• Author / Uploaded
• Ramiro Portillo Vargas

Citation preview

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 1  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos     

Tema N° 1  Introducción al Método de Elementos  Finitos  1.1

Métodos matriciales 

En la actualidad el estudio de los problemas de la Ingeniería Civil es abordado por diferentes métodos  y modelos matemáticos considerando el efecto de continuidad de los elementos estudiados tomando  en cuenta las relaciones denominadas ecuaciones de gobierno. 

  En cada paso se producen simplificaciones por lo que puede decirse que la solución al problema físico  en forma “exacta” no existe.  En  los  problemas  enfocados  como  continuos  no  se  pierden  las  propiedades  físicas  en  dicho  medio  continuo pudiendo valorar en cada punto del elemento de estudio, por lo es importante conocer los  valores para resolver las ecuaciones integro – diferenciales.  Existen varios métodos donde el procedimiento es sistemático, permitiéndonos discretizar y volver a  un sistema de ecuaciones lineales algebraicas, cuyos resultados serán soluciones al problema.       

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

 

 

Por lo general, las estrategias de solución a estos problemas se muestran en el siguiente diagrama: 

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 2  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos 

Métodos matriciales  La notación aplicada es:      

e

R

    De la física tenemos:  Entonces: 

elem

Vi i

1  

ento

e

   

 

Siempre esta expresión puede escribirse matricialmente de la siguiente forma:  1 1 1   1 1 O también:      Ejemplo 2.‐    De la física tenemos:   σ E*ε  e

Donde:  

Vj

e

Ii

   

j

  

ó

e

A, E

 

 

 

e

Ij

e

Fj j

e

Fi

Y:           

 

Por tanto:    

ó  

 

L

i

 

Despejando:     

 

Y para el caso general:   

 

Y                                         

 

Matricialmente se escribe:  1 1

1 1

 

Por  tanto  se  puede  inferir  que  la  aplicación  de  estas  ecuaciones  pueden  ser  escritas    como  un  sistema lineal de ecuaciones en forma matricial.     

 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

    1.2

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 3  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos     

V2

Ejemplo 3.‐  Matricialmente el problema es dado por: 

2

1

R 1

I

R3

Escribiendo para cada elemento tendremos: 

I3

Elemento 1.‐  1

I3 V 3 3

0

1 0

1

0

0

 

0 0

Elemento 2.‐  0

0 0

0 1 1

0

0 1  

1

Elemento 3.‐  1 0

0

0 1

0 0

1 0 1

 

Entonces  todos  los  Kij  se  obtienen  de  la  suma  de  las  matrices  individuales  y  a  este  proceso  se  denomina ensamblaje de la matriz.  Por tanto:   

 

Luego el sistema se coloca seleccionando los valores desconocidos y conocidos de la siguiente forma:    Que al resolver se tiene:                                

 

 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

 

1

2

1

2

I

I1

R

V1

 

1.4

Análisis del problema como medio continuo.‐  En  el  método  de  elementos  finitos,  además  del  proceso  de  discretización  se  incorporan  2  conceptos: El continuo ( Ω ) y su contorno ( Γ  ), puesto que las ecuaciones de gobierno deben  ser considerados en todo su medio continuo y su comportamiento en su contorno, así en el  proceso de discretización puede escribirse:    En el elemento finito  e podemos escribir:                             se  obtiene  al  imponer  al  elemento  las  Donde    ecuaciones  integro  diferenciales  que  gobierna  el  problema en su contorno y su continuo.  continuo   e Es  importante  definir  el  dominio,  normalmente  se  tiene un contorno fijo, aunque puede existir un análisis  contorno con  mayores  criterios  donde  necesiten  varias  q ecuaciones.      Consideraciones de Derivación.‐  Si tenemos definida una función f(x, y), siempre podemos calcular:   ;    Por tanto se define: 

 

Por tanto:   es como multiplicar un vector por un escalar  Si:    Entonces el producto escalar será:  °

 

Y el producto vectorial:        Ahora bien, 

 

 

 

 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

    1.3

 

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 4  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos 

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 5  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos      Si se desea determinar el área de continuo (Ω) a partir de una función definida tal como se muestra  en la figura siguiente, se verifica que:  z

°°

f(x,y)

Ω

°

Γ 

Ω

y

Desarrollando tenemos:  Γ 

  Para determinar el área, se tiene lo siguiente:  x y 2

 

= y2 (x)

 

1

,

= y1 (x)

,

 

x

a

 

b

Por  tanto,  la  evaluación  del  continuo  depende  de  la  definición  de  las  funciones  de  contorno  que  encierra dicha superficie.  Ahora bien, si se tiene un dominio tal como se muestra en la figura siguiente, se establece:  Por Pitágoras, se aproxima: 

y

Γ d

 

