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• Enrique Ingaruca Honisman

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ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA II

ESTABILIDAD TRANSITORIA DE SISTEMAS MULTIMÁQUINA Problema La Figura 1 muestra un sistema de potencia de tres generadores donde los datos por unidad están respecto a una base de 100 MVA. Los datos son idénticos para todos los generadores: Hi = 3 seg., Di = 2 p.u. y x´i = 0.45 p.u. respecto a sus propias bases MVA. La reactancia transitoria incluye la reactancia del transformador elevador. Las cargas son modeladas como admitancias constantes.

PV

j x 23 , 1 = j 0. 15 p.u.

j x 12 = j 0. 02 p.u. V 1 = 1.0 p.u. P g, 1 = 80 MW S g, 1 base = 100 MVA

S g, 3 base = 800 MVA V2

P g, 2 = 80 MW S g, 2 base = 100 MVA

Vθ ( slack )

PV

j x 23 , 2 = j 0. 15 p.u. = 1.0 p.u. P c, 3 = 800 MW Q c, 3 = 260 MVAR

V 3 = 1.0 θ 3 =0 °

p.u.

Figura 1. Sistema de potencia de tres generadores. Se produce una falla trifásica franca en uno de los circuitos de la línea 2-3 cerca de la barra 3 y para la condición post falla se abre el circuito en falla. Para el análisis del sistema multimáquina considere los valores en la base del sistema (100 MVA). Preguntas: a) Determinar las tensiones de excitación E’i y los ángulos de potencia δi de los generadores

para el modelo clásico. Primero ejecute un flujo de potencia del sistema considerando los tipos de barras e información mostrada en la figura. En la ejecución considere los siguientes programas en entorno MATLAB:     

DataBus3.m  Modificar archivo con los datos del sistema de potencia de la Figura 1. lfybus.m  Forma la matriz admitancia de barra. lfnewton.m  Ejecuta el método de Newton para flujo de potencia. busout.m  Reporte de resultados de barras. lineflow.m  Reporte de resultados de líneas.

P á g i n a 1 | 13

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b) Obtener las matrices de admitancia de barra reducidas al número nodos de los generadores

para la condición pre falla, en falla y pos falla. Considere la transformación de las cargas en admitancias usando los resultados del flujo de potencia. c) Obtener el sistema de ecuaciones diferenciales en forma de EDO (ecuaciones diferenciales

ordinarias) para la condición pre falla, en falla y pos falla. Para esto obtenga las expresiones de la potencia activa de inyección de cada máquina en función del ángulo de los rotores. d) Determinar el tiempo crítico de eliminación de la falla mediante simulaciones en el

dominio del tiempo considerando un aumento gradual en el tiempo de eliminación de la falla hasta alcanzar la inestabilidad. Para obtener las simulaciones utilice técnicas de integración numérica sobre las ecuaciones diferenciales. Observar los ángulos relativos de los rotores δ1 - δ3 y δ2 - δ3 para verificar la inestabilidad del sistema.

SOLUCION: a) Ejecutando Flujo de Potencia del Sistema mostrado, usando Matlab:  Ingresando datos del problema en DataBus3 y compilando.

 Ejecutando Ifybus.m. Crea la matriz admitancia.

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 Ejecutando Ifnewton.m. Ejecuta el flujo de potencia del sistema.

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 Ejecutando busout.m. Reporte de resultados de barras.

 Ejecutando lineflow.m. Reporte de resultados de líneas.

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 Datos del generador:

o Obteniendo valores de las tensiones de excitación internas y ángulos del rotor (E’i y δi ).

E’1 =V1 + i1* jx´1 = 1.065568451 27.55993071° E’2 =V2 + i2* jx´2 = 1.106408414 25.87492959° E’3 =V3 + i5* jx´3 = 1.206624802 17.35876719° E

δ

E’1 = 1.065568451

δ1= 27.55993071° (0.4810115325 rad.)

E’2 = 1.106408414

δ2= 25.87492959° (0.4516027151 rad.)

