistido al programa de capacitación de la compañía no cubra su cuota de producción? 12. En la Papelera S.A. se producen Blocks Líder con y sin espiral (50% de cada tipo), el 60% de cada tipo son rojos, 20% de los blocks sin espiral son azules lo mismo que 25% de los con espiral, el resto de los Blocks son verdes. a) Represente al arboligrama, incluyendo las probabilidades normales, condicionales y conjuntas. b) Llene el cuadro bidimensional, si se sabe que en el día se produjeron 1000 blocks Líder, y encuentre la probabilidad de escoger al azar un cuaderno rojo con espiral. 13. Tan solo el 20 % de las mujeres mayores de 40 años egresadas de la universidad ejercen su profesión, mientras que un 70% de las egresadas menores de 40 también lo hacen. La relación de mujeres profesionales mayores de 40 entre las menores de 40 es de 2 a 6. Susana Morales es Ingeniero Químico y no ejerce su profesión, cual es la probabilidad de que tenga menos de 40 años. Dibuje el arboligrama con todas las probabilidades marginales, condicionales y conjuntas. Realice un cuadro de contingencias tomando en cuenta que N = 80 y verifique la probabilidad anterior.

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14. El siguiente diagrama se refiere al número de unidades defectuosas producidas por cuatro trabajadores operando tres diferentes máquinas, un día viernes. 35.577

M1

T1

M2

23.744

P(T1 , M 2 ) = 7.078 %

M3 M1

34.234

T2

M2

P(T2 / M1 ) = 26.207 % P(M1 ) = 33.105 %

M3 M1

31.148

27.854 T3

M2

P(M 3 ) = 33.790 % P(T3 , M 3 ) = 9.361 %

M3 M1 T4

M2 37.624

M3

a) Determinar la distribución bidimensional, que abarca a 438 unidades defectuosas. b) ¿Qué porcentaje de las unidades defectuosas fueron producidas por el trabajador 4 o en la máquina 2?

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EJERCICIOS PARA EXAMEN DECISIONES VARIAS USANDO PROBABILIDADES 1. La estatura mínima que deben tener los candidatos que quieren entrar a la selección nacional de Voley Ball es de 1,7 m. Se ha descubierto que la estatura x en m. de los candidatos que se han presentado tiene la siguiente función de densidad:

f (x) = x 3 + 5x 2 + 2x + 1 para 1, 7 ≤ x ≤ 2,1 a) Determine la probabilidad que alguien que mide menos de 1,8 m. pueda entrar a la selección. b) Determine la probabilidad que tiene una persona que mide entre 1,8 y 2 m. de entrar a la selección. 2. El docente de Estadística tiene un problema de límite de alumnos en su materia este semestre. Tiene 40 alumnos y quiere transferir a 3 alumnos a la clase de la tarde. 30 alumnos no pueden asistir a la clase de la tarde por imposibilidad en sus horarios. Para resolver este asunto, el docente elegirá al azar de los 10 alumnos que no tienen excusa para la transferencia. Sabe que en ese grupo existen 6 personas repitentes. a) Presentar la distribución de probabilidades del número de repitentes. b) En base a la pregunta anterior, responder la siguiente pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que el docente elija a por lo menos 1 repitente? 3. El consejo directivo de Industrias Sol está formado por ocho hombres y cuatro mujeres. Se conforma un comité de cuatro elementos escogidos al azar. a) Se trata de un experimento aleatorio?. Justifique su respuesta. ¿Cuál es la probabilidad que las 4 sean mujeres? b) Construya una tabla para la función de cuantía tomando en cuenta que la variable aleatoria se define como el número de hombres que integran el comité. 4. Un estudiante se presenta a un examen oral, que consiste de 3 preguntas. El profesor preparó el examen para que el alumno eligiera entre 5 preguntas de distribuciones discretas de probabilidad, 3 preguntas de distribuciones de frecuencia y 4 de distribuciones continuas de probabilidad. a) Hallar la probabilidad que el alumno tenga que contestar al menos una pregunta sobre distribuciones discretas de probabilidad. b) Hallar la probabilidad que el alumno tenga que contestar 2 preguntas sobre distribuciones de frecuencia.

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CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES TEÓRICAS DE PROBABILIDAD 1. INTRODUCCIÓN Las distribuciones de probabilidad que se han determinado en el capítulo 1, se conocen como funciones empíricas. Las funciones teóricas de probabilidad corresponden a modelos que permiten expresar teorías sobre el comportamiento ideal de una variable en la realidad. Una distribución teórica se utiliza para: • Expresar lo que puede esperarse de un universo, cuando se comporta como deseamos que lo haga. • Como fuente de referencia, a fin de comparar con distribuciones observadas. • Cuando las distribuciones observadas son difíciles de formalizar, se la utiliza para resolver problemas y efectuar operaciones. • Sirve para realizar inferencias y elaborar predicciones sobre el comportamiento de una variable cuando se dispone de información limitada. Las funciones teóricas de probabilidad correspondientes a variables discretas son: • • • • •

Binomial Hipergeométrica Poisson. Multinomial. Binomial negativa.

Existen muchas otras más, como la distribución uniforme y la geométrica, pero para el propósito de este texto solo se incluyen las más importantes. Si la variable aleatoria es continua y se utiliza el análisis a grandes muestras, su función es: • La Normal. En casos de muestras pequeñas se usa: • t de Student • Chi-cuadrada • F de Fisher. Existen otras funciones continuas de probabilidad, como la uniforme, log-normal, gamma, Erlang y Weibull, que tienen aplicación en la simulación y las ciencias físicas. En este capítulo se estudiarán todas las funciones teóricas discretas de probabilidad y solo la distribución continua Normal, puesto que se requieren nociones de inferencia estadística y muestreo para estudiar las otras distribuciones mencionadas. 49

2. DISTRIBUCIONES TEÓRICAS DISCRETAS DE PROBABILIDAD 2.1. Introducción En general, la determinación de un modelo teórico discreto de probabilidades para aplicarlo a un caso observado, se realiza tomando en cuenta las siguientes características: • La naturaleza del número de pruebas del experimento (fijo o variable). • La naturaleza de los resultados del experimento (dicotómico o no). • El carácter de la probabilidad en cada prueba (constante o variable). • La determinación del carácter del experimento (Sucesos dependientes o independientes).

2.2. Distribución binomial Es una distribución de probabilidad discreta, pues los datos recopilados son resultado de conteos. Se la utiliza como modelo cuando: • El número de pruebas o ensayos del experimento es fijo: “n”. • El resultado solo puede tomar una de dos formas, comúnmente denominadas como éxito y fracaso. Cada resultado es mutuamente excluyente. • La probabilidad de éxito, “p”, permanece constante de un ensayo a otro y lo mismo sucede con la de fracaso, “q”; tal que: p + q = 1. • Los ensayos son independientes, lo cual significa que el resultado de un ensayo no afecta al resultado de algún otro. Esta condición puede asegurarse mediante un muestreo con reposición en poblaciones finitas o el muestreo de poblaciones infinitas o muy grandes. La distribución probabilística binomial se puede describir utilizando la fórmula:

n P(x) =   p x q n − x x Donde: n, es el número de ensayos x, es la variable aleatoria discreta del número de éxitos p, es la probabilidad de éxito en cada ensayo q, es la probabilidad de fracaso en cada ensayo, q = 1 - p

n n!  =  x  x!(n − x)!

es la combinatoria de ‘n’ en ‘x’

La media esperada es: µ = E(x) = np 50

La varianza esperada es: σ2 = V(x) = n p q El modelo se representa por el símbolo b(n, p, x) donde n y p, son parámetros conocidos. Nota: La binomial en una distribución sesgada, pero para valores de p cercanos a 0.5 y n>20, se vuelve prácticamente simétrica. Los valores de probabilidad de un modelo binomial están tabulados y se presentan en forma de una distribución acumulada de probabilidades. Estos valores se designan con el signo B(n, p, x) dispuestas en tablas con el siguiente formato (Ver anexo de tablas al final del texto): n 3

x 0 1

0.1

p 0.3

0.2

...

0.5

Valores de probabilidad acumulada

2 Ejemplo. En una clínica se han producido tres partos. a) Calcular la probabilidad de que haya nacido una niña. b) Calcular la probabilidad de que al menos hayan nacido dos niños. Resolución: Primero se verifica si las condiciones del problema que muestran una distribución de probabilidad, se pueden ajustar al modelo binomial: • • • •

Se efectúa un número de pruebas igual a 3, FIJO. Los resultados se clasifican en: "nacer niña, éxito" y "nacer niño, fracaso". La probabilidad de éxito en cada prueba es 0.5, constante. Las pruebas son independientes, porque habiendo nacido niña en una prueba no quiere decir que en la anterior y la siguiente prueba nazca también niña.

El experimento, por características anteriores, se puede decir que sigue un modelo probabilístico binomial. Sus probabilidades se resuelven usando la expresión del modelo binomial: n=3 P(x) = 0.5 q(x) = 0.5 a) En este caso la variable "x" representa el número de niñas. Se desea resolver la probabilidad de que x=1. 51

Entonces: 1

3 1   1  P(x = 1) =      1 2   2 

3−1

 1  1  = 3    = 0.375  2  4 

Respuesta: Hay una probabilidad de 37.5% de que en tres partos haya nacido una niña. b) En este caso la variable "x" representa el número de niños. Probabilidad de nacer 2 o más niños:

P (x ≥ 2 ) = P (x = 2 ) + P (x = 3 ) 3− 2

2

 3 1   1  P(x = 2) =        2 2   2  3

3

=

3* 2  1    = 0.375 1* 2  2 

0

3

 3   1   1  3* 2*1  1  P(x = 3) =      =   = 0.125  3   2   2  1* 2 *3  2  Luego: P(x ≥ 2) = 0.5 Respuesta: Hay una probabilidad del 50% de que en tres partos hayan nacido 2 o más niños. Los resultados anteriores pueden determinarse directamente leyendo en una tabla B(x, n, p) (tabla binomial de frecuencia acumulada), donde n es el número de pruebas y p, la probabilidad de elementos. n 3

x 0 1 2 3

0.1

p 0.3

0.2

...

0.5 0.1250 0.5000 0.8750 1.0000

a) P(x = 1) = P(x ≤ 1) − P(x = 0) = 0.5000 − 0.1250 = 0.3750 b) P(x ≥ 2) = 1 − P(x ≤ 1) = 1 − 0.5000 = 0.5000 Se concluye que la tabla acumulada es muy útil en la resolución de problemas, porque simplifica los cálculos.

2.3. Distribución hipergeométrica Es una distribución de probabilidad discreta al igual que la binomial, se utiliza cuando el tamaño de la muestra es superior al 5% de la población y tiene las siguientes características: 52

• El número de pruebas o ensayos es fijo, “n”. • El resultado solo puede tomar una de dos formas, comunmente denominadas como éxito y fracaso. Cada resultado es mutuamente excluyente. • La probabilidad de éxito no permanece constante de un ensayo a otro, es variable. • Los ensayos deben ser dependientes. Esto ocurre cuando los ensayos son sin reposición y en poblaciones finitas o pequeñas. La fórmula para la distribución probabilística hipergeométrica es:

 N1   N − N1     x  n − x   P(x) = N n   Donde: N, es el tamaño de la población N1, es el número total de elementos de la categoría éxito en la población n, es el número de ensayos o tamaño de la muestra x, es el valor de la variable aleatoria discreta del número de éxitos La esperanza matemática es: E(x) = np

N1  N−n   , donde: p = N  N −1 

La varianza esperada es: V(x) = np(1 − p)  Ejemplo.

En una canasta existen 7 cítricos: 4 naranjas y 3 limas. Un niño elige 3 cítricos. a) Qué probabilidad hay de que sean 2 naranjas? b) Cuál es la probabilidad de que hayan al menos 2 limas? Resolución. El problema proporciona la siguiente información: • El número de pruebas n=3, es fijo. • El resultado de la prueba se clasifica en: Éxito es que sean naranjas. Fracaso es que sean limas. • La probabilidad de obtener naranjas es diferente en cada prueba, por tanto también es diferente la probabilidad de obtener limas. • Las pruebas son dependientes, este resultado se ve afectado por la prueba anterior y afecta al siguiente. 53

Por lo tanto, la distribución empírica del problema se puede ajustar a un modelo hipergeométrico. a) Obtener 2 naranjas.

 4  7 − 4  4 * 3  2  3 2  −  1 * 2 * 3 108   P (x = 2 ) = = = = 0.51 7 * 6 * 5 210 7   1* 2 * 3  3 Respuesta: En el 51% de los casos el niño podrá obtener 2 naranjas. b) Sacar al menos 2 limas.

P (x ≥ 2 ) = P (x = 2 ) + P (x = 3 )  3  4   3  4        2 1 3 0 P(x ≥ 2) =    +    =  7  7      3  3

3* 2 *4 1*1 78 1* 2 + = = 0.37 7 *6 *5 7 * 6*5 210 1* 2*3 1* 2 *3

Respuesta: En el 37% de los casos es posible que el niño haya obtenido al menos 2 limas.

2.4. Distribución de Poisson También denominada ley de eventos improbables. Se aplica a problemas que cumplen las características de una distribución binomial con probabilidad de éxito, “p”, pequeña (p25). Tiene muchas aplicaciones. Se utiliza como modelo para describir fenómenos como la distribución de errores en captura de datos, número de imperfecciones en piezas recientemente pintadas, número de clientes que hacen cola en un banco, número de llamadas telefónicas, etc. Matemáticamente puede escribirse utilizando la siguiente fórmula:

µ x e−µ P(x, µ) = x! Donde: µ es la media (esperanza matemática) del número de ocurrencias (éxitos) en un intervalo de tiempo dado. En situaciones binomiales µ = np y σ 2 = np , puesto que q ≅ 1. X es la variable aleatoria discreta del número de éxitos. e = 2,71828 (la base del logaritmo neperiano). 54

Ejemplo. Un estudiante de Administración de Empresas, cuando presenta sus informes de contabilidad, afirma que comete por término medio 5 errores por página. ¿Cuál es la probabilidad de que cometa al menos 4 errores por página? Resolución. Del problema se obtiene la siguiente fórmula: Número promedio de errores = tamaño de muestra * probabilidad = n * p • • • •

Se supone que el tamaño de la muestra es bastante grande; n = 10000 El resultado de la prueba es éxito: "error por página" y fracaso: "no tener error por página". La probabilidad de éxito es constante en cada prueba y además pequeña. Las pruebas son independientes por que cometer un error no influye en que se cometa otro.

Cuando un experimento aleatorio cumple con las características anteriormente señaladas, su probabilidad se resuelve aplicando la siguiente expresión: Se pide: P(x ≥ 4, µ = 5) Para resolver el problema afortunadamente existen tablas de probabilidad acumulada de Poisson (Ver anexo de tablas al final del texto):

P(x ≥ 4, µ = 5) = 1 − P(x ≤ 3, µ = 5) = 1 − 0.265 = 0.735 Respuesta: El estudiante tiene la probabilidad de 73.5% de cometer al menos 4 errores por página. Nota: se usa indistintamente para la media de ocurrencias en un intervalo de tiempo dado, tanto λ como µ .

2.5. Distribución multinomial Un experimento aleatorio se comporta como una distribución multinomial cuando observa las siguientes características: • El número de pruebas del experimento es fijo. • Los resultados del experimento se clasifican en categorías (K). C1 , C2 , . . . . , CK • La probabilidad de éxito para cada categoría permanece constante en cada prueba y se expresa como: P1 , P2 , . . . . , PK 55

• Las pruebas son independientes, es decir el resultado de una prueba no afecta ni es afectado por el resultado de la prueba anterior o la siguiente, respectivamente. La probabilidad del experimento con estas características se calcula mediante la siguiente expresión:

f ( x1, x 2,..., x K ) =

n! * P ( x1) x1 * P ( x 2) x 2 *...* P ( x K ) x K x 1!* x 2!*...* x K!

f ( x 1, x 2,..., x K ) =

n

n! n

Π x!

* Π P ( x i ) xi i=1

i

i=1

Ejemplo. En una bolsa de mercado existen 7 cítricos: 3 naranjas, 2 limas y 2 toronjas. Un niño elige 3 cítricos con reposición. Determinar la probabilidad de que sean 2 toronjas y una naranja. Resolución. El problema proporciona la siguiente información, que indica que la distribución planteada sigue un modelo multinomial: • El número de pruebas es 3 y es fijo. • Los resultados de la prueba se clasifican en 3 categorías: C1 = toronjas C2 = naranjas C3 = limas • La probabilidad de cada categoría es constante en cada prueba y sus valores son: P1 = 2/7 P2 = 3/7 P3 = 2/7 • Las pruebas son independientes por que si en la prueba sale 1 toronja y 2 naranjas, esto no quiere decir que la siguiente o la anterior prueba sea de la misma naturaleza. Con los datos anteriores, la probabilidad solicitada es: 2

f (x 1 = 2 , x 2 = 1 , x 3 = 0 ) =

=

1

3! 2 3 2       2!* 1!* 0!  7   7   7 

0

3 * 2 *1  4  9  72 = 0.105    = 2 *1  49  49  680

Respuesta: Entonces esta combinación formada por 2 toronjas y 1 naranja, se dará en 10.5 de 100 casos. 56

2.6. Distribución binomial negativa Un experimento aleatorio se comporta como una DBN cuando: • El número de pruebas “n”, es variable. • Los resultados se clasifican en 2 categorías (éxito o fracaso). • La probabilidad de éxito es constante en cada prueba. • Las pruebas son independientes. La probabilidad de los eventos se calcula usando la siguiente expresión.

 n -1 c n − c * b (n, c, P ) =   P q  c -1  donde: n = número de pruebas c = número de éxitos P = probabilidad de éxito Por razones prácticas, la expresión anterior debe transformarse en probabilidad de valores acumulados y además en función de probabilidades acumuladas de la binomial positiva:

 n -1 c n −c * B (n, c, p ) = ∑  p q  c -1   n  x n−x * B (n, c, p ) = 1 - ∑   p q x B* (n, c, p ) = 1 - B (x -1, n, p ) Ejemplo. Los productores de durazno en Cochabamba han detectado que el 10% de los duraznos están afectados por la mosca. Supongamos que un grupo de estudiantes van a un huerto de duraznos con el permiso del propietario y están deseosos de que, eligiendo al azar los duraznos, puedan comer 20 duraznos buenos. ¿Cuál es la probabilidad de que tengan que probar 25 o más duraznos (los afectados se descartan). Resolución. El problema contiene la siguiente información: • El número de pruebas es n>25, por tanto es variable. • Los resultados de la prueba se clasifican en éxito: durazno que no está afectado por la 57

mosca de la fruta; fracaso: durazno afectado. • Probabilidad de éxito 90% constante en cada prueba. • Las pruebas son independientes porque si en cualquier prueba un durazno no está afectado no quiere decir que en la selección anterior o la siguiente tampoco esté afectado. Por los datos presentados, el experimento corresponde a una binomial negativa. donde; c = x = número de éxitos = 20 n = mayor que 25 (variable) P = 0.90 probabilidad de éxito.

b* (25, 20, 0.9) = 1 − (1 − B(19, 25, 0.9)) = 0.967 Respuesta: Hay una probabilidad de 96.7% de que si quieren comer 20 duraznos buenos, tengan que probar 25 o más duraznos.

