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• renzo jair

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ELEMETOS FINITOS BIDIMENSIONALES La soluci´on al problema de encontrar la malla ´optima en Elementos Finitos (EF), con un determinado n´ umero de rudos libertad, presenta un indudable inter´es en la aplicaci´on de f m´etodo. En la actualidad, el problema se plantea en t´erminos de un proceso que permite obtener una mejor malla de elementos finitos a partir de una inicial. La nueva malla se dise˜ na matem´aticamente (remallado) de forma que el error del m´etodo sea lo m´as uniforme posible en todo el dominio de c´alcdo. Sin embargo, esta t´ecnica de indudable inter´es y aplicaci´on, al aumentar el n´ umero de grados de libertad (gdl) de la aproximaci´ on, no permite deducir de un modo directo el problema de la malla ´optima condicionada a un n´ umero feo de gdl. Con la soluci´on de este problema se podr´an deducir algzlnos criterios y recomendaciones para el dise˜ no de una malla de elementos finitos, qzle exigir´a, en general, en un proceso de remallado, modificaciones menores. Para problemas unidimensionales (barras y pilares simples), se pueden encontrar soluciones analiticas. Para problemas 2-0 m´ as complicados (tensi´on y deformaci´on plana), se han utilizado m´etodos num´ericos para obtener la malla ´ optima.

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INTRODUCCION

El M´etodo de los Elementos Finitos (MEF) constituyen una muy eficiente t´ecnica para resolver problemas de caracter muy general, existiendo multitud de programas basados en este m´etodo. Debido al extraordinario desarrollo de este m´etodo, ciertos problemas que presenta, deben ser analizados minuciosamente. En general, estos problemas est´an relacionados con el grado de exactitud de los resultados. De hecho, durante la pasada d´ecada, se han realizado esfuerzos considerables para determinar la bondad de los resultados y obtener algunas estimaciones pr´acticas del error producido en los resultados de un c´ alculo por Elementos Finitos. La decisi´on del usuario en la colocaci´on de los nodos influye de manera directa en la magnitud del error. Actualmente, existen ciertas investigaciones, dirigidos conseguir m´etodos autom´aticos de refinamiento de una malla existente introduciendo nuevos grados de libertad (m´as nodos o polinomios de mayor grado en algunos elementos). Se considera una malla mejorada, aquella en la que la distribuci´on de los errores es m´ as uniforme. En este art´ıculo, se tratar´a de obtener una malla ´optima conservando el mismo n´ umero de grados de libertad, siendo la posici´on de cada nodo la inc´ognita a resolver. De la soluci´on del problema pueden extraerse algunas recomendaciones y reglas a la hora de dise˜ nar una malla de

2.

ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL

Los problemas de elasticidad bidimensional son muy frecuentes en Ingenier´ıa, y son asimismo los primeros en los que se aplic´ o el MEF. En este caso el medio continuo que se analiza es plano, y se considera situado en el plano XY. Se denomina t al espesor del dominio en su direcci´on transversal, el cual se considera despreciable frente a las dimensiones del dominio en el plano XY. La posici´on de un punto est´ a definida por dos coordenadas (x,y), y su deformaci´on tiene dos componentes u(x,y), v(x,y) en las direcciones x,y respectivamente. El campo de deformaciones es por lo tanto un vector:   u(x, y) u= v(x, y) Dentro de la elasticidad en dos dimensiones existen dos problemas diferentes: 1. Tensi´on plana: cuando la tensi´ on σz en sentido perpendicular al plano XY es cero,ya que el s´olido puede dilatarse libremente en el sentido de su espesor. Por lo tanto existe una deformaci´ on unitaria εz no nula en dicha direcci´ on. 2. Deformaci´ on plana: cuando en el sentido del espesor del s´olido no hay posibilidad de deformaci´ on, es decir εz = 0 por lo que se genera una tensi´on en dicha direcci´on σz no nula.

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En ambos casos la tensi´ on y la deformaci´ on en la direcci´on z no contribuyen a la energ´ıa el´astica del sistema. Las ecuaciones diferenciales que rigen el problema son de orden m=2 en las deformaciones, pues contienen la derivada primera de las tensiones, que a su vez son derivadas de las deformaciones. En la expresi´on del potencial total del sistema aparecen las deformaciones unitarias ε, que son las derivadas primeras de las deformaciones u, luego el orden de derivaci´on de las inc´ognitas primarias u en el potencial es n=1. Se requieren por lo tanto funciones de interpolaci´on con continuidad C 0 para asegurar la convergencia del m´etodo.

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