E’3 = 1.206624802

δ3= 17.35876719° (0.3029676416 rad.)

b) Obteniendo las matrices de admitancia: Los resultados siguientes fueron hallados con el programa trstab,(un paquete de matlab realizado por Hadi Saadat). Se hicieron unos cambios en la obtención de los valores de Potencia en la barra debido a que en el programa no consideraba en una barra la presencia de carga y un generador. o

Matriz admitancia reducida al número de nodos internos de generadores sistema pre falla.

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o

Matriz admitancia reducida al número de nodos internos de generadores sistema Falla.

o

Matriz admitancia reducida al número de nodos internos de generadores sistema PostFalla.

c) Obtener el sistema de ecuaciones diferenciales 2𝐻 𝑑2 𝛿 𝑑𝛿 = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑔 − 𝐷 … … … (1) 2 𝑤𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Donde: 𝐷: Es el coeficiente de amortiguamiento en p.u.-s/rad. 𝐻: Es la constante de inercia de la maquina en segundos. La expresión de potencia eléctrica para la maquina i será:

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𝑛 2

𝑃𝑔𝑖 = 𝐸𝑖 𝐺𝑖𝑖 + ∑(𝐶𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝛿𝑖𝑗 ) + 𝐷𝑖𝑗 cos(𝛿𝑖𝑗 )) … … … … (2) 𝑗=1 𝑗≠𝑖

Donde: 𝐶𝑖𝑗 = 𝐸𝑖 𝐸𝑗 𝐵𝑖𝑗 𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑖 − 𝛿𝑗

;

𝐷𝑖𝑗 = 𝐸𝑖 𝐸𝑗 𝐺𝑖𝑗

Sustituyendo la ecuación (1) en la ecuación de oscilación (2) tenemos:

𝑛

2𝐻𝑖 𝑑2 𝛿𝑖 𝑑𝛿𝑖 = 𝑃𝑚𝑖 − 𝐷𝑖 − 𝐸𝑖 2 𝐺𝑖𝑖 + ∑(𝐶𝑖𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝛿𝑖𝑗 ) + 𝐷𝑖𝑗 cos(𝛿𝑖𝑗 )) … … … (3) 2 𝑤0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 {

𝑗=1 𝑗≠𝑖

Obteniendo los datos de las incógnitas entre las llaves en (3): 𝑃𝑔𝑢𝑛 = 𝐸𝑖 2 𝐺𝑖𝑖

,𝐶𝑢𝑛 = 𝐶𝑖𝑗 = 𝐸𝑖 𝐸𝑗 𝐵𝑖𝑗 , 𝐷𝑢𝑛 = 𝐷𝑖𝑗 = 𝐸𝑖 𝐸𝑗 𝐺𝑖𝑗

EDO para la condición de Prefalla. Resolviendo con Matlab:

}

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Reemplazando Datos:  Generador 1: 0.016

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

= 0.8 − 2

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− {0.0375 + 0.4354𝑠𝑒𝑛(𝛿1 − 𝛿2 ) + 0.0406 cos(𝛿1 − 𝛿2 ) + 1.3909𝑠𝑒𝑛(𝛿1 − 𝛿3 ) + 0.4703 cos(𝛿1 − 𝛿3 )}

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

+ 125

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− 47.65625 = 27.2125𝑠𝑒𝑛(𝛿1 − 𝛿2 ) + 2.5375 cos(𝛿1 − 𝛿2 ) + 86.93125𝑠𝑒𝑛(𝛿1 − 𝛿3 ) + 19.39375 cos(𝛿1 − 𝛿3 )



Generador 2:

0.016

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

= 0.8 − 2

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− {0.0441 + 0.4354𝑠𝑒𝑛(𝛿2 − 𝛿1 ) + 0.0406 cos(𝛿2 − 𝛿1 ) + 1.5084𝑠𝑒𝑛(𝛿2 − 𝛿3 ) + 0.5101 cos(𝛿2 − 𝛿3 )}

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

+ 125.664

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− 47.24375 = 27.2125𝑠𝑒𝑛(𝛿2 − 𝛿1 ) + 2.5375 cos(𝛿2 − 𝛿1 ) + 94.275𝑠𝑒𝑛(𝛿2 − 𝛿3 ) + 31.88125 cos(𝛿2 − 𝛿3 )