3. FUNCIONES TEÓRICAS CONTINUAS DE PROBABILIDAD 3.1. Distribución Normal a) Generalidades Una distribución teórica probabilística continua muy importante es la normal. Las distribuciones probabilísticas de la duración de algunos productos, como acumuladores o baterías, neumáticos, bombillas o lámparas, tienden a seguir un patrón normal. Lo mismo sucede con los pesos de los envases de un cereal, la longitud de rollos de papel tapiz y otras variables que se miden en una escala continua. Se dice que la función normal es la piedra fundamental de la Estadística. Su función de densidad está dada por la siguiente expresión:

1 y= e 2πσ

− ( x −µ ) 2 2 σ2

−∞ ≤ x ≤ ∞

b) Características de una distribución normal 1. La curva tiene perfil de campana, y presenta un solo pico en el centro exacto de la distribución. La media (aritmética), la mediana y la moda de la distribución son iguales y están en el punto central, de esta forma la mitad del área bajo la curva se encuentra a la izquierda y la otra mitad a la derecha de la media. 2. La distribución probabilística normal es simétrica con respecto a su media. Si se corta la curva normal por la mitad verticalmente, las dos mitades serán como imágenes reflejadas en un espejo. 58

3. La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica. 4. A una distancia de la media aritmética correspondiente a la desviación estándar, se encuentran sus puntos de inflexión. 50% Punto de inflexión

50% σ

Punto de inflexión

σ

-∞

+∞ Me=Mo=µ

c) Familia de distribuciones normales. Existen tres familias: a) Distribuciones que presentan la misma media pero distinta desviación b) Distribuciones que presentan la misma desviación pero distinta media c) Distribuciones que presentan distinta media y distinta desviación. d) Áreas bajo la curva normal Las posiciones indicadas en la escala de x son los límites de los porcentajes indicados en cada caso: 1. µ ± 1σ => 68.27% 2. µ ± 2σ => 95.45% 3. µ ± 3σ => 99.73% El área total es obviamente 100% o 1.0. e) Distribución Normal Estándar Resultaría imposible proporcionar una tabla de valores de probabilidad normal para cada distribución, por lo que se recurre a una variable estandarizada o tipificada “z”:

z= donde :

X−µ σ

X es el valor de cualquier observación específica µ es la media de la distribución σ es la desviación estándar de la distribución

59

El valor de z mide la distancia entre un valor específico X y la media, en unidades de desviación estándar. La media de la distribución normal estándar es 0 y su desviación estándar 1 (se realizó esta comprobación en el capítulo de estadígrafos de comparación). Una distribución normal se simboliza como:N(x, µ, σ) Una distribución normal estándar, como:

N(z, 0, 1)

Ejemplo. Se ha determinado que los jóvenes que asisten a la fiesta de San Juan, beben 25 tazas de ponche en promedio, con una varianza de 64 tazas2. Si dicha variable se comporta como una normal: a) ¿Cuál es la probabilidad de que tomen a lo más, 19 tazas de ponche?. b) Determine la proporción de estudiantes que toman más de 41 tazas de ponche. c) Determine la proporción de estudiantes que consumen entre 19 y 31 tazas de ponche. d) Determine el mínimo y máximo de tazas de ponche que bebería el 80% central de los estudiantes. Resolución. • Se trata de una distribución normal: N(x, µ=25, σ=8). a) Se debe resolver: P(x ≤ 19) Gráficamente: σ=8

19

x

µ = 25

• Se estandariza la variable.

P(

x − µ 19 − 25 ≤ ) = P (z ≤ − 0.75 ) σ 8

Gráficamente: σ=1

- 0.75

z

µ=0 60

• Se lee el resultado en la tabla de distribución normal de cola superior (Ver anexo de tablas al final del texto):

P(z ≤ −0.75) = 0.2266 Respuesta: La probabilidad de tomarse 19 o menos tazas de ponche es del 23%. b) Se trata de resolver: P(x ≥ 41) Gráficamente: σ=8

µ = 25

41

x

• Se estandariza la variable.

P(

x − µ 41 − 25 ≥ ) = P (z ≥ 2 ) σ 8

Gráficamente: σ=1

µ=0

2

z

• Se lee el resultado en tabla de distribución normal acumulada.

P(z ≥ 2) = 1 − P(z ≤ 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228 Resultado: 2% de los invitados toman más de 41 tazas de ponche. c) Se trata de resolver: P(19 ≤ x ≤ 31) Gráficamente: σ=8

19

µ = 25

31 61

x

• Se estandariza la variable.

P(

19 − 25 x − µ 31 − 25 ≤ ≤ ) = P (−0.75 ≤ z ≤ 0.75 ) 8 8 σ

Gráficamente: σ=1

-0.75 µ = 0

0.75

z

• Se lee el resultado en tabla de distribución normal.

P(−0.75 ≤ z ≤ 0.75) = P(z ≤ 0.75) − P(z ≤ −0.75) = 0.7734 − 0.2266 = 0.5468 Resultado: El 55% de los invitados a la fiesta de San Juan consumen entre 19 y 31 tazas de ponche. d) Se quiere calcular los límites del 80% central: P(x1 ≤ x ≤ x 2 ) = 0.80 Gráficamente: 80%

σ=8

X1

µ = 25

X2

x

• Se estandariza la variable.

P(

x1 − 25 x − µ x 2 − 25 ≤ ≤ ) = 0.80 σ 8 8

P (z1 < z < z 2 ) = 0.80 Gráficamente: 80%

σ=1

z1

µ=0

z2

z

• Leyendo en tablas de distribución normal, se determinan los límites de z. 62

z0,10 = -1.28

z0,90 = 1.28

Sustituyendo en la variable estandarizada, se pueden hallar los límites:

x1 − 25 8

x1 = 25 − (1.28) (8) = 14.76

x 2 − 25 8

x 2 = 25 + (1.28) (8) = 35.24

−1.28 =

1.28 =

Respuesta: El 80% central de asistentes a la fiesta, tomarán entre 15 a 35 tazas de ponche.

4. APROXIMACIÓN NORMAL A LA BINOMIAL Se utiliza cuando np y nq son mayores a 5. Esto quiere decir que el número de ensayos es mayor a 20 (y por lo tanto ya no se puede usar la tabla de valores acumulados) y la probabilidad de éxito es cercana a 0.5. En estas condiciones, la distribución binomial se acerca mucho a la forma de la distribución normal, y es mejor y más fácil calcular las distintas probabilidades con esta aproximación. Factor de corrección por continuidad. Debido a que se está aproximando una distribución discreta a una continua, es necesario un factor de corrección. El factor de corrección por continuidad es el valor 0.5 que se resta o se suma, dependiendo del problema, a un valor seleccionado cuando una distribución probabilística binomial se está aproximando por medio de una distribución de probabilidad continua. La variable estandarizada, en este caso se encuentra por medio de la siguiente ecuación, en la que se usa la media y la desviación estándar de la distribución binomial:

Z=

(x ± 0.5) − np npq

Ejemplo. La gerencia de la cadena de pizzerías CAPRI reveló que el 70% de sus nuevos clientes vuelven en otra ocasión. En una semana en la que 80 nuevos clientes (de primera vez) cenaron en uno de sus establecimientos, ¿cuál es la probabilidad que: a) 60 o más regresen en otra ocasión? b) menos de 40 regresen en otra ocasión?

63

Resolución. En primer lugar se debe verificar si el modelo que se ajusta al problema es el binomial. • • • •

El número de pruebas es fijo. n=80. El resultado es dicotómico. éxito=los clientes vuelven, fracaso=no vuelven. Probabilidad de éxito constante. p=0.7 Los sucesos son independientes. Que una persona vuelva, no está relacionada a la decisión de otras personas.

Luego, para observar la conveniencia de utilizar la aproximación, se tratará de resolver el inciso a) del problema con la fórmula binomial. a) Se pide: P(x ≥ 60) Esto se podría tratar de resolver de dos maneras: Primera: P(x ≥ 60) = P(x = 60) + P(x = 61) + K + P(x = 80) Segunda: P(x ≥ 60) = 1 − P(x ≤ 59) = 1 − [ P(x = 59) + P(x = 58) + K + P(x = 0) ] En cada caso, se debe resolver 20 ó 60 veces la fórmula binomial, para hallar el resultado. Se concluye que es mejor realizar la aproximación. Para realizar la aproximación, primero se debe verificar si se cumple con las dos condiciones: np y nq sean mayores a 5.

np = 80(0.7) = 56

nq = 80(0.3) = 24

Luego se hallan los valores de la media y la desviación estándar:

µ = np = 80(0.7) = 56

σ = npq = 80(0.7)(0.3) = 4.1

a) Se pide: P(x ≥ 60) Gráficamente: σ = 4.1

60

µ =56

x

Se estandariza la variable:

 (x ± 0.5) − µ (60 − 0.5) − 56  P ≥  = P (z ≥ 0.85 ) σ 4.1   64

En este caso se resta 60 – 0.5, para hallar la variable estándar, ya que siempre se tratará de cubrir un poco más de área, para realizar la corrección por continuidad. Gráficamente: σ=1

µ =1

0.85

z

La probabilidad se determina mediante la tabla de normal estándar de cola superior del anexo.

P(x ≥ 60) = 0.1977

Respuesta: Hay una probabilidad de 19.77% de que de 80 personas que vinieron la primera vez a la pizzería CAPRI, 60 o más regresen. b) Se pide: P(x < 40) Estandarizando:

 (x ± 0.5) − µ (40 + 0.5) − 56  P ≥  = P (z ≥ −3.78 ) σ 4.1   Gráficamente:

40

µ = 56

x

-3.78

µ=1

z

En este caso, para cubrir un poco más del área, se tuvo que sumar 40 + 0.5, para realizar la corrección por continuidad. Usando la tabla normal estándar, se halla la probabilidad pedida:

P(x < 40) = 0.00008 Respuesta: La probabilidad de que menos de 40 regresen a CAPRI es del 0.008%.

5. ÁRBOL DE DECISIÓN PARA ELEGIR LA DISTRIBUCIÓN ADECUADA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

TEÓRICA

Se muestra un árbol de decisión para ajustar una distribución empírica a un modelo probabilístico. 65

¿Tipo de variable?

continua

discreta

¿Número de ensayos?

variable

fijo

¿Naturaleza de las pruebas?

independiente

independiente

¿Resultados posibles?

dicotómico

categoría

dependiente

dicotómico

independiente

66

Normal

Binomial negativa

Multinomial

f (x1, x2,..., xK ) =

i

i=1

Πx!

n

n!

n

i=1

* Π P (xi )xi

1 y= e 2πσ

2 σ2

− ( x −µ )2

−∞ ≤ x ≤ ∞

µ x e−µ x!

z=

X −µ σ

(x ± 0.5) − np npq

P(x, µ) =

Aproximación Z = a la normal

 N1   N − N1     x n−x  P(x) =    N   n

np>5 nq>5

Poisson

* B (n, c, p ) = 1 - B (x -1, n, p )

Hipergeométrica

n P(x) =   p x q n − x x

Binomial

n>25 p50

n20

n30

Grande

Pequeño

Grande

Pequeño

Grande

Cualquier n

Pequeño n 0 y ν > 0

La distribución tiene sesgo a la derecha, y sus valores son siempre positivos. Sin embargo, al aumentar los grados de libertad, la forma límite es la distribución normal. 232

1−α

α 2

α 2

χ2 χ12− α ,n −1

χ α2,n −1

2

2

El estadístico de prueba, para obtener una variable aleatoria estándar, es el siguiente:

(n − 1)s 2 σ2

χ2 =

el cual, permite relacionar la varianza de una muestra tomada de una población normal, con una variable aleatoria con densidad conocida.

3.2. Uso de la tabla Chi-Cuadrada Se muestra a continuación la manera de usar la tabla Chi-Cuadrada. Ejemplo. Sea una variable aleatoria que se distribuye mediante la Chi-Cuadrada y tiene 8 grados de libertad. Encuentre un valor crítico para un nivel de significancia de 0.05. Resolución. Un gráfico ayudará a fijar el valor crítico que deberá ser hallado en la tabla.

1 − α = 0.95

α 2

= 0.05

χ2 2 χ 0.05,8

Se buscará en la tabla el valor crítico: χ 20.05,8 :

v

α

0.995 ................................ 0.05

1 2 . . . 15.5073

8

233

4. LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER 4.1. Características La función de densidad de una variable aleatoria con ν 1 grados de libertad en el numerador y

ν 2 grados de libertad en el denominador es:  ν +ν  Γ  1 2   ν1   ν1   ν1 −1 ν +ν  2  ν  2 ν  2  F  2  ν + ν F − 1 2 2  f (F ) = ( ) 1 2 2 1 ν  ν  Γ 1 Γ 2  2  2

para ν 1 ,ν 2 , F > 0

La forma de la distribución F estándar es parecida a la Chi-Cuadrada:

α 2

α 2

1−α

F F1− α ,n1 −1,n2 −1 2

Fα ,n1 −1,n2 −1 2

El estadístico de prueba, que se usa para relacionar varianzas de dos poblaciones normales es:

s12 σ 12 F= 2 s2 σ 22

4.2. Uso de las Tablas F Como el número de variables aumenta (hay dos grados de libertad), existen 5 tablas F, cada una para diferentes valores de α : 0.25, 0.10, 0.05, 0.025 y 0.01. Para valores mayores a 0.25, existe una relación que permite el cálculo, con las mismas tablas:

Fα ,ν1 ,ν 2 =

1 F1−α ,ν 2 ,ν1

Ejemplo. Sea F una variable aleatoria con distribución F, con 14 grados de libertad en el numerador y 10 grados de libertad en el denominador. Encuentre un valor crítico con un nivel de significancia de 0.975. 234

Resolución. Como el valor de α es mayor a 0.25, entonces se usará la relación para transformarlo:

F0.975,14,10 =

1 − α = 0.025

1 F0.025,10,14

α = 0.975

F F0.975,14,10 Observando en la tabla respectiva, se halla el valor crítico:

F0.025

ν2

ν1

1

2

3 .............

10

1 2 . . . 3.15

14

Por lo tanto el valor es:

F0.975,14,10 =

1 F0.025,10,14

235

=

1 = 0.317 3.15

ANEXO 2 TRABAJO DE APLICACIÓN FINAL 1. OBJETIVOS DEL TRABAJO El estudiante será capaz de plantearse un problema real en la que use algún método de inferencia estadística para su resolución, tal como las pruebas de hipótesis, los intervalos de confianza, pruebas no paramétricas o análisis de varianza.

2. NÚMERO DE COMPONENTES DEL GRUPO Máximo 5 personas. No es negociable.

3. FECHA DE ENTREGA Día del examen final impostergablemente.

4. CARÁTULA Deberá ir especificado el nombre de la Universidad, la materia que cursan, el título del trabajo, los nombres de los componentes del grupo, el nombre del catedrático de la materia, y la fecha de realización. Nota: El título del trabajo no es: “Trabajo de aplicación final”, sino debe ser específico, indicando el tema en el cual se ha desarrollado el trabajo. Ejemplo: “Análisis de la eficiencia de atención en Burger King”.

5. CONTENIDO El trabajo deberá contar con los siguientes puntos: 1. Antecedentes. Se debe relatar cuales son las causas, oportunidades y circunstancias por las cuales los alumnos se decidieron a realizar el trabajo. 2. Justificación. Se debe indicar por qué el tema propuesto es de interés para los alumnos. 3. Objetivos. Se debe describir cuáles son los propósitos de la investigación que se realizará. Existirán objetivos generales y específicos. 236

4. Hipótesis. Se debe manifestar cuáles son las hipótesis generales y específicas que los alumnos quieren probar con la investigación a realizar. 5. Metodología de investigación. Se debe enumerar los pasos que los alumnos tendrán que realizar para desarrollar la investigación propuesta. 6. Desarrollo de la investigación. Se deberá desarrollar en base a los puntos descritos en metodología de investigación, y son: 1. Determinación de la población, en naturaleza y número. 2. Determinación y clasificación de las características de la población que se desean estudiar. 3. Determinación del tipo de muestreo probabilístico adecuado. 4. Determinación del método de recopilación de datos adecuado (observación, entrevista o cuestionario). 5. Determinación del tamaño muestral. Cálculo del error de estimación. 6. Elaboración del formulario (de la encuesta o entrevista) o metodología de observación. 7. Recopilación de datos (Aplicación de la encuesta, entrevista u observación). 8. Tabulación de datos: organización, presentación, resumen mediante estadígrafos de posición y dispersión, interpretación y conclusiones (Estadística descriptiva) 9. Determinar y realizar los tipos de prueba de hipótesis a usar o los intervalos de confianza, que den una solución al problema planteado, dependiendo si se está realizando un estudio exploratorio, descriptivo o causal. 9. Análisis e interpretación de los resultados. 10. Sugerencias y recomendaciones.

6. BIBLIOGRAFÍA Si el grupo usó alguna bibliografía o fuente para recopilar datos o realizar algún procedimiento, deberá estar detallada en el trabajo.

7. BANCO DE TEMAS 1.

2.