Si queremos conocer: 

dy dx

,

x

Donde:    x = x(ξ)   y  y=y(ξ), en la que se verifica:                  

 

 

Γ 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

 

°

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 6  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos      Entonces:  Γ

 

Reemplazando en la integral: 

,

Γ

 

            

, por tanto          

 

Por tanto:  Γ

1

 

Entonces: 

,

Γ

1

 

Haciendo un zoom a la fracción de curva del contorno, observamos:  Siendo: 

t d

   

dy dx

   

Entonces:                              

         Por tanto:          

 

Entonces:  °

Γ

°

Γ 

Por tanto generalizando se dice:  °° Ω

       

Ω

Ω 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

 

En el caso general, se tiene:  

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 7  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos      1.5

Consideraciones de Integración Numérica 

En el método de elementos finitos normalmente se integra entre el rango ‐1, +1, es decir:  

f( )

  Por ejemplo para una función de primer grado, 

0

+1

2

 

Si f(ξ) es una función polinómica de grado n    1 2 1 2

1 3 1

1 1 1

1

1

 

|

1

1

 

Por tanto: 

  Donde wi se denomina peso de la función.  Por tanto para una función lineal: 

0   

2 

Asimilando para un polinomio de grado n, tenemos un sistema de ecuaciones como el siguiente: 

     

 

      En el sistema no se conocen los pesos ni los puntos de observación, entonces:  2 

 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

-1

 

Tenemos: 

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 8  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos      0  2/3  …  1

1 1

 

Por tanto las incógnitas del sistema son: 

  Para que el sistema tenga solución, se debe cumplir la siguiente relación:  1 2   Donde:   p= grado de la función polinómica      n = N° de puntos de observación (cuadratura de Gauss)  Por tanto, para integrar n polinomio de grado n, debe evaluarse dicha función teniendo en cuenta su  grado, entonces determinar los puntos de observación. Para ello se dispone de 2 métodos numéricos  que son:  Gauss Legendre:  Donde necesitamos los n puntos expresados a partir de la relación:  1   2 Gauss Lobato:      Que necesita n puntos a partir de la expresión:  3   2 Debe  anotarse  que  para  una  función  cualquiera  entre  cualquier  parábola  cúbica  que  pasa  por  2  puntos, se obtiene la misma sección.  Asimismo,  según  Gauss  Lobato  (que  se  aplica  en  problemas  de  fluidos)  se  definen  2  puntos  y  los  puntos medios son recomendados en función de ver su contorno.    1.6 Tensor de esfuerzos     El  esfuerzo  depende  de  la  condición  de  vector  y  la  superficie donde actúa, por lo que el esfuerzo es un  tensor de rango, cuya definición es:       P  Esfuerzo  lim A0      A    Este  concepto  se  aplica  tomando  en  cuenta  que  el  material es continuo.     

 

 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

           …              …   

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 9  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos     

0  0  0    Se denomina Vector de fuerza de masa (o gravitacional)  Donde:     El  esfuerzo  normal  en  un  plano,  dado  su  estado  tensional  ortogonal  esta  dado  por  la  siguiente relación:         

1.7          

 

Donde:  L, m, n se denominan cosenos directores    Tensor de deformaciones.‐  El estado de deformación de un cuerpo infinitesimal está definido por el tensor: 

 x    yx   zx

 xy  xz    y  yz    x ,  y ,  z ,  xy ,  xz ,  yz T  zy  z 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

    Todo cuerpo alcanza su estado de equilibrio, cumpliendo con las siguientes ecuaciones:   

 

La nomenclatura esta dado por:      xy  xz    x  xy  xz   X x X xy X xz    x        yx  y  yz    yx  y  yz   Yyx Y y Yyz  Z z    zx  zy  z   zx  zy  z   Z zx Z zy   Donde:  Esfuerzos normales  i (i  x, y , z )      ij (i, j  x, y, z) i  j Esfuerzos tan genciales  

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 10  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos      Se  establece  la  relación  entre  deformación  y  desplazamiento  a  partir  de  las  siguientes  relaciones:  u v u   x   xy  

y x u w  xz   z x v w  yz   z y

x v y  y w z  x

           

relaciones:    2

 

  Tomando  en  cuenta  las  relaciones  de  deformación  de  un  nodo,  se  establece  que  para  los  elementos  concurrentes  en  dicho  nodo  se  produce  una  condición  de  compatibilidad,  por  tanto dichas ecuaciones se escriben como:      

 

 

       

2

 

2

 

2

 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

Para determinar la deformación en un punto cualquiera del plano, se establece a partir de las 

 

Siendo u, v, w el campo de los desplazamientos en las direcciones x, y, z respectivamente. 

