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PRESENTADO POR: Ramona del Carmen Abreu Peralta MATRÍCULA: [email protected] Tarea 8 ASIGNATURA: Estadística General Grupo: 60

Facilitador/a: Roberto Herrera

La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de Licenciado en Biología es 0.3. Hallar la probabilidad de que de un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso: a) b) c) d)

Ninguno de los siete finaliza la carrera. La finalicen todos Al menos dos acaben la carrera Hallar la media y la desviación típica del número de alumnos que acaban la carrera

Solución: 𝑃(𝑋 = 𝑟) = 𝑛𝐶𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥

P= {acabar la carrera} p= 0.3 q= 0.7 a) 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑏(0; 7,0.3) = (7𝐶0)(0.3)0 (0.7)7 ∴ 𝑃(𝑋 = 0) = 0.0823

b) 𝑃(𝑋 = 7) = 𝑏(7; 7,0.3) = (7𝐶7)(0.3)7 (0.7)0 ∴ 𝑃(𝑋 = 7) = 0.0002187 c) 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 𝑏(2; 7,0.3) + 𝑏(3; 7,0.3) + 𝑏(4; 7,0.3) + 𝑏(5; 7,0.3) + 𝑏(6; 7,0.3) + 𝑏(7; 7,0.3) = (7𝐶2)(0.3)2 (0.7)5 + (7𝐶3)(0.3)3 (0.7)4 + (7𝐶4)(0.3)4 (0.7)3 +(7𝐶5)(0.3)5 (0.7)2 + (7𝐶6)(0.3)6 (0.7)1 + (7𝐶7)(0.3)7 (0.7)0 ∴ 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 0.6705 Ó 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎𝑠:

𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝐵(𝑋 = 1) = 1 − 0.329 = 0.671

d) 𝐸[𝑋] = 𝑛𝑝 = (7)(0.3) 𝑉[𝑋] = 𝑛𝑝𝑞 = (7)(0.3)(0.7)

∴ 𝐸[𝑋] = 2.1 ∴ 𝑉[𝑋] = 1.47

En una población en la que hay un 40% de hombres y un 60% de mujeres seleccionamos 4 individuos: (a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 hombres y 2 mujeres?, (b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más mujeres que hombres? El número de hombres en la muestra sigue una distribución Binomial de parámetros n= 4 y p = 0,4. Entonces para calcular la probabilidad de que haya 2 hombres y 2 mujeres enla muestra, basta calcular la probabilidad de que haya dos hombres en la misma.Pr,,,,, 2420 40 66 0 16 0 360 345622Para que haya más mujeres que hombres en la muestra, el número de estos tiene queser menor que 2, luego la probabilidad será:PrPrPr,,,,,  201400 40 6410 40 60 4752 Es conocido el hecho de que cierto tipo de bacterias poseen, además de sus cromosomas, otras estructuras de ADN llamadas factores de resistencia. Estos factores confieren a la bacteria resistencia a uno o varios antibióticos. En un determinado medio el 0.06% de las bacterias no poseen dicha propiedad. Sobre una población de 10000 bacterias se desea saber: a) La probabilidad de que el numero de bacterias no poseyendo dicha resistencia sea superior a 6, pero inferior a 15 b) La probabilidad de que haya 5 exactamente sin resistencia antibiótica Solución a) 𝑃(6 < 𝑥 < 15) = 𝑃(𝑥 ≤ 14) − 𝑃(𝑥 ≤ 6)  Por tablas: 𝑃(6 < 𝑥 < 15) = 𝑃(𝑥 ≤ 14) − 𝑃(𝑥 ≤ 6) = 0.998604 − 0.606302 = 0.3923 𝑃(6 < 𝑥 < 15) = 𝟎. 𝟑𝟗𝟐𝟑 = 𝟑𝟗. 𝟐𝟑%  Por formula: 𝑃(6 < 𝑥 < 15) = 𝑃(𝑥 ≤ 14) − 𝑃(𝑥 ≤ 6) 𝑃(𝑥 ≤ 14) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) + 𝑃(𝑥 = 6) + 𝑃(𝑥 = 7) + 𝑃(𝑥 = 8) + 𝑃(𝑥 = 9) + 𝑃(𝑥 = 10) + 𝑃(𝑥 = 11) + 𝑃(𝑥 = 12) + 𝑃(𝑥 = 13) + 𝑃(𝑥 = 14)