Análisis de la situación de desempeño de los alumnos de la UPB: número de materias, materias fuertes, número de materias por mes, debido a la calidad docente, circunstancias familiares, nivel promedio de notas, tiempo de estudio extra aula, etc. Comparación de estos índices con diferentes años, con diferentes carreras, con diferentes semestres o según el sexo, ausentismo o abandono de materias, etc. Análisis de desempeño de una máquina llenadora de refrescos o de cualquier instrumento de medición: análisis de la cantidad promedio de llenado, análisis de su variabilidad, comparación de su eficiencia con otra máquina similar, etc. 237

3.

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

Análisis del rendimiento del auto de un estudiante: rendimiento promedio en combustible, variabilidad del rendimiento en combustible, vida media de las llantas y su variabilidad, comparación de estas variables con otro auto similar, proporción de repuestos cambiados desde su compra, etc. Análisis de uso de internet entre los estudiantes de la UPB: promedio de horas de uso, buscador más utilizado, tema mas buscado, según carrera, según sexo, etc. Análisis de los factores por los cuales las materias de análisis de decisiones I y II son difíciles de aprobar. Análisis del nivel de gastos promedio de un estudiante de la UPB: según el mes, según la edad, según la carrera, según la ocasión, etc. Análisis de la variabilidad de las calificaciones de exámenes de dos estudiantes de la UPB de la misma carrera y que están en un mismo nivel. Dependencia o independencia entre rendimiento y edad de los estudiantes de una materia. Dependencia o independencia entre rendimiento y la carrera de los estudiantes de una materia. Dependencia o independencia entre rendimiento y colegio de los estudiantes del preuniversitario. Bondad de ajuste de la distribución de puntajes de las evaluaciones docentes a una distribución teórica como la binomial. Relación (prueba de independencia) entre el desempeño de un empleado, ej: un docente, y su grado de conocimiento de la visión, misión, propósito, valores y principios y/o reglamentos de su organización. Comprobar si dos o más métodos de estudio usados por un estudiante o por diversos estudiantes, son igual de efectivos para vencer una determinada materia o un grupo de materias.

Nota: Los temas mencionados en esta lista son alternativas que se sugieren para desarrollar el trabajo, pero de ninguna manera son limitantes para que los alumnos no puedan escoger un tema de interés o actual.

8. EJEMPLO DE TRABAJO FINAL A continuación se presenta un trabajo de asesoría realizado por el autor a una empresa de electricidad, como ejemplo de trabajo final. Los alumnos deben tomar en cuenta que este es un trabajo muy específico, y el que tendrán que desarrollar debe ser mucho más amplio, para poder aplicar todas las pruebas y métodos desarrollados en el texto. Cabe aclarar que no se nombra la empresa, ni el lugar donde se desarrolló la investigación, además que los datos fueron alterados, para proteger la información.

238

INFORME DE ASESORÍA PARA UNA EMPRESA DE ELECTRICIDAD X ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN DE TRANSFORMADORES CON PROBLEMAS DE TENSIÓN Y SATURACIÓN EN UNA CIUDAD X INTRODUCCIÓN. La división de planificación de la empresa X, ha solicitado asesoramiento estadístico para la validación de una encuesta realizada para determinar problemas de tensión y saturación en transformadores de distintos sistemas de la ciudad X. OBJETIVOS. • • •

Realizar una validación estadística de los resultados de una encuesta realizada por el departamento de planificación de la empresa X. Realizar una inferencia a la población sobre las características de la muestra requeridas por el estudio realizado por la empresa X. Otorgar un sustento teórico y metodología adecuada en la validación e inferencia.

METODOLOGÍA. Para la realización de este estudio de asesoría se realizaron los siguientes pasos: 1. Determinación de la población, en naturaleza y número. 2. Determinación y clasificación de las características de la población que se desean estudiar. 3. Determinación del tipo de muestreo probabilístico adecuado. 4. Determinación del método de recopilación de datos adecuado. 5. Determinación del tamaño muestral. Cálculo del error de estimación. 6. Recopilación de datos. 7. Cálculo del intervalo de confianza para estimar la proporción de la población. 8. Análisis e interpretación de los resultados. 9. Recomendaciones. 1. DETERMINACIÓN DE LA POBLACIÓN, EN NATURALEZA Y NÚMERO. Fundamento teórico. 239

La población, colectivo o universo es el total de elementos, cosas o personas que forman parte de la investigación. La población puede considerarse por sus elementos como: a) Población finita. Conjunto numerable de elementos. b) Población infinita. Conjunto no numerable o forma línea continua de puntos. Esta distinción es teórica ya que siempre se trata con poblaciones de números finitos de elementos. Aplicación. La población es finita, y está constituida por los transformadores llamados “exclusivos”, que posee la empresa X en los tres sistemas de la ciudad X. El tamaño de la población de cada sistema es el siguiente: Sistema 1: Sistema 2: Sistema 3:

1613 transformadores. 1898 transformadores. 245 transformadores.

2. Determinación y clasificación de las características de la población que se desean estudiar. Fundamento teórico. Las características de la población son rasgos distintivos de los elementos de una población. Pueden ser de carácter cualitativo o cuantitativo, de ahí la distinción en: variable o atributo. a) Atributos. Son rasgos cualitativos de los elementos de una población. Pueden ser: • Ordinales. Referente al sentido de jerarquización u organización de elementos. Ejemplo: grados militares, cargos en una empresa, etc. • Nominales. Rasgos sin capacidad de ordenación. Ejemplo: color de ojos, gusto, etc. A las diferentes clasificaciones que pueden adoptar los atributos se les llaman modalidades. Los atributos se designan con las primeras letras mayúsculas del abecedario (A, B, C, etc.); las modalidades con las minúsculas (a, b, c, etc.). b) Variables. Son rasgos, características o propiedades cuantificables. Ejemplo: peso, edad, altura, etc. Las variables pueden ser: • Discretas. Si entre dos valores consecutivos no puede introducirse otro. Ejemplo: el número de mesas, sillas, casas, etc. • Continuas. Si entre dos valores consecutivos pueden introducirse infinitos valores. Ejemplo: altura, peso, etc. 240

Las variables se designan con las últimas letras mayúsculas del abecedario (X, Y, Z, etc.) y sus valores con las minúsculas (x, y, z, etc.). Niveles de medición. a) Nivel Nominal Es el nivel más primitivo, bajo y limitado de medición. Este nivel hace referencia a los datos que solo pueden clasificarse en categorías, sin intervención de mediciones o escalas, solo mediante conteos. Para este nivel no existe orden particular para los grupos. Las categorías o modalidades se consideran mutuamente excluyentes y exhaustivas. Es el nivel de medición para atributos nominales. b) Nivel ordinal Tiene las características del nivel anterior, pero difiere en que las categorías pueden ordenarse en una relación “mayor que”. Es el nivel de medición para atributos ordinales. c) Nivel de intervalo Incluye todas las características de la escala ordinal, pero además la distancia entre valores es de tamaño conocido y constante. Es el nivel de medición para variables discretas o continuas. Ejemplo: Medición de temperatura en la escala centígrada. En esta escala el punto cero es arbitrario: 0 °C; no significa que haya ausencia de temperatura, sino solo un estado de frío. Si se registraron las siguientes temperaturas: 30 °C y 60 °C, puede decirse que en la segunda oportunidad hubo una temperatura 30 °C más cálida, pero no se puede afirmar que haga 2 veces más calor. d) Nivel de razón (o cociente) Es el nivel de medición más alto y sirve para variables discretas y continuas. Las principales diferencias entre el anterior nivel y éste son:

1. Los datos de nivel de razón tienen un punto cero significativo. 2. La razón o cociente de dos números es significativa. Ejemplo: El dinero. Tener cero pesos tiene un significado: no tengo nada de dinero. Si una persona gana 1000 $us y otra 4000 $us, la segunda gana 4 veces más que la primera. Aplicación. Las características de los transformadores que la empresa X ha estudiado son: •

La tensión 241

•

La saturación.

La empresa quiere determinar los transformadores que tienen problemas de tensión. Mediante mediciones técnicas pueden determinar cuáles no cumplen con los niveles estándares aceptables. También quieren determinar qué transformadores están saturados, es decir los que están operando por encima de su capacidad nominal. Ambas características se las clasifica como variables continuas y el nivel de medición que se usa debe ser el de razón. 3. Determinación del tipo de muestreo probabilístico adecuado. Fundamento teórico. La muestra es un subconjunto representativo de la población. Se usa para realizar trabajos empíricos, en que los universos no son manejables, para reducir costos y ahorrar tiempo, sin disminuir la calidad de información. El muestreo estadístico es un enfoque sistemático para seleccionar unos cuantos elementos representativos (una muestra) de un grupo de datos, a fin de hacer algunas inferencias sobre el grupo total (población). Como esta muestra aporta datos bastantes confiables, no es necesario seleccionar el total. Hay dos tipos de muestreo: • probabilístico o aleatorio, cuando la muestra se selecciona de modo que cada integrante de la población tenga una probabilidad conocida de ser incluido en la muestra. • no probabilístico o de juicio, cuando no todos los integrantes tienen alguna probabilidad de ser incluidos en la muestra. Se usa el conocimiento y la opinión personal para identificar los elementos de una población que se van a incluir en la muestra. Métodos de muestreo aleatorio. Los métodos de muestreo aleatorio tienen el objetivo de permitir que el azar determine los integrantes de la muestra. Son: • Muestreo aleatorio simple. En él, se seleccionan las muestras mediante métodos que permiten a cada muestra tener igual probabilidad de ser seleccionada y a cada elemento de la población tener igual probabilidad de quedar incluido en la muestra. Para este fin se utilizan las tablas de números aleatorios. • Muestreo sistemático. Difiere del simple en que cada elemento tiene igual probabilidad de ser seleccionado, pero cada muestra no tiene esa misma posibilidad. En este muestreo se seleccionan los elementos de la población con un intervalo uniforme en el tiempo, en el orden o en el espacio. 242

• Muestreo estratificado. Para aplicarlo dividimos la población en grupos homogéneos relativos, llamados estratos. • Muestreo por conglomerados. Para aplicarlo dividimos la población en grupos o conglomerados y luego seleccionamos una muestra aleatoria de ellos. Aplicación. La empresa realizó el tipo de muestreo probabilístico denominado: Muestreo aleatorio simple. Es decir que todos los transformadores de la población tenían la misma probabilidad de estar incluidos en la muestra. 4. Determinación del método de recopilación de datos adecuado. Fundamento teórico. En la investigación científica, existen tres métodos de recolección de datos a partir de una muestra o población: la observación, la entrevista y el cuestionario. Cada uno de ellos se adapta a las exigencias de las diferentes disciplinas, presentando ventajas y desventajas. La observación. Se ha dicho que la observación es el procedimiento más antiguo y moderno a la vez. Sirve a un objeto ya formulado de investigación, es planificada y controlada sistemáticamente y relacionada con proporciones más generales. Consiste en ver y oír hechos y fenómenos que se desean estudiar. Según medios utilizados la observación puede ser: • No estructurada. También llamada observación simple o libre. Consiste en reconocer y anotar hechos sin recurrir a la ayuda de medios técnicos. • Estructurada o sistemática. Apela a instrumentos para la recopilación de datos o hechos establecidos de antemano, para saber qué aspectos se van a estudiar (cuadros, anotaciones, dispositivos mecánicos). Las ventajas y desventajas son: • Ventajas. Los fenómenos se analizan con un carácter de totalidad. Los hechos se estudian sin intermediarios. • Limitaciones. Distinguir entre hechos observados y la interpretación personal. Cada individuo tiene una forma distinta de observar. Aplicación. La empresa utilizó para hallar problemas de tensión y saturación el método de la observación estructurada, ya que tuvo que realizar mediciones en cada transformador con instrumentos adecuados para tales fines. 243

5. Determinación del tamaño muestral. Cálculo del error de estimación. Fundamento teórico. La ecuación para determinar el tamaño de una muestra cuando se quiere realizar una estimación de la proporción de una población infinita es la siguiente:

donde:

Z  n0 = pˆ (1 − pˆ )  α / 2   e 

2

pˆ es la proporción muestral de la categoría éxito y se halla mediante: pˆ =

X (X es el n

número de elementos éxito de la muestra y n el tamaño muestral).

qˆ es la proporción muestral de la categoría fracaso y es igual a 1 − pˆ Z es el valor crítico que corresponde a la probabilidad de encontrar la proporción de la población en un intervalo, y se halla mediante la tabla normal estándar. e es el máximo error que se puede cometer al estimar la proporción poblacional. La ecuación para determinar el tamaño de una muestra, para poblaciones finitas es:

n=

n0 N n0 + ( N − 1)

donde:

n0 es el tamaño de la muestra para poblaciones infinitas. N es el tamaño de la población. Combinando las dos ecuaciones anteriores, se tiene:

n=

ˆ ˆ 2N pqz ˆ ˆ 2 + e 2 ( N − 1) pqz

que es la ecuación a usar para determinar el tamaño de la muestra para estimar la verdadera proporción de una población finita. Aplicación. Los datos para hallar el error máximo que se puede cometer en este estudio son: Sistema 1: Tamaño de la población: 1613

Tamaño muestral: 93 244

Sistema 2: Tamaño de la población: 1898 Sistema 3:

Tamaño muestral: 94

Tamaño de la población: 245

Tamaño muestral: 33

Despejando de la anterior ecuación el error, se tiene:

e=

ˆ ˆ 2 ( N − n) pqz n( N − 1)

Otros datos que se necesitan son:

pˆ = 0.5 y qˆ = 0.5 , suponiendo

que existe la misma probabilidad de que los transformadores muestreados tengan problemas de tensión o de saturación.

z = 1.96, suponiendo que existe una probabilidad del 95% de encontrar la verdadera proporción de la población en un intervalo. El máximo error que se comete en los distintos sistemas es: Sistema 1: Tamaño de la población: 1613

Tamaño muestral: 93

Error: 10%

Tamaño muestral: 94

Error: 10%

Tamaño muestral: 33

Error: 16%

Sistema 2: Tamaño de la población: 1898 Sistema 3: Tamaño de la población: 245

Se puede observar que por alguna razón, el error en el sistema 3 es más alto que en los otros dos sistemas. 6. Recopilación de datos. Aplicación. Los datos muestrales que se recopilaron son los siguientes, para cada sistema: Sistema 1: 245

Problemas de tensión: 14

Problemas de saturación: 6

Sistema 2: Problemas de tensión: 2 Sistema 3:

Problemas de saturación: 0

Problemas de tensión: 0

Problemas de saturación: 1

7. Cálculo del intervalo de confianza para estimar la proporción de la población. Fundamento teórico. Inferencia estadística. Es la rama de la Estadística que se ocupa del uso de los conceptos de la probabilidad para afrontar la incertidumbre en la toma de decisiones. Los conceptos básicos de las distribuciones muestrales, sirven como base para la estadística inferencial. Esta comprende dos áreas: • La estimación, que consiste en estimar los valores de los parámetros de la población bajo estudio. • Las pruebas de hipótesis, que constituyen el proceso de aceptar o rechazar declaraciones, generalmente relacionadas con parámetros poblacionales. Tipos de estimaciones. Un estimador es un estadístico muestral con el cual se estima un parámetro de la población. Una estimación es un valor específico observado de un estadístico. En la vida real se desconocen los valores de los parámetros de las poblaciones que se estudian. Se pretende entonces estimar estos valores que son de interés en nuestro estudio. Para esto puede hacerse una: • Estimación puntual, que es un valor único que pretende estimar el valor del parámetro poblacional estudiado. Dos estimadores puntuales que utilizamos con frecuencia en estadística son: la media muestral

x=

1 n ∑x n i=1 i

como estimador de la media poblacional, y la varianza muestral

1 n 2 S = x i − x) ( ∑ n − 1 i= 1 2

como estimador de la varianza poblacional. 246

• Estimación por intervalo, que es un intervalo numérico en donde se pretende se encuentra el valor del parámetro bajo estudio. Estimación por intervalos. Una desventaja de los estimadores puntuales, es que no sabemos que tan cerca se encuentran del valor del parámetro que estiman. No tenemos ninguna medida que nos indica que tan precisa es nuestra estimación. Con el fin de obtener alguna medida de la precisión en nuestra estimación, se utiliza la estimación por intervalos. El objetivo es determinar un intervalo de valores (intervalo de confianza), el cual incluirá el valor del parámetro con una probabilidad prefijada (1 - α), donde “α”, es la probabilidad de que el intervalo no contenga al verdadero valor del parámetro, y es denominado nivel de significancia o riesgo. El intervalos de confianza para estimar la verdadera proporción de la población, es:

 ˆ ˆ  pˆ (1 − p) pˆ (1 − p) ˆ Zα * P =  pˆ - Z α * ≤ p ≤ p+  = 1 - α 2 2 n n   Aplicación. Con la información muestral se procede a calcular las proporciones muestrales para cada sistema y característica: Sistema 1:

14 = 0.15054 93 6 Proporción con problemas de saturación: pS = = 0.06452 93

Proporción con problemas de tensión: pT =

Sistema 2:

2 = 0.02128 94 0 =0 Proporción con problemas de saturación: pS = 94

Proporción con problemas de tensión: pT =

Sistema 3: Proporción con problemas de tensión: pT =

0 =0 33

247

Proporción con problemas de saturación: pS =

1 = 0.03030 33

Por último se calcula los intervalos de confianza para cada proporción en cada sistema, mediante la fórmula:

 ˆ ˆ  pˆ (1 − p) pˆ (1 − p) ˆ Zα * P =  pˆ - Z α * ≤ p ≤ p+  = 1 - α 2 2 n n   Sistema 1: Intervalo de confianza para estimar la proporción de la población con problemas de tensión:

 0.15054 (1 − 0.15054) 0.15054 (1 − 0.15054)  ≤ p ≤ 0.15054 +1.96 P =  0.15054 -1.96  = 95% 93 93   P = ( 7.8% ≤ p ≤ 22.3%) = 95% Se puede decir que hay una probabilidad del 95% de que la proporción de la población de transformadores con problemas de tensión esté entre 7.8% y 22.3%. Intervalo de confianza para estimar la proporción de la población con problemas de saturación:

P = (1.5% ≤ p ≤ 11.4%) = 95%

Existe una probabilidad del 95% de que la proporción de la población de transformadores con problemas de saturación esté entre 1.5% y 11.4%. Sistema 2: Intervalo de confianza para estimar la proporción de la población con problemas de tensión:

P = ( 0% ≤ p ≤ 5.0%) = 95% Se puede decir que hay una probabilidad del 95% de que la proporción de la población de transformadores con problemas de tensión esté entre 0% y 5.0%. Intervalo de confianza para estimar la proporción de la población con problemas de saturación:

P = ( 0% ≤ p ≤ 0%) = 95%

Existe una probabilidad del 95% de que la proporción de la población de transformadores con problemas de saturación sea del 0%. 248

Sistema 3: Intervalo de confianza para estimar la proporción de la población con problemas de tensión:

P = ( 0% ≤ p ≤ 0%) = 95% Se puede decir que hay una probabilidad del 95% de que la proporción de la población de transformadores con problemas de tensión esté entre 0% y 0%. Intervalo de confianza para estimar la proporción de la población con problemas de saturación:

P = ( 0% ≤ p ≤ 8.9%) = 95% Existe una probabilidad del 95% de que la proporción de la población de transformadores con problemas de saturación esté entre el 0% y 8.9%. 8. Análisis e interpretación de los resultados. Aplicación. La empresa X quiere saber el número de transformadores de la población que tienen problemas de tensión y saturación. Por lo tanto vamos a determinar los intervalos de confianza no en proporciones, sino en valores. Sistema 1. Población: 1613 Existe una probabilidad del 95% de que el número de transformadores con problemas de tensión sea de 126 a 360. Existe una probabilidad del 95% de que el número de transformadores con problemas de saturación sea de 24 a 185. Se determinó que el máximo error que se pudo cometer en esta estimación es del 10%. Sistema 2. Población: 1898 Existe una probabilidad del 95% de que el número de transformadores con problemas de tensión sea de 0 a 96. Existe una probabilidad del 95% de que el número de transformadores con problemas de saturación sea de 0. Se determinó que el máximo error que se pudo cometer en esta estimación es del 10%. Sistema 3. Población: 245 Existe una probabilidad del 95% de que el número de transformadores con problemas de tensión sea de 0. 249

Existe una probabilidad del 95% de que el número de transformadores con problemas de saturación sea de 0 a 22. Se determinó que el máximo error que se pudo cometer en esta estimación es del 16%. 9. Recomendaciones. Se recomienda a la empresa X que amplié el tamaño de su muestra en los tres sistemas, sobre todo en el 3, para que el máximo error en la estimación de la verdadera proporción de la población sea del 5% en cada caso, error que es recomendable estadísticamente, y vuelva a realizar los cálculos respectivos.

