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E L

V A L L E

D E L I N G E N I O

150 acer tijos para ejercitar nuestra inteligencia

Héctor San Segundo

El valle del ingenio Todos los acertijos aquí presentados fueron creados por Héctor San Segundo Correo electrónico: [email protected]

Índice Prefacio....................................................................................................10 Fáciles.......................................................................................................11 1 Juan, el frutero................................................................................12 2 160 manzanitos..............................................................................12 3 Baja de precio.................................................................................13 4 Los cajones.....................................................................................13 5 Cien manzanas...............................................................................13 6 Un cuadro de frutales...................................................................14 7 Valle ubérrimo................................................................................14 8 La edad de Juan..............................................................................15 9 Envasando manzanas....................................................................15 10 Dos cuadros cuadrados..............................................................16 11 Cajones de manzanas..................................................................16 12 ¿Cuántas son las filas?.................................................................17 13 5.000 manzanos...........................................................................17 14 Trabajar la tierra...........................................................................17 15 Dos chacras..................................................................................18 16 Una canasta de manzanas...........................................................19 17 Filas................................................................................................19 18 Dos alternativas...........................................................................19 19 El trabajo.......................................................................................20 20 Filas impares.................................................................................20

21 Promedio......................................................................................21 22 Manzanos y perales.....................................................................21 23 Cajones de peras y de manzanas...............................................22 24 Pedro y su tractor........................................................................22 25 Una chacra especial.....................................................................23 26 Un lotecito de manzanas............................................................23 27 Perales y manzanos.....................................................................24 28 Frutas en cajitas (variante).........................................................24 29 Cajón lleno y cajón vacío...........................................................24 30 Dos cosechadores........................................................................25 31 Plantas y primos...........................................................................25 32 Deliciosa, granny y gala..............................................................26 33 Promedio por planta...................................................................27 34 Chacra............................................................................................27 35 Dos filas de manzanos................................................................28 36 La planta Nº 80............................................................................28 37 Ganancia.......................................................................................29 38 Una promoción muy especial (variante)..................................29 39 Una curiosa promoción (otra variante)....................................30 40 Bandejitas de manzanas..............................................................30 41 Comprando cajas de manzanas.................................................31 42 Cosechadores...............................................................................31 43 Venta de manzanas......................................................................32 44 Cajones..........................................................................................32

45 Veinte treinta................................................................................33 46 Más manzanas que peras............................................................34 47 Dos cajones sin llenar.................................................................34 48 Tres variedades.............................................................................35 49 Los cosechadores.........................................................................35 50 Deliciosas y granny......................................................................35 Intermedios.............................................................................................36 51 Dos cajones de manzanas..........................................................37 52 16 filas............................................................................................37 53 Manzanas aritméticas..................................................................38 54 Cajas grandes................................................................................38 55 Cincuenta por ciento...................................................................39 56 Otra plantación............................................................................39 57 Tres opciones frutícolas.............................................................40 58 Numerando frutales....................................................................40 59 Tres bandejas de manzanas........................................................41 60 Una caja de peras y otra de manzanas.....................................41 61 Dos plagas frutícolas...................................................................42 62 El productor de manzanas.........................................................42 63 Un tercio más un tercio..............................................................43 64 Bolsas chicas y grandes...............................................................44 65 Reparto de manzanas..................................................................44 66 Nuevo reparto de manzanas......................................................45 67 La última fila.................................................................................45

68 Producción de peras....................................................................46 69 Tres cajas de frutas......................................................................46 70 Valle de Río Negro......................................................................47 71 Traspasando manzanas...............................................................47 72 Reuniones amistosas...................................................................48 73 Pedro y su plantación..................................................................48 74 Dos tractores................................................................................49 75 Compra de manzanos.................................................................50 76 Manzanas en cajas.......................................................................50 77 Muchos cajones...........................................................................50 78 Dos cuadros.................................................................................51 79 El frutero......................................................................................52 80 Manzanas caras y baratas............................................................52 81 Dos clases de manzanas.............................................................53 82 Un cajón de manzanas................................................................53 83 Cuadros cuadrados......................................................................54 84 Más peras y más manzanas........................................................54 85 ¿Cuántas plantas tiene una fila?.................................................55 86 ¿Falta o sobra?..............................................................................55 87 Dos cajas de manzanas...............................................................56 88 El fruticultor excéntrico.............................................................56 89 Muchas manzanas........................................................................57 90 100 manzanos...............................................................................58 91 Plantas de peras y de manzanas................................................58

92 Una fila larga y una corta...........................................................59 93 El primer año...............................................................................59 94 El precio de las peras y de las manzanas.................................60 95 El cliente excéntrico....................................................................60 96 El cuadro D..................................................................................61 97 Cajas llenas de manzanas............................................................61 98 Cajas con manzanas....................................................................62 99 El manzanar..................................................................................62 100 Filas sin cosechar.......................................................................62 Difíciles....................................................................................................64 101 Cosechadores frutícolas...........................................................65 102 Plantación diferente..................................................................65 103 Producción de manzanas.........................................................66 104 Ofertas........................................................................................67 105 Plantaciones frutícolas..............................................................67 106 La plantación de Pedro.............................................................68 107 Fraccionando manzanas...........................................................69 108 Una caja de manzanas y otra de peras..................................69 109 Diferencia de precio..................................................................70 110 Proyecto frutícola......................................................................70 111 Los números de las plantas......................................................71 112 Una fila cuadrada.......................................................................71 113 Juan y Pedro...............................................................................72 114 Plantación rectangular..............................................................72

115 La producción de los perales...................................................73 116 Manzanas otra vez.....................................................................74 117 Repartiendo manzanas.............................................................74 118 Velocidades diferentes..............................................................75 119 Las manzanas de una chacra....................................................75 120 Progresión geométrica..............................................................76 121 Suma de plantas.........................................................................77 122 Aritmética frutícola...................................................................77 123 Una caja chica, una mediana y una grande............................78 124 Filas granny................................................................................79 125 Falta una planta..........................................................................79 126 Dos recipientes de manzanas..................................................80 127 Cajas grandes y chicas...............................................................81 128 Parcelas de verduras..................................................................81 129 Cajones aritméticos...................................................................82 130 Primos frutícolas.......................................................................83 131 Dos parcelas...............................................................................83 132 Una chacra diferente.................................................................84 133 Cinco cajones.............................................................................84 134 Muchas peras y manzanas........................................................85 135 Manzanas triangulares..............................................................86 136 Diferencia entre manzanos......................................................86 137 Plantas en cuadrado..................................................................87 138 Clasificando manzanas.............................................................88

139 Reunión de productores...........................................................88 140 Reconversión..............................................................................89 141 El novato....................................................................................89 142 Promedio de manzanas............................................................90 143 La caja X.....................................................................................91 144 Cajitas de frutas.........................................................................91 145 Nueve cajas de manzanas.........................................................92 146 Dos trabajadores y un tractor..................................................92 147 Juego con plantas......................................................................93 148 Una planta menos.....................................................................94 149 Bandejas chicas y grandes........................................................94 150 Manzanas adicionales................................................................95 Soluciones................................................................................................96 Epílogo...................................................................................................166

P R E F A C I O En el valle de Río Negro se cultivan principalmente frutas de carozo y frutas de pepitas. Las plantaciones se componen de filas, generalmente, cada una con igual cantidad de plantas. Las filas están numeradas. Las plantas también pueden estarlo, al menos imaginariamente. Las filas tienen alambres y postes situados a distancias regulare,. etc, etc. Estas condiciones hacen que los elementos frutícolas sean propicios para plantear problemas de ingenio. O sea, presentan datos con los que se pueden armar el enunciado de un acertijo. Además, tratándose de filas, plantas, etc. evita en muchos casos que se presenten fracciones. Y esto es muy bueno porque favorece la sencillez de un acertijo. En realidad, en casi todas las actividades se puede encontrar material para crear juegos de ingenio, pero, yo estoy familiarizado con los cultivos de este valle y por eso escribo con los datos que tengo alrededor. Es verdad que a veces en lugar de hablar de manzanas podría ser, por ejemplo, el nombre de otra fruta, pero bueno, estamos en el valle del ingenio y nos referimos a los elementos con los que estamos más familiarizados.

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Fáciles

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1 Juan, el fr utero Juan vendía manzanas, peras y duraznos. Exhibía en su vidriera dos cajas, una con una clase de fruta y otra con otra clase distinta. Cada día cambiaba una caja. Por ejemplo, manzana – pera. Luego, pera- durazno. Al día siguiente, pera – manzana. O sea, el cambio era al azar. Una vez Juan observó lo siguiente: En lo que va del mes la caja de manzanas estuvo cinco días en la vidriera. Y la caja de peras estuvo ocho días. Sabiendo que los días que estuvo la caja de duraznos no es un número primo. ¿Cuántos días fue exhibida esta caja en la vidriera?.

2 160 manzanitos Un productor tenía 160 manzanitos para plantar cierta cantidad de filas. Luego, pensó en hacer menos filas, que tendrían cada una cinco plantas más que en el proyecto anterior. ¿Cuántas filas plantó al fin el productor?. Recordemos: en toda plantación, cada fila tiene igual cantidad de plantas que las demás.

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FÁCILES

3 Baja de precio Juan decidió comprar 20 kilos de manzanas, Al llegar a la frutería se enteró que el precio de la fruta había bajado un 5 por ciento. Y que entonces en la cantidad de kilos que había decidido comprar se ahorraría dos pesos. ¿Cuánto vale un kilo de manzanas después de esa rebaja?.

4 Los cajones Los cajones son 18 más un tercio de la cantidad total de cajones. ¿Cuántos son los cajones?.

5 Cien manzanas En nueve cajas hay cien manzanas distribuidas del modo siguiente: 1) En cada caja hay una cantidad diferente (ninguna está vacía). 2) La suma de las manzanas de dos cajas cualesquiera nunca es igual a la cantidad de otra caja. 13

EL VALLE DEL INGENIO 3) Ninguna cantidad es mayor de 20. ¿Cuántas manzanas contiene cada una de las nueve cajas?.

6 Un cuadro de fr utales Una fila de frutales tiene igual cantidad de perales que de manzanos. Multiplicar ambas variedades (cantidad) entre sí, es igual a multiplicar el número de filas del cuadro por la cantidad de plantas de una variedad que hay en una fila y al resultado sumarle 13. ¿Cuántas plantas en total tiene el cuadro?.

7 Valle ubér rimo Aquí están todas las letras de “valle ubérrimo” en orden alfabético, sin repetir ninguna y sin los espacios intermedios: abeeieleemeoereuve Algunas letras tienen otro nombre además del más usual. Si cambiamos el nombre de una letra quedaría el nombre de una letra de “valle ubérrimo” sin figurar en la lista anterior. ¿Cuál es esa letra?.

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FÁCILES

8 La edad de Juan Pedro le vende cajas de manzanas a Juan a $ 15 cada una. Juan regatea. Pedro hace esta insólita propuesta: El precio es el mismo, pero, por cada caja que excede el número de tu edad (que ambos conocen) te descuento $ 3 por cada caja del total. O sea, si son dos las cajas que exceden tu edad te descuento $ 6 por cada caja del total. Y así sucesivamente. Juan compra 67 cajas. Cuando hacen el cálculo encuentran que el resultado es cero. Juan no tiene que pagar nada a Pedro. ¿Cuántos años tiene Juan?.

9 Envasando manzanas Hay una caja llena con manzanas. Las envasamos en bolsitas de cinco unidades. Sobra una que queda fuera de la caja. Hay otra caja más grande llena de manzanas. Si las envasamos también en bolsitas de cinco unidades, sobrará también una manzana. Pero, supongamos que traspasamos manzanas hasta llenar la caja chica que queda con la misma cantidad que antes. Si entonces, envasamos en las mismas bolsitas las manzanas que quedan en la caja grande ¿Cuántas manzanas sobrarán? ¿cero, una, 15

EL VALLE DEL INGENIO dos, tres o cuatro?.

10 Dos cuadros cuadrados En una chacra del Valle del Ingenio hay dos cuadros en forma de cuadrados (en cada uno la cantidad de plantas es un número cuadrado). La diferencia entre ambos (cantidad de plantas) es 159. ¿Cuantas plantas tiene la chacra?. Importante: son menos de 10.000.

11 Cajones de manzanas En un cajón hay una manzana. En otro cajón hay dos manzanas. En otro hay tres. En otro cuatro. Y así sucesivamente (en cada cajón hay una manzana más que en el anterior). Si consideramos todo el conjunto, el promedio por cajón es de 23 manzanas. ¿Cuántas son en total las manzanas?.

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FÁCILES

12 ¿Cuántas son las filas? Las primeras filas de un cuadro son manzanos, Luego vienen nueve filas de perales. Y por último hay ocho filas de duraznos. De la primera fila de manzanos hasta la última de duraznos, todas las filas están numeradas 1, 2, 3, 4,

Etc. La

sumatoria de los números de las filas de perales arroja el mismo resultado que la sumatoria de los números de las filas de duraznos. No se sabe cuantas son las filas de manzanos. ¿Cuántas son?.

13 5.000 manzanos Para una plantación se necesitan 5.000 manzanos. Se presentan dos clases de paquetes: Unos contienen 7 plantas. Y otros, 23 plantas. ¿Cuál es la cantidad mínima de paquetes para tener exactamente 5.000 plantas?. No debe faltar ni sobrar ninguna.

14 Trabajar la tier ra Juan tiene un cuadro compuesto de 10 filas de manzanos. 17

EL VALLE DEL INGENIO Llamamos, calle, al espacio entre una fila y otra. Juan tiene que pasar una máquina por todas las calles del cuadro. Comienza por la primera. Sigue por la siguiente y así hasta la última. Pasar por toda una calle, le lleva poco tiempo, solo cinco minutos. Pero, para dar la vuelta en la punta y entrar en la siguiente tiene que hacer varias maniobras y eso le lleva diez minutos. ¿Cuánto tiempo emplea en total en pasar la máquina en todo el cuadro?. Desde que arranca en la punta de la primera calle y termina en la punta de la última.

15 Dos chacras Juan y Pedro tienen en partes iguales una chacra que vale $ 100.000. Además, Juan debe $10.000 a Pedro. Ambos deciden comprar otra chacra que vale $ 120.000. Juan se quedaría con la primera chacra y Pedro con la nueva. Para comprar esta chacra, ambos harían el aporte justo para que la deuda de Juan quede cancelada y el mayor valor de la chacra de Pedro quede compensada (Juan, por un lado aportaría más porque le debe a Pedro y por otra parte, Pedro aportaría más porque se queda con una chacra de mayor valor). ¿Cuánto debe aportar Juan, cuanto debe aportar Pedro?. 18

FÁCILES

16 Una canasta de manzanas En una canasta hay algunas manzanas. La cantidad es: seis manzanas menos que el nónuplo de un tercio de las manzanas que hay en la canasta. ¿Cuántas manzanas hay?.

17 Filas Tenemos un cuadro con cierta cantidad de filas. A partir de la primera numeramos a cada una 1, 2, 3, ........... . Terminadas las filas, volvemos a la primera, vamos al otro lado y continuamos numerando las mismas filas en la otra punta (sin volver a cero). Los números colocados en ambas puntas de la fila que se encuentra exactamente en la mitad del cuadro suman 95. ¿Cuántas son las filas?.

18 Dos alternativas Para hacer una plantación en su chacra, un productor evalúa dos alternativas: 1) En forma de cuadrado (la cantidad de plantas es un 19

EL VALLE DEL INGENIO número cuadrado). 2) En forma de triángulo (la cantidad de plantas es un número triangular que es el resultado de la sumatoria 1 + 2 + 3 .................... + N). Entonces compró la cantidad justa de las plantas necesarias dejando para más adelante la decisión de seguir una u otra de las dos alternativas citadas. ¿Cuántas plantas compró el productor?.

19 El trabajo Un obrero decide trabajar 12 días en una chacra, recibiendo de pago 60 pesos y 4 cajones de manzanas. Trabaja 7 días y tiene que retirarse. Entonces, en virtud del trato, recibe 40 pesos y 2 cajones de manzanas. ¿Cuánto vale cada cajón?.

20 Filas impares Un productor tenía el dibujo de la plantación que pensaba hacer. Serían trece largas filas. Pero, luego descubrió que no le gustaba que la cantidad de filas sea un número impar. Entonces,

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FÁCILES con la misma cantidad de plantas, que eran menos de 1.000, hizo otro dibujo con un número mayor de filas (y filas más cortas). Quedó satisfecho porque este nuevo número era par, y toda la plantación formaba un cuadrado (se dio cuenta que la cantidad de plantas era un número cuadrado). ¿Cuántas eran las plantas?. Se pide encontrar la solución mediante un razonamiento, no al puro tanteo.

21 Promedio Hay seis cajas de manzanas. El promedio de las seis es 112 manzanas. Pero, una tiene 122 manzanas. ¿Cuál es el promedio de las cinco cajas restantes?.

22 Manzanos y perales Juan quería plantar en su chacra 582 manzanos. Luego, decidió agregar cierta cantidad de perales de manera que esta cantidad de perales sea un séptimo de la cantidad total de plantas. ¿Cuántos serían los perales?.

