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• HaroldCristianVasquezSoto

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ELEMENTOS GEOMETRICOS DE LA ESPIRAL CLOTOIDE

TE   =   Punto   de   empalme   entre   la   recta   y   la   espiral EC   =   Punto   de   empalme   entre   la   espiral   y   el   arco   circular CE   =   Punto   de   empalme   entre   el   arco   circular   y   la   espiral ET   =   Punto   de   empalme   entre   la   espiral   y   la   recta ∆    =   Deflexión   de   la   curva. Rc   =   Radio   curva   circular Le   =   Longitud   curva   espiral Өe   =   Delta   o   deflexión   curva   espiral Xc   =   Coordenada   X   de   la   espiral   en   los   puntos   EC   y   CE Yc   =   Coordenada   Y   de   la   espiral   en   los   puntos   EC   y   CE P     =   Disloque   =   Desplazamiento   del   arco   circular   con   respecto   a   la   tangente K   =   Abscisa   Media.   Distancia   entre   el   TE   y   el   punto   donde   se   produce   el   disloque Te   =   Tangente   de   la   curva.   Distancia   TE   –   PI   y   PI   ­   ET Ee   =   Externa Tl   =   Tangente   larga.   Distancia   entre   TE   o   ET   y   PIe Tc   =   Tangente   corta.   Distancia   entre   PIe   y   EC   o   CE Ce   =   Cuerda   larga   de   la   espiral.   Línea   que   une   TE   con   EC   y   CE   con   ET Ф   =   Angulo   de   la   cuerda   larga   de   la   espiral ∆c   =   Deflexión   de   la   curva   circular G   =   Grado   de   curvatura   circular Lc   =   Longitud   curva   circular Cc   =   Cuerda   larga   circular

Estudio de la Clotoide o Espiral de Euler. Su expresión más simple es           A2 = R x L Corresponde a la espiral con más  uso en el diseño de carreteras, sus bondades con respecto a otros elementos geométricos curvos, permiten obtener carreteras cómodas, seguras y estéticas. Las   principales   ventajas   de   las   espirales   en   alineamientos   horizontales   son   las siguientes: ­   Una curva espiral diseñada apropiadamente proporciona una trayectoria natural y fácil de seguir por los conductores, de tal manera que la fuerza centrífuga crece o decrece gradualmente, a medida que el vehículo entra o sale de una curva horizontal. ­   La   longitud   de   la   espiral   se   emplea   para   realizar   la   transición   del   peralte   y   la   del sobreancho   entre   la   sección   transversal   en   línea   recta   y   la   sección   transversal completamente peraltada y con sobreancho de la curva. ­   El desarrollo del peralte se hace en forma progresiva, con lo que se consigue que la pendiente transversal de la calzada sea, en cada punto, la que corresponde al respectivo radio de curvatura. ­   La flexibilidad de la clotoide y las muchas combinaciones del radio con la longitud, permiten la adaptación a la topografía, y en la mayoría de los casos la disminución del movimiento de tierras, para obtener trazados más económicos.

Con el empleo de las espirales en autopistas y carreteras, se mejora considerablemente la   apariencia   en   relación   con   curvas   circulares   únicamente.   En   efecto,   mediante   la aplicación de espirales se suprimen las discontinuidades notorias al comienzo y al final de la curva circular (téngase en cuenta que sólo se utiliza la parte inicial de la espiral), la cual se distorsiona por el desarrollo del peralte, lo que es de gran ventaja también en el mejoramiento de carreteras existentes. Ecuaciones Paramétricas La   clotoide   se   puede   definir   como   una   curva   tal   que   su   radio   es   inversamente proporcional a su longitud.  Su ecuación intrínseca es:

Donde: L          :           Longitud desde el origen a los puntos indicados, (m) R         :           Radios en los puntos indicados, (m) A         :           Parámetro de la clotoide, (m) Parámetro A a.  Consideraciones generales ­ Por definición, en las clotoides la curvatura varía gradualmente desde cero (0) en la tangente, hasta un valor máximo correspondiente al de la curva circular espiralizada, ya que   el   radio   de   la   curva,   en   cualquier   punto   de   la   espiral,   varía   con   la   distancia desarrollada a lo largo de la misma, manteniendo su parámetro A constante.  Es decir, aún cuando el radio y la longitud de los distintos puntos de la clotoide tienen diferentes valores, estos están ligados entre sí, de modo que su producto es un valor constante, pudiéndose fácilmente calcular uno de ellos cuando se conoce el valor del otro; ­ Las   clotoides   de   parámetro   A   grande,   aumentan   lentamente   su   curvatura   y,   por consiguiente,   son   aptas   para   la   marcha   rápida   de   los   vehículos.   Las   espirales   de parámetro   A   pequeño   aumentan   rápidamente   su   curvatura   y,   por   consiguiente,   se utilizan para velocidades de marcha reducida; ­ El parámetro A, al fijar el tamaño de la clotoide, fija la relación entre R (radio), L (longitud) y q (ángulo central de la espiral). b.  Cálculo Si en la fórmula A2=R x L hacemos R=L, entonces: A = R = L, y el punto en que tal cosa ocurre es el punto paramétrico de la clotoide, punto en el cual el radio de curvatura y la longitud del arco desde el origen son iguales.  En el punto paramétrico corresponde un arco entre las tangentes de 28°38’52”.