250

7

6

5

4

3

0.9962

0.9998

1.0000

1.0000

2

3

4

5

1.0000

5

0.9556

1.0000

4

0.6983

0.9999

3

1

0.9978

2

0

0.9672

1.0000

4

0.7351

1.0000

3

1

0.9988

2

0

0.9774

1.0000

3

0.7738

0.9995

2

1

0.9860

0

0.8145

0.9999

2

1

0.9928

1

0

0.8574

0

0.9975

1

2

0.05

0.9025

x

0

N

0.10

1.0000

0.9998

0.9973

0.9743

0.8503

0.4783

1.0000

0.9999

0.9987

0.9842

0.8857

0.5314

1.0000

0.9995

0.9914

0.9185

0.5905

0.9999

0.9963

0.9477

0.6561

0.9990

0.9720

0.7290

0.9900

0.8100

0.15

0.9999

0.9988

0.9879

0.9262

0.7166

0.3206

1.0000

0.9996

0.9941

0.9527

0.7765

0.3771

0.9999

0.9978

0.9734

0.8352

0.4437

0.9995

0.9880

0.8905

0.5220

0.9966

0.9393

0.6141

0.9775

0.7225

0.20

0.9996

0.9953

0.9667

0.8520

0.5767

0.2097

0.9999

0.9984

0.9830

0.9011

0.6554

0.2621

0.9997

0.9933

0.9421

0.7373

0.3277

0.9984

0.9728

0.8192

0.4096

0.9920

0.8960

0.5120

0.9600

0.6400

0.25

0.9987

0.9871

0.9294

0.7564

0.4449

0.1335

0.9998

0.9954

0.9624

0.8306

0.5339

0.1780

0.9990

0.9844

0.8965

0.6328

0.2373

0.9961

0.9492

0.7383

0.3164

0.9844

0.8438

0.4219

0.9375

0.5625

0.30

0.9962

0.9712

0.8740

0.6471

0.3294

0.0824

0.9993

0.9891

0.9295

0.7443

0.4202

0.1176

0.9976

0.9692

0.8369

0.5282

0.1681

0.9919

0.9163

0.6517

0.2401

0.9730

0.7840

0.3430

0.9100

0.4900

0.35

0.9910

0.9444

0.8002

0.5323

0.2338

0.0490

0.9982

0.9777

0.8826

0.6471

0.3191

0.0754

0.9947

0.9460

0.7648

0.4284

0.1160

0.9850

0.8735

0.5630

0.1785

0.9571

0.7183

0.2746

0.8775

0.4225

0.40

0.9812

0.9037

0.7102

0.4199

0.1586

0.0280

0.9959

0.9590

0.8208

0.5443

0.2333

0.0467

0.9898

0.9130

0.6826

0.3370

0.0778

0.9744

0.8208

0.4752

0.1296

0.9360

0.6480

0.2160

0.8400

0.3600

0.45

0.50

0.9375

0.7734

0.5000

0.2266

0.0625

0.0078

0.9844

0.8906

0.6563

0.3438

0.1094

0.0156

0.9688

0.8125

0.5000

0.1875

0.0313

0.9375

0.6875

0.3125

0.0625

0.8750

0.5000

0.1250

0.7500

0.2500

250

0.9643

0.8471

0.6083

0.3164

0.1024

0.0152

0.9917

0.9308

0.7447

0.4415

0.1636

0.0277

0.9815

0.8688

0.5931

0.2562

0.0503

0.9590

0.7585

0.3910

0.0915

0.9089

0.5748

0.1664

0.7975

0.3025

P 0.55

0.8976

0.6836

0.3917

0.1529

0.0357

0.0037

0.9723

0.8364

0.5585

0.2553

0.0692

0.0083

0.9497

0.7438

0.4069

0.1312

0.0185

0.9085

0.6090

0.2415

0.0410

0.8336

0.4253

0.0911

0.6975

0.2025

0.60

0.8414

0.5801

0.2898

0.0963

0.0188

0.0016

0.9533

0.7667

0.4557

0.1792

0.0410

0.0041

0.9222

0.6630

0.3174

0.0870

0.0102

0.8704

0.5248

0.1792

0.0256

0.7840

0.3520

0.0640

0.6400

0.1600

0.7662

0.4677

0.1998

0.0556

0.0090

0.0006

0.9246

0.6809

0.3529

0.1174

0.0223

0.0018

0.8840

0.5716

0.2352

0.0540

0.0053

0.8215

0.4370

0.1265

0.0150

0.7254

0.2818

0.0429

0.5775

0.6706

0.3529

0.1260

0.0288

0.0038

0.0002

0.8824

0.5798

0.2557

0.0705

0.0109

0.0007

0.8319

0.4718

0.1631

0.0308

0.0024

0.7599

0.3483

0.0837

0.0081

0.6570

0.2160

0.0270

0.5100

0.0900

0.70

k

0.1225

0.65

k=0

x

0.5551

0.2436

0.0706

0.0129

0.0013

0.0001

0.8220

0.4661

0.1694

0.0376

0.0046

0.0002

0.7627

0.3672

0.1035

0.0156

0.0010

0.6836

0.2617

0.0508

0.0039

0.5781

0.1563

0.0156

0.4375

0.0625

0.75

Tabla I - Distribución Binomial Acumulada: B(x; n, p) = ∑  n  p k (1 − p) n −k 0.80

0.4233

0.1480

0.0333

0.0047

0.0004

0.0000

0.7379

0.3446

0.0989

0.0170

0.0016

0.0001

0.6723

0.2627

0.0579

0.0067

0.0003

0.5904

0.1808

0.0272

0.0016

0.4880

0.1040

0.0080

0.3600

0.0400

0.85

0.2834

0.0738

0.0121

0.0012

0.0001

0.0000

0.6229

0.2235

0.0473

0.0059

0.0004

0.0000

0.5563

0.1648

0.0266

0.0022

0.0001

0.4780

0.1095

0.0120

0.0005

0.3859

0.0608

0.0034

0.2775

0.0225

0.90

0.1497

0.0257

0.0027

0.0002

0.0000

0.0000

0.4686

0.1143

0.0159

0.0013

0.0001

0.0000

0.4095

0.0815

0.0086

0.0005

0.0000

0.3439

0.0523

0.0037

0.0001

0.2710

0.0280

0.0010

0.1900

0.0100

0.95

0.0444

0.0038

0.0002

0.0000

0.0000

0.0000

0.2649

0.0328

0.0022

0.0001

0.0000

0.0000

0.2262

0.0226

0.0012

0.0000

0.0000

0.1855

0.0140

0.0005

0.0000

0.1426

0.0072

0.0001

0.0975

0.0025

10

0.9990

0.9999

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

3

4

5

6

7

8

9

1.0000

8

0.9885

1.0000

7

2

1.0000

6

0.9139

1.0000

5

0.5987

1.0000

4

1

0.9994

3

0

0.9916

1.0000

7

2

1.0000

6

0.9288

1.0000

5

0.6302

1.0000

4

1

0.9996

3

0

0.9942

2

9

0.9428

1

0.05

0.6634

x

0

8

1.0000

n

6

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

0.9999

0.9984

0.9872

0.9298

0.7361

0.3487

1.0000

1.0000

1.0000

0.9999

0.9991

0.9917

0.9470

0.7748

0.3874

1.0000

1.0000

1.0000

0.9996

0.9950

0.9619

0.8131

0.4305

0.10

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

0.9999

0.9986

0.9901

0.9500

0.8202

0.5443

0.1969

1.0000

1.0000

1.0000

0.9994

0.9944

0.9661

0.8591

0.5995

0.2316

1.0000

1.0000

0.9998

0.9971

0.9786

0.8948

0.6572

0.2725

0.15

1.0000

1.0000

1.0000

0.9999

0.9991

0.9936

0.9672

0.8791

0.6778

0.3758

0.1074

1.0000

1.0000

0.9997

0.9969

0.9804

0.9144

0.7382

0.4362

0.1342

1.0000

0.9999

0.9988

0.9896

0.9437

0.7969

0.5033

0.1678

0.20

1.0000

1.0000

1.0000

0.9996

0.9965

0.9803

0.9219

0.7759

0.5256

0.2440

0.0563

1.0000

0.9999

0.9987

0.9900

0.9511

0.8343

0.6007

0.3003

0.0751

1.0000

0.9996

0.9958

0.9727

0.8862

0.6785

0.3671

0.1001

0.25

0.9999

1.0000

0.9999

0.9984

0.9894

0.9527

0.8497

0.6496

0.3828

0.1493

0.0282

1.0000

0.9996

0.9957

0.9747

0.9012

0.7297

0.4628

0.1960

0.0404

0.9999

0.9987

0.9887

0.9420

0.8059

0.5518

0.2553

0.0576

0.30

0.9998

1.0000

0.9995

0.9952

0.9740

0.9051

0.7515

0.5138

0.2616

0.0860

0.0135

0.9999

0.9986

0.9888

0.9464

0.8283

0.6089

0.3373

0.1211

0.0207

0.9998

0.9964

0.9747

0.8939

0.7064

0.4278

0.1691

0.0319

0.35

0.9994

0.9999

0.9983

0.9877

0.9452

0.8338

0.6331

0.3823

0.1673

0.0464

0.0060

0.9997

0.9962

0.9750

0.9006

0.7334

0.4826

0.2318

0.0705

0.0101

0.9993

0.9915

0.9502

0.8263

0.5941

0.3154

0.1064

0.0168

0.40

0.9984

0.50

0.9990

0.9893

0.9453

0.8281

0.6230

0.3770

0.1719

0.0547

0.0107

0.0010

0.9980

0.9805

0.9102

0.7461

0.5000

0.2539

0.0898

0.0195

0.0020

0.9961

0.9648

0.8555

0.6367

0.3633

0.1445

0.0352

0.0039

P

0.9922

251

0.9997

0.9955

0.9726

0.8980

0.7384

0.5044

0.2660

0.0996

0.0233

0.0025

0.9992

0.9909

0.9502

0.8342

0.6214

0.3614

0.1495

0.0385

0.0046

0.9983

0.9819

0.9115

0.7396

0.4770

0.2201

0.0632

0.0084

0.45

0.9963

0.9975

0.9767

0.9004

0.7340

0.4956

0.2616

0.1020

0.0274

0.0045

0.0003

0.9954

0.9615

0.8505

0.6386

0.3786

0.1658

0.0498

0.0091

0.0008

0.9916

0.9368

0.7799

0.5230

0.2604

0.0885

0.0181

0.0017

0.55

0.9848

0.9940

0.9536

0.8327

0.6177

0.3669

0.1662

0.0548

0.0123

0.0017

0.0001

0.9899

0.9295

0.7682

0.5174

0.2666

0.0994

0.0250

0.0038

0.0003

0.9832

0.8936

0.6846

0.4059

0.1737

0.0498

0.0085

0.0007

0.60

0.9720

0.9865

0.9140

0.7384

0.4862

0.2485

0.0949

0.0260

0.0048

0.0005

0.0000

0.9793

0.8789

0.6627

0.3911

0.1717

0.0536

0.0112

0.0014

0.0001

0.9681

0.8309

0.5722

0.2936

0.1061

0.0253

0.0036

0.0002

0.65

0.9510

0.9718

0.8507

0.6172

0.3504

0.1503

0.0473

0.0106

0.0016

0.0001

0.0000

0.9596

0.8040

0.5372

0.2703

0.0988

0.0253

0.0043

0.0004

0.0000

0.9424

0.7447

0.4482

0.1941

0.0580

0.0113

0.0013

0.0001

0.70

0.9176

0.9437

0.7560

0.4744

0.2241

0.0781

0.0197

0.0035

0.0004

0.0000

0.0000

0.9249

0.6997

0.3993

0.1657

0.0489

0.0100

0.0013

0.0001

0.0000

0.8999

0.6329

0.3215

0.1138

0.0273

0.0042

0.0004

0.0000

0.75

0.8665

0.8926

0.6242

0.3222

0.1209

0.0328

0.0064

0.0009

0.0001

0.0000

0.0000

0.8658

0.5638

0.2618

0.0856

0.0196

0.0031

0.0003

0.0000

0.0000

0.8322

0.4967

0.2031

0.0563

0.0104

0.0012

0.0001

0.0000

0.80

0.7903

0.8031

0.4557

0.1798

0.0500

0.0099

0.0014

0.0001

0.0000

0.0000

0.0000

0.7684

0.4005

0.1409

0.0339

0.0056

0.0006

0.0000

0.0000

0.0000

0.7275

0.3428

0.1052

0.0214

0.0029

0.0002

0.0000

0.0000

0.85

0.6794

0.6513

0.2639

0.0702

0.0128

0.0016

0.0001

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.6126

0.2252

0.0530

0.0083

0.0009

0.0001

0.0000

0.0000

0.0000

0.5695

0.1869

0.0381

0.0050

0.0004

0.0000

0.0000

0.0000

0.90

0.5217

0.4013

0.0861

0.0115

0.0010

0.0001

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.3698

0.0712

0.0084

0.0006

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.3366

0.0572

0.0058

0.0004

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.95

0.3017

0.9998

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

5

6

7

8

9

10

11

1.0000

10

4

1.0000

9

0.9978

1.0000

8

3

1.0000

7

0.9804

1.0000

6

2

1.0000

5

0.8816

0.9999

4

0.5404

0.9984

3

1

0.9848

2

0

0.8981

1

12

0.5688

0

11

0.05

x

n

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

0.9999

0.9995

0.9957

0.9744

0.8891

0.6590

0.2824

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

0.9997

0.9972

0.9815

0.9104

0.6974

0.3138

0.10

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

0.9999

0.9993

0.9954

0.9761

0.9078

0.7358

0.4435

0.1422

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

0.9997

0.9973

0.9841

0.9306

0.7788

0.4922

0.1673

0.15

1.0000

1.0000

1.0000

0.9999

0.9994

0.9961

0.9806

0.9274

0.7946

0.5583

0.2749

0.0687

1.0000

1.0000

1.0000

0.9998

0.9980

0.9883

0.9496

0.8389

0.6174

0.3221

0.0859

0.20

1.0000

1.0000

1.0000

0.9996

0.9972

0.9857

0.9456

0.8424

0.6488

0.3907

0.1584

0.0317

1.0000

1.0000

0.9999

0.9988

0.9924

0.9657

0.8854

0.7133

0.4552

0.1971

0.0422

0.25

1.0000

1.0000

0.9998

0.9983

0.9905

0.9614

0.8822

0.7237

0.4925

0.2528

0.0850

0.0138

1.0000

1.0000

0.9994

0.9957

0.9784

0.9218

0.7897

0.5696

0.3127

0.1130

0.0198

0.30

1.0000

0.9999

0.9992

0.9944

0.9745

0.9154

0.7873

0.5833

0.3467

0.1513

0.0424

0.0057

1.0000

0.9998

0.9980

0.9878

0.9499

0.8513

0.6683

0.4256

0.2001

0.0606

0.0088

0.35

1.0000

0.9997

0.9972

0.9847

0.9427

0.8418

0.6652

0.4382

0.2253

0.0834

0.0196

0.0022

1.0000

0.9993

0.9941

0.9707

0.9006

0.7535

0.5328

0.2963

0.1189

0.0302

0.0036

0.40

P

0.9998

0.9968

0.9807

0.9270

0.8062

0.6128

0.3872

0.1938

0.0730

0.0193

0.0032

0.0002

0.9995

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0.9967

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0012 0.0054 0.0193 0.0569 0.1390 0.2825 0.4813 0.6943 0.8647 0.9605 0.9944