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EL VALLE DEL INGENIO

23 Cajones de peras y de manzanas Tenemos 6 cajones de peras y 9 cajones de manzanas. Todos pesan una cantidad entera de kilos. Un cajón de peras pesa 6 kilos más que un cajón de manzanas. Los 6 cajones de peras pesan en total 18 kilos más que el total de kilos de los 9 cajones de manzanas. ¿Cuánto pesa un cajón de peras, cuánto pesa un cajón de manzanas?.

24 Pedro y su tractor Pedro quería saber cuanto tardaba su tractor en recorrer una fila. Primero controló su reloj pulsera con un reloj de pared porque pensaba que este funcionaba con toda precisión. Descubrió que su reloj pulsera atrasaba 5 minutos por hora. Con este reloj midió el tiempo empleado por el tractor en recorrer la fila. Hizo la corrección necesaria, llegando a la conclusión siguiente: el tractor tardaba 12 minutos en recorrer la fila. Pero, el reloj de pared en realidad no funcionaba bien. Adelantaba 6 22

FÁCILES minutos por hora. ¿Cuánto tiempo en realidad emplea el tractor en recorrer la fila?.

25 Una chacra especial En esta chacra hay dos plantaciones, cada una en forma de cuadrado (la distancia entre plantas es igual a la distancia entre filas). Cada una tiene una cantidad de plantas distinta que la otra. Ni la cantidad de plantas en un cuadro ni la cantidad total entre ambos es un múltiplo de cinco. La última cifra de la cantidad de plantas que hay en una fila de un cuadro es igual a la última cifra de la cantidad total que tiene todo el cuadro. ¿Cuál es la última cifra de la cantidad total que tiene toda la chacra?.

26 Un lotecito de manzanas Un lotecito de manzanas se compone de una cantidad impar y entera de kilos de manzanas. Cada kilo vale una cantidad entera de pesos. La cantidad de kilos más la cantidad de pesos es igual a 56. ¿Cuánto vale un kilo de manzanas?.

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EL VALLE DEL INGENIO

27 Perales y manzanos Las filas de un cuadro de manzanos tienen 17 plantas cada una. Las filas de un cuadro de perales tienen 13 plantas cada una. La diferencia entre la cantidad de plantas entre una variedad y otra es la mitad de la cantidad total de plantas. Los perales son más que los manzanos. Y la cantidad total de plantas es menor de 1.000. ¿Cuántos son los manzanos cuantos son los perales?.

28 Fr utas en cajitas (variante) Hay una o más cajitas de manzanas y una o más cajitas de peras. La cantidad de una es distinta de la cantidad de otra. La diferencia entre la cantidad total de manzanas y las de peras es la mitad de la cantidad total de frutas. La cantidad total es menor de 50. Las cajitas de manzanas tienen cada una 7 manzanas. ¿Cuántas peras tienen cada una de las cajitas de peras?.

29 Cajón lleno y cajón vacío Un cajón lleno de manzanas pesa seis veces más que el 24

FÁCILES cajón vacío (si el cajón vacío pesa 10 kg, lleno pesa 70 kg). Tenemos otro cajón más chico cuya capacidad es la mitad del grande. Este cajón chico lleno de manzanas pesa tres veces más que cuando está vacío. ¿Cuánto pesa el cajón chico vacío en relación al grande (pesa un cuarto del peso del grande, un tercio, un medio, pesa igual, etc.)?.

30 Dos cosechadores Mientras Juan cosecha 45 manzanas Pedro cosecha 63 manzanas. Cuando Pedro comenzó a cosechar ya Juan había cosechado 50 manzanas. Un rato después, ambos tienen la misma cantidad hasta ese momento. ¿Cuántas manzanas había cosechado cada uno?.

31 Plantas y primos Tenemos un cuadro de filas de manzanos. Cada fila tiene 37 plantas. Comenzando de la primera planta de la primera fila del lado A se numeran las plantas: 1, 2, 3, 4 etc. Al llegar a la otra 25

EL VALLE DEL INGENIO punta del lado B se pasa a la otra fila y se vuelve hacia el lado A continuando la numeración: 38, 39, 40, etc. Y así sucesivamente. Imaginemos que la cantidad de filas se extiende indefinidamente. ¿En el lado B, luego del 37, cuándo aparecerá un número primo?. Es decir en los números de las primeras plantas de cada fila del lado B.

32 Deliciosa, g ranny y g ala En un cuadro de manzana, en la primera fila todas las plantas son deliciosa, en la segunda fila todas son granny y en la tercera fila todas las plantas son gala. Y así sucesivamente: en la cuarta son deliciosa, en la quinta son granny, en la sexta son gala, etc. etc. Un productor va por la primera fila, vuelve por la segunda, va por la tercera, vuelve por la cuarta, etc. En un momento va por la fila de deliciosa hasta la última planta y ahí se termina el cuadro. En todo ese recorrido hay 344 de deliciosa. ¿Cuántas plantas en total hay en ese cuadro?.

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FÁCILES

33 Promedio por planta En un sector de una chacra hay una cantidad desconocida de plantas de la variedad llamada granny. Sí se sabe que el promedio de manzanas es 130 por planta. En ese sector hay también 10 plantas de la variedad llamada deliciosa. El promedio de

manzanas deliciosa es 200 por planta. En ese sector el

promedio entre ambas variedades es 150 manzanas por plantas. ¿Cuántas son las plantas de granny?.

34 Chacra Cada letra es una ficha movible. Comenzando de la posición 1) CHACRA con sus letras invertidas, hay que llegar a la posición 2) en el menor número posible de movimientos. Los movimientos son de dos tipos: •

Una ficha se puede mover a una casilla vacía adyacente.

•

Una ficha se puede mover a una casilla vacía saltando sobre otra ficha. Para anotar los movimientos basta anotar el número de la

casilla en que está la ficha que se mueve. 27

EL VALLE DEL INGENIO

A R C A H C 1

2

3

4

5

Posición 1

6

7

C H A C R A 1

2

3

4

5

6

7

Posición 2

35 Dos filas de manzanos Tenemos dos filas iguales de manzanos. Numeramos las plantas de una fila: 1, 2, 3, 4, etc. Volvemos por la otra fila y seguimos la numeración sin volver a cero (si terminamos una fila en 20, seguimos por la otra: 21, 22, 23, etc. Nos fijamos en el número del manzano que está exactamente en la mitad de la primera fila y lo sumamos al número del manzano que está en la mitad de la otra fila. El resultado es 163. ¿Cuántas plantas tiene cada fila?

36 La planta Nº 80 Tenemos un cuadro de frutales. A partir de la primera planta de la primera fila del lado A, se numeran las plantas: 1, 2, 3, 4, 5, etc. Al llegar a la otra punta, del lado B, se pasa a la fila 28

FÁCILES siguiente y se vuelve al lado A continuando la numeración sin volver a cero. Y así se pasa a las filas siguientes. La última planta de la última fila del lado B es la número 80. ¿Cuántas plantas tiene cada fila?. Todas las filas tienen la misma cantidad de plantas.

37 Ganancia Tenemos cierta cantidad de cajas de manzanas y cada una vale tantos pesos como cajas hay. Habiendo vendido todas, nuestra ganancia fue el 4 por ciento (del producto de la venta). Y esta ganancia es igual al valor de una caja. ¿Cuántas son las cajas?.

38 Una promoción muy especial (variante) Se venden cajas de manzanas y si el cliente se lleva hasta siete cajas, cada una vale cierta cantidad de pesos. Pero, si el cliente se lleva más, por cada caja que supere siete unidades, se le descuentan $ 3 por cada una de todas las cajas (no solo por las que superan siete unidades, sino por todas). Si el cliente se lleva 21 29

EL VALLE DEL INGENIO cajas el valor de cada una es cero. ¿Cuánto valen cada una de las primeras siete cajas?.

39 Una curiosa promoción (otra variante) Un frutero tenía como promoción en la vidriera x cantidad de kilos de manzana que valen $ 3 cada uno. Un cliente podría llevarse, además de esa promoción, una cantidad adicional. Por cada kilo de esta cantidad adicional, que también vale $ 3, el frutero le descontaba $ 0,20 por cada kilo del total, o sea, si la cantidad adicional es un kilo, le descontaría $ 0,20, si es dos kilos le descontaría $ 0,40, Etc. Y siempre del total. La cantidad adicional podía aumentar hasta que el cliente no tenía que pagar nada al frutero. Por último, la cantidad máxima adicional era la mitad de la cantidad que se promociona en la vidriera. ¿Cuántos kilos de manzanas se promocionaban en la vidriera?.

40 Bandejitas de manzanas Hay cierta cantidad de bandejitas de manzanas y cada una

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FÁCILES tiene cinco unidades. La cantidad total de manzanas es igual a la cantidad de bandejitas más 96. ¿Cuántas son las bandejitas, cuantas son las manzanas?.

41 Comprando cajas de manzanas Tenía cierta cantidad de dinero para comprar cierta cantidad de cajas de manzanas. La cantidad de cajas era igual a la cantidad de pesos que valía cada una. Si cada caja hubiese valido $ 4 menos podría haber comprado 8 cajas más. ¿Cuántas eran las cajas, cuanto valía cada una?.

42 Cosechadores Entre Juan y Pedro llevan cosechados 70 cajones de manzanas. Ambos tienen el mismo rendimiento, pero, Pedro comenzó antes. Cuando Juan llegue a 54 cajones, Pedro tendrá el doble. ¿De esos primeros 70 cajones, cuántos cosechó Juan, cuántos cosechó Pedro?

31

EL VALLE DEL INGENIO

43 Venta de manzanas En el depósito de una frutería hay nueve cajas y cada una contiene nueve manzanas. El frutero lleva al salón de venta cierto número de cajas y deposita todas las manzanas juntas en una góndola. Llega un cliente y se lleva cierta cantidad de manzanas. Entonces, el frutero advierte que la mitad de las manzanas que quedan son igual al doble de la cantidad que se llevó el cliente. ¿Cuántas manzanas se llevó el cliente?.

44 Cajones En un cajón hay una manzana. En otro cajón hay dos manzanas. En otro hay tres, en otro hay cuatro, y así sucesivamente (en cada cajón hay una manzana más que en el anterior). Si consideramos todo el conjunto, el promedio por cajón es de 23 manzanas. ¿Cuántos son los cajones?. Recordemos que los cajones bins pueden contener más de 1.000 manzanas cada uno.

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FÁCILES

45 Veinte treinta Un acertijero quiso plantear un problema de ingenio al dueño de una frutería: Le dijo: “desde mañana voy a comprar manzanas del modo siguiente: el primer día, 20 manzanas. Al día siguiente, 21, al siguiente, 22 ………………. Y el último día compraré 30 manzanas. Pero, quiero que estén contenidas en dos clases de bolsas: unas chicas (cada una contiene la misma cantidad de manzanas). Otras más grandes y todas iguales. Yo tomaré las bolsas que necesito para llevar 20 manzanas. Al día siguiente las bolsas que sumen 21. Etc. Eso sí, quiero que el total de bolsas que tenga que llevar sea la menor posible. Por ejemplo: Las bolsas chicas tienen una manzana y las grandes 5. Entonces, el primer día el cliente lleva 4 bolsas de 5 manzanas. El segundo día lleva 4 bolsas de 5 manzanas y una de 1 manzana. Etc. Para satisfacer a ese cliente, ¿cuántas manzanas hay que poner en las bolsas chicas, cuántas en las bolsas grandes y cuántas bolsas en total se lleva el cliente?.

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EL VALLE DEL INGENIO

46 Más manzanas que peras En un cajón hay manzanas y peras. Las peras son un tercio de la cantidad de frutas (manzanas y peras) de ese cajón. En otro cajón hay el doble de manzanas que en el primer cajón y la misma cantidad de peras. En un tercer cajón hay la misma cantidad de manzanas que en el primer cajón y el triple de la cantidad de peras. La cantidad de frutas (entre ambas clases) de la suma de esos tres cajones es 78. ¿Cuántas manzanas y cuántas peras tiene el primer cajón?.

47 Dos cajones sin llenar Tenemos dos cajones de manzanas. Cuando están llenos contienen 120 manzanas cada uno. Pero, no están llenos. El cajón A, tiene cierta cantidad de manzanas. El cajón B tiene 12 manzanas más que el cajón A. Si agregamos 44 manzanas al cajón A quedaría lleno y sobrarían tantas manzanas como le faltan al cajón B. ¿Cuántas manzanas tiene cada cajón?.

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FÁCILES

48 Tres variedades En una chacra, la cantidad de plantas granny son 145 plantas más que la cantidad de gala y 257 plantas menos que la cantidad de deliciosas. En total son 1.000 plantas. ¿Cuántas plantas son de cada variedad?.

49 Los cosechadores Mientras Alberto cosecha 30 cajones, Bernardo cosecha 20 cajones. Mientras Bernardo cosecha 30 cajones, Carmelo cosecha 15 cajones. Mientras Alberto cosecha 30 cajones. ¿Cuántos cajones cosecha Carmelo?.

50 Deliciosas y g ranny Un cuadro de una chacra se compone de 120 plantas entre deliciosas y granny. Una planta de deliciosa produce ½ cajón bins de manzana. Y cada planta de granny produce dos cajones bins. Si la producción total del cuadro es 180 cajones bins. ¿Cuántas son las plantas deliciosas y cuántas son las granny?. 35

Inter medios

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51 Dos cajones de manzanas Tenemos dos cajones de manzanas, A y B. La cantidad que hay en A es igual al cuadrado de

la cantidad que hay en B,

llamamos x a este cuadrado que es un número de una cifra. Una persona se come una manzana de cada cajón (son tan tentadoras), entonces, la cantidad de A es igual a la cantidad de B multiplicada por z que es un número de dos cifras. ¿Cuántas manzanas había en cada cajón? ¿Qué valor tiene el número x y el número z?.

52 16 filas Tenemos un cuadro de 16 filas de manzanos. Comenzando de la primera planta de la primera fila del lado A, se numeran las plantas 1, 2, 3, 4, etc. Al terminar la fila en el lado B, se pasa a la otra fila y se vuelve hacia el lado A continuando la numeración sin volver a cero. Y así se numeran todas las plantas de las 16 filas. Por último, se suman todos los números de las primeras plantas del lado A. El resultado es 7944. ¿Cuántas plantas tiene el cuadro?

37

EL VALLE DEL INGENIO

53 Manzanas aritméticas Tenemos unas cajas con manzanas que forman una progresión aritmética: Se comienza por una caja que tiene cualquier cantidad y se arma la serie sumando una cantidad fija: Ejemplo: comenzamos por una caja que tiene 12 manzanas y sumamos a las cajas siguientes 5 manzanas sucesivamente: las cajas tienen 12, 17, 22, 27, 32, etc. respectivamente. De nuestra serie de cajas con manzanas señalamos dos condiciones: 1) La primera caja más la última suman 101 manzanas. 2) La quinta caja más la antepenúltima suman 119 manzanas. ¿Cuál es la cantidad fija de manzanas que sumamos a cada caja?.

54 Cajas g randes Tenemos 12 cajas y cada una contiene 14 manzanas. Hay además 3 cajas más grandes y cada una contiene 20 manzanas más que el promedio de todas las cajas. ¿Cuántas manzanas contiene cada una de estas tres cajas grandes?.

38

INTERMEDIOS

55 Cincuenta por ciento Tenemos un cuadro de frutales que tiene cierta cantidad de filas. Y cada fila tiene cierta cantidad de plantas. Si multiplicamos la cantidad de filas por 24, la cantidad total de plantas aumenta en un 50 por ciento. ¿Cuántas plantas hay que agregar a cada fila para que la cantidad total de plantas aumente un 25 por ciento?.

56 Otra plantación Otro chacarero proyectaba hacer una plantación con cierta cantidad de filas, cada una con igual cantidad de plantas. Pero luego decidió comprar más plantas, entonces, tenía 360 en total. Se le presentaron dos alternativas: 1) Podía agregar nueve plantas a cada fila del proyecto original. 2) Podía agregar nueve filas con igual cantidad de plantas que las anteriores. ¿Cuántas son las filas y cuántas plantas tiene cada una en cada una de las dos alternativas?.

39

EL VALLE DEL INGENIO

57 Tres opciones fr utícolas Juan planeaba plantar una fila de frutales. Podría ser manzanas y podría comprar la cantidad justa de atados (un atado es cierta cantidad de plantas) para completar la fila. Podían ser perales y tendría la cantidad justa de atados aunque con una cantidad distinta que el caso de las manzanas. También podía ser duraznos y habría la cantidad justa de atados aunque distinta que los anteriores. Y no tendría otra opción, o sea, con la cantidad justa de atados para que no falte ni sobre ninguna planta. Los atados de una variedad tenían una cantidad distinta de los atados de las variedades restantes. El atado de manzanos es el más grande, el atado de perales es el intermedio y el atado de duraznos es el más chico, el total de plantas es una cantidad impar menor de 500. ¿Cuántas plantas tiene cada uno de estos tres atados?.

58 Numerando fr utales En el cuadro A hay filas de manzanos numeradas 1, 2, 3, ............ Enfrente está el cuadro B que tiene igual cantidad de filas que el cuadro A. Pero, las primeras siete filas de este cuadro son de 40

INTERMEDIOS perales. Entonces se numeran estas filas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Aquí se vuelve a uno y se continúa numerando las filas restantes 1, 2, 3, ................... Por último, sumamos todos los números del cuadro A, 1 + 2 + 3 + ................ Aparte sumamos todos los números del cuadro B. La diferencia entre ambos resultados es igual a 161. ¿Cuántas filas hay en cada cuadro?

