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• Francis Garcia

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UNIDAD V: PROBABILIDAD Experimento: Es un proceso que lleva a la ocurrencia de una y solo una de varias observaciones posibles. Experimento Estadístico o Aleatorio: Es cuando no se puede predecir el resultado de una prueba. Suceso Aleatorio: Es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar. Espacio Muestral: Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se representa con la letra E. Evento o Suceso: Es una colección de uno o más resultados de un experimento, es decir, es un subconjunto del espacio muestral. Lo denotaremos con la letra S. Conjunto: Es toda reunión de objetos. Los conjuntos se denota con: { } Diagrama de Venn: es una herramienta útil para mostrar la relación entre conjuntos. Operaciones con conjuntos: Dados dos conjuntos, A y B, se llaman: Unión: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto A y todos los elementos del conjunto B, y se denota A U B.

Intersección: Es el conjunto formado por todos los elementos que son comunes tanto al conjunto A como al conjunto B, y se denota A ∩ B

Diferencia: Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto A que no son del conjunto B, y se denota A – B.

Suceso Contrario: El suceso Ā = E – A se llama suceso contrario de A, donde E es el conjunto universo.

Representación gráfica que muestralos resultados posibles de una serie de experimentos ysus respectivas probabilidades. Diagrama de árbol:es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades. Cada unode los puntos en el extremo derecho del árbol representa un resultado experimental. Cada trayectoriaa través del árbol, desde el nodo más a la izquierda hasta uno de los nodos en el extremoderecho del árbol, muestra una secuencia única de resultados.

PRINCIPIOS DE CONTEO Si el número de resultados posibles en un experimento es bajo, contarlos será relativamente fácil, pero si hay una gran cantidad de resultados posibles, sería tedioso contar todas las posibilidades. Para facilitar el conteo, se analizaran las siguientes reglas: Permutación: Esta regla permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan xobjetos de un conjunto de nobjetos y el orden de selección es relevante. El número de permutaciones de nobjetos tomados de xen xestá dado por:

𝑛! 𝑛 𝑃𝑥𝑛 = 𝑛! ( ) = 𝑥 (𝑛 − 𝑥)! La notación (!) significa factorial, la cual está relacionada con el cálculo del número de maneras en las que un conjunto de cosas puede arreglarse en orden. El número de maneras en el que la n cosas pueden arreglarse en orden es: 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) … … 1 Dónde: 𝑛! Se llama factorial de n El factorial de cero es igual a 1, es decir, 0! = 1 Combinación: En muchas situaciones no interesa el orden de los resultados, sino sólo el número de maneras en las que x objetos pueden seleccionarse a partir de n cosas, sin consideración de orden. Si dos subconjuntos se consideran iguales debido a que simplemente se han reordenado los mismos elementos, entonces se trata de combinaciones. El número de maneras para arreglar x objetos seleccionados a la vez de n objetos, sin considerar el orden, es decir, el número de combinaciones de n elementos tomados x a la vez es:

𝑛! 𝑛 𝐶𝑥𝑛 = ( ) = 𝑥 𝑥! (𝑛 − 𝑥)! Probabilidad: Es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La probabilidad es una proporción o fracción cuyo valor varía entre 0 y 1 inclusive. Un evento que no tiene oportunidad de ocurrir (evento imposible) tiene una probabilidad de “0”. Un evento que ocurrirá con certeza (evento seguro) tiene una probabilidad de “1”. Postulados Probabilístico:  Si S es un suceso cualquiera en el espacio muestral E, entonces: 0 ≤ P (S) ≤ 1 

P(S) Є [0,1]

La probabilidad del espacio muestral es igual a 1, es decir, P (E) = 1

Existen tres aproximaciones sujetas a la probabilidad:  Probabilidad Clásica a Priori.  Probabilidad Empírica o de Frecuencia Relativa  Probabilidad Subjetiva.