𝑃(𝑥 ≤ 14) = [(𝐶01000 )(0.0006)0 (0.9994)10000 ] + [(𝐶11000 )(0.0006)1 (0.9994)9999 ] + [(𝐶21000 )(0.0006)2 (0.9994)9998 ] + [(𝐶31000 )(0.0006)3 (0.9994)9997 ] + [(𝐶41000 )(0.0006)4 (0.9994)9996 ] + [(𝐶51000 )(0.0006)5 (0.9994)9995 ] + [(𝐶61000 )(0.0006)6 (0.9994)9994 ] + [(𝐶71000 )(0.0006)7 (0.9994)9993 ] + [(𝐶81000 )(0.0006)8 (0.9994)9992 ] + [(𝐶91000 )(0.0006)9 (0.9994)9991 ] 1000 )(0.0006)10 (0.9994)9990 ] + [(𝐶10 1000 )(0.0006)11 (0.9994)9989 ] + [(𝐶11 1000 )(0.0006)12 (0.9994)9988 ] + [(𝐶12 1000 )(0.0006)13 (0.9994)9987 ] + [(𝐶13 1000 )(0.0006)14 (0.9994)9986 ] + [(𝐶14 𝑃(𝑥 ≤ 14) = 0.002474 + 0.01485 + 0.04458 + 0.08920 + 0.1338 + 0.16065 + 0.16067 + 0.13771 + 0.103278 + 0.06883 + 0.04129 + 0.022513 + 0.01125 + 0.005189 + 0.002222 𝑃(𝑥 ≤ 14) = 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟔𝟎𝟒 𝑃(𝑥 ≤ 6) = [(𝐶01000 )(0.0006)0 (0.9994)10000 ] + [(𝐶11000 )(0.0006)1 (0.9994)9999 ] + [(𝐶21000 )(0.0006)2 (0.9994)9998 ] + [(𝐶31000 )(0.0006)3 (0.9994)9997 ] + [(𝐶41000 )(0.0006)4 (0.9994)9996 ] + [(𝐶51000 )(0.0006)5 (0.9994)9995 ] + [(𝐶61000 )(0.0006)6 (0.9994)9994 ] 𝑃(𝑥 ≤ 6) = 0.002474 + 0.01485 + 0.04458 + 0.08920 + 0.1338 + 0.16065 + 0.16067 𝑃(𝑥 ≤ 6) = 𝟎. 𝟔𝟎𝟔𝟑𝟎𝟐 𝑃(6 < 𝑥 < 15) = 𝑃(𝑥 ≤ 14) − 𝑃(𝑥 ≤ 6) = 0.998604 − 0.606302 = 𝟎. 𝟑𝟗𝟐𝟑 b) 𝑃(𝑥 = 5)  Por fórmula (Binomial): 𝑃(𝑥 = 5) =b (x; n, p) =b (5;10000,0.0006) = [(𝐶51000 )(0.0006)5 (0.9994)9995 ] = 0.1606 𝑃(𝑥 = 5) = 𝟎. 𝟏𝟔𝟎𝟔 = 𝟏𝟔. 𝟎𝟔%  Por formula (Distribución de Poisson) 𝑃(𝑥 = 5) ; λ = 6 ; x = 5

𝑃(𝑥 = 5) =

λ x 𝑒 −λ 𝑥!

=

6 5 𝑒 −6 5!

= 𝟎. 𝟏𝟔𝟎𝟔=16.06%

Las calificaciones en un examen siguen una distribución Normal de media 5.6 y desviación típica 0.8. a) ¿Qué proporción de alumnos tendrá puntuaciones inferiores o iguales a 4? b) ¿Qué proporción de alumnos aprobará? c) ¿Qué proporción de alumnos obtendrá Notable o Sobresaliente?

Solución. æ a) Pr X £ 4

= Prç Z £

è æ

b) Pr X > 5

c) Pr X > 7

4 - 5,6ö

= Prç Z >

÷

0,8 ø 5 - 5,6ö ÷=

è

0,8 ø

æ

7 - 5,6ö

= Prç Z >

è

= Pr Z £ -2 = 0,0228

÷=

0,8 ø

1 - Pr Z £ -0,75 = 1 - 0,2266 = 0,7734

1 - PrZ £ 1,75 = 1 - 0,9599 = 0,0401