59 Tres bandejas de manzanas Tenemos tres bandejas de manzanas: una chica, una mediana y una grande. Las tres cantidades forman una progresión aritmética: La diferencia entre la chica y la mediana es igual a la diferencia entre la mediana y la grande. Si multiplicamos esas tres cantidades entre sí el resultado es 2.520. ¿Cuántas manzanas tiene la bandeja chica, cuántas la mediana, cuántas la grande? .

60 Una caja de peras y otra de manzanas Tenemos una caja de peras y otra de manzanas. La diferencia en el precio entre una y otra es igual a nueve pesos. Pero, 41

EL VALLE DEL INGENIO hay una variación de precios. El precio de la caja de manzanas se reduce a un tercio. Y el precio de la caja de peras aumenta al doble. Pero, la suma del precio de ambas cajas es igual a la suma de los precios anteriores. ¿Cuál es el precio de cada una de las cajas?.

61 Dos plag as fr utícolas Un ingeniero inspecciona una plantación y descubre la presencia de una plaga, que llamamos A, en dos de cada tres plantas. Otro ingeniero inspecciona la misma plantación y descubre la presencia de otra plaga, que llamamos B, en tres de cada cuatro plantas. En todas las plantas hay presencia de una plaga, de la otra o de las dos. No hay ninguna planta libre de plagas. La cantidad de plantas en las que hay presencia de las dos plagas es 40. ¿Cuántas son en total las plantas?.

62 El productor de manzanas Un productor tenía una chacra con cierta cantidad de filas 42

INTERMEDIOS de manzanos. Todas las filas tenían la misma cantidad de plantas. Como le gustaba jugar con los números, restó una planta a la cantidad que había en una fila, Al resultado lo multiplicó por la cantidad de filas. Luego restó una a la cantidad de filas y al resultado lo multiplicó por la cantidad de plantas que hay en una fila .La diferencia entre ambos resultados fue 17. La cantidad de plantas en toda la chacra está entre 1.000 y 1.100. ¿Cuántas plantas tiene la chacra?.

63 Un tercio más un tercio En un cajón hay cierta cantidad de manzanas. Una persona retira 17 manzanas. Y un cosechador agrega un tercio de las manzanas que quedan (si quedan treinta, agrega diez). El día siguiente esa persona retira 18 manzanas. Y el cosechador agrega un tercio de las que quedan. Y en los días siguientes esa persona retira 19, 20, 21, 22 y 23 manzanas. Y cada día el cosechador agrega un tercio de las que quedan. ¿Cuántas manzanas había al comienzo? ¿Cuántas quedaron al final?.

43

EL VALLE DEL INGENIO

64 Bolsas chicas y g randes Hay cierta cantidad de bolsas chicas que contienen dos manzanas cada una. Y hay cierta cantidad de bolsas grandes que contienen cuatro manzanas cada una. Se juntan todas en un solo cajón. Entonces, la cantidad de bolsas chicas es un quinto del total de manzanas. Pero, la cantidad de bolsas chicas son más que las grandes, seis más. ¿Cuantas son las manzanas?.

65 Reparto de manzanas Esta es una variante de un acertijo conocido (en realidad, todos los acertijos son de algún modo variantes de otros). Hay cierta cantidad de personas y cierta cantidad de manzanas y cuatro números a los cuales identificamos con las letras A, B, C y D. Si a cada persona le entregamos A manzanas, nos sobrarán B manzanas. Y si a cada persona le entregamos C manzanas, nos faltarán D manzanas. La cantidad de personas son D + 17. ¿Cuántas son las personas, cuantas son las manzanas, que números representan A, B, C y D? (A, B, C y D no significa que esos números están en orden ascendente). 44

INTERMEDIOS

66 Nuevo reparto de manzanas Tres personas se reparten cierta cantidad de manzanas. Andrés dijo: “yo me llevaría la mitad”. Bruno dijo: “yo me llevaría un tercio”. Carmelo dijo: “yo me conformaría con un cuarto” (de la cantidad original). Pero, entonces, uno de ellos advirtió: “Para hacer eso nos faltarían 10 manzanas”. ¿Cuántas son las manzanas?.

67 La última fila En esta chacra las filas están numeradas 1, 2, 3, etc. Y hay dos cuadros en forma de cuadrado, o sea, la distancia entre una planta y otra en una fila es igual a la distancia entre una fila y otra. Y así la cantidad de plantas en un cuadro es un número cuadrado. Primero hay un cuadro grande que va de la fila 1 a la fila X. Luego, hay un cuadro más chico con las filas restantes. Las filas de este cuadro son por lo tanto, más cortas que las del otro cuadro. Ejemplo: las filas son 1, 2, 3, ................ 50. Cuadro grande = 30 X 30. Cuadro chico = 20 X 20. En esta chacra el cuadro más grande tiene 1.849 plantas. Restando de 1.849 el número de la última fila (o bien la cantidad 45

EL VALLE DEL INGENIO total de filas) resulta la cantidad de plantas del cuadro más chico. ¿Cuántas plantas tiene el cuadro más chico?.

68 Producción de peras En una plantación la producción de peras del año pasado fue el 5 % del total. El resto fue de manzanas (total: peras + manzanas). Este año la producción de peras se duplicó y la de manzanas fue la misma que la del año pasado. ¿Qué tanto por ciento del total es ahora la producción de peras?.

46

INTERMEDIOS

69 Tres cajas de fr utas Una manzana vale $ 1. Una pera vale $ 1,20. Un durazno vale $ 1,40. Están en tres cajas. En una están las manzanas, en otra, las peras y otra los duraznos. Pero, cada una contiene la misma cantidad de la fruta correspondiente. Cada caja vacía tiene un valor. El mismo en los tres casos. La caja de manzanas vale $ 46. La de pera vale $ 54. Y la de durazno vale $ 62 (en cada caso, la fruta más la caja vacía). ¿Cuántas frutas hay en cada caja?. ¿Cuánto vale la caja vacía?.

70 Valle de Río Neg ro

V

A

L

L

E

24

D

E

R

I

O

21

N

E

G

R

O

29

15

13

15

14

17

Hay que remplazar cada letra por un dígito elegido del cero al nueve (ambos inclusive). A igual letra, igual dígito, a letra 47

EL VALLE DEL INGENIO diferente, dígito diferente. De manera que, cada línea horizontal y cada columna sume las cantidades indicadas.

71 Traspasando manzanas Tenemos un cajón de manzanas que debemos traspasar a otro cajón. Comenzamos la tarea y en un momento dado comprobamos que nos falta por traspasar la X/16 parte del total. Traspasamos nueve manzanas más y comprobamos que nos falta traspasar la X/25 parte del total. ¿Cuántas son las manzanas en total?.

72 Reuniones amistosas En una reunión de productores cada uno estrecha la mano de todos los demás. En una segunda reunión también cada uno estrecha la mano de todos los demás con excepción de dos productores que se dieron un abrazo. Pero, esta segunda vez hubo cuatro productores más. Y los apretones de manos fueron el doble que en la primera reunión. ¿Cuántos productores asistieron en la 48

INTERMEDIOS primera reunión, cuantos en la segunda?.

73 Pedro y su plantación Pedro tenía una cantidad justa de árboles para hacer una plantación cuadrada (A), (esa cantidad era un número cuadrado). También tenía una cantidad mayor para hacer otra plantación cuadrada (B). Pero, todavía compró más árboles, bajo dos condiciones: 1) Cada atado tenía tantas plantas como tendría el cuadro A. 2) La cantidad de atados era igual a la cantidad de árboles que tendría el cuadro B. Por último, reunió todos los árboles que así tenía e hizo una sola plantación cuadrada (la cantidad de árboles era un número cuadrado). Pero, le sobraron 74. ¿Cuántos árboles plantó por fin Pedro?.

74 Dos tractores La espaldera son plantas formadas sobre alambres sostenidos por postes separados entre sí por igual distancia. Esta fila se compone de 11 postes. Dos tractores, uno a un lado de esta

49

EL VALLE DEL INGENIO fila y el otro al otro lado, comienzan a marchar al mismo tiempo desde el primer poste. Pero, uno (A) es más rápido que el otro (B). Cuando A se encuentra en el poste 7, B se encuentra en el poste 5. A emplea 12 minutos más para llegar a la punta de la fila. ¿Cuántos minutos más emplea B para llegar?.

75 Compra de manzanos Para hacer una plantación, un productor había comprado cierta cantidad de manzanos, menos de 3.000. Era un número cuadrado. Pero, luego, decidió comprar 119 plantas más. Ahora el total era también un número cuadrado. ¿Cuántas plantas compró en total el productor?.

76 Manzanas en cajas Tenemos cierta cantidad de manzanas y cierta cantidad de cajas. Si estas cajas pueden contener 11 manzanas cada una sobran 18 manzanas. Y si estas cajas pueden contener 13 manzanas cada una no sobra ni falta ninguna manzana. En realidad faltaron 36

50

INTERMEDIOS manzanas para llenar todas las cajas. ¿Cuántas manzanas pueden contener cada una de las cajas?.

77 Muchos cajones Tenemos cierta cantidad de cajones: 1, 2, 3, etc. que contienen manzanas formando una progresión aritmética. Una progresión aritmética es una serie de números separados por una cantidad fija y que comienza por cualquier número. En este caso, esa cantidad fija es igual a la cantidad de manzanas que contiene el primer cajón. Si dividimos la cantidad total de manzanas por la cantidad del cajón 1, el resultado es 136. ¿Cuántos son los cajones?.

78 Dos cuadros Tenemos dos cuadros: A y B. Ambos tienen la misma cantidad de plantas. Todas están numeradas: 1, 2, 3, etc. Al pasar al cuadro B se continúa sin volver a cero. Si cada cuadro tiene 60 plantas, en B se sigue: 61, 62, 63, etc. Ahora sumamos todos los

51

EL VALLE DEL INGENIO números del cuadro A: 1 + 2 + 3 + 4 etc. Y aparte sumamos todos los números del cuadro B. En nuestro ejemplo: 61 + 62 + 63 + 64, etc. La diferencia entre los resultados de ambas sumas es 529. ¿Cuántas son en total las plantas?.

79 El fr utero Un frutero siempre compraba al mayorista la misma cantidad de kilos de manzanas a un precio fijo. Pero, en una ocasión el precio aumentó un 50 % . Entonces, con el mismo dinero compró una cantidad menor. Luego, en otra ocasión encontró que el precio había disminuido un 50 % respecto al precio fijo habitual. Entonces, con el mismo dinero compró más kilos de manzanas. En total compró en las dos ocasiones 160 kilos. ¿Cuál es la cantidad fija que compraba habitualmente?.

80 Manzanas caras y baratas Había 24 kilos de manzanas caras. Se vendían a $ 1,50 el kilo. Había cierta cantidad de manzanas baratas. Se vendían a $

52

INTERMEDIOS 2,50 cada dos kilos. Como no tenían mucha diferencia, se decidió juntarlas todas y venderlas a $ 4 en bolsitas de 3 kilos. Así se obtuvieron 2 pesos más que si se hubieran vendido cada clase (caras y baratas) por separado y del modo indicado. ¿Cuántos kilos de manzanas baratas había?.

81 Dos clases de manzanas Tenemos 60 kilos de una clase de manzanas (A) que se venden en bolsitas de 3 kilos a $ 4,50 cada una. Y tenemos 60 de otra clase (B) que se venden en bolsitas de 5 kilos a $ 3,75 cada una. Como ambas clases eran muy parecidas, se juntaron todas para venderlas en bolsitas de 8 kilos. Para que el producto de la venta de los 120 kilos sea el mismo ¿A cuánto hay que vender esta bolsita de 8 kilos?.

82 Un cajón de manzanas En un cajón hay cierta cantidad de manzanas. Una persona retira una y otra agrega un tercio de las que quedan. Alguien retira otra y se agregan un tercio de las que quedan. Por último, se vuelve

53

EL VALLE DEL INGENIO a retirar una y se agrega un tercio de las que quedan en el cajón. El cajón primero tenía más de 10 manzanas y menos 100. ¿Cuántas manzanas había primero en el cajón, cuantas quedaron al final?. No se dividió ninguna manzana.

83 Cuadros cuadrados Tenemos en una chacra tres cuadros a los que llamaremos A, B y C. Los tres son cuadrados (la cantidad de plantas en cada uno es un número cuadrado). La cantidad de plantas de A mas la cantidad de plantas de B es igual a la cantidad de plantas de C. Además, la suma de las raíces de esos cuadrados es igual a 56. ¿Cuántas plantas hay en total?.

84 Más peras y más manzanas Hay cierta cantidad de cajas con peras. Todas tienen la misma cantidad. Pero, hay una caja vacía. Entonces, sacamos una pera de cada una de las cajas llenas. Las ponemos en la caja vacía. Todas quedan con igual cantidad de peras. Pero, sobra una pera.

54

INTERMEDIOS Ahora tenemos cierta cantidad de cajas con manzanas. Y se dan las mismas condiciones: Todas tienen la misma cantidad, hay una caja vacía, etc. La cantidad total de manzanas es igual a la cantidad total de peras más 24. ¿Cuántas son las peras, cuántas son las manzanas?.

85 ¿Cuántas plantas tiene una fila? Tenemos un cuadro de manzanos compuesto de varias o de muchas filas. Todas las filas tienen la misma cantidad de plantas. Donde están las primeras plantas de cada fila llamamos lado A. Donde están las últimas plantas llamamos lado B. Comenzando de la primera fila del lado A, se numeran las plantas: 1. 2. 3. etc. Al llegar al lado B, se pasa a la fila siguiente y se continúa numerando sin volver a cero. Por ejemplo: La última planta es la 20, se continúa por la fila siguiente: 21, 22, 23, etc. Volviendo hacia el lado A. Por último, sumamos todos los números de las primeras plantas del lado A. Y el resultado es 2.125. Aparte sumamos todos los números de las últimas plantas del lado B. Y el resultado es 2.177. ¿Cuántas plantas tiene cada fila?.

55

EL VALLE DEL INGENIO

86 ¿Falta o sobra? Un chacarero compró plantas de tres variedades de manzanas a las cuales llamaremos A, B y C. De A compró cierta cantidad. De B compró una planta más que de A. Y de C una más que de B. Proyectó plantar todas juntas en un cuadrado (el número de plantas es un cuadrado). Cuando ya estaba plantando, le asaltó una duda: ¿cómo era? ¿faltaba una planta o sobraba una planta?. Nosotros podemos ayudarlo: ¿le sobrará o le faltará una planta?. Sabía con seguridad que la cantidad de plantas que tenía no era un cuadrado perfecto. Sabía que le faltaría una o le sobraría una. Pero no recordaba bien cual de esas dos alternativas era la real.

87 Dos cajas de manzanas Tenemos dos cajas de manzanas A y B. En la caja B hay seis manzanas más que en la caja A. Retiramos 5/6 de las manzanas de la caja B y las pasamos a la caja A. La cantidad de manzanas de la caja A queda así duplicada. ¿Cuántas manzanas quedan en cada caja?.

56

INTERMEDIOS

88 El fr uticultor excéntrico Un fruticultor planeaba hace una plantación en forma de triángulo: una fila tenía una planta, otra fila dos plantas, otra tres plantas, etc. • •      • •      •      • etc. Tenía la cantidad justa de plantas que estaban en atados que tenían todos la misma cantidad de plantas. Sabemos que la cantidad de plantas en cada atado es igual a la cantidad de atados más 30. ¿Cuántas son las plantas?.

89 Muchas manzanas En un cajón hay cierta cantidad de manzanas (llamamos A, a esa cantidad). Si le agregamos una cantidad, que llamamos B, habrá el triple de las que quedarían si sacáramos una cantidad igual 57

EL VALLE DEL INGENIO a la mitad de B. La primera cantidad (A) menos un medio de B es igual a 162. ¿Cuántas manzanas hay en el cajón?.

90 100 manzanos Tenemos una fila de 100 manzanos numerados: 1, 2, 3, 4, etc. Entre los primeros, elegimos un manzano y anotamos su número. Avanzamos un poco y anotamos el número de otra planta. Atención: estos dos números deben tener un solo dígito, es decir, tienen que ser inferiores a 10. Llamamos A al menor y B al mayor. Ahora pensamos en un número X. Avanzamos esa cantidad de manzanos a partir de B y anotamos el número (C) de la planta correspondiente. Luego, anotamos la diferencia entre x

y el

número de la última planta de la fila. Y lo llamamos D. Por último, sumamos A + B + C + D. El desafío es elegir los manzanos de tal manera que las dos últimas cifras de esta suma sea 24.

91 Plantas de peras y de manzanas Un productor tenía 60 plantas de peras y 60 plantas de 58

INTERMEDIOS manzanas para plantar en su chacra. Podía comprar más, pero, solo en atados completos. Cada atado tenía 12 plantas de pera y 28 plantas de manzanas. El productor quería que el 70% del total de las plantas fueran de manzanas. Para eso, ¿cuántos atados más tenía que comprar?.