Probabilidad Clásica a Priori: Se basa en la suposición de que los resultados de un experimento son igualmente probables. 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 =

𝑁° 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑁° 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Probabilidad Empírica o de Frecuencia Relativa: La probabilidad de que un evento suceda se determina al observar en que fracción de tiempo sucedieron eventos similares en el pasado. 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑑𝑎 𝑢𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 =

𝑁° 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑁° 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

Probabilidad Subjetiva: Es la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento en particular que asigna un individuo con base en la información disponible. TIPOS DE SUCESOS O EVENTOS Eventos No Disjuntos o compatibles: Son aquellos eventos en donde ambos deben de ocurrir antes que ocurra el evento A y B (A ∩ B). Eventos No Compatibles o Disjuntos: Son aquellos eventos que no tienen ningún elemento en común, es decir, A ∩ B = Ø Eventos Mutuamente excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro, es decir, ambos eventos no pueden ocurrir de manera simultánea. Eventos No Mutuamente excluyentes: Son sucesos o eventos que pueden ocurrir en forma simultánea. Eventos Colectivamente Exhaustivo: Son aquellos que constan de todos los posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio muestral, es decir, que por lo menos uno de los eventos debe de ocurrir al realizar un experimento. Eventos Independientes: Son eventos en que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro. Eventos Dependientes: Son los sucesos o eventos cuya probabilidad cambia dependiendo de la ocurrencia o no ocurrencia del otro. Cuando se saca de un conjunto finito, como por ejemplo, una barajas de cartas, dos eventos son independientes si y solo si se realiza el reemplazo. Sin embargo, si el primer elemento no se reemplaza antes de sacar el segundo elemento, entonces los dos eventos son dependientes.

Eventos Complementarios: Son los eventos en los que si un evento no ocurre, el otro debe de ocurrir. Se utiliza para determinar la probabilidad de que un evento ocurra restando a 1 la probabilidad de que el evento no ocurra. El complemento de A se escribe como Ā, Ac o A’ y se denomina “no A”. Los eventos complementarios son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivo, porque si A no ocurre, Ā debe de ocurrir. Por tanto: 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴̅) = 1

𝑦

𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴̅)

Probabilidad Simple o Marginal: Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un evento simple. Probabilidad Conjunta: Es la probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran simultáneamente. Probabilidad Condicional: Es la probabilidad de que un evento particular ocurra dado que otro evento ha ocurrido. ALGUNAS REGLAS PARA CALCULAR PROBABILIDADES REGLAS DE LA ADICIÓN: Regla Especial de la Adición: para aplicar esta regla los eventos deben ser mutuamente excluyentes. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adición establece que la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de sus probabilidades. La regla se expresa de la siguiente manera: 𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Si se tiene tres eventos mutuamente excluyentes designados como A, B y C, la regla se escribe: 𝑃(𝐴 𝑜 𝐵 𝑜 𝐶) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶)

Regla General de la Adición: para aplicar esta regla los eventos no son mutuamente excluyentes y ocurre la probabilidad conjunta entre los dos eventos. Esta regla para dos eventos designados como A y B se escribe: 𝑃(𝐴 𝑜 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Para la expresión 𝑃(𝐴 𝑜 𝐵), el conectivo o sugiere que puede ocurrir A o puede ocurrir B. Esto también incluye la posibilidad de que ocurran A y B. También se puede escribir 𝑃(𝐴 𝑜 𝐵 𝑜 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠) para enfatizar el hecho de que la unión de los eventos incluye la intersección de A y B. El siguiente diagrama de Venn muestra dos eventos que no son mutuamente excluyentes. Ambos se superponen para mostrar el evento conjunto Supongamos que se tienen dos conjuntos A y B:

REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓN: Cuando utilizamos las reglas de la adición, encontramos la probabilidad de combinar dos eventos. Los diagramas de Venn ilustraron esto como la “Unión” de dos eventos. En esta parte, encontramos la posibilidad de que dos eventos sucedan. Por ejemplo, tal vez una empresa de mercadotecnia quiera determinar la probabilidad de que un persona de 21 años o m{as compre un Hummer. Los diagramas de Venn muestran lo anterior como la intersección de dos eventos. Para encontrar la probabilidad de que sucedan dos eventos, utilizaremos las reglas de la multiplicación, las cuales son de dos tipos: la regla especial y la regla general de la multiplicación. Regla Especial de la Multiplicación: Esta regla requiere que dos eventos A y B sean independientes. Para dos eventos independientes, A y B, la probabilidad de que ocurran A y B se encuentra multiplicando las dos probabilidades. A esto es lo que se le conoce como regla especial de la multiplicación y se escribe de la siguiente manera: 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑥𝑃(𝐵) Para tres eventos independientes, A, B y C, la regla especial de la multiplicación utilizada para determinar la probabilidad de que ocurran los tres eventos es: 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵 𝑦 𝐶) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴)𝑥𝑃(𝐵)𝑥𝑃(𝐶) Regla General de la Multiplicación: Utilizamos esta regla para encontrar la probabilidad conjunta de dos eventos A y B cuando estos no son independientes, es decir, los eventos son dependientes. La regla general de la multiplicación establece que para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se encuentra multiplicando la probabilidad