Generador 3:

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0.1273

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

= 6.4 − 16

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− {5.9021 + 1.3909𝑠𝑒𝑛(𝛿3 − 𝛿1 ) + 0.4703 cos(𝛿3 − 𝛿1 ) + 1.5084𝑠𝑒𝑛(𝛿3 − 𝛿2 ) + 0.5101 cos(𝛿3 − 𝛿2 )}

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

+ 125.664

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

+ 3.91123 = 10.9261𝑠𝑒𝑛(𝛿3 − 𝛿1 ) + 3.6944 cos(𝛿3 − 𝛿1 ) + 11.8492𝑠𝑒𝑛(𝛿3 − 𝛿2 ) + 4.00707 cos(𝛿3 − 𝛿2 )

EDO en condición de Post Falla:

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Reemplazando Datos:  Generador 1: 0.016

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

= 0.8 − 2

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− {0.0254 + 0.6073𝑠𝑒𝑛(𝛿1 − 𝛿2 ) + 0.0286 cos(𝛿1 − 𝛿2 ) + 1.1460𝑠𝑒𝑛(𝛿1 − 𝛿3 ) + 0.3984 cos(𝛿1 − 𝛿3 )}

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

+ 125

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− 48.4125 = 37.95625𝑠𝑒𝑛(𝛿1 − 𝛿2 ) + 1.7875 cos(𝛿1 − 𝛿2 ) + 71.625𝑠𝑒𝑛(𝛿1 − 𝛿3 ) + 24.9 cos(𝛿1 − 𝛿3 )



Generador 2:

0.016

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

= 0.8 − 2

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− {0.0322 + 0.6073𝑠𝑒𝑛(𝛿2 − 𝛿1 ) + 0.0286 cos(𝛿2 − 𝛿1 ) + 1.2901𝑠𝑒𝑛(𝛿2 − 𝛿3 ) + 0.4485 cos(𝛿2 − 𝛿3 )}

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

+ 125

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

+ 47.9875 = 37.95625𝑠𝑒𝑛(𝛿2 − 𝛿1 ) + 1.7875 cos(𝛿2 − 𝛿1 ) + 80.63125𝑠𝑒𝑛(𝛿2 − 𝛿3 ) + 28.03125 cos(𝛿2 − 𝛿3 )

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

Generador 3:

0.1273

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

= 6.4 − 16

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− {6.2572 + 1.1460𝑠𝑒𝑛(𝛿3 − 𝛿1 ) + 0.3984 cos(𝛿3 − 𝛿1 ) + 1.2901𝑠𝑒𝑛(𝛿3 − 𝛿2 ) + 0.4485 cos(𝛿3 − 𝛿2 )}

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

+ 125.664

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− 1.12176 = 9.002𝑠𝑒𝑛(𝛿3 − 𝛿1 ) + 3.1296 cos(𝛿3 − 𝛿1 ) + 10.1343𝑠𝑒𝑛(𝛿3 − 𝛿2 ) + 3.5232 cos(𝛿3 − 𝛿2 )

EDO en condición de Falla:

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Reemplazando Datos:  Generador 1: 0.016

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝛿𝑖 = 0.8 − 2 − {0 + 0.3152𝑠𝑒𝑛(𝛿1 − 𝛿2 )} 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝛿𝑖 + 125 + 50 = 19.7𝑠𝑒𝑛(𝛿1 − 𝛿2 ) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡



Generador 2:

0.016

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2



𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

+ 125

= 0.8 − 2

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− {0 + 0.3152𝑠𝑒𝑛(𝛿2 − 𝛿1 )}

+ 50 = 19.7𝑠𝑒𝑛(𝛿2 − 𝛿1 )

Generador 3:

0.1273

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝑡 2

= 6.4 − 16

𝑑𝛿𝑖 𝑑𝑡

− {0 + 0 + 0 + 0 + 0}

𝑑 2 𝛿𝑖 𝑑𝛿𝑖 + 125 − 50.275 = 0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡

4. Tiempo critico de eliminación de falla:

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Resolviendo con el programa eactfault,(un paquete de matlab realizado por Hadi Saadat).

Siendo el tiempo critico=0.196s