0.75 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006 0.0031 0.0124 0.0402 0.1071 0.2347 0.4261 0.6470 0.8363 0.9499 0.9925

0.9900

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0009 0.0043 0.0163 0.0513 0.1329 0.2836 0.4990 0.7287 0.9009 0.9820

0.80 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0026 0.0109 0.0377 0.1057 0.2418 0.4511 0.6904 0.8818 0.9775

0.9719

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0027 0.0118 0.0419 0.1206 0.2798 0.5203 0.7759 0.9464

0.85 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0017 0.0083 0.0319 0.0987 0.2444 0.4802 0.7475 0.9369

0.9257

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0012 0.0064 0.0282 0.0982 0.2662 0.5497 0.8499

0.90 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0008 0.0047 0.0221 0.0826 0.2382 0.5182 0.8332

0.8147

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0015 0.0109 0.0581 0.2265 0.6028

0.95 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0012 0.0088 0.0503 0.2078 0.5819

0.5599

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

n 19

20

0.3585 0.7358 0.9245 0.9841 0.9974 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.05 0.3774 0.7547 0.9335 0.9868 0.9980 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.1216 0.3917 0.6769 0.8670 0.9568 0.9887 0.9976 0.9996 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.10 0.1351 0.4203 0.7054 0.8850 0.9648 0.9914 0.9983 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0388 0.1756 0.4049 0.6477 0.8298 0.9327 0.9781 0.9941 0.9987 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.15 0.0456 0.1985 0.4413 0.6841 0.8556 0.9463 0.9837 0.9959 0.9992 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0115 0.0692 0.2061 0.4114 0.6296 0.8042 0.9133 0.9679 0.9900 0.9974 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.20 0.0144 0.0829 0.2369 0.4551 0.6733 0.8369 0.9324 0.9767 0.9933 0.9984 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0032 0.0243 0.0913 0.2252 0.4148 0.6172 0.7858 0.8982 0.9591 0.9861 0.9961 0.9991 0.9998 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.25 0.0042 0.0310 0.1113 0.2631 0.4654 0.6678 0.8251 0.9225 0.9713 0.9911 0.9977 0.9995 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0008 0.0076 0.0355 0.1071 0.2375 0.4164 0.6080 0.7723 0.8867 0.9520 0.9829 0.9949 0.9987 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.30 0.0011 0.0104 0.0462 0.1332 0.2822 0.4739 0.6655 0.8180 0.9161 0.9674 0.9895 0.9972 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0002 0.0021 0.0121 0.0444 0.1182 0.2454 0.4166 0.6010 0.7624 0.8782 0.9468 0.9804 0.9940 0.9985 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.35 0.0003 0.0031 0.0170 0.0591 0.1500 0.2968 0.4812 0.6656 0.8145 0.9125 0.9653 0.9886 0.9969 0.9993 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0005 0.0036 0.0160 0.0510 0.1256 0.2500 0.4159 0.5956 0.7553 0.8725 0.9435 0.9790 0.9935 0.9984 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.40 0.0001 0.0008 0.0055 0.0230 0.0696 0.1629 0.3081 0.4878 0.6675 0.8139 0.9115 0.9648 0.9884 0.9969 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0013 0.0059 0.0207 0.0577 0.1316 0.2517 0.4119 0.5881 0.7483 0.8684 0.9423 0.9793 0.9941 0.9987 0.9998 1.0000 1.0000

P 0.50 0.0000 0.0000 0.0004 0.0022 0.0096 0.0318 0.0835 0.1796 0.3238 0.5000 0.6762 0.8204 0.9165 0.9682 0.9904 0.9978 0.9996 1.0000 1.0000

256

0.0000 0.0001 0.0009 0.0049 0.0189 0.0553 0.1299 0.2520 0.4143 0.5914 0.7507 0.8692 0.9420 0.9786 0.9936 0.9985 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000

0.45 0.0000 0.0002 0.0015 0.0077 0.0280 0.0777 0.1727 0.3169 0.4940 0.6710 0.8159 0.9129 0.9658 0.9891 0.9972 0.9995 0.9999 1.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0015 0.0064 0.0214 0.0580 0.1308 0.2493 0.4086 0.5857 0.7480 0.8701 0.9447 0.9811 0.9951 0.9991 0.9999 1.0000

0.55 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0028 0.0109 0.0342 0.0871 0.1841 0.3290 0.5060 0.6831 0.8273 0.9223 0.9720 0.9923 0.9985 0.9998 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0016 0.0065 0.0210 0.0565 0.1275 0.2447 0.4044 0.5841 0.7500 0.8744 0.9490 0.9840 0.9964 0.9995 1.0000

0.60 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006 0.0031 0.0116 0.0352 0.0885 0.1861 0.3325 0.5122 0.6919 0.8371 0.9304 0.9770 0.9945 0.9992 0.9999 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0015 0.0060 0.0196 0.0532 0.1218 0.2376 0.3990 0.5834 0.7546 0.8818 0.9556 0.9879 0.9979 0.9998

0.65 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0007 0.0031 0.0114 0.0347 0.0875 0.1855 0.3344 0.5188 0.7032 0.8500 0.9409 0.9830 0.9969 0.9997 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0013 0.0051 0.0171 0.0480 0.1133 0.2277 0.3920 0.5836 0.7625 0.8929 0.9645 0.9924 0.9992

0.70 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006 0.0028 0.0105 0.0326 0.0839 0.1820 0.3345 0.5261 0.7178 0.8668 0.9538 0.9896 0.9989 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0009 0.0039 0.0139 0.0409 0.1018 0.2142 0.3828 0.5852 0.7748 0.9087 0.9757 0.9968

0.75 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0005 0.0023 0.0089 0.0287 0.0775 0.1749 0.3322 0.5346 0.7369 0.8887 0.9690 0.9958 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0006 0.0026 0.0100 0.0321 0.0867 0.1958 0.3704 0.5886 0.7939 0.9308 0.9885

0.80 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0016 0.0067 0.0233 0.0676 0.1631 0.3267 0.5449 0.7631 0.9171 0.9856 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0013 0.0059 0.0219 0.0673 0.1702 0.3523 0.5951 0.8244 0.9612

0.85 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0008 0.0041 0.0163 0.0537 0.1444 0.3159 0.5587 0.8015 0.9544 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0004 0.0024 0.0113 0.0432 0.1330 0.3231 0.6083 0.8784

0.90 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0017 0.0086 0.0352 0.1150 0.2946 0.5797 0.8649

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0026 0.0159 0.0755 0.2642 0.6415

0.95 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0002 0.0020 0.0132 0.0665 0.2453 0.6226

257

e −λ λ k k! k =0 x

Tabla II - Distribución de Poisson Acumulada: F(x; λ ) = ∑

x

0

1

2

3

4

5

6

0.980 0.961 0.942 0.923 0.905 0.861 0.819 0.779 0.741 0.705 0.670 0.638 0.607 0.577 0.549 0.522 0.497 0.472 0.449 0.427 0.407 0.387 0.368 0.333 0.301 0.273 0.247 0.223 0.202 0.183 0.165 0.150 0.135

1.000 0.999 0.998 0.997 0.995 0.990 0.982 0.974 0.963 0.951 0.938 0.925 0.910 0.894 0.878 0.861 0.844 0.827 0.809 0.791 0.772 0.754 0.736 0.699 0.663 0.627 0.592 0.558 0.525 0.493 0.463 0.434 0.406

1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.999 0.998 0.996 0.994 0.992 0.989 0.986 0.982 0.977 0.972 0.966 0.959 0.953 0.945 0.937 0.929 0.920 0.900 0.879 0.857 0.833 0.809 0.783 0.757 0.731 0.704 0.677

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.999 0.998 0.998 0.997 0.996 0.994 0.993 0.991 0.989 0.987 0.984 0.981 0.974 0.966 0.957 0.946 0.934 0.921 0.907 0.891 0.875 0.857

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.999 0.999 0.999 0.998 0.998 0.997 0.996 0.995 0.992 0.989 0.986 0.981 0.976 0.970 0.964 0.956 0.947

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.999 0.998 0.998 0.997 0.996 0.994 0.992 0.990 0.987 0.983

1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.999 0.999 0.998 0.997 0.997 0.995

7

8

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1.000 0.999 0.999 0.997 0.994

1.000 0.999 1.000 0.998 0.999 0.999 1.000 0.997 0.998 0.999 0.999 1.000

λ 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 19 20 21 22 23 24 25

262

Tabla III - Distribución Normal Estándar Acumulada

σz =1 µz = 0 z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 5.0

z

z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.50000 0.53983 0.57926 0.61791 0.65542 0.69146 0.72575 0.75804 0.78814 0.81594 0.84134 0.86433 0.88493 0.90320 0.91924 0.93319 0.94520 0.95543 0.96407 0.97128 0.97725 0.98214 0.98610 0.98928 0.99180 0.99379 0.99534 0.99653 0.99744 0.99813 0.99865 0.99903 0.99931 0.99952 0.99966 0.99977 0.99984 0.99989 0.99993 0.99995 0.99997 1.00000

0.50399 0.54380 0.58317 0.62172 0.65910 0.69497 0.72907 0.76115 0.79103 0.81859 0.84375 0.86650 0.88686 0.90490 0.92073 0.93448 0.94630 0.95637 0.96485 0.97193 0.97778 0.98257 0.98645 0.98956 0.99202 0.99396 0.99547 0.99664 0.99752 0.99819 0.99869 0.99906 0.99934 0.99953 0.99968 0.99978 0.99985 0.99990 0.99993 0.99995 0.99997

0.50798 0.54776 0.58706 0.62552 0.66276 0.69847 0.73237 0.76424 0.79389 0.82121 0.84614 0.86864 0.88877 0.90658 0.92220 0.93574 0.94738 0.95728 0.96562 0.97257 0.97831 0.98300 0.98679 0.98983 0.99224 0.99413 0.99560 0.99674 0.99760 0.99825 0.99874 0.99910 0.99936 0.99955 0.99969 0.99978 0.99985 0.99990 0.99993 0.99996 0.99997

0.51197 0.55172 0.59095 0.62930 0.66640 0.70194 0.73565 0.76730 0.79673 0.82381 0.84849 0.87076 0.89065 0.90824 0.92364 0.93699 0.94845 0.95818 0.96638 0.97320 0.97882 0.98341 0.98713 0.99010 0.99245 0.99430 0.99573 0.99683 0.99767 0.99831 0.99878 0.99913 0.99938 0.99957 0.99970 0.99979 0.99986 0.99990 0.99994 0.99996 0.99997

0.51595 0.55567 0.59483 0.63307 0.67003 0.70540 0.73891 0.77035 0.79955 0.82639 0.85083 0.87286 0.89251 0.90988 0.92507 0.93822 0.94950 0.95907 0.96712 0.97381 0.97932 0.98382 0.98745 0.99036 0.99266 0.99446 0.99585 0.99693 0.99774 0.99836 0.99882 0.99916 0.99940 0.99958 0.99971 0.99980 0.99986 0.99991 0.99994 0.99996 0.99997

0.51994 0.55962 0.59871 0.63683 0.67364 0.70884 0.74215 0.77337 0.80234 0.82894 0.85314 0.87493 0.89435 0.91149 0.92647 0.93943 0.95053 0.95994 0.96784 0.97441 0.97982 0.98422 0.98778 0.99061 0.99286 0.99461 0.99598 0.99702 0.99781 0.99841 0.99886 0.99918 0.99942 0.99960 0.99972 0.99981 0.99987 0.99991 0.99994 0.99996 0.99997

0.52392 0.56356 0.60257 0.64058 0.67724 0.71226 0.74537 0.77637 0.80511 0.83147 0.85543 0.87698 0.89617 0.91308 0.92785 0.94062 0.95154 0.96080 0.96856 0.97500 0.98030 0.98461 0.98809 0.99086 0.99305 0.99477 0.99609 0.99711 0.99788 0.99846 0.99889 0.99921 0.99944 0.99961 0.99973 0.99981 0.99987 0.99992 0.99994 0.99996 0.99998

0.52790 0.56749 0.60642 0.64431 0.68082 0.71566 0.74857 0.77935 0.80785 0.83398 0.85769 0.87900 0.89796 0.91466 0.92922 0.94179 0.95254 0.96164 0.96926 0.97558 0.98077 0.98500 0.98840 0.99111 0.99324 0.99492 0.99621 0.99720 0.99795 0.99851 0.99893 0.99924 0.99946 0.99962 0.99974 0.99982 0.99988 0.99992 0.99995 0.99996 0.99998

0.53188 0.57142 0.61026 0.64803 0.68439 0.71904 0.75175 0.78230 0.81057 0.83646 0.85993 0.88100 0.89973 0.91621 0.93056 0.94295 0.95352 0.96246 0.96995 0.97615 0.98124 0.98537 0.98870 0.99134 0.99343 0.99506 0.99632 0.99728 0.99801 0.99856 0.99896 0.99926 0.99948 0.99964 0.99975 0.99983 0.99988 0.99992 0.99995 0.99997 0.99998

0.53586 0.57535 0.61409 0.65173 0.68793 0.72240 0.75490 0.78524 0.81327 0.83891 0.86214 0.88298 0.90147 0.91774 0.93189 0.94408 0.95449 0.96327 0.97062 0.97670 0.98169 0.98574 0.98899 0.99158 0.99361 0.99520 0.99643 0.99736 0.99807 0.99861 0.99900 0.99929 0.99950 0.99965 0.99976 0.99983 0.99989 0.99992 0.99995 0.99997 0.99998

263

Tabla IV - Distribución Normal Estándar de Cola Superior

σz =1 µz = 0 z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 5.0

z

z

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.50000 0.46017 0.42074 0.38209 0.34458 0.30854 0.27425 0.24196 0.21186 0.18406 0.15866 0.13567 0.11507 0.09680 0.08076 0.06681 0.05480 0.04457 0.03593 0.02872 0.02275 0.01786 0.01390 0.01072 0.00820 0.00621 0.00466 0.00347 0.00256 0.00187 0.00135 0.00097 0.00069 0.00048 0.00034 0.00023 0.00016 0.00011 0.00007 0.00005 0.00003 0.00000

0.49601 0.45620 0.41683 0.37828 0.34090 0.30503 0.27093 0.23885 0.20897 0.18141 0.15625 0.13350 0.11314 0.09510 0.07927 0.06552 0.05370 0.04363 0.03515 0.02807 0.02222 0.01743 0.01355 0.01044 0.00798 0.00604 0.00453 0.00336 0.00248 0.00181 0.00131 0.00094 0.00066 0.00047 0.00032 0.00022 0.00015 0.00010 0.00007 0.00005 0.00003 0.00000

0.49202 0.45224 0.41294 0.37448 0.33724 0.30153 0.26763 0.23576 0.20611 0.17879 0.15386 0.13136 0.11123 0.09342 0.07780 0.06426 0.05262 0.04272 0.03438 0.02743 0.02169 0.01700 0.01321 0.01017 0.00776 0.00587 0.00440 0.00326 0.00240 0.00175 0.00126 0.00090 0.00064 0.00045 0.00031 0.00022 0.00015 0.00010 0.00007 0.00004 0.00003 0.00000

0.48803 0.44828 0.40905 0.37070 0.33360 0.29806 0.26435 0.23270 0.20327 0.17619 0.15151 0.12924 0.10935 0.09176 0.07636 0.06301 0.05155 0.04182 0.03362 0.02680 0.02118 0.01659 0.01287 0.00990 0.00755 0.00570 0.00427 0.00317 0.00233 0.00169 0.00122 0.00087 0.00062 0.00043 0.00030 0.00021 0.00014 0.00010 0.00006 0.00004 0.00003 0.00000

0.48405 0.44433 0.40517 0.36693 0.32997 0.29460 0.26109 0.22965 0.20045 0.17361 0.14917 0.12714 0.10749 0.09012 0.07493 0.06178 0.05050 0.04093 0.03288 0.02619 0.02068 0.01618 0.01255 0.00964 0.00734 0.00554 0.00415 0.00307 0.00226 0.00164 0.00118 0.00084 0.00060 0.00042 0.00029 0.00020 0.00014 0.00009 0.00006 0.00004 0.00003 0.00000

0.48006 0.44038 0.40129 0.36317 0.32636 0.29116 0.25785 0.22663 0.19766 0.17106 0.14686 0.12507 0.10565 0.08851 0.07353 0.06057 0.04947 0.04006 0.03216 0.02559 0.02018 0.01578 0.01222 0.00939 0.00714 0.00539 0.00402 0.00298 0.00219 0.00159 0.00114 0.00082 0.00058 0.00040 0.00028 0.00019 0.00013 0.00009 0.00006 0.00004 0.00003 0.00000

0.47608 0.43644 0.39743 0.35942 0.32276 0.28774 0.25463 0.22363 0.19489 0.16853 0.14457 0.12302 0.10383 0.08692 0.07215 0.05938 0.04846 0.03920 0.03144 0.02500 0.01970 0.01539 0.01191 0.00914 0.00695 0.00523 0.00391 0.00289 0.00212 0.00154 0.00111 0.00079 0.00056 0.00039 0.00027 0.00019 0.00013 0.00008 0.00006 0.00004 0.00002 0.00000

0.47210 0.43251 0.39358 0.35569 0.31918 0.28434 0.25143 0.22065 0.19215 0.16602 0.14231 0.12100 0.10204 0.08534 0.07078 0.05821 0.04746 0.03836 0.03074 0.02442 0.01923 0.01500 0.01160 0.00889 0.00676 0.00508 0.00379 0.00280 0.00205 0.00149 0.00107 0.00076 0.00054 0.00038 0.00026 0.00018 0.00012 0.00008 0.00005 0.00004 0.00002 0.00000

0.46812 0.42858 0.38974 0.35197 0.31561 0.28096 0.24825 0.21770 0.18943 0.16354 0.14007 0.11900 0.10027 0.08379 0.06944 0.05705 0.04648 0.03754 0.03005 0.02385 0.01876 0.01463 0.01130 0.00866 0.00657 0.00494 0.00368 0.00272 0.00199 0.00144 0.00104 0.00074 0.00052 0.00036 0.00025 0.00017 0.00012 0.00008 0.00005 0.00003 0.00002 0.00000