de que el evento A suceda por la probabilidad condicional de que el evento B ocurra después de que A ocurrió. 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑥𝑃(𝐵/𝐴) PROBABILIDAD CONDICIONAL Si los sucesos o eventos A y B pertenecen al mismo espacio muestral E y si P (A) ≠ 0, entonces la probabilidad condicional de B dado que A haya ocurrido, designado por P(B/A), se define como: P(A∩B) P(B/A)= P(A) El término probabilidad condicional toma en cuenta la posibilidad de que la probabilidad de B pueda depender del hecho de que el suceso o evento A haya o no ocurrido. Tablas de Contingencias Son tablas que se utilizan para clasificar las observaciones de las muestras de acuerdo con dos o más características que se pueden identificar. Una tabla de contingencia es una tabulación cruzada que resume al mismo tiempo dos variables de interés y su relación. PROBABILIDAD TOTAL Sea 𝐴1 , 𝐴2 , … . , 𝐴𝑛 un sistema completo de eventos tales que la probabilidad de cada una de ellos es distinto de cero, y sea B un evento cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales 𝑃(𝐵/𝐴𝑖 ), entonces la probabilidad del evento B, llamada probabilidad total, se determina empleando la siguiente formula: 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1 )𝑥𝑃(𝐵/𝐴1 ) + 𝑃 (𝐴2 )𝑥𝑃(𝐵/𝐴2 ) + … . +𝑃(𝐴𝑛 )𝑥𝑃(𝐵/𝐴𝑛 ) TEOREMA DE BAYES El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información. Desarrollado por Thomas Bayes en el siglo XVII. El teorema de Bayes es una extensión de la probabilidad condicional. Comúnmente se inicia un análisis de probabilidad con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y es: 𝑃(𝐴𝑖 /𝐵) =

𝑃(𝐴𝑖 )𝑥𝑃(𝐵/𝐴𝑖 ) 𝑃(𝐵)

Dónde: 𝑃(𝐴𝑖 ) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 𝑃(𝐵/𝐴𝑖 ) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑃(𝐵) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑃(𝐴𝑖 /𝐵) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- La siguiente tabla muestra el número de computadoras vendidas diariamente por una tienda: N° Computadoras Vendidas 0 1 2 3 4

N° de Días 12 43 18 20 25

Determine la Probabilidad de que el número de computadoras que se vendan hoy sean: a) 2 b) Menos de 3 c) Más de 1 d) Por lo menos 1 2.- Algunos de los trabajadores hombres y mujeres de una empresa grande tienen educación secundaria. El conjunto A consta de los trabajadores hombres, el conjunto B las trabajadoras mujeres, el conjunto C es el conjunto con educación secundaria, y el conjunto D son los trabajadores que no tienen educación secundaria. Identifique y explique: a) 𝐴 ∪ 𝐶 b) 𝐵 ∪ 𝐷 c) 𝐴 ∩ 𝐶 3.- Dadas las condiciones del ejercicio 2, identifique los eventos que son mutuamente excluyentes, colectivamente exhaustivos con respecto al género, y si 300 de los 1000 trabajadores son hombres, ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador sea mujer? 4.- Dada una baraja de 52 cartas, el conjunto A consta de los 13 corazones y el conjunto B son los cuatro ases. Identifique cuales cartas están incluidas en 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐴∩𝐵 5.- Una caja contiene 2 pelotas rojas, 3 negras, 4 azules y 6 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar: a) Una pelota blanca; b) una pelota azul? 6.- Sea el experimento lanzar 4 monedas simultáneamente, determine su espacio muestral. 7.- Sea el experimento lanzar un dado y sean los sucesos o eventos: A sale un número par; B sale un número impar y C sale un número menor que 5, determine: a) 𝐵 ∪ 𝐶 e) 𝐴 − 𝐶 c) 𝐴̅ b) 𝐴 ∪ 𝐶 f) 𝐸 − 𝐶 d) 𝐵 ∩ 𝐶 8.- Si 𝐸 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; 𝐴 = {1,3,5,7,9}; 𝐶 = {5,6,7,8,9,10} 𝑦 𝐵 = {1,2,3,4,5,6}; hallar los eventos: 𝑎) 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) 𝑏) 𝐴̅ ∪ 𝐵̅ 𝑐) 𝐶̅ ∩ 𝐵̅ y determine las probabilidades de cada uno de los eventos o sucesos anteriores.