92 Una fila larg a y una corta Una fila de manzanos tiene 20 plantas. Otra fila también de manzanos tiene 12 plantas. Son entonces, 32 plantas entre deliciosas y granny. Las deliciosas de la fila larga son igual a las granny de la fila corta más 5. ¿Cuántas son en total las deliciosas, cuantas son en total las granny?.

93 El primer año Un cuadro nuevo de manzanas produce el primer año cierta cantidad de cajones. El segundo año el aumento de la producción es igual a la mitad de la producción del año anterior. En la temporada siguiente, la producción aumenta un tercio de la

59

EL VALLE DEL INGENIO producción del año anterior. El año siguiente aumenta un cuarto del año anterior. Y en el siguiente, aumenta un quinto del año anterior. Hasta allí, el cuadro produjo en todos esos años 621 cajones. ¿Cuántos cajones produjo el primer año?.

94 El precio de las peras y de las manzanas Tenemos las dos condiciones siguientes: 1) Cinco manzanas y dos peras valen 25 pesos. 2) Dos manzanas y tres peras valen 21 pesos. ¿Cuánto vale una manzana? ¿Cuánto vale una pera?. La solución puede encontrarse al tanteo. El método no es muy elegante, pero, es válido. Sin embargo, es mejor resolver el problema por medio de un procedimiento que nos conduzca directamente a la solución.

95 El cliente excéntrico Un cliente excéntrico le dice al dueño de la frutería: “en cuanto a la cantidad de manzanas, quiero tener seis opciones: 194, 60

INTERMEDIOS 195, 196, 197, 198 y 199, contenidas en dos cajas. Estas cajas tienen que estar ya preparadas de modo que pueda tomar dos de ellas (ni más ni menos) que sumen cualquiera de esas seis opciones. Por ejemplo: quiero llevar 196 manzanas, tomo esta caja y aquella y ambas suman esa cantidad”. Para satisfacer a este cliente, ¿Cuál es el mínimo de cajas que el frutero tiene que tener ya preparadas y cuantas manzanas tiene cada una?. La cantidad de cada caja tiene que ser distinta.

96 El cuadro D En el cuadro A se plantaron cierta cantidad de plantas. En el cuadro B, se plantaron el doble que en el cuadro A. En el cuadro C se plantaron el triple que en el cuadro B. Y en D se plantaron el cuádruple de plantas que en C. Si en total son 363 plantas. ¿Cuántas plantas se plantaron en el cuadro D?.

97 Cajas llenas de manzanas La cantidad de manzanas que tenemos es un número

61

EL VALLE DEL INGENIO cuadrado. Las colocamos en cajas que quedan todas llenas con 120 manzanas cada una. Sobra una manzana. ¿Cuántas pueden ser en total las manzanas? Hay muchas soluciones. Pero, la pregunta es la siguiente: ¿Cuál es la diferencia mínima que puede haber entre dos soluciones, es decir, entre dos números que son soluciones?.

98 Cajas con manzanas Hay tres cajas: A, B y C. Cada una contiene cierta cantidad de manzanas. 1) La cantidad de manzanas de A más de las de B, suman 22. 2) La cantidad de manzanas de A más las de C es 35. 3) La cantidad de manzanas de B más las de C es 41. ¿Cuántas manzanas tiene cada caja?.

99 El manzanar Tenemos una palabra. Su definición según el diccionario es: “Dícese de las plantas colocadas en filas paralelas cruzadas en diagonal (plantar al …………..)”. ¿Cómo es esta plantación?.

62

INTERMEDIOS

100 Filas sin cosechar Un cuadro tiene cierta cantidad de filas de perales. Y a continuación, cierta cantidad de filas de manzanos. Las filas de perales producen 8 cajones cada una. Y las de manzanos, 20 cajones cada una. Para vender aparte, se dejan sin cosechar 3/5 de las filas de manzanos (quedan filas completas). Se cosechan las filas de manzanos restantes y todas las filas de perales. Se llenan 200 cajones entre pera y manzana. ¿Cuántas son en total las filas del cuadro?. O sea, las filas de perales, las de manzanas que quedaron sin cosechar, más las filas de manzanas que se cosecharon.

63

Difíciles

64

101 Cosechadores fr utícolas Tenemos siete cosechadores de manzanas: Alberto cosecha un cajón por día. Bernardo, dos cajones por día. Carlos, tres cajones. Daniel, cuatro. Ernesto, cinco. Fernando, seis. Y Gerardo, siete. (Todos son cajones, cosechados por día). El grupo trabaja durante siete días. Pero, todos faltan un día con excepción de uno de ellos que trabajó los siete días. En total, la cantidad de cajones cosechados es un número primo. ¿Quién trabajó todos los días?.

102 Plantación diferente Un productor decidió hacer una plantación diferente: serían dos triángulos como indica el dibujo (igual o distinto). Uno tendría una fila (línea horizontal) más que el otro. Tenía la cantidad de plantas justa para hacer eso. Pero, luego compró 24 plantas más. Juntó todas e hizo un solo triángulo aprovechando todas las plantas. Sabemos que el número de plantas es menor de 200. ¿Cuántas plantó al fin el productor?.

65

EL VALLE DEL INGENIO • •      • •      •      • etc.

103 Producción de manzanas Una planta produce el primer año cierta cantidad de manzanas, más de dos. En el segundo año, la cantidad de manzanas es un medio más que la temporada anterior (si primero fueron 16 manzanas, luego serían 24). El tercer año, el aumento fue un tercio de las manzanas producidas en el primer y segundo año. El año siguiente, el aumento fue un cuarto de todas las manzanas producidas en los años anteriores. Y así sucesivamente. En una temporada, la planta alcanzó a producir 85 manzanas. ¿Cuántos años tiene la planta?. ¿Cuántas manzanas produjo el primer año?.

66

DIFÍCILES

104 Ofertas Un comercio presenta como oferta cinco variedades de frutas: Manzanas, peras, duraznos, ciruelas y damascos. Hay muchas cajas de cada clase. Pero, en la vidriera se exhiben solo tres cajas, cada una de una variedad distinta, es decir, quedan dos variedades sin exhibir. Diariamente se cambian las cajas de la vidriera (una, dos o las tres), sin que nunca haya más de una caja de la misma variedad. Al terminar los días que duró la oferta cada variedad fue exhibida en la vidriera la misma cantidad de días. Por último, la cantidad de días que cada variedad está en la vidriera es igual a la cantidad de días que no está más siete. ¿Cuántos días duró la oferta?.

105 Plantaciones fr utícolas Para una plantación frutícola las plantas vienen en atados y los atados en fardos. La cantidad de atados en cada fardo es igual a la cantidad de plantas que hay en cada atado. Y la cantidad de fardos es igual a la cantidad de atados que hay en cada fardo. Por otra parte, en la plantación hay tantas filas en un cuadro como 67

EL VALLE DEL INGENIO cuadros hay en la plantación más una fila. Y en cada fila hay tantas plantas como filas hay en un cuadro, más una planta. Llegaron por error 25 plantas de más. Y terminada la plantación sobraron 38 plantas. ¿Cuántas plantas se plantaron?.

106 La plantación de Pedro Pedro proyectaba hacer una gran plantación de manzanos. La cantidad de filas sería un número primo mayor de 100. La cantidad de plantas en una fila sería el mismo número primo. Las plantas venían en atados de 27 unidades. Terminada la plantación, Pedro se sorprendió porque se había plantado una cantidad justa de atados. “Seguramente –pensó- venía una planta de más porque tendría que haber faltado una”. ¿Cuál es el razonamiento aritmético de Pedro que demuestra que tendría que haber faltado una planta? La cantidad de atados era la que más se ajusta a la cantidad de plantas necesarias.

68

DIFÍCILES

107 Fraccionando manzanas Un productor tenía 7.225 manzanas (es un número cuadrado). Dividió esa cantidad en dos partes. Y ambas son un número cuadrado. Tomó una de estas cantidades y la dividió en dos partes y ambas son un número cuadrado. Por último, tomó una de estas dos cantidades y las dividió en dos partes y ambas son un número cuadrado. Es decir, se quedó con cuatro cantidades y cada una es un número cuadrado. Las cuatro suman 7.225, que también es un número cuadrado. ¿Cuáles son esas cuatro cantidades?.

108 Una caja de manzanas y otra de peras Tenemos una caja de manzanas y otra de peras. Ambas contienen la misma cantidad de frutas. Pero el precio de cada manzana es mayor que el precio de cada pera. Sumando el valor de las dos cajas resulta $ 8,41. ¿Cuántas son en total las frutas, o sea, las manzanas más las peras?. Cada fruta vale una cantidad entera de centavo. 69

EL VALLE DEL INGENIO

109 Diferencia de precio Tenemos un lote de manzanas (A). Y otro lote de manzanas (B). Ambos tienen la misma cantidad de kilos. El plan original era el siguiente: un kilo de A vale un peso. Y dos kilos de B valen un peso (50 centavos cada uno). Pero, luego se unificaron los dos lotes en uno solo. Y se decidió vender tres kilos por dos pesos. Como consecuencia de este cambio se obtuvo por todas las manzanas 24 pesos menos que de haber seguido el plan original. ¿Cuántos son en total los kilos de manzanas?.

110 Proyecto fr utícola Pedro pensaba plantar un cuadro cuadrado (la cantidad de plantas es un número cuadrado). Tenía para eso la cantidad justa de plantas. Pero, luego decidió cambiar el proyecto. Con esas plantas haría varias filas, no más de diez, todas iguales, Cuando terminó, le sobraban tres plantas que no alcanzaban para agregar una planta más a cada fila. ¿Cuántas filas plantó Pedro?.

70

DIFÍCILES

111 Los números de las plantas Una fila tiene 30 plantas numeradas 1, 2, 3, etc. Un productor, que además cultiva su ingenio, determina los números triangulares (suma de números: 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, etc.). Luego suma esos números: 1 + 3 + 6 + 10 etc. Cuando termina descubre que ha cometido tres errores en esta última operación. Había omitido dos números triangulares consecutivos. Y había sumando dos veces el mismo número. Como resultado de la suma obtuvo 465. ¿Qué números omitió, que número repitió?.

112 Una fila cuadrada Este es un caso irreal: tenemos una larguísima fila de manzanos en espaldera, es decir, las plantas están formadas sobre alambres que están sostenidos por postes que están separados por intervalos fijos. Entre un poste y otro hay 11 plantas. Y no hay ningún espacio entre postes que tengan más o menos de 11 plantas. Tenemos también una cantidad de plantas igual a un 71

EL VALLE DEL INGENIO número cuadrado para plantar en esa fila. ¿Con que número cuadrado y con cuantos postes de la fila sobrarán 1 o 3 o 4 o 5 o 9 plantas?. Es decir, hay que encontrar un múltiplo de 11 que exceda en 1 o en 3 o en 4 o en 5 o en 9 a un número cuadrado.

113 Juan y Pedro Tenemos una fila de manzanos numerados: 1. 2. 3. etc. Y otra fila de manzanos también numerados. Llamemos “A” a la primera y “B” a la segunda. Juan se encuentra en una planta de la fila A que llamamos “Y”. Y Pedro se encuentra en una planta de la fila B igual a Y x 3. Ambos avanzan cada uno la misma cantidad de plantas que el otro. Juan llega a la planta “Z”. Y Pedro en su fila a la planta Z x 2. Pedro llega a la punta. Si esta fila tiene menos de 100 plantas. ¿Cuál es la cantidad máxima que puede tener?.

114 Plantación rectangular En una chacra tenemos una plantación en forma de rectángulo, con las condiciones siguientes: 72

DIFÍCILES 1) En el lado corto hay una cantidad par de plantas. 2) La cantidad de plantas que hay en el lado corto es la mitad de las plantas que hay en el lado largo. 3) La cantidad de plantas que hay en el rectángulo es un número de más de dos cifras. 4) La penúltima cifra de la derecha es un siete. ¿Cuál es la última cifra?

115 La producción de los perales En esta chacra hay 900 plantas de frutales. Hay manzanos y perales. Cada planta de manzanas produce 12 cajones (de los chicos). Y la producción total entre peras y manzanas entregados a la planta de empaque es 8.100 cajones. Pero, un cuarto de la producción de manzanos se deriva a la industria, o sea, no se entrega a la planta de empaque. ¿Cuántos cajones produce cada planta de pera?

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EL VALLE DEL INGENIO

116 Manzanas otra vez En un lugar adecuado se deposita primero una manzana, luego dos manzanas, luego, 3, 4, 5 .......................... N manzanas (N es la última cantidad depositada). Por último, las manzanas se colocan en cajones cuya cantidad es igual a N (la última cantidad depositada). Todos quedan igualmente llenos y sobran 39 manzanas, o sea, que no alcanzan para llenar otro cajón (recordemos que cada cajón puede contener de unas pocas a miles de manzanas). ¿Cuántos son los cajones, cuantas manzanas contiene cada uno?.

117 Repar tiendo manzanas En un cajón que como máximo puede contener 60 manzanas, hay cierta cantidad de esta fruta, que se van a repartir entre varias personas. Cada una recibiría seis manzanas. Pero, para hacer eso falta una. Entonces, una persona, o varias, se retira, o se retiran, sin llevarse su parte. Las restantes se distribuyen todas las manzanas en partes iguales, sin dividir ninguna. ¿Cuántas manzanas había?. 74

DIFÍCILES

118 Velocidades diferentes Dos tractores circulan en ambos lados de una fila de manzanos. Un tractor a un lado de la fila y el otro al otro lado. Los llamamos A y B. B arranca primero de la primera planta. Luego, también de la primera planta arranca A, cuando ya B se encuentra más adelante frente a una planta. Pero, A es más rápido y sobrepasa a B junto frente a otra planta. Hay dos datos para tener en cuenta: 1) Cuando A avanza siete plantas B avanza cinco plantas. 2) La fila tiene menos de 100 plantas. Cuándo A llega a la última planta B se encuentra frente a otra planta ¿Cuántas le faltan a B para llegar también a la última planta?. Una aclaración: una unidad es la distancia entre el tronco de una planta y el tronco de la planta siguiente. Cuando se dice que un tractor está en una planta quiere decir que está frente al tronco de esa planta.

119 Las manzanas de una chacra En esta chacra cada planta tiene la misma cantidad de manzanas. Cada fila tiene tantas plantas como manzanas tiene cada 75

EL VALLE DEL INGENIO planta. Y hay tantas filas como plantas hay en cada fila (era la misma cantidad en los tres casos). Juan, el dueño, quiso saber cuantas manzanas hay en total. Pero, se equivocó dos veces: contó dos manzanas menos de las que tenía cada planta. Y dos filas más de las que en realidad había. (contó bien las plantas de cada fila). Como resultado obtuvo 52 manzanas menos de las que en realidad había. ¿Cuántas manzanas había?.

120 Prog resión geométrica Una progresión geométrica es una serie de números en la cual cada uno resulta de multiplicar el anterior por una cantidad constante llamada razón. Y se puede comenzar por un número cualquiera. Por ejemplo: primer número: seis. Razón: cinco. 6. 6 x 5 = 30. 30 x 5 = 150. 150 x 5 = 750. Etc. O sea: 6, 30, 150, 750, etc. Algunas personas, o muchas personas, tenían cada una cierta cantidad de manzanas, que formaban una progresión geométrica. La persona que más manzanas tenía, decidió repartir las suyas entre todas las demás. Para ello entregó a cada una el doble de las que ya tenían. Pero, le sobraron 7 manzanas. ¿Cuál es la razón de esta progresión geométrica? ¿Cuántas manzanas tenía 76

DIFÍCILES el que menos tenía, cuántas el que más tenía?.

121 Suma de plantas Tenemos una fila de plantas numeradas: 1, 2, 3, etc. Un productor recorre la fila y va sumando: 1 + 2 + 3 + etc. Al llegar a la punta vuelve por la misma fila y continúa la suma (si las plantas fueran 10 sumaría: ........ 8 + 9 + 10 + 9 + 8 etc.) hasta llegar de nuevo a la planta 1. Pero, en algún momento, luego de sumar una planta, se detiene, saca el mate de una mochila, el termo con agua caliente y luego de matear un rato continúa sumando otra vez el número de la misma planta. O sea, suma dos veces el mismo número. El resultado final obtenido por el productor fue 3.186. ¿Cuántas plantas tiene la fila?.

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EL VALLE DEL INGENIO

122 Aritmética fr utícola Tenemos dos lotes de cajas con manzanas, A y B. La caja 1 de A y la caja 1 de B tienen las siguientes condiciones: 1) cada una tiene al menos una manzana. 2) La cantidad de A es diferente de la cantidad de B. 3) Entre ambas no superan 20 manzanas. En cada lote y a partir de la caja 1 se forma una progresión aritmética con las cajas siguientes, o sea, se va sumando a cada caja una cantidad fija. Por ejemplo: caja 1: 8 manzanas. Se suman 5: 13, 18, 23, etc. Al llegar a la caja 18 de cada lote ambas tienen la misma cantidad. ¿Cuántas manzanas tenían las primeras cajas? (la cantidad que se suma en un lote es diferente de la cantidad que se suma en el otro lote).

