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5.1 Análisis de estructuras planas. Esfuerzos internos. Momento flector, esfuerzos de corte y normal. Notación y convención de signos. Relaciones entre carga, esfuerzo de corte y momento flector. Diagrama. Aplicaciones a diversos tipos de vigas y cargas. Vigas cargadas con pares. Vigas de eje inclinado y curvo. Vigas articuladas o Gerber. 5.2 Pórticos. Notación y convención de signos. Aplicaciones a diversos tipos de pórticos y cargas. 5.3 Arcos. Tipos de arcos. Curva de presiones. Diagramas. Arco triarticulado. Arco atirantado.

UTN - Ing. Civil - ESTABILIDAD UNIDAD Nº5 Breski Cecilia 5.4 Análisis de estructuras espaciales. Esfuerzos internos. Momento flector, esfuerzo de corte y normal, momento torsor. Diagramas. Aplicaciones sencillas. 5.1Análisis de estructuras planas. Esfuerzos internos. Momento flector, Esfuerzos de corte y normal. Notación y convención de signos. Relaciones entre carga, esfuerzo de corte y momento flector. Diagrama. Aplicaciones a diversos tipos de vigas y cargas. Vigas cargadas con pares. Vigas de eje inclinado y curvo. Vigas articuladas o Gerber. a. Análisis de estructuras planas: Una

viga

es

una

estructura

diseñada

para

sostener

cargas

transversales a través de un vano estando apoyado en puntos aislados a lo largo de su eje. Las vigas de alma llena son piezas prismáticas de eje generalmente recto cuya longitud es varias veces mayor que sus dimensiones transversales, con capacidad para resistir, no sólo fuerzas en la dirección de su eje, sino especialmente transversales al mismo. b. Esfuerzos internos: A efectos de generalizar las fuerzas concentradas actúan en dirección oblicua al eje. Se ponen en evidencia las reacciones externas y se traza el diagrama de cuerpo libre de la viga. Luego se practica un corte s-s normal al eje; para establecer el equilibrio en los dos tramos en que ha quedado dividida la viga se deben aplicar las interacciones que existían

entre las partículas.

Estas interacciones constituyen dos

UTN - Ing. Civil - ESTABILIDAD UNIDAD Nº5 Breski Cecilia sistemas de fuerzas iguales y opuestas, y pueden ser reducidas a sus resultantes R. La reacción interna R en el punto K, se la expresa mediante un sistema fuerza-par equivalente por su momento M y sus componentes rectangulares N y Q. Las tres componentes de la reacción interna M, N y Q se denominan esfuerzos

internos

o característicos

de la

sección

transversal

considerada. c. Momento flector, Esfuerzos de corte y normal: •

Momento flector:

M es el momento, en una sección transversal, con respecto a su baricentro de la resultante de las fuerzas internas

de izquierda a

derecha, que se desarrollan en ella. Numéricamente es igual a la suma algebraica de los momentos respecto a un extremo de las fuerzas exteriores que actúan a uno u otro lado de la sección considerada. •

Esfuerzo de corte:

Q es la proyección, sobre el plano de la sección de la resultante de las fuerzas internas de izquierda a derecha, que se desarrollan en ella.

Numéricamente

es

igual

a

la

suma

algebraica

de

las

proyecciones sobre dicho plano de todas las fuerzas exteriores que actúan a uno u otro lado de la sección considerada. •

Esfuerzo normal:

N es la proyección sobre el eje normal al plano de la sección de la resultante de las fuerzas internas que en ella se desarrollan. Numéricamente es igual a la suma algebraica de las proyecciones sobre la normal a ducho plano de las fuerzas exteriores que actúan a uno u otro lado de la sección considerada

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d. Notación y convención de signos: M: se considera positivo si en la sección considerada sus fibras inferiores son traccionadas y negativo cuando son traccionadas las superiores. Q: se considera positivo si la parte izquierda de la sección se desplaza a hacia arriba y la derecha hacia abajo. N: se considera positivo si las fuerzas exteriores que actúan a uno u otro lado de la sección tienen a alargar la viga traccionandola.

e. Relaciones entre carga, esfuerzo de corte y momento flector:

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(1)

Q = −∫ p ⋅ dx + C1 dQ dx

(2)

M = ∫ Q ⋅ dx + C2

(3)

p=−

dM dx dQ d 2 M = = −p dx dx 2

Q=

(4) (5)

De las expresiones anteriores se obtienen las siguientes conclusiones: •

De las ecuaciones (1) y (3) se deduce que en los tramos descargados

con

(p=0)

Q

es

contante

y

M

varia

linealmente, nos permiten, conocida la función que define un de los diagramas, conocer por integración o derivación las correspondientes a cualquiera de los otros. •

Si Q=0, M es constante. (2)

•

Por (4) y (5) cuando Q pasa de un valor positivo a uno negativo, M será máximo caso contrario será mínimo.