9.- Los cinco individuos que componen la dirección de una pequeña empresa manufacturera serán sentados en un banquete. a) Determine el número de diferentes disposiciones posibles de los asientos para los cincos individuos. b) Supongamos que sólo a tres de los cinco directivos se les pedirá representar a la compañía en el banquete. ¿Cuántas diferentes disposiciones serán posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos? 10.- En relación con el problema 9, supongamos que no nos interesa el número de diferentes disposiciones de asientos posibles, sino el número de diferentes agrupaciones de los tres directivos que podrían asistir al banquete. ¿Cuántas agrupaciones diferentes hay? 11.- Supongamos que hay ocho diferentes lugares de capacitación administrativa por asignar a ocho empleados en el programa preliminar de capacitación administrativa de una empresa. a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden ser asignados los ocho individuos a los ocho lugares distintos?, b) supongamos que sólo se dispone de seis diferentes lugares para los ocho candidatos. ¿De cuantas maneras diferentes pueden asignarse los seis lugares distintos a seis de los ocho individuos?, c) Supongamos ahora, que los seis lugares disponibles pueden considerarse comparables y en realidad iguales para efectos prácticos. ¿De cuantas maneras se pueden elegir seis de los ocho candidatos para ocupar los seis lugares? 12.- Un grupo de 10 personas debe elegir a su directiva: presidente, secretario y tesorero. Todos pueden ser elegidos, pero una persona no puede tener más de un cargo. ¿De cuántas maneras diferentes puede realizarse la elección? 13.- Un bar dispone de 10 frutas diferentes de las cuales se pueden elegir 3 para un batido. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerse la elección? 14.- Determine la probabilidad que al lanzar una vez un dado y una moneda se obtenga un número impar y sello. 15.- En un grupo de 15 personas, 7 leen la revista A, 5 leen la revista B y 6 ninguna revista. Determine la probabilidad que al elegir al azar una persona, ésta lea al menos una revista. Complete la tabla de contingencia para que se guie: Leen B Leen A No leen A Total

No leen B

Total 7

6 5

15

16.Si 𝐸 = {𝐿𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 1 𝑎𝑙 30}, 𝐴 = {𝐿𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠}, 𝐵= {1,5,8,12,15,20,25,28,30 } y 𝐶 = {𝐿𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 3} hallar los eventos: ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎) 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶), 𝑏)𝐴 ∪ 𝐵, 𝑐) 𝐶̅ ∩ 𝐵̅, 𝑑) (𝐴 ∪ 𝐵 ) ∩ (𝐸 − 𝐵̅ ) y determine las probabilidades de cada uno de los eventos o sucesos anteriores.

17.- La siguiente tabla presenta las reacciones de los votantes a un nuevo plan de impuestos a la propiedad de acuerdo con su filiación partidista.

Filiación Partidista Demócrata (D) Republicana (R) Independiente (I)

A Favor (F) 120 50 50

Reacción Neutral (N) 20 30 10

En Contra (C) 20 60 40

a) Elabore la tabla de probabilidad conjunta de estos datos b) Determine las probabilidades marginales e indique su significado. c) Determine las siguientes probabilidades: - P(C) - P(C/R)

- P(R y C) - P(R/C)

- P(I) - P(R o D)

- P(I y F) - P(D o F)