123 Una caja chica, una mediana y una g rande La caja chica y la mediana están llenas de manzanas. La grande está vacía. Si: 1) Si pasamos las manzanas de la caja chica a la grande faltarán 14 manzanas para que esta caja quede llena. 78

DIFÍCILES 2) Si en cambio pasamos las manzanas de la caja mediana a la grande, faltarán 6 manzanas para que esta caja quede llena. 3) Si pasamos las manzanas de la caja chica y de la mediana a la caja grande, esta caja quedará llena y sobrarán 8 manzanas. ¿Cuántas manzanas pueden contener cada una de estas tres cajas?.

124 Filas g ranny Las filas de manzanos están numeradas: 1, 2, 3, etc. Una deliciosa y una granny, una deliciosa y una granny, etc. (granny y deliciosa son dos variedades de manzanas). Las granny llevan los números pares. Si sumamos los números de todas las filas granny el resultado se puede descomponer en dos cuadrados siendo uno de ellos 64. Si el resultado de esa suma es igual a la cantidad total de plantas granny ¿Cuántas plantas tienen cada fila?. Todas las filas tienen igual cantidad de plantas.

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125 Falta una planta El vivero ofrecía plantas en atados que tenían todos la misma cantidad. Pedro pensó comprar cierta cantidad de esos atados creyendo que así podría hacer una plantación en forma de cuadrado (la cantidad de plantas sería un número cuadrado). Pero, luego se dio cuenta que le faltaría una planta. Entonces, pensó comprar cuatro atados más para hacer un cuadrado mayor (no necesariamente el cuadrado siguiente numéricamente). Pero, le seguía faltando una planta. Por último, sumo la cantidad de plantas que quería comprar primero con la cantidad que quería comprar después (si primero compraría 5 atados, luego serían 9 y terminaría comprando 14). Las compró y también le faltó una planta para llegar a un número cuadrado. ¿Cuántas plantas había comprado en cada una de esas tres oportunidades? ¿Cuántas plantas tenía cada atado?.

126 Dos recipientes de manzanas En un recipiente de grandes dimensiones (A) colocamos una manzana, luego, dos, luego tres, etc. En algún momento 80

DIFÍCILES pasamos a otro recipiente (B) y continuamos de igual modo, sin volver a cero. Y hacemos en B tantos depósitos como hicimos en A. Por ejemplo: en A 1, 2, 3, y 4. En B, 5, 6, 7 y 8. Por último, duplicamos la cantidad de manzanas que hay en A sacándolas del depósito B. En B quedaron 2.500 manzanas. ¿Cuántas quedaron en A?.

127 Cajas g randes y chicas Tenemos algunas cajas grandes de manzanas. Cada una vale $ X. También tenemos algunas cajas chicas. Cada una vale $ Z. El valor total de todas las cajas es $ 18. Si la cantidad de cajas grandes fuese igual a la cantidad de cajas chicas, y la cantidad de cajas chicas fuese igual a la cantidad de cajas grandes, el valor de todas las cajas sería $ 17. Nos referimos a $ sin centavos por cada caja. Hay más cajas grandes que chicas. Y valen más las cajas grandes que las chicas. ¿Cuántas son las cajas grandes, cuántas son las chicas, cuántos $ valen las cajas grandes, cuántos $ valen las cajas chicas?.

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128 Parcelas de verduras Juan y Pedro tienen muchas parcelas de verduras. Todas son cuadradas y tienen una cantidad entera de metros cuadrados. (Pueden haber parcelas iguales o ser todas o casi todas diferentes). Juan dice: “descubrí una curiosidad aritmética”: la diferencia entre la superficie (cantidad de metros cuadrados) entre la parcela A y la parcela B, es igual a la diferencia entre las superficie de la parcela B y la C”. “Yo dice Pedro, estoy viendo si tenemos tres parcelas tales que el doble de la superficie de una parcela menos la superficie de otra parcela es igual a la superficie de una tercera parcela”.¿Pueden haber tres parcelas así? ¿Por qué?. Recordemos: la superficie de cada una es un número cuadrado.

129 Cajones aritméticos El cajón cero está vacío. El cajón uno tiene manzanas. El cajón dos tiene una cantidad de manzanas mayor. El cajón tres tiene más que el dos. Etc. La diferencia (cantidad de manzanas) entre el cajón cero y el uno es igual a la diferencia entre el uno y el 82

DIFÍCILES dos. Entre el dos y el tres. Etc. Es decir, forman una progresión aritmética. Ahora sumamos todas las manzanas de todos los cajones. Y dividimos el resultado por la cantidad del cajón uno. Por ejemplo: 0 + 5 + 10 + 15 + ............. = X. X/5. El resultado es una de las opciones siguientes: A) 50. B) 55. C) 60. D) 65. E) 70. ¿Cuál de estas opciones es posible?.

130 Primos fr utícolas Una góndola está llena de manzanas. Llega un cliente y se lleva cierta cantidad. Otro lleva una cantidad mayor. Un tercero se lleva una cantidad mayor que el anterior. Y así, un cuarto cliente, un quinto y un sexto. Cada uno se lleva una cantidad mayor que el cliente anterior. Además, la diferencia (cantidad) entre le primero y el segundo es igual a la diferencia entre el segundo y el tercero. Entre el tercero y el cuarto. Entre el cuarto y el quinto. Entre el quinto y el sexto. Por último, las seis cantidades de manzanas que se llevaron cada uno de los seis clientes son números primos. ¿Cuáles son esas seis cantidades?.

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131 Dos parcelas Pedro compró cierta cantidad de plantas. Esa cantidad de plantas es la suma 1 + 2 + 3 + 4 + ................. + N, siendo N un número impar. (la suma antedicha determina los números triangulares). Utilizaría dos parcelas: En una, la cantidad de plantas es un número cuadrado. La otra parcela es un rectángulo de 8 x 7 (cantidad de plantas: 8 x 7 = 56). ¿Cuántas plantas había comprado Pedro?.

132 Una chacra diferente Un chacarero planeaba realizar una pequeña plantación de 3 x 3. Y además, hacer otra u otras plantaciones en forma de cuadrado (en cada cuadro la cantidad de plantas sería un número cuadrado). Sabemos que: 1) En cada cuadro la cantidad de plantas es diferente. 2) El total de plantas serían 200. ¿Cuántos cuadros tiene la chacra? ¿Cuántas plantas tiene cada cuadro?.

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DIFÍCILES

133 Cinco cajones Tenemos cinco cajones A, B, C, D y E. A, B, C y D están vacíos y E está lleno de manzanas (se supone que todas tienen el mismo tamaño). Si con las manzanas de E llenamos los cajones A y C sobrarán un tercio de las manzanas que faltarán para llenar los cajones B y D con las mismas manzanas. Si todos los cajones estuvieran llenos habría 841 manzanas. ¿Cuántas manzanas pueden contener A, B, C y D? ¿Cuántas tiene E?. A tiene menos manzanas que C, y B menos que D.

134 Muchas peras y manzanas Una chacra tiene plantas de peras y de manzanas bajo las condiciones siguientes: 1) En la primera temporada cada peral produjo 18 frutos. Y cada planta de manzanas produjo solo 3 frutos. 2) En la segunda temporada faltaron 5 frutos para que las plantas de manzanas triplicaran su producción (respecto de la temporada anterior. 3) En la tercera temporada faltaron 5 frutos para que las 85

EL VALLE DEL INGENIO plantas de manzanas duplicaran su producción (respecto de la temporada anterior. 4) Los perales mantuvieron siempre la misma producción. 5) En esa temporada, la tercera, la producción total de la chacra (Peras y manzanas) fue de 795 frutos. ¿Cuántas plantas hay en la chacra en total entre perales y manzanos?

135 Manzanas triangulares Tenemos un lote de manzanas (A). La cantidad de cajones es un número triangular (X). La cantidad de manzanas en cada cajón es el número triangular anterior a X (Y). Tenemos otro lote de manzanas (B). La cantidad de manzanas por cada cajón es igual a Y, o sea, igual al otro lote. Pero, la cantidad de cajones es menor. En este lote la cantidad de manzanas son 90 frutas menos que las del otro lote. Además, la cantidad de manzanas del lote B es un número cuadrado. ¿Cuántas manzanas hay en cada lote?.

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DIFÍCILES

136 Diferencia entre manzanos Hay una fila con una cantidad impar de manzanos. El primero es de la variedad deliciosa. El segundo, granny. Y así sucesivamente: deliciosa, granny, deliciosa, granny, etc. Como la cantidad es impar termina en deliciosa. Al lado hay otra fila con idénticas condiciones. Se numeran las plantas: 1, 2, 3, etc. Al llegar a la punta se pasa a la otra fila y se continúa la numeración sin volver a cero y volviendo hacia atrás (al pasar de una fila a otra se numeran dos deliciosas seguidas). Por último, se suman todos los números de las deliciosas: 1 + 3 + 5 + etc. Aparte se suman todos los números de las granny: 2 + 4 + 6 + etc. Entonces se comprueba que la diferencia entre los resultados de ambas sumas es igual a 31. ¿Cuántos manzanos hay en total?.

137 Plantas en cuadrado Pedro planea hace una plantación en la cual la distancia entre una planta y otra es igual a la distancia entre filas. O sea, la cantidad de plantas sería un número cuadrado. Además, las plantas 87

EL VALLE DEL INGENIO vienen en atados de 14 unidades. Pedro descubre que si la cantidad de plantas necesarias es un número par (no sabe cuantas son) y la cantidad de atados es un número impar, entonces, faltarán o sobrarán algunas plantas. Es decir, no se ocupará una cantidad entera de atados. ¿Cómo lo sabe?. O sea, hay que demostrar porque la cantidad de plantas contenidas en un cuadrado de lado par no puede se múltiplo de la cantidad de plantas contenidas por una cantidad impar de atados que constan de 14 plantas cada uno.

138 Clasificando manzanas Tenemos un cajón de manzanas. Las revisamos y descartamos las que están deformadas. Este descarte es el 4 % (4 manzanas deformadas de 100). Revisamos las que quedan y descartamos las que son chicas. Y este descarte es el 5 % (5 manzanas chicas de 100 de las manzanas que quedaban). Hacemos una última revisión de las manzanas que aún quedan y descartamos las manzanas que tienen poco color. Este descarte es una manzana de cada seis. ¿Cuántas manzanas quedaron al fin?. Importante: quedaron menos de 100.

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DIFÍCILES

139 Reunión de productores En una reunión, un grupo de productores se saludan dándose la mano. Cada uno apretó las manos de cada uno de los demás. ¿Cuántos apretones de manos hubo? Faltan datos para poder deducir la respuesta. Por eso damos estas cinco opciones: A) 131. B 195. C) 247. D) 253). E) 312. Ahora sí. Los datos son suficientes. ¿Cuántos apretones de manos hubo en la reunión de productores?.

140 Reconversión Cuando le preguntaron a Pedro cuantos manzanos había plantado en su chacra contestó: La cantidad es un número triangular siendo N par (la suma de los números hasta N. 1+ 2 + 3 ................+ N). Hice dos cuadrados iguales (la cantidad de plantas en cada uno es un cuadrado). Y me sobraron 50 manzanos que planté aparte. ¿Cuántos manzanos plantó Pedro?.

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EL VALLE DEL INGENIO

141 El novato En una frutería hay 70 manzanas deliciosas y 45 chañar (que son muy parecidas). Se encuentran mezcladas en dos cajas: En una (A) hay 60 manzanas. En otra (B) hay 55. El propietario instruye a su empleado Juan: “quiero que en una caja haya 30 deliciosas más que chañares en la otra caja. Traslada las manzanas que sean necesarias de una caja a la otra”. Juan era muy novato y no distinguía una manzana deliciosa de una chañar. Pero, como era un buen acertijero, cumplió rápidamente las órdenes de su empleador al pie de la letra. ¿Cómo lo hizo? ¿Cuántas manzanas trasladó de una caja a otra?.

142 Promedio de manzanas Tenemos doce cajas y cada una contiene la misma cantidad de manzanas. Y hay una caja más grande con 180 manzanas. O sea, contiene más manzanas que las restantes. El promedio de manzanas por caja es un número entero. ¿Cuántas son en total las manzanas?. Se pide la solución en la cual la cantidad de manzanas es la menor posible. 90

DIFÍCILES

143 La caja X Hay cuatro cajas. Cada una contiene manzanas de dos clases: deliciosa y granny. Pedro sacó de una caja 20 manzanas granny. De otra caja 30 manzanas granny. De otra, 40 granny. Y de la última 50 manzanas granny. También sacó manzanas deliciosas de cada caja. Luego, fijó su atención sobre una de esas cajas. La llamaremos: caja X. Pedro pensó: no me acuerdo cuantas manzanas de cada clase saqué de esta caja. Se que las granny que saqué es una de las cantidades indicadas (20, 30, 40 o 50). Y que las deliciosas antes de hacer los retiros eran el 25 por ciento del total de esa caja. Y que luego de hacer esos dos retiros continuaron siendo el 25 por ciento del total de esa caja. ¿Cuántas manzanas granny y cuántas deliciosas sacó Pedro de esa caja?.

144 Cajitas de fr utas Tenemos cuatro clases de cajitas. 1) Manzanas deliciosas. 2) Manzanas granny. 3) Pera Williams. 4) Pera Packhams. Cada cajita

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EL VALLE DEL INGENIO contiene: 6, 5, 4 y 3 frutas respectivamente. Las cajas de manzanas deliciosas son el doble que las cajas de manzanas granny. De pera williams hay la misma cantidad que de pera packhams. Las cajas de manzanas son menos que las cajas de pera. Hay 250 frutas. ¿Cuántas son las manzanas, cuántas son las peras?.

145 Nueve cajas de manzanas Variante de un acertijo ya visto: En nueve cajas hay 100 manzanas distribuidas del modo siguiente: 1) En cada caja hay una cantidad diferente (ninguna caja está vacía). 2) La suma de las manzanas de dos cajas cualquiera nunca es igual a la cantidad de otra caja. 3) Una caja contiene más de 27 manzanas. ¿Cuántas manzanas contiene cada una de las nueve cajas?.

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DIFÍCILES

146 Dos trabajadores y un tractor Tenemos una fila de manzanos numerados 1, 2, 3, ......... Todos a la misma distancia unos de otros. En la planta 6 se encuentra un trabajador. Frente a la planta 12 se encuentra otro trabajador. Y un tractor se encuentra frente al último manzano de la fila. Los dos trabajadores y el tractor a la vez comienzan a caminar hacia la primera planta. Lo hacen a velocidad constante. Y ambos trabajadores se desplazan a la misma velocidad. El tractor sobrepasa al primer trabajador en la planta 9 y alcanza al segundo en la planta 1. ¿Cuántas plantas tiene la fila?.

147 Jueg o con plantas En una chacra todas las plantas están numeradas: 1, 2, 3, …… 26, 27, 28, ………..53, 54, 55, etc. Solo como un juego, Pedro siguió los pasos siguientes: 1) Eligió cierta cantidad de plantas juntas, o sea, que tenían números consecutivos. 2) Sumó todos esos números. Por ejemplo: 43 + 44 + 45 etc. 3) Al resultado restó 120. 4) Dividió este nuevo resultado por el número correspondiente a la cantidad de plantas que había elegido. Y allí 93

EL VALLE DEL INGENIO terminó el juego: el resultado final fue el número de la primera planta que había elegido, o sea, el número menor. ¿Cuántas plantas había elegido Pedro?.

148 Una planta menos Tenemos un cuadro de manzanos (A). tiene cierta cantidad de filas. Y cada fila tiene cierta cantidad de plantas. Tenemos también el cuadro B. Tiene la misma cantidad de filas que el cuadro A. Pero, cada fila tiene una planta menos que cada fila del cuadro A. Todas las plantas están numeradas fila por fila. Sumamos los números de una fila del cuadro A: 1 + 2 + 3 etc. Multiplicamos el resultado por la cantidad de filas. Hacemos lo mismo con el cuadro B. Por último, sumamos ambos resultados: es 245. ¿Cuántas filas tiene el cuadro A, cuántas plantas tiene cada fila? ¿Cuántas filas tiene el cuadro B, cuántas plantas tiene cada fila?.

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DIFÍCILES

149 Bandejas chicas y g randes Tenemos muchas bandejas chicas que contienen 5 manzanas cada una. Y también tenemos muchas bandejas grandes que contienen 11 manzanas cada una. Las bandejas chicas son más que las grandes, menos de 30 más. Se traspasan a un depósito hasta completar 800 manzanas. ¿Cuántas bandejas chicas se traspasaron, cuantas grandes?.

150 Manzanas adicionales Hay una cantidad impar de cajas y todas tienen la misma cantidad de manzanas. Luego, agregamos manzanas adicionales de la manera siguiente: A la primera caja no agregamos nada. A la segunda, agregamos una manzana. A la tercera, agregamos dos manzanas, a la cuarta, tres, etc. Hay en total 2.401 manzanas. ¿Cuántas son las manzanas adicionales?.

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EL VALLE DEL INGENIO

Soluciones Fáciles 1 Juan, el fr utero La caja de duraznos fue exhibida durante nueve días. Explicación: Como siempre hay dos cajas en la vidriera la suma de los días de las tres tiene que ser par. Las manzanas más las peras estuvieron 13 días (5 + 8). Los días con duraznos es un número impar. El 1 y el 15 no son viables. De los demás impares posibles solo el nueve no es primo. Las cajas estuvieron en la vidriera 11 días del modo siguiente: Tres días manzanas – duraznos. Seis días peras – duraznos. Dos días manzana – pera.