0.46414 0.42465 0.38591 0.34827 0.31207 0.27760 0.24510 0.21476 0.18673 0.16109 0.13786 0.11702 0.09853 0.08226 0.06811 0.05592 0.04551 0.03673 0.02938 0.02330 0.01831 0.01426 0.01101 0.00842 0.00639 0.00480 0.00357 0.00264 0.00193 0.00139 0.00100 0.00071 0.00050 0.00035 0.00024 0.00017 0.00011 0.00008 0.00005 0.00003 0.00002 0.00000

264

Tabla V - Números Aleatorios

62800 70411

8572 27677

7650 40988

47260 66361

48741 73560

5368 53307

44176 46403

3727 62147

25838 66723

76198 11403

48019

17310

22418

87544

43631

19551

32725

6405

29029

14264

93458

72337

47386

99482

11525

3472

19514

8384

56305

96042

32125

21303

42338

18959

69709

35892

16256

44962

96712

29689

19442

58566

97417

53529

69827

96883

11732

1344

17866

78664

34040

28322

69934

47103

42616

54105

83123

79049

59173

63859

16298

81935

2307

82016

76514

62580

19560

77265

38031

25189

98847

97682

59022

74556

17862

46360

24209

7102

73729

14610

39807 80916

63457 1889

30519 73750

48596 21284

80138 13354

54495 75436

17839 81626

3336 64841

86215 24271

34308 88776

50488

66470

18449

12645

67890

73380

89701

92591

52468

13861

21968

67910

66282

79595

25041

46457

79083

95017

84610

75599

81666

59781

34295

34949

57656

58194

44792

19122

13866

95404

83169

20049

17491

3150

56282

71387

10374

4713

2698

17902

40259

1836

48980

50681

63939

65850

36559

65345

73935

38566

79586

39771

16480

70637

51621

94773

86762

15322

2684

78105

90160

84607

47127

54609

34281

93529

72143

41140

55311

29759

84511

591

29606

84684

3390

14074

41962

33471

42782

80865

93354 84738

50907 33621

76761 12955

90997 56678

7055 59917

4118 64128

60561 17835

88681 77722

56353 31762

65529 56772

74206

1329

75405

69039

50134

90499

15096

80281

64773

52543

41072

89757

20877

49842

19806

38741

94350

33459

19506

85843

88588

46360

22243

71751

82899

76063

32333

61241

72458

33005

61297

20492

74025

20501

61268

36053

1890

86124

43853

1444

6832

15442

76519

13667

43249

65257

10215

40209

9306

16856

66176

38161

4655

42685

28347

13293

70052

99530

3437

78235

71885

353

91494

81099

96039

21051

67288

55986

59067

21954

27027 94877

55973 11500

32942 64370

47542 94529

28514 92379

56249 78864

38020 44531

18764 60467

99434 70753

61713 83031

65718

36169

38701

98812

49967

49052

58748

81829

67391

68573

79879

10685

58274

27245

98184

88102

73113

63720

14122

14782

94041

93625

11574

90652

13082

95710

91751

5842

99904

81562

41152

77675

70300

41686

19715

39707

82190

6825

50056

23495

66524

56997

92803

35040

45261

24660

10091

26381

6938

56297

16105

84615

24078

94841

54801

22758

28678

70334

70909

14391

59176

87517

29068

98281

41466

58425

11477

39005

93279

18612

9329

45955

42127

53901

79565

27969

4649

81891

73034

90703

17221

47288

33512

46586

41929

3068

50356

65550

92481

76651

9608

80624

26055

4782

80662

6148

2679

30449

56911

44973

2365

46435

62430

50804

69531

89654

14980

38921

63334

27672

84334

67175

46033

13298

23326

970

48400

58983

97518

49118

265

6916

46777

22145

6316

53599

14508

6072

50624

2926

61380

Tabla VI - Distribución t de Student

0 ν\α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120

∞

tα ,ν

t

0.4

0.25

0.1

0.05

0.025

0.01

0.005

0.0025

0.001

0.0005

0.3249 0.2887 0.2767 0.2707 0.2672 0.2648 0.2632 0.2619 0.2610 0.2602 0.2596 0.2590 0.2586 0.2582 0.2579 0.2576 0.2573 0.2571 0.2569 0.2567 0.2566 0.2564 0.2563 0.2562 0.2561 0.2560 0.2559 0.2558 0.2557 0.2556 0.2555 0.2555 0.2554 0.2553 0.2553 0.2552 0.2552 0.2551 0.2551 0.2550 0.2547 0.2545 0.2543 0.2542 0.2541 0.2540 0.2540 0.2539 0.2530

1.0000 0.8165 0.7649 0.7407 0.7267 0.7176 0.7111 0.7064 0.7027 0.6998 0.6974 0.6955 0.6938 0.6924 0.6912 0.6901 0.6892 0.6884 0.6876 0.6870 0.6864 0.6858 0.6853 0.6848 0.6844 0.6840 0.6837 0.6834 0.6830 0.6828 0.6825 0.6822 0.6820 0.6818 0.6816 0.6814 0.6812 0.6810 0.6808 0.6807 0.6794 0.6786 0.6780 0.6776 0.6772 0.6770 0.6767 0.6765 0.6740

3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759 1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722 1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406 1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253 1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163 1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104 1.3095 1.3086 1.3077 1.3070 1.3062 1.3055 1.3049 1.3042 1.3036 1.3031 1.2987 1.2958 1.2938 1.2922 1.2910 1.2901 1.2893 1.2886 1.2820

6.3137 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150 1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125 1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247 1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081 1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973 1.6955 1.6939 1.6924 1.6909 1.6896 1.6883 1.6871 1.6860 1.6849 1.6839 1.6759 1.6706 1.6669 1.6641 1.6620 1.6602 1.6588 1.6576 1.6450

12.7062 4.3027 3.1824 2.7765 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860 2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595 2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423 2.0395 2.0369 2.0345 2.0322 2.0301 2.0281 2.0262 2.0244 2.0227 2.0211 2.0086 2.0003 1.9944 1.9901 1.9867 1.9840 1.9818 1.9799 1.9600

31.8210 6.9645 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9979 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280 2.5176 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851 2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573 2.4528 2.4487 2.4448 2.4411 2.4377 2.4345 2.4314 2.4286 2.4258 2.4233 2.4033 2.3901 2.3808 2.3739 2.3685 2.3642 2.3607 2.3578 2.3260

63.6559 9.9250 5.8408 4.6041 4.0321 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453 2.8314 2.8188 2.8073 2.7970 2.7874 2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500 2.7440 2.7385 2.7333 2.7284 2.7238 2.7195 2.7154 2.7116 2.7079 2.7045 2.6778 2.6603 2.6479 2.6387 2.6316 2.6259 2.6213 2.6174 2.5760

127.3211 14.0892 7.4532 5.5975 4.7733 4.3168 4.0294 3.8325 3.6896 3.5814 3.4966 3.4284 3.3725 3.3257 3.2860 3.2520 3.2224 3.1966 3.1737 3.1534 3.1352 3.1188 3.1040 3.0905 3.0782 3.0669 3.0565 3.0470 3.0380 3.0298 3.0221 3.0149 3.0082 3.0020 2.9961 2.9905 2.9853 2.9803 2.9756 2.9712 2.9370 2.9146 2.8987 2.8870 2.8779 2.8707 2.8648 2.8599 2.8070

318.2888 22.3285 10.2143 7.1729 5.8935 5.2075 4.7853 4.5008 4.2969 4.1437 4.0248 3.9296 3.8520 3.7874 3.7329 3.6861 3.6458 3.6105 3.5793 3.5518 3.5271 3.5050 3.4850 3.4668 3.4502 3.4350 3.4210 3.4082 3.3963 3.3852 3.3749 3.3653 3.3563 3.3480 3.3400 3.3326 3.3256 3.3190 3.3127 3.3069 3.2614 3.2317 3.2108 3.1952 3.1832 3.1738 3.1660 3.1595 3.0900

636.5776 31.5998 12.9244 8.6101 6.8685 5.9587 5.4081 5.0414 4.7809 4.5868 4.4369 4.3178 4.2209 4.1403 4.0728 4.0149 3.9651 3.9217 3.8833 3.8496 3.8193 3.7922 3.7676 3.7454 3.7251 3.7067 3.6895 3.6739 3.6595 3.6460 3.6335 3.6218 3.6109 3.6007 3.5911 3.5821 3.5737 3.5657 3.5581 3.5510 3.4960 3.4602 3.4350 3.4164 3.4019 3.3905 3.3811 3.3734 3.2910

266

Tabla VII - Distribución Chi-cuadrada

1−α

α

0 ν \α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100

χ2

χ α2 ,ν

0.995

0.99

0.975

0.95

0.50

0.05

0.025

0.01

0.005

0.0000 0.0100 0.0717 0.2070 0.4118 0.6757 0.9893 1.3444 1.7349 2.1558 2.6032 3.0738 3.5650 4.0747 4.6009 5.1422 5.6973 6.2648 6.8439 7.4338 8.0336 8.6427 9.2604 9.8862 10.5196 11.1602 11.8077 12.4613 13.1211 13.7867 14.4577 15.1340 15.8152 16.5013 17.1917 17.8868 18.5859 19.2888 19.9958 20.7066 27.9908 35.5344 43.2753 51.1719 59.1963 67.3275

0.0002 0.0201 0.1148 0.2971 0.5543 0.8721 1.2390 1.6465 2.0879 2.5582 3.0535 3.5706 4.1069 4.6604 5.2294 5.8122 6.4077 7.0149 7.6327 8.2604 8.8972 9.5425 10.1957 10.8563 11.5240 12.1982 12.8785 13.5647 14.2564 14.9535 15.6555 16.3622 17.0735 17.7891 18.5089 19.2326 19.9603 20.6914 21.4261 22.1642 29.7067 37.4848 45.4417 53.5400 61.7540 70.0650

0.0010 0.0506 0.2158 0.4844 0.8312 1.2373 1.6899 2.1797 2.7004 3.2470 3.8157 4.4038 5.0087 5.6287 6.2621 6.9077 7.5642 8.2307 8.9065 9.5908 10.2829 10.9823 11.6885 12.4011 13.1197 13.8439 14.5734 15.3079 16.0471 16.7908 17.5387 18.2908 19.0467 19.8062 20.5694 21.3359 22.1056 22.8785 23.6543 24.4331 32.3574 40.4817 48.7575 57.1532 65.6466 74.2219

0.0039 0.1026 0.3518 0.7107 1.1455 1.6354 2.1673 2.7326 3.3251 3.9403 4.5748 5.2260 5.8919 6.5706 7.2609 7.9616 8.6718 9.3904 10.1170 10.8508 11.5913 12.3380 13.0905 13.8484 14.6114 15.3792 16.1514 16.9279 17.7084 18.4927 19.2806 20.0719 20.8665 21.6643 22.4650 23.2686 24.0749 24.8839 25.6954 26.5093 34.7642 43.1880 51.7393 60.3915 69.1260 77.9294

0.4549 1.3863 2.3660 3.3567 4.3515 5.3481 6.3458 7.3441 8.3428 9.3418 10.3410 11.3403 12.3398 13.3393 14.3389 15.3385 16.3382 17.3379 18.3376 19.3374 20.3372 21.3370 22.3369 23.3367 24.3366 25.3365 26.3363 27.3362 28.3361 29.3360 30.3359 31.3359 32.3358 33.3357 34.3356 35.3356 36.3355 37.3354 38.3354 39.3353 49.3349 59.3347 69.3345 79.3343 89.3342 99.3341

3.8415 5.9915 7.8147 9.4877 11.0705 12.5916 14.0671 15.5073 16.9190 18.3070 19.6752 21.0261 22.3620 23.6848 24.9958 26.2962 27.5871 28.8693 30.1435 31.4104 32.6706 33.9245 35.1725 36.4150 37.6525 38.8851 40.1133 41.3372 42.5569 43.7730 44.9853 46.1942 47.3999 48.6024 49.8018 50.9985 52.1923 53.3835 54.5722 55.7585 67.5048 79.0820 90.5313 101.8795 113.1452 124.3421

5.0239 7.3778 9.3484 11.1433 12.8325 14.4494 16.0128 17.5345 19.0228 20.4832 21.9200 23.3367 24.7356 26.1189 27.4884 28.8453 30.1910 31.5264 32.8523 34.1696 35.4789 36.7807 38.0756 39.3641 40.6465 41.9231 43.1945 44.4608 45.7223 46.9792 48.2319 49.4804 50.7251 51.9660 53.2033 54.4373 55.6680 56.8955 58.1201 59.3417 71.4202 83.2977 95.0231 106.6285 118.1359 129.5613

6.6349 9.2104 11.3449 13.2767 15.0863 16.8119 18.4753 20.0902 21.6660 23.2093 24.7250 26.2170 27.6882 29.1412 30.5780 31.9999 33.4087 34.8052 36.1908 37.5663 38.9322 40.2894 41.6383 42.9798 44.3140 45.6416 46.9628 48.2782 49.5878 50.8922 52.1914 53.4857 54.7754 56.0609 57.3420 58.6192 59.8926 61.1620 62.4281 63.6908 76.1538 88.3794 100.4251 112.3288 124.1162 135.8069

7.8794 10.5965 12.8381 14.8602 16.7496 18.5475 20.2777 21.9549 23.5893 25.1881 26.7569 28.2997 29.8193 31.3194 32.8015 34.2671 35.7184 37.1564 38.5821 39.9969 41.4009 42.7957 44.1814 45.5584 46.9280 48.2898 49.6450 50.9936 52.3355 53.6719 55.0025 56.3280 57.6483 58.9637 60.2746 61.5811 62.8832 64.1812 65.4753 66.7660 79.4898 91.9518 104.2148 116.3209 128.2987 140.1697

267

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 60 120

v2\v1

2

7.50 3.00 2.28 2.00 1.85 1.76 1.70 1.66 1.62 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.51 1.50 1.49 1.49 1.48 1.48 1.47 1.47 1.47 1.46 1.46 1.46 1.45 1.45 1.45 1.45 1.45 1.44 1.44 1.44 1.44 1.44 1.44 1.44 1.42 1.40

1

5.83 2.57 2.02 1.81 1.69 1.62 1.57 1.54 1.51 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.41 1.40 1.40 1.40 1.39 1.39 1.39 1.38 1.38 1.38 1.38 1.38 1.37 1.37 1.37 1.37 1.37 1.37 1.37 1.36 1.36 1.36 1.35 1.34

3

8.20 3.15 2.36 2.05 1.88 1.78 1.72 1.67 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.49 1.48 1.48 1.47 1.47 1.46 1.46 1.45 1.45 1.45 1.45 1.44 1.44 1.44 1.44 1.43 1.43 1.43 1.43 1.43 1.43 1.42 1.41 1.39

4

8.58 3.23 2.39 2.06 1.89 1.79 1.72 1.66 1.63 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.48 1.47 1.47 1.46 1.45 1.45 1.44 1.44 1.44 1.43 1.43 1.43 1.42 1.42 1.42 1.42 1.42 1.41 1.41 1.41 1.41 1.41 1.40 1.38 1.37

5

8.82 3.28 2.41 2.07 1.89 1.79 1.71 1.66 1.62 1.59 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.46 1.45 1.44 1.44 1.43 1.43 1.42 1.42 1.42 1.41 1.41 1.41 1.40 1.40 1.40 1.40 1.40 1.39 1.39 1.39 1.39 1.39 1.37 1.35

6

8.98 3.31 2.42 2.08 1.89 1.78 1.71 1.65 1.61 1.58 1.55 1.53 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.41 1.41 1.40 1.40 1.40 1.39 1.39 1.39 1.38 1.38 1.38 1.38 1.38 1.37 1.37 1.37 1.35 1.33

7

9.10 3.34 2.43 2.08 1.89 1.78 1.70 1.64 1.60 1.57 1.54 1.52 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.43 1.42 1.41 1.41 1.40 1.40 1.39 1.39 1.39 1.38 1.38 1.38 1.37 1.37 1.37 1.37 1.36 1.36 1.36 1.36 1.36 1.33 1.31

8 9.19 3.35 2.44 2.08 1.89 1.78 1.70 1.64 1.60 1.56 1.53 1.51 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.40 1.40 1.39 1.39 1.38 1.38 1.38 1.37 1.37 1.37 1.36 1.36 1.36 1.36 1.35 1.35 1.35 1.35 1.35 1.32 1.30

9.26 3.37 2.44 2.08 1.89 1.77 1.69 1.63 1.59 1.56 1.53 1.51 1.49 1.47 1.46 1.44 1.43 1.42 1.41 1.41 1.40 1.39 1.39 1.38 1.38 1.37 1.37 1.37 1.36 1.36 1.36 1.35 1.35 1.35 1.35 1.34 1.34 1.34 1.34 1.34 1.31 1.29

9 9.32 3.38 2.44 2.08 1.89 1.77 1.69 1.63 1.59 1.55 1.52 1.50 1.48 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.39 1.38 1.38 1.37 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.35 1.34 1.34 1.34 1.34 1.33 1.33 1.33 1.33 1.33 1.30 1.28

10 9.37 3.39 2.45 2.08 1.89 1.77 1.69 1.63 1.58 1.55 1.52 1.49 1.47 1.46 1.44 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.39 1.38 1.37 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.35 1.34 1.34 1.34 1.33 1.33 1.33 1.33 1.32 1.32 1.32 1.32 1.29 1.27

11 9.41 3.39 2.45 2.08 1.89 1.77 1.68 1.62 1.58 1.54 1.51 1.49 1.47 1.45 1.44 1.43 1.41 1.40 1.40 1.39 1.38 1.37 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.34 1.33 1.33 1.33 1.33 1.32 1.32 1.32 1.32 1.31 1.31 1.29 1.26

12 9.44 3.40 2.45 2.08 1.89 1.77 1.68 1.62 1.58 1.54 1.51 1.49 1.47 1.45 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.33 1.32 1.32 1.32 1.32 1.31 1.31 1.31 1.31 1.31 1.28 1.26

13 9.47 3.41 2.45 2.08 1.89 1.76 1.68 1.62 1.57 1.54 1.51 1.48 1.46 1.44 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.33 1.32 1.32 1.32 1.31 1.31 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.27 1.25