UNIDAD VI: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad presenta los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada uno de estos resultados, es decir, es una lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad relacionada con cada uno de ello. Variables Aleatorias: Es el resultado que se obtiene al azar en un experimento y que puede asumir valores diferentes. Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos: Variable Aleatoria Discreta (x): variable aleatoria que sólo puede asumir ciertos valores claramente contables. Variable Aleatoria Continua (x): variable aleatoria que puede tomar infinitos valores dentro de un rango cualquiera. Estas variables nos generan una distribución de probabilidad, las que pueden ser:  Distribución de probabilidad discreta.  Distribución de probabilidad continúa.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Podemos definir una DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA, como el conjunto de pares ordenados {(x, f(x) }, de la variable discreta X, si para cada uno de los resultados posibles x, se cumple que:: 1.- Las probabilidades asociadas a cada una de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero

𝑝(𝑥𝑖 ) ≥ 0 2.- La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1

∑ 𝑝(𝑥𝑖 ) = 1 Media, varianza y desviación estándar para una distribución discreta: Media o Valor Esperado de x:

𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 𝑝(𝑥𝑖 ) Dónde: 𝜇 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛

𝐸(𝑥) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑥𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝(𝑥𝑖 ) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 Varianza y desviación estándar: Varianza:

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝜎 2 = ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 . 𝑝(𝑥𝑖 ) Desviación Estándar:

𝜎 = √𝜎 2 = √∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2 . 𝑝(𝑥𝑖 ) Dónde: 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝜎 2 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝜎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑎 𝑜 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝜇 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑥 𝑥𝑖 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝(𝑥𝑖 ) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑥 Distribución Binomial Es una distribución de probabilidad discreta que se presenta muy a menudo. Una de las características de la distribución binomial es que existan sólo dos resultados posibles en una prueba particular de un experimento. Otra característica de esta distribución es que la variable aleatoria es el resultado del conteo, es decir, se cuenta el número de éxitos en el número total de pruebas. Una tercera característica es que la probabilidad de éxito es la misma en una prueba que en otra. La distribución binomial describe datos discretos, no continuos, que son resultado de un experimento conocido como proceso de Bernoulli. Características:  Los resultados de cada prueba de un experimento se clasifican en una de dos categorías exclusivas, un éxito o un fracaso.  La variable aleatoria cuenta el número de éxitos en un número fijo de pruebas o ensayo.  La probabilidad de éxitos y fracasos permanece igual en todas las pruebas o ensayos.  Las pruebas son independientes, lo que significa que el resultado de una prueba o ensayo no afecta el resultado de cualquier otra. La distribución de probabilidad binomial se determina a través de la siguiente fórmula:

𝑛! 𝑛 𝑃(𝑥) = ( ) 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 = 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥 𝑥 𝑥! (𝑛 − 𝑥)!

Dónde: 𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑢 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑛 ( ) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 𝑝 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜 𝑞 = 1 − 𝑝 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 Media o valor esperado de una distribución binomial:

𝐸(𝑥) = 𝜇 = 𝑛𝑝 Varianza y desviación estándar de una distribución binomial Varianza:

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝜎 2 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝) Desviación estándar:

𝜎 = √𝜎 2 = √𝑛𝑝(1 − 𝑝) Distribución de probabilidad Hipergeométrica Si se selecciona una muestra de una población finita sin reemplazos y el tamaño de la muestra n es mayor de 5% del tamaño de la población N, entonces, la distribución hipergeométrica se utiliza para determinar la probabilidad de un número específico de éxitos o fracasos. Esto es muy adecuado cuando el tamaño de la población es pequeño. Características:  Los resultados en cada prueba de un experimento se clasifican en una de dos categorías exclusivas: un éxito o un fracaso.  La variable aleatoria es el número de éxitos en un número fijo de pruebas.  Las pruebas no son independientes.  Se supone que los muestreos se realizan con una población finita sin reemplazos. Por tanto, la probabilidad de un éxito cambia en cada prueba. Fórmula para determinar la distribución hipergeométrica:

𝑃(𝑥) =

( 𝑆𝐶𝑥 )( 𝑁−𝑆𝐶𝑛−𝑥 ) 𝑁𝐶𝑛

Dónde: 𝑁 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑆 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑆 𝑁−𝑆 ( )( ) 𝑥 𝑛 − 𝑥 = 𝑁 ( ) 𝑛

𝑥 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝐶 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑐𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 Distribución de probabilidad de Poisson La distribución de Poisson describe el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser tiempo, distancia, área o volumen. Característica:  Describe el número de veces que un evento ocurre durante un intervalo específico.  La probabilidad de un éxito es proporcional a la duración del intervalo.  Los intervalos no se superponen y son independientes.  Es una forma limitante de la distribución binomial cuando n es grande y p es pequeño.  Se utiliza cuando el tamaño de la muestra es mayor que 5% del tamaño de la población. La distribución de Poisson se puede describir matemáticamente con la siguiente formula:

𝜇 𝑥 . 𝑒 −𝜇 𝑃(𝑥) = 𝑥!