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SOLUCIONES 2 160 manzanitos Plantó 16 filas. Primero el productor pensó en plantar 32 filas y cada una tendría 5 plantas. Luego plantó 16 filas y cada una tiene diez plantas. Explicación: 5 y 10 son los únicos divisores de 160 que están separados por cinco unidades. 3 Baja de precio El kilo de manzanas vale $ 1,90. Explicación: Con la rebaja, Juan se ahorra un 5 por ciento, que es igual a dos pesos. Esto es el valor correspondiente al 5 por ciento de los 20 kilos comprados por Juan, o sea, el 5 por ciento es el valor de un kilo. Por lo tanto, un kilo valía $ 2. Y luego de la rebaja, $ 1,90. Comprobación: Primero, 20 kilos por dos pesos = 40. Luego, 20 kilos por $ 1,90 = 38. Juan se ahorró 2 pesos. 4 Los cajones Los cajones son 27. Explicación: Una manera simple de resolverlo es la siguiente: Sabemos que la cantidad total de cajones es múltiplo de 3. Entonces, probamos con 21, 24, 27. Y aquí encontramos la solución porque un tercio de 27 es 9. Y 9 + 18 = 27. 97

EL VALLE DEL INGENIO 5 Cien manzanas Las nueve cajas contienen 4, 5, 6, 7, 8, 16, 17, 18 y 19. En cambio, con alguna caja con más de 20 manzanas, habría otras soluciones. Por ejemplo: 2, 3, 4, 8, 9, 14, 15, 20 y 25. 6 Un cuadro de fr utales El cuadro tiene en total 312 plantas. Explicación: Si hay que agregar 13 significa que la cantidad de cada variedad en una fila es 13. Y la cantidad de filas es 12. 13 x 13 = 169 = 12 x 13 + 13. Son 12 filas de 26 plantas cada una. 7 Valle ubér rimo La letra es la U. Explicación: Para suprimir el nombre de una letra debemos remplazar el nombre de dos letras por uno solo. Esto se puede hacer con la U y con la V. Remplazamos la U y la Ve, por Uve, que es el nombre de la V. 8 La edad de Juan Juan tiene 62 años. Explicación: cualquiera sea la edad de Juan basta sumarle 5 (15/3) para llegar a una cantidad en la cual el precio de cada caja es igual al descuento. Esta cantidad es ahora 67. 98

SOLUCIONES Entonces, 67 – 5 = 62. 9 Envasando manzanas No sobrará ninguna manzana. Explicación: En la caja chica la cantidad de manzanas es múltiplo de cinco más una. Y en la caja grande, la cantidad de manzanas también es un múltiplo de cinco más una. Por lo tanto, la diferencia entre ambas cajas es un múltiplo de cinco. Y la cantidad de manzanas que quedan por último en la caja grande es la diferencia entre ambas cajas, o sea, múltiplo de cinco. 10 Dos cuadros cuadrados La chacra tiene 1.409 plantas. (625 + 784). Explicación: Podemos llegar a la solución probando una a una todas las alternativas. Pero, hay un procedimiento más elegante: Nos basamos en el teorema siguiente: La diferencia entre dos cuadrados es igual al producto de la diferencia entre sus raíces por la suma de las mismas. Entonces: 159 = 3 x 53. 3 es la diferencia entre las raíces (no puede ser la suma) y 53 es la suma. La raíz menor es x + (x + 3) = 53. x = 25. Y la raíz restante 25 + 3 = 28. 252 = 625. 282 = 784. La diferencia es 784 – 625 = 159. Considerando el 99

EL VALLE DEL INGENIO teorema antedicho, a primera vista la solución más evidente sería la siguiente: Un cuadro: 792. Otro cuadro: 802. Porque la diferencia es 1 y la suma es 79 + 80 = 159. Pero, de esa manera la cantidad de plantas sería más de 10.000. 11 Cajones de manzanas Las manzanas son en total 1.035. Explicación: Podemos formar un par de cajones: 22 y 24. Otro par: 21 y 25. Otro: 20 y 26. Etc. Así llegamos al par 1 y 45. El promedio por cajón es de 23 manzanas. Y el total es 23 X 45 = 1.035. 12 ¿Cuántas son las filas? Las filas de manzanos son 63. Explicación: Supongamos que las primeras nueve filas son de perales y que después vienen las ocho filas de duraznos. Los números de las filas de perales suman 45. Y los números de las filas de duraznos suman 108. La diferencia es 63. Por cada fila de manzanos que agreguemos a la izquierda, esa diferencia disminuye en una unidad. Y si no hay diferencia es porque las filas de manzanos son 63.

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SOLUCIONES 13 5.000 manzanos La cantidad mínima es 232 paquetes. 21 paquetes de 7 plantas (21 x 7 = 147). Y 211 de 23 plantas (211 x 23 = 4.853). 147 + 4.863 = 5.000. Explicación: Dividimos 5.000 por 23 = 217, y fracción. Multiplicamos 23 por 218 = 5.014. Cada vez que retiramos un paquete de 23 y lo remplazamos por 3 de 7 disminuimos dos plantas del total. Para hacer desaparecer esas 14 plantas debemos hacer siete veces esa operación. O sea, retiramos 7 paquetes de 23 y agregamos 21 de 7. 14 Trabajar la tier ra Emplea dos horas y cinco minutos. Explicación: Está claro que las calles son nueve. Pero, tal vez podemos confundirnos y pensar que entre recorrer una calle y dar la vuelta Juan emplea 15 minutos. Y 15 x 9 = 135 minutos. O sea, dos horas y quince minutos. Pero, Juan no da nueve vueltas, sino solo ocho. Se dijo: desde que arranca de la punta de la primera calle y termina en la punta de la última, porque sino quedaría la duda del tiempo empleado por Juan en entrar y salir del cuadro.

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EL VALLE DEL INGENIO 15 Dos chacras Los dos tienen que aportar $ 60.000. Explicación: Juan tendría que aportar $ 50.000, Y Pedro $ 70.000. Pero, Juan al aportar $ 10.000 más, cancela la deuda que tenía con Pedro. 16 Una canasta de manzanas Hay tres manzanas. Explicación: Un tercio de tres es uno. El nónuplo de uno es nueve. Y nueve menos seis es tres. Y no hay otra alternativa. 17 Filas Las filas son 47. Explicación: Hay que tener en cuenta que si hay una fila exactamente en el medio del cuadro es porque la cantidad de filas es un número impar. Llamemos x al primer número. El número de la otra fila es 3x – 1.Y la suma de ambos: 4x -1 = 95. De donde x = 24. Y la cantidad de filas: 24 x 2 – 1 = 47. 18 Dos alter nativas El productor compró 36 plantas que es a la vez un número cuadrado y un número triangular. 102

SOLUCIONES 19 El trabajo Cada cajón vale 15 pesos. Explicación: Recibe $ 5 de más, pues serían 5 pesos por día. Y 1/3 de cajón menos, pues sería 1/3 de cajón cada día. Se deduce así que 1/3 de un cajón vale $ 5. 20 Filas impares Las plantas eran 676. Explicación: La solución se encuentra rápidamente si advertimos que ese número cuadrado tiene que ser múltiplo de 13, cantidad de filas, y múltiplo de cuatro, porque todos los cuadrados de lado par lo son. Cuatro es un cuadrado, entonces, basta multiplicar dos veces por 13: 4 x 13 x 13 = 676= 262. 21 Promedio El promedio es 110 manzanas. Explicación: 6 cajas x 112 = 672 manzanas. Restamos 122. 672 – 122 = 550. Por último, 550 / 5 = 110. 22 Manzanos y perales Los perales serían 97. Explicación: dividimos 582 por 6 = 97. Ya tenemos 6 partes. Agregamos 97 y son 7 partes. 582 + 97 = 103

EL VALLE DEL INGENIO 679 son en total las plantas. Esta es la manera más simple de resolver el problema. Pero, también podemos hacerlo con ecuaciones. Llamemos X a la cantidad de perales: 582 + X = 7 X. 582 = 6 X. 582 / 6 = X. 97 = X. 23 Cajones de peras y de manzanas Un cajón de peras pesa 12 kilos y un cajón de manzanas pesa 6 kilos. Explicación: Si los 6 cajones de peras pesaran igual que los 9 cajones de manzanas cada cajón de manzanas pesaría 12 kilos porque 3 cajones compensan los 36 kilos (6 x 6) que los seis cajones de peras pesan más que 6 de manzanas. Pero, les faltan 18 kilos, o sea, esos tres cajones pesan cada uno solo 6 kilos y así completan los 18 kilos que faltan para llega a 36. Por último: Peras: 6 x 12 = 72. Manzanas: 9 x 6 = 54. 72 – 54 = 18. 24 Pedro y su tractor El tractor emplea 10 minutos en recorrer la fila. Explicación: El reloj pulsera en realidad adelanta 6 minutos por 104

SOLUCIONES hora (Tiempo real = 60 minutos). Tiempo marcado por el reloj de pared = 66 minutos. Pero, Pedro creía que atrasaba 5 minutos por hora. O sea, un minuto cada 12 minutos. Entonces, su reloj registró 11 minutos. Y el tiempo real es 10 minutos, porque 66 / 60 : 11 / x = 60 x 11 / 66 = 10. 25 Una chacra especial La última cifra es 7. Explicación: Los números cuadrados terminan en 0, 1, 4, 5, 6 y 9. Descartamos el 0 y el 5 porque el cuadrado sería múltiplo de 5. La última cifra de las raíces que son iguales a la última cifra de los cuadrados respectivos son el 1 y el 6. La cantidad de plantas de ambos cuadros deben terminar uno en 1 y otro en 6. No puede ser uno en 1 y el otro en 4 o en 9, o bien uno en 6 y el otro en 4 o en 9 porque la cantidad total sería múltiplo de 5. 26 Un lotecito de manzanas Un kilo de manzanas vale $ 7. Explicación: de 56 tenemos que restar 3, 5, 7 etc. y comprobar si el resultado es divisible por el número que restamos. O sea, 56 – 3 = 53. No vale porque 53 no es divisible por 3. Tampoco vale el 5. Pero, sí el 7. 56 – 7 = 49. Es 105

EL VALLE DEL INGENIO decir, el lotecito se compone de 7 kilos de manzanas y cada uno vale $ 7. Si continuamos con el 9, el 11, el 13, etc. comprobaremos que no hay otra solución. 27 Perales y manzanos Los manzanos son 221. Los perales 663. Explicación: Determinamos el mínimo común múltiplo de 13 y 17. Por ser números primos es 13 x 17 = 221. Para llega a la solución debemos manejar bloques de 17 manzanos y de 13 perales. La cantidad mínima de manzanos es 17 x 13 = 221. Para que la diferencia sea la mitad de la suma, como se explica en el enunciado, la cantidad de perales es: 221 x 3 = 663. O sea, 51 filas de 13 plantas. Y el total de plantas es 221 + 663 = 884. 28 Fr utas en cajitas Las cajitas de peras tienen cada una tres peras. Explicación: Hay una sola cajita de manzanas y siete cajitas de peras. Total = 28 frutas. Diferencia: 21 peras menos 7 manzanas: 14. La cantidad de una fruta debe ser igual a tres veces la cantidad de la otra. Y eso solo se logra en este caso con cajitas de tres frutas (con sus múltiplos nos pasamos de 50). 106

SOLUCIONES 29 Cajón lleno y cajón vacío El peso del cajón chico vacío es igual al peso del cajón grande. Explicación: Si el peso de un cajón fuese proporcional a su capacidad (en este caso, cajón chico = ½) el peso de cualquier cajón sería seis veces más que cuando el cajón está vacío. En este caso pesa tres veces más porque el peso del chico es igual al peso del grande. (O sea, grande = 7 – 1 = 6. Chico = 4 – 1 = 3. Las manzanas del grande pesan el doble que las del chico). Veamos un ejemplo: Cajón grande vacío = seis kilos. Lleno con manzanas = 42 Kilos. Manzanas = 36 kilos. Cajón chico vacío = seis kilos. Lleno = 24 kilos. Manzanas = 18 kilos. Las manzanas del grande pesan el doble que las del chico. 30 Dos cosechadores Cada uno había cosechado 175 manzanas. Explicación: Si cuando Juan cosecha 45 manzanas Pedro cosecha 63 manzanas, la relación es de 7 a 5. Entonces, cada 7 manzanas que cosecha Pedro aventaja en dos manzanas a Juan. Y así para descontar las 50 manzanas que le lleva de ventaja, Juan tiene que cosechar 25 veces 7. Por último: 7 x 25 = 175.

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EL VALLE DEL INGENIO 31 Plantas y primos ¿En el lado B, luego del 37, cuando aparecerá otro número primo? Es casi un cazabobos porque la respuesta es: nunca. Explicación: Un primo tendría que aparecer entre los números impares (se van alternando: uno impar y otro par). Cada vez que avanzamos un impar sumamos dos veces 37. Por ejemplo: tercera fila: 37 + 37 + 37 = 111. Por lo tanto, todos esos números son múltiplos de 37. Entonces, ninguno es primo. 32 Deliciosa, g ranny y g ala En el cuadro hay 1.016 plantas. Explicación: Cada vez que el productor va por una fila de deliciosa, hasta allí recorre una cantidad impar de filas de esa variedad. Hay que buscar entonces un divisor impar de 344 (cantidad total de deliciosa). Solo hay uno: el 43. O sea, 43 filas de ocho plantas cada una. Hay una fila menos de granny y una fila menos de gala que deliciosa. Por último: 344 + 336 + 336 = 1.016. 33 Promedio por planta Las plantas granny son 25. Explicación: De plantas deliciosa sobran 10 x 50 = 500 manzanas con las cuales podemos 108

SOLUCIONES compensar 500 / 20 = 25 plantas de granny. En total son 25 x 130 = 3.250 manzanas de granny. Más 2.000 de deliciosas igual a 5.250. Por último: 5.250 /150 = 35. 10 de deliciosa y 25 de granny. Otra manera de resolverlo: considerar que para cada planta de deliciosa tiene que haber dos plantas y media de plantas granny (o por dos, cinco de granny). 34 Chacra 2. 4. 6. 7. 5. 3. 1. 2. 4. 6. 5. 4. 3. 2. 1. Total: 15 movimientos. 35 Dos filas de manzanos Cada fila tiene 81 manzanos. Explicación: Si hubiese una planta en cada fila la suma sería 1 + 2 = 3. Luego, cada dos plantas que agregamos a cada fila sumamos 4. 1 de una fila y 3 de la otra. (Tiene que haber una cantidad impar en cada fila para que pueda haber una planta exactamente en la mitad de la fila). Entonces, podemos supone que por cada planta aumentamos una unidad a la suma. Así (163 – 3) / 2 = 80. Más la primera planta = 81. Comprobación: primera fila: Planta central = 41. Segunda fila = La primera planta: 82. Más 40 = 122. Y 122 + 41 = 163.

