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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Moreno Perez Daniel Alejandro Ejercicios 39 y 40 39. Las probabilidades previas para los eventos A1 y A2 son P(A1) =0.40 y P(A2) =0.60. También se sabe que P(A1∩ A2)= 0. Suponga que P(B | A1)= 0.20 y P(B| A2)= 0.05. a) ¿Los eventos A1 y A2 son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta Si, son mutuamente excluyentes porque son dos resultados de un evento que no pueden ocurrir al mismo tiempo. b) Calcule P(A1∩ B) y P(A2 ∩ B) P(A1∩ B)=P(A1)P(B|A1)=(0.40)(0.20)=0.08 P(A2 ∩ B)=P(A2)P(B|A2)=(0.60)(0.05)=0.03 c) Calcule P(B) P(B)=(A1∩B)+(A2∩B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)=(0.40)(0.20)+(0.60)(0.05) =0.08+0.03=0.11

d) Aplique el teorema de Bayes para calcular P(A1 |B) y P(A2 | B).

P( A1) P( B | A1) P( A1) P( B | A1)  P( A2) P( B | A2)

P(A1 |B)=

P(A1|B)=

(0.40)(0.20) (0.40)(0.20)  (0.60)(0.05)

P(A1|B)=

(0.08)  0.72 (0.08)  (0.03)

P(A2 | B)=

P( A2) P( B | A2) P( A1) P( B | A1)  P( A2) P( B | A2)

P(A2 | B)=

(0.60)(0.05) (0.40)(0.20)  (0.60)(0.05)

P(A2 | B)=

(0.03)  0.27 (0.08)  (0.03)

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Moreno Perez Daniel Alejandro Ejercicios 39 y 40

40. Las probabilidades previas de los eventos A1, A2 y A3 son P(A1) 0.20; P(A2) 0.50, y P(A3) 0.30. Las probabilidades condicionales para el evento B, dados A1, A2 y A3 son P(B |A1)= 0.50; P(B |A2) =0.40, y P(B |A3)= 0.30. a) Calcule P(B ∩ A1), P(B ∩ A2) y P(B∩ A3). P (B ∩ A1)= P(B|A1)P(A1)=(0.50)(0.20)=0.1 P (B ∩ A2)=P(B|A2)P(A2)=(0.40)(0.50)=0.2 P (B∩ A3)=P(B|A3)P(A3)=(0.30)(0.30)=0.09

b) Aplique el teorema de Bayes, la ecuación 4.19, para calcular la probabilidad posterior P(A2 |B).

P( A2 | B) 

(0.50)(0.40) (0.20)(0.50)  (0.50)(0.40)  (0.30)(0.30)

P( A2 | B) 

(0.50)(0.40) (0.20)(0.50)  (0.50)(0.40)  (0.30)(0.30)

P( A2 | B) 

(0.2)  0.51 (0.39)

c) Utilice el método tabular para aplicar el teorema de Bayes al cálculo de P(A1 |B), P(A2 |B) y P(A3 |B).

P( A1| B) 

(0.2)(0.5) (0.1)  (0.5)(0.2)  (0.4)(0.5)  (0.3)(0.3) (0.1)  (0.2)  (0.09)

P( A1| B ) 

0.1  0.25 0.39

P( A3 | B) 

(0.3)(0.3) (0.9)  (0.5)(0.2)  (0.4)(0.5)  (0.3)(0.3) (0.1)  (0.2)  (0.09)

P( A3 | B) 

0.09  0.23 0.39

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Moreno Perez Daniel Alejandro Ejercicios 39 y 40

P( A2 | B) 

(0.50)(0.40) (0.20)(0.50)  (0.50)(0.40)  (0.30)(0.30)

P( A2 | B) 

(0.2)  0.51 (0.39)

PROBABILIDADES POSTERIORES P(Ai|B) EVENTO A1=0.1/0.39=0.25 EVENTO A2=0.2/0.39=0.51 EVENTO A3=0.09/0.39=0.23 1.000000