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0, 1, 2, 3, … …

Dónde: 𝜇 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 (é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠)𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒 = 2,71828 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑥 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑃(𝑥) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑎𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑥 Media y varianza de la distribución de probabilidad de Poisson: Media o Valor Esperado:

𝐸(𝑥) = 𝜇 = 𝑛𝑝 Dónde: 𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎𝑠 𝑝 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜 Varianza:

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝜎 2 = 𝜇 = 𝑛𝑝

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINÚA: Una función de densidad de probabilidad continua es una expresión matemática que define la distribución de los valores para una variable aleatoria continua. Características de la distribución de probabilidad continúa:

 Es generada por una variable continua (x)  La función de densidad de probabilidad deberá tomar sólo valores mayores o iguales a cero.

𝑓(𝑥) ≥ 0 La función de densidad de probabilidad sólo puede estar definida en los cuadrantes I y II  El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser igual a 1. +∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 −∞

Media, varianza y desviación estándar para una distribución continúa. Media o Valor Esperado de x: +∞

𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

Dónde: 𝜇 = 𝐸(𝑥) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 Varianza y Desviación Estándar: Varianza: +∞

𝜎 2 = ∫ (𝑥 − 𝜇)2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 −∞

Desviación Estándar:

𝜎 = √𝜎 2 Distribución Normal Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica o estándar σ , y se designa por N (μ , σ ), si se cumplen las siguientes condiciones: 1. La variable puede tomar cualquier valor que esté en un intervalo de valores dado: (-∞, +∞) , y la distribución de probabilidad es continua. 2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:

𝑓(𝑥) =

1 𝜎√2𝜋

𝑒

−1 𝑥−𝜇 2 ( ) 2 𝜎

Importancia de la distribución normal:  Tiene algunas propiedades que la hace aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras. La distribución normal es una útil distribución de muestreo.  La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas (pesos, alturas), resultados de procesos físicos (dimensiones y rendimientos) y muchas otras medidas de interés para los administradores. Características:  Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se extiende indefinidamente (-∞, +∞), y nunca tocan el eje horizontal.  Es simétrica respecto a la media µ, debido a esto, la mediana y la moda se encuentran también en el centro; en consecuencia, para una curva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor.  La curva tiene un solo pico, es decir, tiene un máximo en la media µ; por tanto, es unimodal.  Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella; por tanto, tiene forma de campana.  La media de una población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal.  Tiene como parámetros la media (µ) y la desviación estándar (σ) Áreas bajo la curva normal: En los puntos µ - σ y µ + σ presenta punto de inflexión. El eje de abscisas es una asíntota de la curva. El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por X = µ, deja un área igual a 0,5 a la izquierda y otra igual a 0,5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

 Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentran dentro de + 1 desviación estándar de la media (X + 1σ)

 Aproximadamente 95,5% de todos normalmente distribuida se encuentran dentro media (X + 2σ)  Aproximadamente 99,7% de todos normalmente distribuida se encuentran dentro media (X + 3σ)

los valores de una población de + 2 desviación estándar de la los valores de una población de + 3 desviación estándar de la

Distribución Normal Estandarizada: La distribución normal estándar tiene media igual 0 (µ = 0), desviación estándar igual a 1 (σ = 1) y un área total bajo la curva igual a 1. El punto Z indica cuantas desviaciones estándar está el punto único superior o inferior a la media. La tipificación a calificación Z, se define como el proceso de dividir la desviación de una calificación con respecto a la media (µ), por la desviación estándar, es decir:

𝑍=

𝑋−𝜇 𝜎

Dónde: 𝑍 = 𝑁° 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑥 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝜇 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝜎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑋 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟 Uso de la tabla de la distribución normal: Las tablas estadísticas indican porciones del área bajo la curva normal que están contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar (más, menos) a partir de la media. Con estas tablas podemos determinar el área o la probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias están definidas en términos de desviación estándar. Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media contendrán la misma fracción del área bajo la curva para cualquier distribución de probabilidad normal. La tabla de la distribución normal da los valores de únicamente la mitad del área bajo la curva normal, empezando con 0,0 en la media. Como la distribución normal es simétrica, los valores verdaderos para una mitad de la curva son verdaderos para la otra. Para ubicar el valor de Z en la tabla: Unidades y décimas en la columna de la izquierda. Y la centésima en la fila de arriba.