•

Por (4) para la sección en que el momento flector en máximo, el esfuerzo de corte es nulo, precisamente porque la expresión analítica de la función que define este último es la derivada primera de la función que establece la variación del momento flector.

f. Diagrama: •

Diagrama de cuerpo libre

•

Determinar las incógnitas

•

Plantear

las

M = ∑M = 0

ecuaciones y

de

equilibrio

Q = ∑Fy = 0 ,

N = ∑Fx = 0 . Resolver para cada punto

elegido y registrar los valores con signo. g. Aplicaciones a diversos tipos de vigas y cargas: • Viga simplemente apoyada;

UTN - Ing. Civil - ESTABILIDAD UNIDAD Nº5 Breski Cecilia Una viga simplemente apoyada es un sistema de alma llena, de longitud muy grande con respecto a sus dimensiones transversales, cuyo eje baricentrico sea una recta, y que se encuentre sustentado a tierra mediante un apoyo fijo y otro móvil. Para el caso más corriente en el que el eje de la viga es horizontal el esfuerzo normal es nulo. Para el trazado del diagrama de momentos flectores por el procedimiento grafo numérico es necesario previamente determinar las reacciones de vínculo. 

Apoyos: M=0



Cargas Concentradas: Variación lineal



Carga Uniformemente Distribuida: Parábola de Segundo Grado.



Carga distribuida con variación lineal (carga triangular o trapecial): parábola cubica.

Para el trazado del diagrama de corte se busca la resultante de cada sección de izquierda a derecha siendo en los extremos igual a las reacciones de vínculo. 

Apoyos: reacciones de vínculo



Cargas

Concentradas:

diagrama

discontinuo

y

estará

constituido por tramos paralelos aleje de referencia, estando ubicadas las discontinuidades en coincidencia con las verticales de las fuerzas aplicadas. Q= cte. 

Carga Uniformemente Distribuida: el diagrama varía de forma continua



Carga distribuida con variación lineal (carga triangular o trapecial): el diagrama de corte será una función de segundo grado y resultará discontinuo, con zonas de variación lineal (correspondientes a la carga uniforme) y un arco de parábola de 2º grado para la zona en que actúa la carga triangular. Las discontinuidades corresponden a las verticales de los puntos de aplicación de las fuerzas concentradas.

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• Viga con varias fuerzas concentradas.

• Viga empotrada. Carga rectangular

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• Viga empotrada

• Viga simplemente apoyada con extremos en voladizo

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• Viga con cargas distribuidas.

UTN - Ing. Civil - ESTABILIDAD UNIDAD Nº5 Breski Cecilia • Viga simplemente apoyada con carga parcial

h. Vigas cargadas con pares:

UTN - Ing. Civil - ESTABILIDAD UNIDAD Nº5 Breski Cecilia i. Vigas de eje curvo.

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j.

Vigas de eje inclinado

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k. Vigas articuladas o Gerber. En este tipo de vigas, el momento flector será necesariamente nulo en cada una de las articulaciones, así mismo para el diagrama de corte la articulación determina la parte media de la sección considerada.

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5.2Pórticos. Notación y convención de signo. Aplicaciones a diversos tipos de pórticos y cargas. a. Pórticos: Son estructuras de alma llena constituidas por piezas prismáticas, generalmente rectas, que se enlazan entre sí en nudos rígidos con elementos

verticales,

columnas

y

elementos

horizontales

denominados vigas. Las cargas que solicitan a los pórticos pueden ser concentradas o distribuidas, o una combinación de ambas. En cuanto a su dirección, pueden ser verticales, horizontales o normales. Los pórticos pueden ser isostaticos o hiperestáticos según el numero de vínculos simples a tierra sea igual o mayor que los grados de libertad que posea. Si tiene dos columnas pórtico simple si posee tres, cuatro o más será doble, triple o múltiple. Pórticos hiperestáticos:

Pórticos isostáticos:

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Notación y convención de signo.

•

Momento flector: para vigas estará dado en magnitud y signo,

por el momento de la resultante de las fuerzas de la izquierda de la sección considerada, con respecto al baricentro de la misma o de la derecha con el signo contrario.

Para las columnas, se tomará el

momento de a resultante de las fuerzas ubicadas por debajo de la sección considerada o el de la resultante de las que quedan por encima con signo contrario. •

Esfuerzo de corte: para las vigas se considerara en magnitud y

signo, la componente paralela al plano de la sección considerada.

UTN - Ing. Civil - ESTABILIDAD UNIDAD Nº5 Breski Cecilia Para las columnas se considerara la proyección sobre el plano de la sección considerada, de la resultante de las fuerzas ubicadas por debajo o la correspondiente a las que actúan por encima consigo cambiado. •

Esfuerzos normales: tanto para columnas como para vigas, el

esfuerzo normal estará dado en magnitud por la proyección normal al plano de la sección, de la resultante de las fuerzas ubicadas a un lado de la misma. Por cuanto al signo del esfuerzo resulta de si la componente axial de la resultante considerada comprime o tracciona la sección. En el primer caso negativo en el segundo positivo. b. Aplicaciones a diversos tipos de pórticos y cargas. Por estar los pórticos constituidos por una sucesión de tramos, los diagramas se subdividan en diagramas parciales, correspondiendo uno a cada tramo.