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 11  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos 

Se  conoce  como  Ley  Generalizada  de  Hoocke  a  la  expresión  que  relaciona  el  tensor  de  los  esfuerzos  con  el  tensor  de  las  deformaciones.  Dependiendo  de  la  relación,  ésta  se  puede  escribir de 2 maneras:    a) Condición  de  flexibilidad.‐  que  relaciona  el  tensor  de  las  deformaciones  en  función  del  tensor de esfuerzos, es decir:    C     x  c1,1 c1, 2 c1,3 c1, 4 c1,5 c1,6   x         c2, 2 c2,3 c2, 4 c2,5 c2,6   y   y        z   c3,3 c3, 4 c3,5 c3,6   z        c4, 4 c4,5 c4,6   xy   xy       yz   c5,5 c5, 6   yz         c1,6   zx   zx     Donde ci,j, se denomina: coeficiente de flexibilidad    b) Condición de rigidez.‐ que relaciona el tensor de los esfuerzos en función del tensor de las  deformaciones, es decir:    D    x  d1,1 d1, 2 d1,3 d1, 4 d1,5 d1,6    x       d 2, 2 d 2,3 d 2, 4 d 2,5 d 2,6    y   y          d d d d   z   z  3, 3 3, 4 3, 5 3, 6        d 4, 4 d 4,5 d 4,6   xy     xy    yz     d 5,5 d 5, 6   yz         d1,6   zx   zx     Donde di,j, se denomina coeficiente de rigidez    Para  el  caso  de  un  material  isotrópico  y  simétrico,  esta  relación  se  reduce  a  los  siguientes  términos:    x    x  c1,1 c1, 2 c1,3        c2 , 2 c2 , 3     y   y           

  z      xy    yz       zx  

c3,3 c4 , 4 c5,5

  z      xy    yz    c1, 6   zx 

Estos  coeficientes  pueden,  a  su  vez,  ser  representado  en  función  de  2  constantes,  denominadas:  E  =  Módulo  de  Young  y  v=  Constante  de  Poissón,  por  tanto  las  relaciones  establecen:   

 

La Ley de Hoocke como ecuación que gobierna los problemas elásticos estructurales‐ 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil

    1.8

U.A.T.F.          Ing. Juan Carlos Barrios C.  ©2011  Página: 12  Guía Didáctica  CIV 313 Elementos Finitos     

x 

 x  



x E

x



y E

y E





z



z

y E



E E

z E

 xy

 xy   yz   zx 

G

 yz G

 zx G

 

E E G 2(1  v)

Matricialmente, se escribe:    x  1         y      z 1         xy  E     yz         zx    





1

 1

21   

21   

  x      y    z      xy    yz    21     zx 

Otras relaciones constitutivas  El  método  de  Elementos  Finitos  no  solamente  se  aplica  a  problemas  estructurales,  sino  a  diversos casos de estudios de la ingeniería civil. Por ello, se presenta una tabla en la que se  pueden identificar algunos criterios referidos a los diferentes problemas físicos que aborda el  ingeniero civil y que conducen a los criterios constitutivos que se aplican:    Problema Físico  Deformación de  un cuerpo  elástico  Red eléctrica  Torsión  Transferencia de  calor  Flujo de fluídos  Flujo a través de  un medio poroso  Electrostática  Magnetostática 

 

 

E

 x  

     

  1.9

x

Principio de  Conservación  Equilibrio de  Fuerzas 

Variable de  Estado  Desplazamiento  o Fuerzas 

Equilibrio de  corriente  Energía  Potencial  Energía  térmica  Momento 

Voltaje o  Amperaje  Función de  esfuerzos  Temperatura 

Flujo eléctrico 

Gasto hidráulico 

Masa 

Velocidad,   gasto hidráulico  Potencial  eléctrico  Potencial  magnético 

Flujo eléctrico  Potencial  magnético 

Flujo 

Ecuación  Constitutiva  Ley de Hoocke 

Razón de giro 

Constante del  Material  Módulo de  Young y Ctte. de  Poisson  Conductividad  eléctrica  Esfuerzo de corte 

Flujo de calor 

Conductividad 

Ley de Fourier 

Esfuerzo  cortante  Razón de flujo 

Viscosidad 

Ley de Stokes 

Permeabilidad 

Ley de Darcy 

Flujo eléctrico 

Permitividad 

Flujo magnético 

Permeabilidad  magnética 

Ley de  Coulomb  Ley de Maxwell 

Esfuerzo o  deformación 

Ley de Kirchoff  Ley de Hoocke 

Introducción del Método de Elementos Finitos aplicados a la Ingeniería Civil