Tabla Z (Distribución Normal)

Ejemplo: Buscar en la Tabla Z el valor de Z = 0,56

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla. Para utilizar la tabla se tiene que transformar la variable X que sigue una distribución normal N (μ , σ ) en otra variable Z que siga una distribución N (0,1). Aproximación de la Distribución Binomial por la Normal (Teorema de Moivre): Se utiliza cuando en la distribución binomial el valor “n” es grande (n ≥ 30), es decir, la distribución se aproxima cada vez más a la normal. El grado de exactitud depende de los valores de n y p, y aumenta a medida que n aumenta y p se aproxima a 0,50. La aproximación se considera satisfactoria si np ≥ 5, y n(1 – p) ≥ 5. La distribución binomial se puede aproximar mediante una distribución normal 𝐵(𝑛, 𝑝)~𝑁(𝑛𝑝, √𝑛𝑝(1 − 𝑝))

TABLA DE LA DISTRIBUCION NORMAL (DISTRIBUCION Z)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Hallar el área bajo la curva normal tipificada: a) Entre 𝑍 = 0 𝑦 𝑍 = 1,2 b) Entre 𝑍 = −0,68 𝑦 𝑍 = 0 c) Entre 𝑍 = −0,46 𝑦 𝑍 = 2,21 d) Entre 𝑍 = 0,81 𝑦 𝑍 = 1,94 2.- Si “área” se refiere al área bajo la curva normal tipificada, hallar el valor o los valores de Z, tales que: a) El área entre 0 y Z es 0,3770 b) El área a la izquierda de Z sea 0,8621 c) El área entre -1,5 y Z sea 0,0217 3.- Determine: a) 𝑃(𝑍 ≥ 1,23) 𝑃(𝑍 ≤ 1,15)

b) 𝑃(−1,8 ≤ 𝑍 ≤ −1)

c)

4.- Suponga que Z es una variable aleatoria con distribución normal estándar. Utilice la tabla para determinar: 𝑎) 𝑃(𝑍 < 1,45)𝑏) 𝑃(𝑍 > 2,01)𝑐) 𝑃(𝑍 < −1,24)𝑑) 𝑃(𝑍 > 1,78) 𝑒) 𝑃(−1,25 < 𝑍 < 2,31) 5.- Dada una distribución normal con media de 45,2 y una desviación estándar de 10,4. Determine las calificaciones Z equivalentes para las siguientes calificaciones: a) 55; b) 18,9; c) 68,4 y d) 31,3 6.- Si X está distribuida normalmente con media 5 y desviación típica 2, ¿Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que 6? 7.- Suponga que X es una variable aleatoria con distribución normal, con media 25 y desviación estándar 5, determine: 𝑎) 𝑃(𝑋 < 18)𝑏) 𝑃(𝑋 > 30)𝑐) 𝑃(24 < 𝑋 < 27)𝑑) 𝑃(17 < 𝑋 < 23) 8.- La duración de un evento tiene distribución normal con media de 10 horas y varianza de 4. Encuentre la probabilidad que el evento dure: a) Menos de 9 horas b) Entre 11 y 12 horas c) Más de 12 horas 9.- Sea 𝑋~𝑁(10, 𝜎). Encuentre σ tal que 𝑃(𝑋 ≤ 9) = 0,025 10.- Sea 𝑋~𝑁(300,50). Encuentre el valor de k tal que 𝑃(𝑋 > 𝑘) = 0,1075 11.- La cantidad real de café instantáneo que vierte una máquina en jarras de 4 onzas varía de una jarra a otra, y se puede fijar como una variable aleatoria que tiene una distribución normal con desviación estándar de 0,04 onzas. Si sólo el 2% de las jarras va a contener menos de 4 onzas de café, ¿Cuál debe ser el contenido medio de estas jarras?

