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DIBUJO I ESCALAS 1. Definición: Es un factor de proporcionalidad entre un objeto dibujado o representado y el objeto real. Indica las veces que un dibujo o representación es menor, igual o mayor que el objeto real.

Se expresa con dos cifras separadas por dos puntos o en forma de fracción. E = __Dimensiones del dibujo__ = Dimensiones del objeto E = __D_ O

ó

__D__ O

E=D:O

2. Clasificación de las escalas:   

Escala natural: Cuando el dibujo o representación tiene las mismas dimensiones que el objeto real. Escala de ampliación: Cuando el dibujo o representación tiene dimensiones mayores que las del objeto real. Escala de reducción: Cuando el dibujo o representación tiene dimensiones menores que las del objeto real.

Escalas de Reducción

1: 2 1: 5 1: 10 1: 20 1: 50 1: 100 1: 200

Escala Natural

1:1

Escalas de Ampliación

2:1 5:1 10:1 20:1 3:1 100:1 200:1

3. Tipos de Escalas. Escala Numérica De todos es conocida la necesidad de dibujar sobre un papel los numerosos y variados objetos y figuras con los que el técnico ha de trabajar, tales como maquinas, edificios, construcciones, piezas, terrenos, etc. En la inmensa mayoría de los casos, las dimensiones del objeto a representar no permiten dibujarlo a tamaño natural, lo cual obliga a dibujar una figura semejante a la del origen, es decir, de la misma forma pero de distinto tamaño.

Si las dimensiones de la figura son menores que las del original, que es el caso mas corriente, obtendremos una reducción, y si son mayores, una ampliación. La relación que existe entre dos longitudes homólogas de dos figuras semejantes (en este caso, del dibujo y del original), se llama relación de semejanza y es, como se sabe por Geometría, constante para todos de elementos homólogos de ambas figuras. Dicha relación, que nos indica la mayor o menor ampliación de reducción del dibujo es, precisamente, la escala. De aquí, la definición: Escala es la relación de semejanza que existe entre el dibujo y el original. La escala, por ser una relación o cociente, se expresa por un quebrado cuyo numerador representa el dibujo, y el denominador, el original. Así, un dibujo de un terreno a escala 1/10.000 quiere decir que una longitud igual a una unidad en el dibujo, equivale a otra igual a 10.000 unidades, en el terreno. Para facilitar su construcción en el manejo, las escalas se eligen de modo que una longitud unidad en el dibujo, corresponda a un numero entero de unidades en el original y, de ser posible, que este ultimo numero pueda expresarse por una cifra seguida de ceros. Tal sucede con las escalas: 1 ; 10

1 ; 50

1 ; 200

1 ; 1.000

1 ; 25.000

1 ; etc. 50.000

En la escala 1/20.000, por ejemplo, a 1 mm. del dibujo corresponden 20.000 mm.=20m. del original, y así podemos razonar con cualquier otra. Escala grafica. Conocida la escala numérica, para calcular longitudes del dibujo o del original, basta con efectuar una multiplicación o una división. Este procedimiento resulta laborioso y nada práctico si hemos de realizar muchas medidas. Por esta razón, se utiliza el método gráfico que permite leer directamente, en las divisiones de la escala, la longitud que buscamos. Su fundamento es el siguiente. Sea, por ejemplo 1/400 la escala del plano. La equivalencia entre el dibujo y el original es: 1 m. 1 dm. 0,1 m.=1 dm. 0,00125 m.=2,5 mm.

del dibujo equivale a 400 m. del original. “ “ “ 40 m. “ “ “ “ “ 4 m. “ “ “ “ “ 1 m. “ “

A la vista de estas equivalencias y teniendo en cuenta que las divisiones de la longitud inferior a 1 mm resultan de difícil lectura, adoptaremos el metro como unidad practica en el original, a la cual corresponde una longitud de 25 mm en el dibujo. Hecho esto, dibujemos en una recta un punto “0” (que va ser el cero de la escala) y a partir de él hacia la izquierda (fig. 1) tomaremos segmentos iguales, uno a 10