14

16 9.52 3.41 2.46 2.08 1.88 1.76 1.68 1.62 1.57 1.53 1.50 1.48 1.46 1.44 1.42 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.36 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.32 1.31 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.26 1.24

268

9.49 3.41 2.46 2.08 1.89 1.76 1.68 1.62 1.57 1.53 1.50 1.48 1.46 1.44 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.37 1.36 1.35 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.32 1.31 1.31 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.30 1.30 1.27 1.24

15 9.53 3.42 2.46 2.08 1.88 1.76 1.67 1.61 1.57 1.53 1.50 1.47 1.45 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.37 1.36 1.35 1.35 1.34 1.33 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.29 1.26 1.23

17 9.55 3.42 2.46 2.08 1.88 1.76 1.67 1.61 1.56 1.53 1.50 1.47 1.45 1.43 1.42 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.36 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.29 1.28 1.28 1.26 1.23

18 9.57 3.42 2.46 2.08 1.88 1.76 1.67 1.61 1.56 1.53 1.49 1.47 1.45 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.35 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.29 1.28 1.28 1.28 1.25 1.22

19 9.58 3.43 2.46 2.08 1.88 1.76 1.67 1.61 1.56 1.52 1.49 1.47 1.45 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.29 1.28 1.28 1.28 1.28 1.25 1.22

20 9.59 3.43 2.46 2.08 1.88 1.76 1.67 1.61 1.56 1.52 1.49 1.47 1.44 1.43 1.41 1.40 1.38 1.37 1.36 1.36 1.35 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.28 1.28 1.28 1.28 1.27 1.27 1.24 1.22

21 9.61 3.43 2.46 2.08 1.88 1.76 1.67 1.61 1.56 1.52 1.49 1.46 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.35 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.28 1.28 1.28 1.28 1.27 1.27 1.27 1.24 1.21

22

Tabla VIII - Distribución F de Fisher ( F 0.25,ν1 ,ν 2 ) 23 9.62 3.43 2.46 2.08 1.88 1.75 1.67 1.61 1.56 1.52 1.49 1.46 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.34 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.28 1.28 1.28 1.27 1.27 1.27 1.27 1.24 1.21

24 9.63 3.43 2.46 2.08 1.88 1.75 1.67 1.60 1.56 1.52 1.49 1.46 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.29 1.29 1.29 1.28 1.28 1.28 1.27 1.27 1.27 1.27 1.26 1.24 1.21

25 9.63 3.44 2.46 2.08 1.88 1.75 1.67 1.60 1.55 1.52 1.49 1.46 1.44 1.42 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.33 1.32 1.31 1.31 1.30 1.30 1.30 1.29 1.29 1.28 1.28 1.28 1.27 1.27 1.27 1.27 1.26 1.26 1.23 1.20

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269

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v2\v1

Distribución F de Fisher ( F 0.10,ν 1 ,ν 2 )

270

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 28 29 30 40 60 120 1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.0 243.9 244.7 245.4 245.9 246.5 246.9 247.3 247.7 248.0 248.3 248.6 248.8 249.1 249.3 249.5 249.8 250.0 250.1 251.1 252.2 253.3 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.40 19.41 19.42 19.42 19.43 19.43 19.44 19.44 19.44 19.45 19.45 19.45 19.45 19.45 19.46 19.46 19.46 19.46 19.46 19.47 19.48 19.49 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.76 8.74 8.73 8.71 8.70 8.69 8.68 8.67 8.67 8.66 8.65 8.65 8.64 8.64 8.63 8.63 8.62 8.62 8.62 8.59 8.57 8.55 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.94 5.91 5.89 5.87 5.86 5.84 5.83 5.82 5.81 5.80 5.79 5.79 5.78 5.77 5.77 5.76 5.75 5.75 5.75 5.72 5.69 5.66 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.70 4.68 4.66 4.64 4.62 4.60 4.59 4.58 4.57 4.56 4.55 4.54 4.53 4.53 4.52 4.52 4.50 4.50 4.50 4.46 4.43 4.40 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 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1.88 1.87 1.85 1.85 1.84 1.79 1.74 1.68 31 4.16 3.30 2.91 2.68 2.52 2.41 2.32 2.25 2.20 2.15 2.11 2.08 2.05 2.03 2.00 1.98 1.96 1.95 1.93 1.92 1.91 1.90 1.88 1.88 1.87 1.86 1.84 1.83 1.83 1.78 1.73 1.67 32 4.15 3.29 2.90 2.67 2.51 2.40 2.31 2.24 2.19 2.14 2.10 2.07 2.04 2.01 1.99 1.97 1.95 1.94 1.92 1.91 1.90 1.88 1.87 1.86 1.85 1.85 1.83 1.82 1.82 1.77 1.71 1.66 33 4.14 3.28 2.89 2.66 2.50 2.39 2.30 2.23 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 2.00 1.98 1.96 1.94 1.93 1.91 1.90 1.89 1.87 1.86 1.85 1.84 1.83 1.82 1.81 1.81 1.76 1.70 1.64 34 4.13 3.28 2.88 2.65 2.49 2.38 2.29 2.23 2.17 2.12 2.08 2.05 2.02 1.99 1.97 1.95 1.93 1.92 1.90 1.89 1.88 1.86 1.85 1.84 1.83 1.82 1.81 1.80 1.80 1.75 1.69 1.63 35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11 2.07 2.04 2.01 1.99 1.96 1.94 1.92 1.91 1.89 1.88 1.87 1.85 1.84 1.83 1.82 1.82 1.80 1.79 1.79 1.74 1.68 1.62 36 4.11 3.26 2.87 2.63 2.48 2.36 2.28 2.21 2.15 2.11 2.07 2.03 2.00 1.98 1.95 1.93 1.92 1.90 1.88 1.87 1.86 1.85 1.83 1.82 1.81 1.81 1.79 1.78 1.78 1.73 1.67 1.61 37 4.11 3.25 2.86 2.63 2.47 2.36 2.27 2.20 2.14 2.10 2.06 2.02 2.00 1.97 1.95 1.93 1.91 1.89 1.88 1.86 1.85 1.84 1.83 1.82 1.81 1.80 1.78 1.77 1.77 1.72 1.66 1.60 38 4.10 3.24 2.85 2.62 2.46 2.35 2.26 2.19 2.14 2.09 2.05 2.02 1.99 1.96 1.94 1.92 1.90 1.88 1.87 1.85 1.84 1.83 1.82 1.81 1.80 1.79 1.77 1.77 1.76 1.71 1.65 1.59 39 4.09 3.24 2.85 2.61 2.46 2.34 2.26 2.19 2.13 2.08 2.04 2.01 1.98 1.95 1.93 1.91 1.89 1.88 1.86 1.85 1.83 1.82 1.81 1.80 1.79 1.78 1.77 1.76 1.75 1.70 1.65 1.58 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.04 2.00 1.97 1.95 1.92 1.90 1.89 1.87 1.85 1.84 1.83 1.81 1.80 1.79 1.78 1.77 1.76 1.75 1.74 1.69 1.64 1.58 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.95 1.92 1.89 1.86 1.84 1.82 1.80 1.78 1.76 1.75 1.73 1.72 1.71 1.70 1.69 1.68 1.66 1.66 1.65 1.59 1.53 1.47 120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.87 1.83 1.80 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 1.64 1.63 1.62 1.61 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.50 1.43 1.35

v2\v1

Distribución F de Fisher ( F 0.05, ν1 , ν 2 )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 60 120

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271

648 799 864 900 922 937 948 957 963 969 973 977 980 983 985 987 989 990 992 993 994 995 996 997 998 999 1000 1001 1001 1006 1010 1014 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40 39.41 39.41 39.42 39.43 39.43 39.44 39.44 39.44 39.45 39.45 39.45 39.45 39.45 39.46 39.46 39.46 39.46 39.46 39.46 39.47 39.48 39.49 17.44 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.37 14.34 14.30 14.28 14.25 14.23 14.21 14.20 14.18 14.17 14.16 14.14 14.13 14.12 14.12 14.11 14.09 14.09 14.08 14.04 13.99 13.95 12.22 10.65 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84 8.79 8.75 8.72 8.68 8.66 8.63 8.61 8.59 8.58 8.56 8.55 8.53 8.52 8.51 8.50 8.49 8.48 8.47 8.46 8.41 8.36 8.31 10.01 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6.57 6.52 6.49 6.46 6.43 6.40 6.38 6.36 6.34 6.33 6.31 6.30 6.29 6.28 6.27 6.26 6.24 6.23 6.23 6.18 6.12 6.07 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.41 5.37 5.33 5.30 5.27 5.24 5.22 5.20 5.18 5.17 5.15 5.14 5.13 5.12 5.11 5.10 5.08 5.07 5.07 5.01 4.96 4.90 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 4.71 4.67 4.63 4.60 4.57 4.54 4.52 4.50 4.48 4.47 4.45 4.44 4.43 4.41 4.40 4.39 4.38 4.37 4.36 4.31 4.25 4.20 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 4.24 4.20 4.16 4.13 4.10 4.08 4.05 4.03 4.02 4.00 3.98 3.97 3.96 3.95 3.94 3.93 3.91 3.90 3.89 3.84 3.78 3.73 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 3.91 3.87 3.83 3.80 3.77 3.74 3.72 3.70 3.68 3.67 3.65 3.64 3.63 3.61 3.60 3.59 3.58 3.57 3.56 3.51 3.45 3.39 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.66 3.62 3.58 3.55 3.52 3.50 3.47 3.45 3.44 3.42 3.40 3.39 3.38 3.37 3.35 3.34 3.33 3.32 3.31 3.26 3.20 3.14 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.47 3.43 3.39 3.36 3.33 3.30 3.28 3.26 3.24 3.23 3.21 3.20 3.18 3.17 3.16 3.15 3.13 3.13 3.12 3.06 3.00 2.94 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.32 3.28 3.24 3.21 3.18 3.15 3.13 3.11 3.09 3.07 3.06 3.04 3.03 3.02 3.01 3.00 2.98 2.97 2.96 2.91 2.85 2.79 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25 3.20 3.15 3.12 3.08 3.05 3.03 3.00 2.98 2.96 2.95 2.93 2.92 2.91 2.89 2.88 2.87 2.85 2.85 2.84 2.78 2.72 2.66 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15 3.09 3.05 3.01 2.98 2.95 2.92 2.90 2.88 2.86 2.84 2.83 2.81 2.80 2.79 2.78 2.77 2.75 2.74 2.73 2.67 2.61 2.55 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06 3.01 2.96 2.92 2.89 2.86 2.84 2.81 2.79 2.77 2.76 2.74 2.73 2.71 2.70 2.69 2.68 2.66 2.65 2.64 2.59 2.52 2.46 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 2.93 2.89 2.85 2.82 2.79 2.76 2.74 2.72 2.70 2.68 2.67 2.65 2.64 2.63 2.61 2.60 2.58 2.58 2.57 2.51 2.45 2.38 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.87 2.82 2.79 2.75 2.72 2.70 2.67 2.65 2.63 2.62 2.60 2.59 2.57 2.56 2.55 2.54 2.52 2.51 2.50 2.44 2.38 2.32 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87 2.81 2.77 2.73 2.70 2.67 2.64 2.62 2.60 2.58 2.56 2.54 2.53 2.52 2.50 2.49 2.48 2.46 2.45 2.44 2.38 2.32 2.26 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.76 2.72 2.68 2.65 2.62 2.59 2.57 2.55 2.53 2.51 2.49 2.48 2.46 2.45 2.44 2.43 2.41 2.40 2.39 2.33 2.27 2.20 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.72 2.68 2.64 2.60 2.57 2.55 2.52 2.50 2.48 2.46 2.45 2.43 2.42 2.41 2.40 2.39 2.37 2.36 2.35 2.29 2.22 2.16 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.73 2.68 2.64 2.60 2.56 2.53 2.51 2.48 2.46 2.44 2.42 2.41 2.39 2.38 2.37 2.36 2.34 2.33 2.32 2.31 2.25 2.18 2.11 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70 2.65 2.60 2.56 2.53 2.50 2.47 2.45 2.43 2.41 2.39 2.37 2.36 2.34 2.33 2.32 2.31 2.29 2.28 2.27 2.21 2.14 2.08 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2.67 2.62 2.57 2.53 2.50 2.47 2.44 2.42 2.39 2.37 2.36 2.34 2.33 2.31 2.30 2.29 2.28 2.26 2.25 2.24 2.18 2.11 2.04 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.64 2.59 2.54 2.50 2.47 2.44 2.41 2.39 2.36 2.35 2.33 2.31 2.30 2.28 2.27 2.26 2.25 2.23 2.22 2.21 2.15 2.08 2.01 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 2.56 2.51 2.48 2.44 2.41 2.38 2.36 2.34 2.32 2.30 2.28 2.27 2.26 2.24 2.23 2.22 2.20 2.19 2.18 2.12 2.05 1.98 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59 2.54 2.49 2.45 2.42 2.39 2.36 2.34 2.31 2.29 2.28 2.26 2.24 2.23 2.22 2.21 2.19 2.17 2.17 2.16 2.09 2.03 1.95 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.80 2.71 2.63 2.57 2.51 2.47 2.43 2.39 2.36 2.34 2.31 2.29 2.27 2.25 2.24 2.22 2.21 2.19 2.18 2.17 2.15 2.14 2.13 2.07 2.00 1.93 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61 2.55 2.49 2.45 2.41 2.37 2.34 2.32 2.29 2.27 2.25 2.23 2.22 2.20 2.19 2.17 2.16 2.15 2.13 2.12 2.11 2.05 1.98 1.91 5.59 4.20 3.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53 2.48 2.43 2.39 2.36 2.32 2.30 2.27 2.25 2.23 2.21 2.20 2.18 2.17 2.15 2.14 2.13 2.11 2.10 2.09 2.03 1.96 1.89 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.46 2.41 2.37 2.34 2.31 2.28 2.26 2.23 2.21 2.20 2.18 2.16 2.15 2.14 2.12 2.11 2.09 2.08 2.07 2.01 1.94 1.87 5.55 4.16 3.57 3.23 3.01 2.85 2.73 2.64 2.56 2.50 2.44 2.40 2.36 2.32 2.29 2.26 2.24 2.22 2.20 2.18 2.16 2.15 2.13 2.12 2.11 2.10 2.07 2.07 2.06 1.99 1.92 1.85 5.53 4.15 3.56 3.22 3.00 2.84 2.71 2.62 2.54 2.48 2.43 2.38 2.34 2.31 2.28 2.25 2.22 2.20 2.18 2.16 2.15 2.13 2.12 2.10 2.09 2.08 2.06 2.05 2.04 1.98 1.91 1.83 5.51 4.13 3.54 3.20 2.98 2.82 2.70 2.61 2.53 2.47 2.41 2.37 2.33 2.29 2.26 2.23 2.21 2.19 2.17 2.15 2.13 2.12 2.10 2.09 2.08 2.06 2.04 2.03 2.03 1.96 1.89 1.81 5.50 4.12 3.53 3.19 2.97 2.81 2.69 2.59 2.52 2.45 2.40 2.35 2.31 2.28 2.25 2.22 2.20 2.17 2.15 2.13 2.12 2.10 2.09 2.07 2.06 2.05 2.03 2.02 2.01 1.95 1.88 1.80 5.48 4.11 3.52 3.18 2.96 2.80 2.68 2.58 2.50 2.44 2.39 2.34 2.30 2.27 2.23 2.21 2.18 2.16 2.14 2.12 2.10 2.09 2.07 2.06 2.05 2.04 2.02 2.01 2.00 1.93 1.86 1.79 5.47 4.09 3.50 3.17 2.94 2.78 2.66 2.57 2.49 2.43 2.37 2.33 2.29 2.25 2.22 2.20 2.17 2.15 2.13 2.11 2.09 2.08 2.06 2.05 2.04 2.03 2.00 2.00 1.99 1.92 1.85 1.77 5.46 4.08 3.49 3.16 2.93 2.77 2.65 2.56 2.48 2.42 2.36 2.32 2.28 2.24 2.21 2.18 2.16 2.14 2.12 2.10 2.08 2.07 2.05 2.04 2.03 2.01 1.99 1.98 1.97 1.91 1.84 1.76 5.45 4.07 3.48 3.15 2.92 2.76 2.64 2.55 2.47 2.41 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.17 2.15 2.13 2.11 2.09 2.07 2.05 2.04 2.03 2.01 2.00 1.98 1.97 1.96 1.90 1.82 1.75 5.43 4.06 3.47 3.14 2.91 2.75 2.63 2.54 2.46 2.40 2.34 2.30 2.26 2.22 2.19 2.16 2.14 2.12 2.10 2.08 2.06 2.04 2.03 2.02 2.00 1.99 1.97 1.96 1.95 1.89 1.81 1.74 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39 2.33 2.29 2.25 2.21 2.18 2.15 2.13 2.11 2.09 2.07 2.05 2.03 2.02 2.01 1.99 1.98 1.96 1.95 1.94 1.88 1.80 1.72 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.22 2.17 2.13 2.09 2.06 2.03 2.01 1.98 1.96 1.94 1.93 1.91 1.90 1.88 1.87 1.86 1.83 1.82 1.82 1.74 1.67 1.58 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16 2.10 2.05 2.01 1.98 1.94 1.92 1.89 1.87 1.84 1.82 1.81 1.79 1.77 1.76 1.75 1.73 1.71 1.70 1.69 1.61 1.53 1.43

1

Distribución F de Fisher ( F 0.025,ν1 , ν 2 )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 60 120

v2\v1

2

4999 99.00 30.82 18.00 13.27 10.92 9.55 8.65 8.02 7.56 7.21 6.93 6.70 6.51 6.36 6.23 6.11 6.01 5.93 5.85 5.78 5.72 5.66 5.61 5.57 5.53 5.49 5.45 5.42 5.39 5.36 5.34 5.31 5.29 5.27 5.25 5.23 5.21 5.19 5.18 4.98 4.79

1

4052 98.50 34.12 21.20 16.26 13.75 12.25 11.26 10.56 10.04 9.65 9.33 9.07 8.86 8.68 8.53 8.40 8.29 8.18 8.10 8.02 7.95 7.88 7.82 7.77 7.72 7.68 7.64 7.60 7.56 7.53 7.50 7.47 7.44 7.42 7.40 7.37 7.35 7.33 7.31 7.08 6.85