12.- Se sabe que el 10% de las unidades producidas por un proceso de fabricación resultan defectuosas. De la producción total de un día se seleccionan 400 unidades aleatoriamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 35 de ellas sean defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 40 y 50 de ellas resulten defectuosas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 34 y 48 de ellas resulten defectuosas? 13.- La tasa real de desempleo es de 15%. Suponga que se seleccionan al azar 100 personas en posibilidad de trabajar. a) ¿Cuál es la cantidad esperada de desempleados? b) ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de los desempleados? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 6 estén desempleados? d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya entre 10 y 15 desempleados? 14.- Se sabe que el 30% de los clientes de una tarjeta de crédito a nivel nacional dejan en cero sus saldos para no incurrir en intereses morosos. En una muestra de 150 poseedores de esa tarjeta: a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 40 a 60 clientes paguen sus cuentas antes de incurrir en el pago de intereses? b) ¿Cuál es la probabilidad de que 30 clientes o menos paguen sus cuentas antes de incurrir en pago de intereses? 15.- En una fábrica, el 20% de los artículos salen defectuosos. Determine la probabilidad que en un lote de 100 artículos elegidos al azar, 15 sean defectuosos. 16.- La familia Kamp tiene gemelos, Rob y Rachel. Tanto Rob como Rachel se graduaron en la Universidad hace dos años, y cada uno gana ahora 50000 Bs. al año. Rachel trabaja en la industria de ventas al detalle donde el salario medio para ejecutivos con menos de cinco años de experiencias es de 35000 Bs. con una desviación estándar de 8000 Bs. Rob es ingeniero. El salario medio para ingenieros con menos de cinco años de experiencia es de 60000 Bs. con una desviación estándar de 5000 Bs. Determine los valores de Z tanto para Rob como para Rachel y comente sus hallazgos. 17.- Las cantidades que sirve una máquina expendedora de bebida de cola siguen la distribución normal con una media de 7 onzas y una desviación estándar de 0,10 onzas por vaso. ¿Cuántas bebidas de cola se sirven con más del 1% en los vasos? 18.- Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos caseros en un banco X siguen la distribución normal con media de 70000 Bs. y desviación estándar de 20000 Bs. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad: a) De que el monto solicitado sea de 80000 Bs. o más. b) De que el monto solicitado esté entre 65000 y 80000 Bs. c) De que el monto solicitado sea de 65000 Bs. o más d) De que el monto solicitado esté entre 75000 y 85000 Bs.

19.- Los pesos de las latas de peras siguen una distribución normal con media de 1000 gramos y una desviación estándar de 50 gramos. Halle el porcentaje de latas que pesan: a) Menos de 860 gramos. b) Entre 1055 y 1100 gramos. c) Más de 925 gramos. 20.- Determine las siguientes probabilidades: a.- 𝑃(𝑍 < 1,35) b.- 𝑃(𝑍 < −0,338) c.- 𝑃(𝑍 > 2,1) d.- 𝑃(𝑍 > −1) e.- 𝑃(−1,39 < 𝑍 < −0,44) f.- 𝑃(−1,52 < 𝑍 < 0,897) 21.- TelComSatellite presta servicios de comunicación a los negocios del área metropolitana de Caracas. Los funcionarios de la compañía han aprendido que la transmisión satelital promedio es de 150 segundos con una desviación estándar de 15 segundos. Los tiempos parecen estar distribuidos normalmente. Para estimar de manera apropiada la demanda del cliente por sus servicios y establecer una estructura de tarifas que maximice las utilidades corporativas, TelCom debe determinar qué tan probable es que algunas llamadas se presenten. El director de servicios desea que usted proporcione estimados de la probabilidad de que una llamada dure: a.- Entre 125 y 150 segundos b.- Menos de 125 segundos c.- Entre 145 y 155 segundos d.- Entre 160 y 165 segundos 22.- Un análisis de las calificaciones del examen final de estadística, revela que las calificaciones siguen la distribución normal. La media de la distribución es 75 y la desviación estándar es 8. El profesor quiere recompensar con una A a los estudiantes cuyas calificaciones se encuentren dentro del 10% m{as alto. ¿Cuál es el punto de división para aquellos estudiantes que merecen una A y los que merecen una B? 23.- Un estudio ha mostrado que en un cierto barrio el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores. Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide: a.- ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?