5

0

10

Fig. 1

20

30 Mts.

continuación de otro, de longitud igual a 2.55 mm. y como estos segmentos representa, en esta escala, longitudes de un metro en el original, numeraremos estas divisiones con los números 1, 2, 3…., 10. En seguida y hacia la derecha, tomaremos segmentos iguales a 10 de estas divisiones y las numeraremos con los números 10, 20, etc. A partir de 0 y hacia la derecha suele trazarse, por debajo de la recta, una línea más gruesa, como está dibujada en la figura, con lo que queda terminada la escala grafica cuya utilidad vamos a ver inmediatamente. La parte subrayada es la escala propiamente dicha y el conjunto de las diez subdivisiones de la izquierda, la contraescala. Supongamos que queremos medir la longitud de un segmento del plano, aplicamos primero una punta del compás en cada extremo del segmento y luego, colocamos una punta del compás en el cero de la escala. Si la abertura de éste es inferior a la contraescala, mediremos directamente sobre ésta la longitud pedida, pero si fuera mayor, habrá que colocar una de las puntas en una de las divisiones 10, 20, 20, etc., de modo que la otra caiga dentro de la contraescala. Así, si el compás abarca por ejemplo, desde la división 20 de la escala 3 de la contraescala, la longitud del segmento, en el original, será de 23 m. Procediendo a la inversa, si queremos llevar sobre el plano una longitud de 38 m en el original, aplicaremos una punta del compás en la división 30 de la escala y la otra, en la división 8 de la contraescala, y esta abertura será la longitud buscada. Nótese que con este procedimiento solo pueden medirse exactamente las unidades en las subdivisiones de la contraescala, en este caso, el metro, pero no las partes alícuotas de ella. Resulta más práctico, para evitar del compás de puntas dibujar la escala grafica en un papel aparte y superponerla sobre el plano, lo cual permite leer directamente las longitudes que se deseen. Con este fin se venden en el comercio juegos de escala que contienen las de uso más frecuente. Elección de la Escala Hasta ahora hemos visto el modo de operar con una escala dada, numérica o grafica, pero también es frecuente que seamos nosotros los que hayamos de elegir la escala. Habrá casos en que podremos elegir arbitrariamente entre varias escalas, pero también puede ocurrir que ésta venga impuesta por ciertas limitaciones. Estas limitaciones, prescindiendo de las particulares de cada caso, pueden reducirse a dos de tipo general, opuestas entre si; una, de las dimensiones del papel de dibujo, y la otra, la operación visual mínima. Las dimensiones del papel nos fijan la escala máxima a emplear pues, pasando de ella, obtendríamos una figura mayor que el papel, lo cual no es admisible. Por el contrario, la apreciación visual mínima nos determina la escala mínima a utilizar para que podamos apreciar en el dibujo la dimensión más pequeña que nos interese medir del original. En este aspecto, hay que hacer observar que la longitud mínima que puede apreciarse en un dibujo no suele pasar de 0,25 mm. Para aclarar más lo expuesto, en los ejercicios siguientes se han resuelto los tres casos más corrientes de elección de escala.

EJERCICIOS RESUELTOS. 1. En un dibujo, a escala 1/5.000, la longitud de un segmento es 4,5 cm. ¿Cuál es la verdadera longitud en el original? Solución: Si un centímetro del dibujo equivale a 5.000 cm.= 50 m. del original, la longitud dada equivaldrá a: 4,5 x 50 = 225 m. También podría haberse hallado por una simple regla de tres, razonando del siguiente modo: Si 1 cm. del dibujo equivale a 5.000 del original 4,5 cm. “ “ X “ “ De donde:

X = 4,5 x 5.000 = 22.500 cm.= 225 m

2. El perímetro de una finca es de 3,25 Km. ¿Cuál será su longitud en un dibujo, a escala 1/20.000? Solución: Si 20.000 m. del terreno se representan por 1 m. en el dibujo 3.250 m. “ “ “ “ X “ “ De donde:

X = 3.250∙ 1 1= 0,1625 m = 16,25 cm. 20.000

3. En un plano, una longitud de 25 Km., en línea recta, viene representada por un segmento de 5 cm. ¿Cuál es la escala del plano? Solución: Como la escala es la relación entre el dibujo y el original, se tendrá (reduciendo los kilómetros a centímetros): E=

5 = 1 5 2.500.000 500.000

La escala del plano es, por tanto: 1/500.000

4. Un plano topográfico está a escala 1/50.000. Construir su escala gráfica. Solución: Las equivalencias son: 1 m del dibujo equivale a 0,002 m.=2 mm. “ “

50.000 m. del terreno 100 m. “

Bastará tomar en la contraescala, como se ve en la figura 2, divisiones de 2 mm de longitud cada una y numerarlas de 100 en 100 m hasta 1.000 y a la

derecha, llevar segmentos iguales a 10 de éstas divisiones y ponerles los 1.000, 2.000, 3.000, etc.