3

5404 99.16 29.46 16.69 12.06 9.78 8.45 7.59 6.99 6.55 6.22 5.95 5.74 5.56 5.42 5.29 5.19 5.09 5.01 4.94 4.87 4.82 4.76 4.72 4.68 4.64 4.60 4.57 4.54 4.51 4.48 4.46 4.44 4.42 4.40 4.38 4.36 4.34 4.33 4.31 4.13 3.95

4

5624 99.25 28.71 15.98 11.39 9.15 7.85 7.01 6.42 5.99 5.67 5.41 5.21 5.04 4.89 4.77 4.67 4.58 4.50 4.43 4.37 4.31 4.26 4.22 4.18 4.14 4.11 4.07 4.04 4.02 3.99 3.97 3.95 3.93 3.91 3.89 3.87 3.86 3.84 3.83 3.65 3.48

5

5764 99.30 28.24 15.52 10.97 8.75 7.46 6.63 6.06 5.64 5.32 5.06 4.86 4.69 4.56 4.44 4.34 4.25 4.17 4.10 4.04 3.99 3.94 3.90 3.85 3.82 3.78 3.75 3.73 3.70 3.67 3.65 3.63 3.61 3.59 3.57 3.56 3.54 3.53 3.51 3.34 3.17

6

5859 99.33 27.91 15.21 10.67 8.47 7.19 6.37 5.80 5.39 5.07 4.82 4.62 4.46 4.32 4.20 4.10 4.01 3.94 3.87 3.81 3.76 3.71 3.67 3.63 3.59 3.56 3.53 3.50 3.47 3.45 3.43 3.41 3.39 3.37 3.35 3.33 3.32 3.30 3.29 3.12 2.96

7

5928 99.36 27.67 14.98 10.46 8.26 6.99 6.18 5.61 5.20 4.89 4.64 4.44 4.28 4.14 4.03 3.93 3.84 3.77 3.70 3.64 3.59 3.54 3.50 3.46 3.42 3.39 3.36 3.33 3.30 3.28 3.26 3.24 3.22 3.20 3.18 3.17 3.15 3.14 3.12 2.95 2.79

8 5981 99.38 27.49 14.80 10.29 8.10 6.84 6.03 5.47 5.06 4.74 4.50 4.30 4.14 4.00 3.89 3.79 3.71 3.63 3.56 3.51 3.45 3.41 3.36 3.32 3.29 3.26 3.23 3.20 3.17 3.15 3.13 3.11 3.09 3.07 3.05 3.04 3.02 3.01 2.99 2.82 2.66

9 6022 99.39 27.34 14.66 10.16 7.98 6.72 5.91 5.35 4.94 4.63 4.39 4.19 4.03 3.89 3.78 3.68 3.60 3.52 3.46 3.40 3.35 3.30 3.26 3.22 3.18 3.15 3.12 3.09 3.07 3.04 3.02 3.00 2.98 2.96 2.95 2.93 2.92 2.90 2.89 2.72 2.56

10 6056 99.40 27.23 14.55 10.05 7.87 6.62 5.81 5.26 4.85 4.54 4.30 4.10 3.94 3.80 3.69 3.59 3.51 3.43 3.37 3.31 3.26 3.21 3.17 3.13 3.09 3.06 3.03 3.00 2.98 2.96 2.93 2.91 2.89 2.88 2.86 2.84 2.83 2.81 2.80 2.63 2.47

6083 99.41 27.13 14.45 9.96 7.79 6.54 5.73 5.18 4.77 4.46 4.22 4.02 3.86 3.73 3.62 3.52 3.43 3.36 3.29 3.24 3.18 3.14 3.09 3.06 3.02 2.99 2.96 2.93 2.91 2.88 2.86 2.84 2.82 2.80 2.79 2.77 2.75 2.74 2.73 2.56 2.40

11 6107 99.42 27.05 14.37 9.89 7.72 6.47 5.67 5.11 4.71 4.40 4.16 3.96 3.80 3.67 3.55 3.46 3.37 3.30 3.23 3.17 3.12 3.07 3.03 2.99 2.96 2.93 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.76 2.74 2.72 2.71 2.69 2.68 2.66 2.50 2.34

12 6126 99.42 26.98 14.31 9.82 7.66 6.41 5.61 5.05 4.65 4.34 4.10 3.91 3.75 3.61 3.50 3.40 3.32 3.24 3.18 3.12 3.07 3.02 2.98 2.94 2.90 2.87 2.84 2.81 2.79 2.77 2.74 2.72 2.70 2.69 2.67 2.65 2.64 2.62 2.61 2.44 2.28

13 6143 99.43 26.92 14.25 9.77 7.60 6.36 5.56 5.01 4.60 4.29 4.05 3.86 3.70 3.56 3.45 3.35 3.27 3.19 3.13 3.07 3.02 2.97 2.93 2.89 2.86 2.82 2.79 2.77 2.74 2.72 2.70 2.68 2.66 2.64 2.62 2.61 2.59 2.58 2.56 2.39 2.23

14

16 6170 99.44 26.83 14.15 9.68 7.52 6.28 5.48 4.92 4.52 4.21 3.97 3.78 3.62 3.49 3.37 3.27 3.19 3.12 3.05 2.99 2.94 2.89 2.85 2.81 2.78 2.75 2.72 2.69 2.66 2.64 2.62 2.60 2.58 2.56 2.54 2.53 2.51 2.50 2.48 2.31 2.15

272

6157 99.43 26.87 14.20 9.72 7.56 6.31 5.52 4.96 4.56 4.25 4.01 3.82 3.66 3.52 3.41 3.31 3.23 3.15 3.09 3.03 2.98 2.93 2.89 2.85 2.81 2.78 2.75 2.73 2.70 2.68 2.65 2.63 2.61 2.60 2.58 2.56 2.55 2.54 2.52 2.35 2.19

15 6181 99.44 26.79 14.11 9.64 7.48 6.24 5.44 4.89 4.49 4.18 3.94 3.75 3.59 3.45 3.34 3.24 3.16 3.08 3.02 2.96 2.91 2.86 2.82 2.78 2.75 2.71 2.68 2.66 2.63 2.61 2.58 2.56 2.54 2.53 2.51 2.49 2.48 2.46 2.45 2.28 2.12

17 6191 99.44 26.75 14.08 9.61 7.45 6.21 5.41 4.86 4.46 4.15 3.91 3.72 3.56 3.42 3.31 3.21 3.13 3.05 2.99 2.93 2.88 2.83 2.79 2.75 2.72 2.68 2.65 2.63 2.60 2.58 2.55 2.53 2.51 2.50 2.48 2.46 2.45 2.43 2.42 2.25 2.09

18 6201 99.45 26.72 14.05 9.58 7.42 6.18 5.38 4.83 4.43 4.12 3.88 3.69 3.53 3.40 3.28 3.19 3.10 3.03 2.96 2.90 2.85 2.80 2.76 2.72 2.69 2.66 2.63 2.60 2.57 2.55 2.53 2.51 2.49 2.47 2.45 2.44 2.42 2.41 2.39 2.22 2.06

19 6209 99.45 26.69 14.02 9.55 7.40 6.16 5.36 4.81 4.41 4.10 3.86 3.66 3.51 3.37 3.26 3.16 3.08 3.00 2.94 2.88 2.83 2.78 2.74 2.70 2.66 2.63 2.60 2.57 2.55 2.52 2.50 2.48 2.46 2.44 2.43 2.41 2.40 2.38 2.37 2.20 2.03

20

Distribución F de Fisher ( F 0.01, ν1 , ν 2 ) 21 6216 99.45 26.66 13.99 9.53 7.37 6.13 5.34 4.79 4.38 4.08 3.84 3.64 3.48 3.35 3.24 3.14 3.05 2.98 2.92 2.86 2.81 2.76 2.72 2.68 2.64 2.61 2.58 2.55 2.53 2.50 2.48 2.46 2.44 2.42 2.41 2.39 2.37 2.36 2.35 2.17 2.01

22 6223 99.46 26.64 13.97 9.51 7.35 6.11 5.32 4.77 4.36 4.06 3.82 3.62 3.46 3.33 3.22 3.12 3.03 2.96 2.90 2.84 2.78 2.74 2.70 2.66 2.62 2.59 2.56 2.53 2.51 2.48 2.46 2.44 2.42 2.40 2.38 2.37 2.35 2.34 2.33 2.15 1.99

23 6229 99.46 26.62 13.95 9.49 7.33 6.09 5.30 4.75 4.34 4.04 3.80 3.60 3.44 3.31 3.20 3.10 3.02 2.94 2.88 2.82 2.77 2.72 2.68 2.64 2.60 2.57 2.54 2.51 2.49 2.46 2.44 2.42 2.40 2.38 2.37 2.35 2.33 2.32 2.31 2.13 1.97

24 6234 99.46 26.60 13.93 9.47 7.31 6.07 5.28 4.73 4.33 4.02 3.78 3.59 3.43 3.29 3.18 3.08 3.00 2.92 2.86 2.80 2.75 2.70 2.66 2.62 2.58 2.55 2.52 2.49 2.47 2.45 2.42 2.40 2.38 2.36 2.35 2.33 2.32 2.30 2.29 2.12 1.95

25 6240 99.46 26.58 13.91 9.45 7.30 6.06 5.26 4.71 4.31 4.01 3.76 3.57 3.41 3.28 3.16 3.07 2.98 2.91 2.84 2.79 2.73 2.69 2.64 2.60 2.57 2.54 2.51 2.48 2.45 2.43 2.41 2.39 2.37 2.35 2.33 2.31 2.30 2.29 2.27 2.10 1.93

26 6245 99.46 26.56 13.89 9.43 7.28 6.04 5.25 4.70 4.30 3.99 3.75 3.56 3.40 3.26 3.15 3.05 2.97 2.89 2.83 2.77 2.72 2.67 2.63 2.59 2.55 2.52 2.49 2.46 2.44 2.41 2.39 2.37 2.35 2.33 2.32 2.30 2.28 2.27 2.26 2.08 1.92

28 6253 99.46 26.53 13.86 9.40 7.25 6.02 5.22 4.67 4.27 3.96 3.72 3.53 3.37 3.24 3.12 3.03 2.94 2.87 2.80 2.74 2.69 2.64 2.60 2.56 2.53 2.49 2.46 2.44 2.41 2.39 2.36 2.34 2.32 2.30 2.29 2.27 2.26 2.24 2.23 2.05 1.89

29 6257 99.46 26.52 13.85 9.39 7.24 6.00 5.21 4.66 4.26 3.95 3.71 3.52 3.36 3.23 3.11 3.01 2.93 2.86 2.79 2.73 2.68 2.63 2.59 2.55 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 2.37 2.35 2.33 2.31 2.29 2.28 2.26 2.24 2.23 2.22 2.04 1.87

30 6260 99.47 26.50 13.84 9.38 7.23 5.99 5.20 4.65 4.25 3.94 3.70 3.51 3.35 3.21 3.10 3.00 2.92 2.84 2.78 2.72 2.67 2.62 2.58 2.54 2.50 2.47 2.44 2.41 2.39 2.36 2.34 2.32 2.30 2.28 2.26 2.25 2.23 2.22 2.20 2.03 1.86

40 6286 99.48 26.41 13.75 9.29 7.14 5.91 5.12 4.57 4.17 3.86 3.62 3.43 3.27 3.13 3.02 2.92 2.84 2.76 2.69 2.64 2.58 2.54 2.49 2.45 2.42 2.38 2.35 2.33 2.30 2.27 2.25 2.23 2.21 2.19 2.18 2.16 2.14 2.13 2.11 1.94 1.76

60 6313 99.48 26.32 13.65 9.20 7.06 5.82 5.03 4.48 4.08 3.78 3.54 3.34 3.18 3.05 2.93 2.83 2.75 2.67 2.61 2.55 2.50 2.45 2.40 2.36 2.33 2.29 2.26 2.23 2.21 2.18 2.16 2.14 2.12 2.10 2.08 2.06 2.05 2.03 2.02 1.84 1.66

120 6340 99.49 26.22 13.56 9.11 6.97 5.74 4.95 4.40 4.00 3.69 3.45 3.25 3.09 2.96 2.84 2.75 2.66 2.58 2.52 2.46 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.17 2.14 2.11 2.09 2.06 2.04 2.02 2.00 1.98 1.96 1.95 1.93 1.92 1.73 1.53

Tabla IX - Valores Críticos de U en la Prueba de Mann - Whitney En la primera tabla, las anotaciones corresponden a los valores críticos de U para una prueba de una cola en 0.025 o para una prueba de dos colas en 0.05; en la segunda, para una prueba de una cola en 0.05 o para una prueba de dos colas en 0.10. n1 1 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

n1 1 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0 20 0

2

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8

0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13

0 1 2 3 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20

1 2 3 5 6 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27

1 3 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

0 2 4 6 8 10 13 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41

0 2 4 7 10 12 15 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48

0 3 5 8 11 14 17 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55

0 3 6 9 13 16 19 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62

1 4 7 11 14 18 22 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69

1 4 8 12 16 20 24 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76

1 5 9 13 17 22 26 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83

1 5 10 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90

1 6 11 15 21 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75 81 86 92 98

2 6 11 17 22 28 34 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105

2 7 12 18 24 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 112

2 7 13 19 25 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 119

2 8 13 20 27 34 41 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18

0 1 2 4 5 6 8 9 11 12 13 15 16 18 19 20 22 23 25

0 2 3 5 7 8 10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32

0 2 4 6 8 11 13 15 17 19 21 24 26 28 30 33 35 37 39

1 3 5 8 10 13 15 18 20 23 26 28 31 33 36 39 41 44 47

1 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54

1 4 7 11 14 17 20 24 27 31 34 37 41 44 48 51 55 58 62

1 5 8 12 16 19 23 27 31 34 38 42 46 50 54 57 61 65 69

2 5 9 13 17 21 26 30 34 38 42 47 51 55 60 64 68 72 77

2 6 10 15 19 24 28 33 37 42 47 51 56 61 65 70 75 80 84

2 7 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 77 82 87 92

3 7 12 18 23 28 33 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88 94 100

3 8 14 19 25 30 36 42 48 54 60 65 71 77 83 89 95 101 107

3 9 15 20 26 33 39 45 51 57 64 70 77 83 89 96 102 109 115

4 9 16 22 28 35 41 48 55 61 68 75 82 88 95 102 109 116 123

0 4 10 17 23 30 37 44 51 58 65 72 80 87 94 101 109 116 123 130

0 4 11 18 25 32 39 47 54 62 69 77 84 92 100 107 115 123 130 138

0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

3

0 0 1 2 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 11

273

2

f ( x i ) dx

para − ∞ ≤ x ≤ ∞

Moda esperada:

∞

P i+1 a i+1 Mo = L i −1 + * ai P i+1 + P i −1 a i+1 a i −1

2

2

1

Mo =

2

P i+1 * + a i Li −1 + P i+1 P i −1

Varianza esperada:

i

∞  V [x ] = ∫ (x − x ) f(x ) dx = ∫ x f(x ) dx −  ∫ x f(x ) dx  −∞ −∞  −∞ 

∞

−∞

E [x ] =

∫x

∞

entonces

• Pac (x i ) = 0.5

Me = x i x + x i +1 Me = i 2

FUNCIONES DE DENSIDAD

entonces

•

Pac (x i ) > 0.5

que si:

• Se ubica el valor 0.5 entre dos valores consecutivos de probabilidad acumulada: Pac (x i −1 ) ≤ 0.5 ≤ Pac (x i ) , tal

• Se determina los valores de probabilidad acumulada.

Esperanza matemática:

Mediana esperada:

2 i

Valor de la variable que corresponde a la probabilidad más alta.

n

Moda esperada:

2

Varianza esperada:

para x = 0, 1, 2,K , n

 n  V(x) = ∑ (x i − µ) P(x i ) = ∑ x P(x i ) −  ∑ x i P(x i )   i =1  i =1 i =1 n

i=1

E [x ] = ∑ x i P ( x i )

Esperanza matemática:

n

FUNCIONES DE CUANTÍA

P ( x i ) = ∑ P ( x i, y j ) =

Probabilidad marginal:

s

Teorema de Bayes:

P (y j /x i ) = P (x i )

P (x i y j ) = j=1

Σ P (y j

2

) * P (x i / y j )

P (y j ) * P (x i / y j ) s

j=1

P (x ) = P (x, y1) + P (x, y 2) + P (x, y 3) + . . . + P (x, y s) = ∑ P (x, y j)

Probabilidad total:

Regla multiplicativa:

Regla de adición:

Probabilidad condicional:

n i1 n i2 n i3 n + + + . . . + is n n n n

Me = Li −1 +

P(x ∪ y) = P(x) + P(y) - P(x,y) P (x , y ) P (x /y ) = P (y ) P(x, y) = P(y) * P(x / y)

j=1

s

−∞≤ x ≤∞

CALCULO DE PROBABILIDADES

n ij Casos favorables = n Casos posibles

Me

P ij =

−∞

1

∫ f (x) dx = 2

∞

Probabilidad conjunta:

f (x) dx =

∫

Me

Mediana esperada:

0.5 − Pac (x i −1 ) (a i ) P(x i )

¿Tipo de variable?

continua

discreta

¿Número de ensayos?

variable

fijo

¿Naturaleza de las pruebas?

independiente

independiente

dependiente

¿Resultados posibles?

dicotómico

categoría

dicotómico

independiente

3

Normal

Binomial negativa

Multinomial

f (x1, x2,..., xK ) =

i

i=1

Πx!

n

n!

n

i=1

* Π P (xi )xi

1 y= e 2πσ

2 σ2

− ( x −µ )2

−∞ ≤ x ≤ ∞

µ x e−µ x!

z=

X −µ σ

(x ± 0.5) − np npq

P(x, µ) =

Aproximación Z = a la normal

 N1   N − N1     x n−x  P(x) =    N   n

np>5 nq>5

Poisson

* B (n, c, p ) = 1 - B (x -1, n, p )

Hipergeométrica

n P(x) =   p x q n − x x

Binomial

n>25 p50

n20

n30

Grande

Pequeño

Grande

Pequeño

Grande

Cualquier n

Pequeño n