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EL VALLE DEL INGENIO 36 La planta Nº 80 Las filas tienen 16 plantas cada una. Explicación: Habría dos maneras de llegar a la planta en cuestión: La última planta de la penúltima fila del lado B es la 79. De allí se pasaría a la 80 para volver hacia el lado A. Esta variante no es posible porque 79 es primo y no habría filas con igual cantidad de plantas. Por lo tanto, en la última fila, la numeración viene del lado A. La 80 es la última planta. Para eso la cantidad de filas tiene que ser impar. El único divisor impar de 80 es 5. Las filas son 5. Y la cantidad de plantas de cada fila es 80 / 5 = 16. No puede ser 16 filas de 5 plantas porque en el enunciado se dijo que las plantas estaban numeradas 1, 2, 3, 4, 5 etc. Y luego se pasaba a la otra fila. 37 Ganancia Las cajas son 25. Explicación: Muy simple: el 4 por ciento es una caja. Entones, el 100 x 100 = 100/4 = 25. Comprobación: 25 cajas a $ 25 cada una = 25 x 25 = 625. Y el 4 por ciento de 625 = 625 x 4 /100 = 25. 38 Una promoción muy especial Cada una de las primeras siete cajas valen $ 42. 110

SOLUCIONES Explicación: El valor de esas cajas tiene que ser igual al descuento que se hace por cada caja cuando el cliente se lleva 21, y así todas valen cero. La diferencia entre 7 y 21 es 14. Y 14 x 3 = 42. Las 21 cajas valdrían 21 x 42 = 882. Y el descuento es el mismo: 21 x 42 = 882. 39 Una curiosa promoción En la vidriera se promocionaban 30 kilos de manzanas: Explicación: Solo hay que averiguar cuantos pueden ser los kilos adicionales. Esos kilos son 15 porque entonces el frutero descuenta $ 3 por cada kilo, o sea, un descuento igual al precio original. En la vidriera hay el doble, es decir, 30 kilos. 40 Bandejitas de manzanas Las bandejitas son 24, las manzanas son 120. Explicación: En una sola bandejita las manzanas son igual a una unidad más cuatro. Entonces, basta dividir 96 por 4. Las bandejitas son 24 y la cantidad total de manzanas es 24 + 96 = 120. 41 Comprando cajas de manzanas Las cajas eran 8, cada una valía $ 8 también: Explicación: 111

EL VALLE DEL INGENIO Consideremos uno a uno todos los números posibles: las cajas valen cada un $ 5. Entonces compraríamos dos porque si valieran $ 4 menos, o sea, $ 1 cada una, compraríamos 10. Es decir, ocho más como exige el enunciado. Pero, si las cajas valen cada una $ 5 tendríamos que haber comprado cinco, por lo tanto, ese número no es la solución. Y así con el 6 y con el 7. Por último, encontramos la solución: cada caja vale $ 8. Compramos 8 con $ 64. Si valieran $ 4 menos, o sea, $ 4 cada una, compraríamos 64/4 = 16. O sea, ocho cajas más. 42 Cosechadores Juan cosechó 8 cajones, Pedro 62. Explicación: Cuando Juan comenzó, Pedro llevaba 54 cajones porque cuando Juan llega a 54, Pedro cosecha otros tantos. Cuando entre los dos llegaron a 70 cajones, cosecharon 16 cajones, o sea, 8 cada uno. 8 de Juan y 54 + 8 = 62, de Pedro. 43 Venta de manzanas El cliente se llevó nueve manzanas. Explicación: que la mitad de las manzanas que quedan sean igual al doble de las que se llevó el cliente solo es posible si la cantidad total de manzanas es 112

SOLUCIONES múltiplo de cinco. Podemos entenderlo así: Dividimos la cantidad de manzanas en 5X. Quedan 4X. La mitad es igual a 2X. O sea, el doble de lo que se llevó el cliente. En este caso había en la góndola 45 manzanas. El cliente se lleva 9. Quedan 36. La mitad es 18, o sea, el doble de 9. Por último: el frutero llevó a la góndola 5 cajas, única manera de formar un múltiplo de cinco. 44 Cajones Los cajones son 45. Explicación: Podemos formar pares con los cajones 22 y 24. 21 y 25. 20 y 26, etc. Son 22 pares que suman 44 cajones. Más uno = 45.Y las manzanas son: 45 x 23 = 1.035. 45 Veinte treinta Las bolsas chicas tienen 4 manzanas y la grandes 7. El cliente en total se lleva 53 bolsas. 46 Más manzanas que peras En el primer cajón las peras son 6 y las manzanas, 12. Explicación: Tomemos como unidad la cantidad menor, o sea, la cantidad de peras del primer cajón. Entonces, entre los tres cajones 113

EL VALLE DEL INGENIO hay 8 unidades de manzanas (2 + 4 + 2). Y 5 unidades de peras (1 + 1 + 3). En total 13 unidades. Por lo tanto, cada unidad vale 78 / 13 = 6. Ya es fácil deducir el resto. 47 Dos cajones sin llenar El cajón A tiene 92 manzanas y B tiene 104. Explicación: Cuando agregamos 44 manzanas al cajón A sobran tantas manzanas como le faltan a B. Esa cantidad, o sea, 44, es igual a la diferencia entre A y B más el doble de las manzanas que le faltan a B. Entonces, restamos 12 a 44 = 32. Dividimos 32 por 2 = 16. A B le faltan 16 manzanas. Tiene 120 – 16 = 104. Y A tiene 104 -12 = 92. Por último: 92 + 44 = 136. Al cajón A le sobran 136 – 120 = 16 manzanas: las que le faltan a B. Otra manera de resolver el problema: con 44 manzanas se llenarían los dos cajones. Pero, el cajón A tiene 12 manzanas menos, por lo tanto le faltan 28 manzanas y a B 16. 48 Tres variedades Gala: 141. Granny: 196. Deliciosas: 553. Explicación: Supongamos que hubiera una planta de gala. Entonces, las granny serían: 1 + 145 = 146. Y las deliciosas: 146 + 257 = 403. Y en total 114

SOLUCIONES serían: 1 + 146 + 403. = 550. Para llegar a 1.000 faltan: 1.000 – 550 = 450 plantas. Por cada planta de gala que aumentamos, agregamos una granny y una deliciosa. 450 / 3 = 150. Tenemos que agregar 150 plantas a cada variedad. 1 + 150 = 151. 146 + 150 = 296. Y, 403 + 150 = 553.Total: 151 + 296 + 553 = 1.000 plantas. 49 Los cosechadores Carmelo cosecha 10 cajones. Explicación: Mientras Alberto cosecha 30 cajones Bernardo cosecha 20 cajones. Entonces, mientras Bernardo cosecha 30 cajones, Alberto cosecha 45. (30/20 : X/30 = 45). 45 cajones de Alberto y 30 cajones de Bernardo son equivalentes. Entonces, mientras Alberto cosecha 45 cajones, Carmelo cosecha 15. Y para 30 cajones de Alberto los de Carmelo son 45/15 : 30/X = 10. Otra manera más simple: Carmelo cosecha la mitad que Bernardo. Entonces, si Bernardo cosecha 20 cajones cuando Alberto cosecha 30, cuando Alberto cosecha 30 cajones Carmelo cosecha 10. 50 Deliciosas y g ranny Deliciosas: 40. Granny: 80. Explicación: Una manera de resolverlo es suponiendo que todas son granny. Entonces, la 115

EL VALLE DEL INGENIO producción del cuadro sería de 240 cajones bins (60 cajones más). Cada vez que remplazamos una planta granny por una deliciosa, reducimos la producción en un 1 ½ (un cajón y medio). Entonces, debemos dividir 60 por 1,5 = 40. Estas son las plantas deliciosas. El resto, 80, son las granny. Mediante ecuaciones. Llamamos X a la cantidad de plantas granny: 2X + (120 – X) ½

= 180

4X + (120 – X)

= 360

3X + 120

= 360

3X

= 360 – 120

1X

= 80

Inter medios 51 Dos cajones de manzanas En A había 81 manzanas y en B, 9. x es igual a 9, la cantidad de B. Y z es igual a 10. Explicación: Exceptuando que x sea de una cifra y que z sea de dos cifras, las demás condiciones siempre se presentan si x y z son números consecutivos. Por ejemplo: x = 4. z = 5. Manzanas de B = 4. Entonces, en A hay 4 x 4 = 16 manzanas. Luego, A = 15. B = 3. O sea, A = 3 x 5. Por 116

SOLUCIONES ultimo, con 9 y 10 logramos que x sea de una cifra y z de dos cifras. 52 16 filas El cuadro tiene 992 plantas. Cada fila tiene 62 plantas. 62 x 16 = 992. Explicación: De 7.944 se resta 8 = 7936. Se divide el resultado por 64 (cuadrado de 8) = 124. Y se divide por 2 = 62 plantas. Si fueran otras cifras (con una cantidad par de plantas) se utiliza el número correspondiente a la mitad de la cantidad de filas. Se resta ese número. Se divide por el cuadrado de ese número. Y por último, en todos los casos se divide por 2. 53 Manzanas aritméticas La cantidad fija de manzanas que sumamos es 9. Explicación: Si sumamos el tercer número con el antepenúltimo el resultado será también 101. Adelantamos dos lugares al pasar al quinto número, por eso el resultado es 18 más, o sea, igual a dos cantidades fijas que se suman. Cualquier número que está en cierta posición de izquierda a derecha sumado al número que está en la misma posición de derecha a izquierda arrojan siempre el mismo resultado, en nuestro caso 101. (Las cajas tienen 10, 19, 28, 37, 46, 117

EL VALLE DEL INGENIO 55, 64, 73, 82, 91, manzanas respectivamente. 54 Cajas g randes Cada caja grande contiene 39 manzanas. Explicación: Para que el promedio aumente una manzana (o sea, para que el promedio de las 15 cajas sea 15 manzanas) las tres cajas grandes deben tener 19 manzanas. Podemos suponer que de cada una se pasa una manzana a cada una de las 4 cajas chicas. Entonces, cada 5 manzanas que agregamos a cada una de las cajas grandes la diferencia con el promedio es de 4 manzanas. Y para que la diferencia sea 20 manzanas hay que agregar 5 veces esa cantidad (20 / 4 = 5). O sea, hay que agregar 25 manzanas. Comprobación: 12 cajas por 14 manzanas = 168 3 cajas por 39 manzanas = 117 Total = 285 Promedio: 285/ 15 = 19 Diferencia: 39 – 19 = 20 55 Cincuenta por ciento Hay que agregar cuatro plantas. Explicación: Hay que interpretar correctamente el enunciado. Si multiplicamos la 118

SOLUCIONES cantidad de filas por 24 no es que el resultado sea 24 veces aquella cantidad porque el aumento sería más que el 24 por ciento. Obviamente, la operación es para determinar la cantidad de plantas que tiene el cuadro. O sea, 24 sería la cantidad de plantas que tiene cada fila. Y, si el aumento fue el 50 por ciento, la fila tiene 16 plantas. Por último, para que el aumento sea el 25 por ciento, hay que agregar 4 plantas a cada fila. 56 Otra plantación A) Filas = 15. Plantas por fila = 24. B) Filas = 24. Plantas por fila = 15 (una es la inversa de la otra). Explicación: Los divisores de un número se presentan de a pares. Y necesitamos un par de divisores de 360 cuya diferencia sea 9. Esos divisores son: 15 y 24. En una alternativa 15 son las filas y 24 las plantas por fila. En la otra alternativa es a la inversa. Acotemos que en el proyecto original, la plantación tenía forma de cuadrado. 57 Tres opciones fr utícolas Duraznos: tres plantas. Perales: 9. Manzanos 27. Explicación: Los divisores de un número se presentan de a pares. En este caso son tres. Esto solo es posible si uno de ellos es un 119

EL VALLE DEL INGENIO cuadrado. Entonces, la raíz de ese cuadrado es el otro divisor. Y el tercero, es el divisor correspondiente. En otras palabras: Necesitamos un número impar que tenga solo tres divisores .El número buscado es la cuarta potencia de un número primo mayor de 2. Con el tres encontramos la solución (34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81). Comenzando de 5 nos pasamos de 500. Entonces, la fila tiene 81 plantas. 27 atados de duraznos de 3 plantas. 9 de perales de 9 plantas. O 3 de manzanas de 27 plantas. 58 Numerando fr utales En cada cuadro hay 30 filas, Explicación: En las primeras siete filas los números de las filas de ambos cuadros son iguales. En adelante, la diferencia entre los números de ambas filas, una de cada cuadro, es igual a siete. (1 – 8. 2 – 9. 3 -10. etc. Solo tenemos que dividir 161 por siete. = 23. Más las primeras siete filas, son 30. 59 Tres bandejas de manzanas La bandeja chica tiene 10 manzanas. La mediana 14 y la grande, 18. Explicación: Descomponemos 2.520 en sus factores primos: 2 x 2 x 2 x 3 x3 x 5 x 7. Con estos números es fácil formar las cantidades buscadas: Bandeja chica: 2 x 5 = 10. Bandeja 120

SOLUCIONES mediana: 2 x 7 = 14. Bandeja grande: 2 x 3 x 3 = 18. 60 Una caja de peras y otra de manzanas Caja de manzanas = 27. Caja de peras = 18. Explicación: Dos tercios del precio de la caja de manzanas es igual al precio de la caja de peras. Y la diferencia entre ambas es nueve pesos. Entonces, la relación es de dos a tres. Y hay que multiplicar esos números por nueve para que la diferencia sea esa. 61 Dos plag as fr utícolas En total las plantas son 96. Explicación: La cantidad mínima de plantas debe ser 12, mínimo común múltiplo de 3 y 4. Hay 8 plantas afectadas por la plaga A y 9 por la plaga B. De cada 12 plantas, 5 están afectadas por las dos plagas porque 8 y 9 = 17, exceden 5 a 12. Se dijo que las plantas afectadas por las dos plagas son 40. Por lo tanto, hay 8 lotecitos de 12 plantas Entonces, el total es 12 veces 8. O sea, 96. 62 El productor de manzanas Hay 1.050 plantas. Explicación: La diferencia entre ambos resultados solo puede ser 17 si la diferencia entre las filas y las 121

EL VALLE DEL INGENIO plantas de cada fila, también es 17. Basta considerar un ejemplo: 3 y 20. Entonces: 3 x 19 = 57. 20 x

2 = 40. Y

la diferencia es 17. Por último, 1.050 es el único producto entre 1.000 y 1.100 de dos factores separados por 17 unidades.25 x 42 1.050. 63 Un tercio más un tercio Al comienzo había 80 manzanas. Al final quedaron 108. Explicación: Esta serie comienza en 16 (igual a uno). Se retira 1. Se agregan 5. Quedan 20 en el cajón. Se retiran 2, se agregan 6. Etc. Y así cuando se retiran 17 hay 80 manzanas en el cajón. Y así cuando la persona retira 23 manzanas y el cosechador agrega un tercio de las que quedan, hay 108 manzanas en el cajón. Conviene hacer una lista con las sucesivas operaciones. 64 Bolsas chicas y g randes En total, las manzanas son 120. Explicación: Las bolsas chicas son un quinto del total de manzanas y contienen dos manzanas. Se deduce que la cantidad total de manzanas es 10 o múltiplo de 10. Consideramos la primera posibilidad: 10. No encontramos solución. Consideramos el segundo caso: 20. Aquí 122

SOLUCIONES descubrimos un principio de solución: Serían tres bolsas de cuatro manzanas y cuatro bolsas de dos manzanas. Las bolsas chicas son un quinto del total de manzanas. Las bolsas chicas son una más que las grandes. Solo tenemos que multiplicar 20 por 6. Son l8 bolsas grandes y 24 chicas. 65 Repar to de manzanas Las personas son 37. Las manzanas son 683. A, B, C y D representan los números 18, 17, 19 y 20 respectivamente. Explicación: Las relaciones aritméticas de este acertijo se cumplen en cuatro números consecutivos cualesquiera. En este caso: B, A, C y D = 17, 18, 19 y 20. Las personas son la suma de los extremos: 17 + 20 = 37. (Nos basta conocer el primer número: 17). Las manzanas son 18 x 37 + 17 = 683. Si las repartimos entre 37 personas entregando 18 a cada una nos sobrarán 17 (683 – 666 = 17. Y, para entregar 19 a cada una nos faltarán 20 (19 x 37 = 703). 703 – 683 = 20. 66 Nuevo re parto de manzanas Las manzanas son 120. Explicación: El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4 es 12. La mitad de 12 (6). Un tercio de 12 (4). 123

EL VALLE DEL INGENIO Y un cuarto de 12 (3).O sea faltaría una manzana. (6 + 4 + 3 = 13). (Entonces, para que falten 10 solo hay que multiplicar 12 x 10 = 120. Un medio, un tercio y un cuarto de 120 (60 + 40 + 30) suman 130. 67 La última fila El cuadro más chico tiene 1.764 plantas. Explicación: Para que la diferencia entre la cantidad de plantas de ambos cuadros sea igual al número de la última fila (O de la cantidad de filas) la cantidad de filas de ambos cuadros tienen que ser dos números consecutivos. El cuadro mayor tiene 43 filas. Entonces, el menor tiene 42. Comprobación: 432 – 422 = 1.849 - 1.764 = 85. 42 + 43 = 85. La chacra tiene 85 filas. Y el cuadro más chico tiene 1.764 plantas. 68 Producción de peras El tanto por ciento es 9,52 (no del 10 %). Explicación: Antes, de cada 100 kilos 5 eran de peras. Ahora de cada 105 kilos 10 son de peras. Entonces podemos plantear la ecuación siguiente: 10/105 = x/100 x = 10 . 100/105 124

SOLUCIONES x = 9,52 69 Tres cajas de fr utas Hay 40 frutas en cada caja. La caja vacía vale $ 6 cada una. Explicación: La diferencia entre el valor de la caja de manzanas y de peras es $ 8, Y la relación entre una manzana y una pera es de 5 a 6 (de 1 a 1,20). Tenemos que multiplicar esas cantidades por 8. 5 x 8 = 40. Y 6 x 8 = 48. Y se ve que la caja vacía vale $ 6. ¿Y la caja de duraznos? (Bien, gracias). No es necesario tenerla en cuenta. Otra manera: cada 5 frutas, la diferencia es $ 1. Para que sea $ 8. Solo hay que multiplicar por 8. 70 Valle de Río Neg ro 8

3

4

4

5

0

5

9

1

6

7

5

2

9

6

Explicación: La quinta columna, de izquierda a derecha, suma 17 y tiene dos O. Esta letra no puede ser un 9. Tampoco un 8 porque la E sería un 1 y en la segunda columna no se podría 125

EL VALLE DEL INGENIO llegar al resultado indicado. Y así, considerando la quinta y la segunda columna se comprueba que: O = 6. E = 5. A = 3. Luego, la primera y la tercera columna suman 30. Estas columnas deben contener los dígitos 2, 4, 7, 8, 9. y 0. Estos números suman 30. Falta la I. Por lo tanto, I = 1. De igual modo considerando la tercera y la cuarta columna deducimos que G = 2. Y así podemos deducir los demás. 71 Traspasando manzanas Las manzanas son 400. Explicación: Basta multiplicar 16 por 25. Los divisores de un número se presentan de a pares. Tenemos que buscar dos divisores de 400 cuya diferencia sea nueve. Y esos divisores son 16 y 25. Así cuando ya traspasamos 375 manzanas, nos faltarán 25 que es una x/16 parte del total. Cuando traspasamos nueve manzanas más estaremos en 384, nos faltan 16 que es una x/25 parte del total. Es decir, consideramos a 16 y a 25 como un par de divisores del número buscado. Es fácil ver que el número buscado es 16 x 25 = 400. 72 Reuniones amistosas En la primera reunión asistieron 10 productores. Y hubo 126