1.000

500

0

1.000

2.000

3.000

4.000 Mts.

Fig. 2

1Km

0

1

2

3

4 Mts.

Fig. 3

Más práctico resulta en este caso, puesto que se trata de grandes longitudes, numerar las divisiones en kilómetros, como se indica en la figura 3.

5Km

0

5

10

15

20 Mts.

Fig. 4

5. Dada la escala gráfica dibujada en la figura 4, determinar la escala numérica. Solución: En la escala dada, una de las divisiones grandes representan 5 Km. y su longitud (medida con el doble decímetro) resulta ser de 20 mm. el valor de la escala será, por tanto: E=

20 = 1 1 5.000.000 250.000

6. En un papel rectangular de 32 x 21 cm. se quiere dibujar, a escala, una finca de planta rectangular de 200 x 150 metros. ¿Cuál será la máxima escala que podremos emplear? Solución: Como el papel y la planta de la finca son rectangulares, convendrá dibujar ésta de modo que su lado mayor se corresponda con su lado mayor del papel. Según esto, la escala correspondiente a los lados mayores seria (reduciendo todo a centímetro): E=

32 1 = 1 1 20.000 625

Considerando ahora los lados menores del papel y de la finca, resultaría: E’ =

32 = 1 . 20.000 714,28

Entre estas dos escalas, la máxima que podremos emplear es la E’ (si utilizamos la otra, el lado menor no cabría en su homólogo de papel), pero como no resulta práctica, redondearemos el denominador y adoptaremos como definitiva la escala 1/1.000, lo cual permite dejar en el papel un margen lateral para la rotulación del dibujo. 7. En una planta de un edificio, el espesor mínimo de tabiques es de 6 cm. Si este espesor debe representarse con 1 mm., como mínimo, en el dibujo. ¿Qué escala hemos de utilizar? Solución: Si el espesor del tabique debe tener en el dibujo 1 mm. la escala será: E= 1 . 60 Como esta escala no es práctica, adoptaremos, redondeando el denominador, la escala 1/50. En esta escala, los 6 cm. de tabique tendrán en el dibujo: 6 . = 0,12 cm. = 1,2 mm. 50 8. Para dibujar una zona de terreno cuya dimensión máxima es de 5 Km. se dispone de un papel de 60x70 cm. ¿Qué escala deberá emplearse, si una autopista de 15 m. de ancho que atraviesa esta zona, queremos representarla por dos líneas paralelas, espaciadas 0,5 mm como mínimo? Solución: Para que 0,5 mm. representen un ancho de 15 m. la escala mínima será:

0,5 = 1 . 15.000 30.000 Y para que la dimensión máxima de 5 Km. quepa en el papel, la escala máxima deberá ser: 60 = 1 . 500.000 8.333 Y redondeando: 1 . 10.000

La gama de escalas prácticas a utilizar será, por tanto: 1 > 1 > 1 > 1 . 10.000 20.000 25.000 30.000 Dentro de estas cuatro escalas posibles, convendrá elegir la 1/10.000, puesto que con ella se obtiene un mejor aprovechamiento del papel y mayor claridad en el dibujo. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Se tiene una pieza que mide 1.500 x 800 x 600 mm y se desea dibujarla en escala 1: 2,5 ¿Qué dimensiones tendrá el dibujo? 2. Tenemos el dibujo de una pieza sin sus dimensiones, pero sabemos que se ha realizado en escala 5:1 ¿Cuáles serán sus dimensiones reales si con el escalímetro mide 500 x 450 x 220 mm? 3. Tenemos un dibujo con sus dimensiones, pero sin especificar la escala en que se realizó. Una de sus dimensiones es 1.800 mm y aparece en el dibujo como 90 mm ¿En qué escala se realizó? 4. Dado el dibujo de una casa en el que una de sus dimensiones reales es de 350 cm y con el escalímetro mide 7 cm. Se pide calcular la escala en que fue realizado. 5. En un dibujo a escala 1:5000, la longitud de un segmento es 4,5 cm ¿Cuál es la verdadera longitud en metros en el original? 6. El perímetro de una finca es de 3,25 km ¿Cuál será su longitud en un dibujo a escala 1:20000? 7. En un plano, una carretera de 25 km en línea recta viene representada por segmento de 5 cm ¿Cuál es la escala del plano? 8. Un plano topográfico está a escala 1:50.000. Construir una escala gráfica en metros y en kilómetros. 9. Se desea construir un closet cuyas dimensiones son 3 x 0,9 x 2,1 m ¿Cuál será la escala utilizada si sus dimensiones en el plano son 6 x 1,8 x 4,2 cm?