Elementos de la Clotoide R x L = A2         ­­­>         Rc x Le = R x L    ­­­­­>            R = (Rc x Le)/ L ∆ = 2Өe + ∆c Otra característica de la clotoide es  Ө = L2/2RLe ; significa que el ángulo central de la Clotoide , Ө, varía proporcionalmente al cuadrado de de su arco, o distancia desde TE hasta el punto considerado. Si, Ө = Өe  ; entonces;  L = Le  y R = Rc ; sustituyendo   Өe =  Le/2Rc  (Rad.) Si se quiere en Grados; multiplicar por (180/pi) Relacionando las dos ecuaciones de Ө  y  Өe  tenemos; (Ө/ Өe) =   L2/2RLe / Le/2Rc  = (L/Le)2   ­­­­>        (Ө/ Өe) =    (L/Le)2  Las Coordenadas cartesianas de un punto sobre la curva (PSC) serán: X = L (1 – Ө2/ 10)                              Y = L (Ө/ 3 – Ө3/ 42)      Ө en Rad. En el punto EC ó CE tendremos Xe = Le (1 – Өe2/ 10)                         Ye = Le (Өe/ 3 – Өe3/ 42)      Ө en Rad. Reemplazando en Y, el valor de  Ө; tenemos la Ecuación general de la Curva Y = L3 / 6RLe Que indica que la Clotoide es aproximadamente una parábola cúbica.

Si se observa la Figura 03 se puede notar que la espiral desplaza la curva circular hacia el   centro   de   esta   separándola   un   distancia Ye en   el   punto   donde   estas   empalman (EC y CE) y una distancia p, llamada disloque, en el PC. Aunque el PC no existe dentro de la curva, es el punto donde supuestamente estaría ubicado éste si no se tiene la curva espiral, en otras palabras, es el punto donde la tangente a la prolongación de la curva circular es paralela a la tangente de la curva. El punto PC está ubicado a una distancia K desde el TE en la dirección de la tangente. El valor de K se conoce como abscisa media ya que su valor es aproximadamente igual a la mitad de Le. Podría decirse entonces, que el disloque es el valor de Y en la mitad de la curva espiral y que la mitad de la curva espiral reemplaza parte de la curva circular. De la Figura 003 se tiene que:

K, P, entonces son las coordenadas cartesianas del punto PC La utilidad del disloque radica en que de acuerdo a su valor se define la necesidad o no de utilizar curvas de transición. Un valor muy pequeño significa que la trayectoria de la curva circular simple es muy similar a la descrita con curvas de transición por lo que se podría   prescindir   de   estas.   Un   valor   alto   indica   que   las   dos   trayectorias   son   lo suficientemente diferentes para considerar que se deben usar las espirales de transición. De acuerdo a la fórmula de cálculo del disloque se puede observar que al aumentar el radio disminuye el peralte por lo que curvas con radios muy grandes no requiere de espirales   de   transición.   Aunque   se   han   manejado   valores   límites   para   disloque, inicialmente fue de 0.30 m y luego de 0.1 m, por debajo de los cuales se recomienda no usar transiciones, los diseños actuales contemplan el uso de espirales para todas las curvas de un trazado sin importar el valor del disloque. Ubicación del TE (o ET) De la Fig. 01 obtenemos que:

De la misma figura obtenemos que el valor de la externa será: Ec= (Rc+P)(sec ∆/2) ­ Rc El valor de la Tangente Larga y la Tangente Corta será: Tc= Ye/ (senӨe)                                        Tl= Xe – Tc (cosӨe)    El valor de la cuerda Larga Ce, de la figura 02, tenemos

                               De la fig. 02 tomamos que el ángulo Ф llamado ángulo de deflexión, es el formado por la línea que une un punto cualquiera sobre la clotoide con el TE y la línea TE­PI. Si aceptamos que este ángulo es lo suficientemente pequeño, entonces aceptamos que el arco se confunde con la cuerda, por lo tanto: y = L sen Ф;  = L . Ф , entonces;    Ф = y/L.   reemplazando “y” de la ecuación general, tenemos; Ф = L2/(6RcLe);   pero sabemos que Ө = L2/2RLe,  entonces: Ф = Ѳ / 3 Los parámetros de la curva circular se obtienen de las mismas formulas de la curva circular simple. Sabiendo que: ∆ = 2Өe + ∆c L = 2Le + Lc Lc = (π Rc ∆c)/ 180