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5.3Arcos. Tipos de arcos. Curva de presiones. Diagramas. Arco triarticulado. Arco atirantado. a. Arcos: Se designa con el nombre arco a la estructura curva que, cargada verticalmente, origina reacciones oblicua en los apoyo. Los arcos pueden ser de alma llena o de celosía (o alma calada) trabajan a compresión y tracción.

UTN - Ing. Civil - ESTABILIDAD UNIDAD Nº5 Breski Cecilia En los arcos de alma llena se define el eje o directriz del arco como el lugar geométrico de los baricentros de las sucesivas secciones transversales de la estructura. Los arcos pueden estar isostática o hiperestaticamente sustentados según posean igual o mayor numero de vínculos simple. b. Tipos de arcos:

c. Curva de presiones: Cuando un sistema actúa bajo una carga distribuida, el polígono de presiones se transforma en una curva de presiones, cuyas tangentes extremas coinciden con las rectas de accione de las respectivas reacciones de vinculo.

UTN - Ing. Civil - ESTABILIDAD UNIDAD Nº5 Breski Cecilia Trazado grafico por puntos y tangentes extremas: Una fuerza distribuida normal puede suponerse constituida po una sucesión de fuerzas infinitamente pequeñas. Si construimos un polígono de fuerzas, este consistirá también en una sucesión de fuerzas infinitamente pequeñas, transformándose en una curva de fuerzas. Trazado el correspondiente polígono funicular, por ser infinito el número de sus lados, degenerara en una curva denominada CURVA DE PRESIONES. 1. Primero se traza el polígono de fuerzas, es decir se trazan los vectores representativos de las fuerzas una a continuación de la otra con la intensidad y dirección correspondiente. 2. Se elige arbitrariamente un polo O, proyectamos desde el mismo, el origen y extremo de los vectores representativos de las fuerzas obteniendo los rayos polares. 3. Por un punto cualquiera del plano, trazamos la paralela al rayo polar

hasta

cortar

la

recta

de

acción

de

la

fuerza

correspondiente (F1- rayo 1- paralela I); sucesivamente. Estas rectas representan los lados del polígono. 4. El primero y último lado de dicho polígono coincidirán con las tangentes extremas de la curva, prolongando ambos, su intersección un punto de la recta de acción de la resultante del sistema o bien donde se presenta el momento flector máximo. 5. Finalmente se toman los puntos medios de los segmentos de tangentes y al unirlos entre sí, se obtiene la recta tangente a la curva. Diagramas: d. Arco triarticulado: e. Arco atirantado:

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5.4Análisis de estructuras

espaciales. esfuerzos internos. Momento

flector, Esfuerzos de corte y normal, momento torsor. Diagramas aplicaciones sencillas. a. Análisis

de

estructuras

espaciales: En los sistemas espaciales, según sea el esado de cargas que los solicitan

aparte

esfuerzos para

los

tres

caracteristicosdefinidos

los

momento

de

sistemas flector,

plamos;

esfuerzos

de

corte y normal, aparece n cuarto esfuerzo

característico:

el

momento Torsor. Sobre una viga espacial actúa un sistema

de

fuerzas

espaciales

UTN - Ing. Civil - ESTABILIDAD UNIDAD Nº5 Breski Cecilia activas y reactivas. Luego de realizar uno corte por la sección s-s normal al eje geométrico de la misma, para restablecer el equilibrio de las dos partes en que ha quedado dividida la viga, se deben aplicar las interacciones que existían entre las partículas adyacentes al corte antes de que se efectuase el mismo. Es decir que en cada cara se deben aplicar las acciones que la parte derecha de la viga transmitía a la izquierda. Estas acciones constituyen sistemas de fuerzas espaciales, iguales y opuestos, distribuidas en las dos caras del corte y pueden ser reducidos en cada una de ellas, a un sistema fuerza-par aplicado en el baricentro de la sección. b. Esfuerzos internos.

c. Momento flector: El momento flector tiende a doblar la viga, queda expresado por dos componentes: N = x = ∑X i

d. Esfuerzo de corte: El esfuerzo de corte tiene a cortar la viga; esta expresado por dos componentes: QY = Y = ∑Yi

Qz = Z = ∑Z i 2

Q = QY + Qz

2

e. Esfuerzo normal: El esfuerzo normal tienen a alargar o acortar la viga; esta dado por:

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M Y = Y = ∑Yi

M z = Z = ∑Zi M =

2

MY + M z

2

f. Momento torsor: El momento torsor tiende a torcer la viga; esta dado por M T = ∑M X