SOLUCIONES 45 apretones de manos. En la segunda reunión hubo 14 productores. Y hubo 90 apretones de manos. A este resultado se llega confeccionando una tabla con la cantidad de productores y la cantidad de apretones de manos 73 Pedro y su plantación Pedro plantó 1.225 árboles. Explicación: Cuando se multiplican dos cuadrados el resultado es también un cuadrado. Entonces, cuando compró más árboles fue un número cuadrado. Y los árboles que le sobraron fueron los que tenía primero. 74 es la suma de los cuadrados, 25 y 49, Por lo tanto, Pedro plantó 25 x 49 = 1.225 árboles. 49 atados de 25 árboles. 352. 74 Dos tractores B emplea 27 minutos más en llegar a la otra punta. Explicación: Hablemos de espacios entre postes. En los cuatro espacios que le faltan, A empleó 12 minutos. Entonces, en total empleó 4/12 : 10 / x = 30 minutos. Cuando A estaba en el poste 7, B estaba en el 5. A empleó para 6 espacios 30 / 10 : x / 10 = 18 minutos. Y 18 minutos empleó B en 4 espacios. Y en total 4 / 18 : 127

EL VALLE DEL INGENIO 10 / x = 45 minutos. 45 – 18 = 27. Le faltan 27 minutos a B para llegar a la punta de la fila. 75 Compra de manzanos En total compró 144 manzanos. Primero tenía 25. Más 119 = 144. Explicación: La diferencia entre dos cuadrados es igual a la suma de sus raíces multiplicada por la diferencia de esas raíces. Los dos únicos divisores de 119 son 7 y 17. Entonces, buscamos dos números cuya diferencia sea 7 y la suma sea 17. Esos dos números son 5 y 12. Primero compró 52 (25). Y luego compró 119 para llegar a 122 (144). Si la diferencia de las raíces es 1, o sea, son dos números consecutivos, la solución sería 3.600. Primero tendría 592 = 3.481. Y luego, 3.481 + 119 = 3.600 = 602. Pero, así nos pasamos de 3.000 manzanos y el enunciado dice que son menos. 76 Manzanas en cajas Cada caja podía contener 17 manzanas. Explicación: Si las cajas contienen 13 manzanas cada una no sobra ni falta ninguna manzana. Si las cajas contienen 11 manzanas cada una y sobran 18 manzanas quiere decir que las cajas son 9. Y la cantidad de manzanas es 9 x 13 = 117. Faltan 36 para llenar todas. Las 128

SOLUCIONES manzanas tendrían que ser 117 + 36 = 153. Y 153 / 9 = 17. 77 Muchos cajones Los cajones son 16. Explicación: cualquiera sea la cantidad del cajón 1, si haciendo las operaciones indicadas el resultado es 136, siempre los cajones serán 16 porque la cantidad total de manzanas resulta de multiplicar 136 por la cantidad del cajón 1. (136 es la sumatoria de 1 hasta 16) Por ejemplo: 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 + 33 + 39 + 42 + 45 + 48 = 408 = 136 x 3 = 408. Por lo tanto, 408 / 3 = 136. Y los cajones son 16. 78 Dos cuadros Las plantas son en total 46, 23 en cada cuadro. Explicación: 529 es un cuadrado y su raíz es 23. Solo tenemos que multiplicar 23 x 2. Si hacemos el cálculo de la manera indicada el resultado siempre será un cuadrado cualquiera sean las cantidades manipuladas. Se entiende mejor mediante un ejemplo: Cada cuadro tiene 5 plantas. A; de 1 a 5, B de 6 a 10. La diferencia entre los dos números de cada par siempre es 5. Y en total será 25. Por lo tanto, si nos dicen que la diferencia es 25 podemos deducir que las plantas son 10. 129

EL VALLE DEL INGENIO 79 El fr utero Habitualmente compraba 60 kilos. Explicación: Cuando el precio aumenta un 50 % compraba dos tercios del monto anterior (si siempre compraba 3 kilos en esta ocasión compró 2). Cuando el precio disminuye un 50 % compra el doble (si siempre compraba 3 kilos en esta ocasión compró 6). O sea, tres veces más que cuando el precio aumenta. Entonces, cuando el precio aumenta compra una cuarta parte, o sea, 40 Y cuando disminuye, compra tres cuartos, o sea, 120. De eso se deduce que la cantidad fija que el frutero compraba es 60 kilos. 80 Manzanas caras y baratas Había 72 kilos de manzana barata. Explicación: Podemos suponer que se vendieron 24 bolsitas y en cada una había un kilo de manzana cara y dos kilos de manzana barata. Hasta aquí no habría diferencia, pero, en adelante eran solo manzanas baratas. Por cada bolsita obteníamos ($ 4 - $ 3,75) 25 centavos más. Para llegar a $ 2, se vendieron 8 bolsitas. Y 8 x 4 = 24. Entonces, primero, 48 que se vendieron con 24 de las caras. Luego, 24 que eran solo de las baratas. Total: 72 kilos.

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SOLUCIONES 81 Dos clases de manzanas Se deberán vender a $ 9 cada una. Explicación: A primera vista sería $ 4,50 + $ 3,75 = $ 8,25. Pero, sería un error. Veamos: Clase A: 60/3 = 20 bolsitas. 20 x 4,50 = 90 pesos. Clase B: 60/5 = 12. 12 x 3,75 = 45 pesos. Total: 90 + 45 = 135. Por otra parte: 120 en bolsitas de 8 kilos = 15. Entonces el producto de la venta de los 120 kilos sería $ 135 en 15 bolsitas. Y 135/15 = 9 pesos cada una. 82 Un cajón de manzanas Primero había 31 manzanas. Al final se juntaron 68. Explicación: La mejor manera de resolver este problema es la siguiente: Buscamos múltiples de tres cuyo tercio sea un múltiplo de tres más 1. Son pocos: 12, o sea, comenzamos por 13. Restamos uno, quedan 12. Agregamos cuatro. 16. Restamos 1, quedan 15. Agregamos 5 = 20. Y aquí no podemos seguir. Probamos con 21. No lo logramos. Luego, con 30, y aquí tenemos éxito: Retiramos 1, quedan 30. Agregamos 10 = 40. Retiramos otra, quedan 39. Agregamos 13, hay 52. Retiramos 1, quedan 51. Agregamos 17 y llegamos a 68.

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EL VALLE DEL INGENIO 83 Cuadros cuadrados En total hay 1.250 plantas. Explicación: Recordemos: la diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es igual a la suma de esos números (o raíces). Entonces, todo cuadrado impar es la diferencia entre los cuadrados de los dos números consecutivos que sumados dan como resultado aquel cuadrado. La suma de estas raíces es 56. Solo tienen posibilidades tres cuadrados impares: 9, 25 y 49. Obviamente es el 49. Las raíces son: 7, 24 y 25. Suman 56. 72 = 49. 242 = 576. 252 = 625. 49 +576 + 625 = 1.250. A + B = 49 + 576 = 625. C = 625. 84 Más peras y más manzanas Las peras son 25. Y las manzanas, 49. Las cajas de peras eran primero cinco y luego seis. Primero tenían cinco peras cada una y luego quedaron con cuatro. Las cajas de manzanas eran primero siete y luego ocho. Primero tenían siete manzanas y luego seis. Explicación: La única manera de que sobrara una fruta es que la cantidad total de peras (y de manzanas) sea un número cuadrado. Necesitamos dos cuadrados cuya diferencia sea 24. Los cuadrados de dos números separados por 1 o 3 unidades no nos sirven porque la diferencia sería impar. Debemos considerar los 132

SOLUCIONES cuadrados de dos números separados por dos unidades: 2 y 4. 3 y 5. Etc. Así se llega enseguida a la solución. 85 ¿Cuántas plantas tiene una fila? Cada fila tiene 51 plantas. Explicación: Si la cantidad de filas fuera par, la suma de los números del lado A sería igual a la suma de los números del lado B. La diferencia entre A y B es: 2.177 - 2.125 = 52. Y la cantidad de plantas de cada fila es 1 menos de esa diferencia. Si numeramos las plantas de un lado y del otro (para simplificar) veríamos que las filas son 9, o sea, la diferencia entre ambos lados está determinada por los números de la última fila: 477 – 425 = 52. 52 – 1 = 51 86 ¿Falta o sobra? Le faltaba una planta. Explicación: La suma de tres números consecutivos siempre es un múltiplo de tres. Todo cuadrado o es múltiplo de tres o excede en una unidad a un múltiplo de tres (podemos verificarlo considerando varios ejemplos). Como tenemos un múltiplo de 3 que no es un número cuadrado, (y que tiene una unidad más o una unidad menos de un número cuadrado) nos faltará una planta para que lo sea. 133

EL VALLE DEL INGENIO 87 Dos cajas de manzanas Caja A: 60 manzanas. Caja B: 6 manzanas. Explicación: Si la cantidad de manzanas de la caja A quedó duplicada, se deduce que la cantidad de manzanas que había en la caja era 5/6 de las manzanas de la caja B. Y seis de diferencia es 1/6 de las manzanas de esta caja. Por lo tanto, al comienzo en la caja B había 36 manzanas y en la caja A, 30. Y pasamos 30 manzanas de la caja B a la caja A. 88 El fr uticultor excéntrico Las plantas son 1.891. Los atados son 31. Y las plantas en cada atado son: 61. Explicación: En un cuadro triangular de una cantidad impar de filas, la cantidad total de plantas se obtiene multiplicando la cantidad de plantas de la fila del medio por las plantas de la última fila (la mayor). En nuestro caso: 31 x 61 = 1.891. Y si entre la fila del medio, que representan los atados, y la última fila que representan las plantas de cada atado, hay 30 filas, también tiene que haber 30 filas antes de la fila central. 89 Muchas manzanas En el cajón hay 270 manzanas. Explicación: Buscamos los 134

SOLUCIONES números más pequeños que presentan tales condiciones. Encontramos: A = 5. B = 4. La primera cantidad (5) menos un medio de B, como dice el enunciado, es igual a 3. Dividimos 162 por 3 = 54. Hemos multiplicado esos números mínimos por 54. Entonces, A = 5 x 54 = 270. 90 100 Manzanos Los dos primeros son el manzano 6 y el manzano 9. El número X puede ser cualquiera. Explicación: El resultado es: A + 2B + 100. D es B + X. Y sumar la diferencia entre X y 100 equivale a restar X y sumar 100. Cualquier tanteo demostrará que el valor de X es indiferente. Por último, la única manera de llegar a 24 sumando A + 2B (siendo A y B números de un dígito) es que A = 6. Y B = 9. 91 Plantas de peras y de manzanas En cada atado las plantas de manzanas son el 70 % del total, o sea, de 40. Por lo tanto, es imposible cumplir el deseo del productor. Se podía decir que tenía que comprar una cantidad infinita de atados, pero, esa repuesta no es aceptable. También se podía pensar que la cantidad de atados podía ser muchos de 135

EL VALLE DEL INGENIO manera que la diferencia hasta el 70 % sea despreciable. Pero, lo mejor respuesta es la primera: el problema no admite una solución aritmética simple. 92 Una fila larg a y una corta Las deliciosas son 17 y las granny, 15. Explicación: Podemos comprobar, que cualquiera sea la forma en que distribuyamos la plantas en las dos filas siempre las deliciosas de la fila larga serán iguales a las granny de la fila corta más 5. 93 El Primer año El primer año el cuadro produjo 46 cajones. Explicación: La solución menor con números enteros sería: El primer año: dos cajones. El aumento de la producción sería un cajón por año. Y en total: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27. Tenemos que dividir 621 por 27 = 23. Entonces: primer año: 46 (23 + 23). Y el aumento por año es de 23 cajones: Y en total: 46 + 69 + 92 + 115 + 138 + 161 = 621. 94 El precio de las peras y de las manzanas Una manzana vale tres pesos. Un pera vale cinco pesos. 136

SOLUCIONES Explicación: Unificamos el valor de las peras: Multiplicamos 5 y 2 por 3 = 15 y 6. Y 2 y 3 por 2 = 4 y 6. La primera cantidad es: 3 x 25 = 75. Y la segunda: 21 x 2 = 42. La cantidad de peras en cada caso es igual. Por lo tanto, esos 33 (75 - 42) corresponden a las 11 manzanas de diferencia (15 – 4). 11 manzanas = 33 pesos. Una manzana = 3 pesos. Y entonces, una pera = 5 pesos. 95 El cliente excéntrico Bastan cuatro cajas. Cada una contiene 96, 98, 99 y 100 manzanas respectivamente. 96 El cuadro D En el cuadro D se pusieron 264 plantas. Explicación: Tomemos como unidad la cantidad de plantas del cuadro A. En B hay dos unidades. En C hay seis unidades. Y en D, 24. O sea, en total: 33 unidades. 363 / 33 = 11. Cada unidad tiene 11 plantas. En D hay 24 unidades por 11 = 264. En términos matemáticos: X + 2X + 6X + 24X = 33X. 363 / 33 = 11. 24 x 11 = 264. 97 Cajas llenas de manzanas La diferencia mínima que puede haber entre dos soluciones 137

EL VALLE DEL INGENIO es 120, es decir, no puede ser menor que una caja. Una es 292 = 841. Y la otra: 312 = 961. Explicación: La raíz debe terminar en 1 o en 9, para que su cuadrado termine en 1. Condición esta necesaria. Entonces, las posibilidades para considerar son muy pocas: 112. 192. 212. 292. 312. Acotemos que en la primera solución se llenaron siete cajas y en la segundo ocho. 98 Cajas con manzanas A = 8. B = 14. C = 27. Explicación: De 1) y de 2) se deduce que C = B + 13. Y según 3) B = 14. C = 27. Y entonces, A = 8. Otra manera de resolverlo: Cada cantidad entra dos veces en el cálculo. Entonces, la cantidad de manzanas es: 22 + 35 + 41 = 98. Dividimos por 2 = 49. Y, si A + B es igual a 22, C es igual a 49 – 22 = 27. Y se deduce el resto. 99 El manzanar La definición dada corresponde a “tresbolillo” (plantar al tresbolillo). •      •      •       •      • •      •       •      • •      •      •       •      • 138

SOLUCIONES 100 Filas sin cosechar El cuadro tiene en total 25 filas. Explicación: Una fila de perales produce 2/5 de lo que produce una fila de manzanos. (8/20 = 2/5). Al dejar 3/5 de las filas de manzanos hacemos que el promedio de todas las filas de manzanos sea igual a lo que producen las filas de perales. Solo tenemos que dividir 200 por 8 = 25. Comprobación: supongamos que son 5 filas de perales y 20 de manzanos. Quedarían 8 filas de manzanos. Pera; 5 x 8 = 40. Manzanas: 8 x 20 = 160. Total: 200. La cantidad de filas de perales, la cantidad de filas de manzanas cosechadas y sin cosechar, puede variar, pero, la cantidad total de filas siempre es la misma, o sea, 25.

Difíciles 101 Cosechadores fr utícolas Ernesto trabajó todos los días. Explicación: Si trabajan todos los siete días habrían cosechado 7 x 28 = l96 cajones. Si todos hubiesen faltado un día, habrían cosechado 196 – 28 = 168 cajones. De los siete números siguientes solo el 173 es primo. Y para pasar de 168 a 173 hay que agregar los cinco cajones que 139

EL VALLE DEL INGENIO Ernesto cosecha por día. 102 Plantación diferente El productor plantó al fin 105 plantas. Explicación: Uno de los triángulos primigenios tenía una fila más que el otro. Entonces, la suma de las plantas de ambos es un cuadrado. (En nuestro caso: 36 + 45 = 81). Tenemos que buscar un cuadrado que al sumarle 24 resulte un número triangular, en nuestro problema: 81 + 24 = 105, que es un número triangular (o sea, que permite formar un triángulo: 1 + 2 + 3 + ………….. 14 = 105). 103 Producción de manzanas La planta tiene 16 años. Y el primer año produjo 10 manzanas. Cada año la producción aumentó una cantidad fija. Explicación: Como 85 es igual a 5 x 17. Esa cantidad fija solo puede ser 5 o 17. Si fuera 17, la planta solo tendría 4 años (y comenzaría con 34 manzanas). Y según el enunciado la planta tiene más de 4 años. Por lo tanto, el aumento por año es de 5 manzanas. El primer año 10 manzanas. El segundo 10 + 10/2 = 15. El tercer año: 15 + 15/3 = 20. Etc.

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SOLUCIONES 104 Ofer tas La oferta duró 35 días. Explicación: Llamemos unidad a una caja – día. Entonces, la cantidad de unidades tiene que ser múltiplo de tres porque son tres por día. Y múltiplo de cinco porque se distribuyen en partes iguales entre cinco variedades. Por lo tanto, la cantidad buscada solo puede ser 15 o múltiplo de 15. Además, por cada 15 unidades de la vidriera hay 10 unidades que no están (cada cinco días, una variedad está tres días y dos días no). La relación es de dos a tres. Para que la diferencia sea 7 hay que multiplicar esos números por 7 (7 x 2. 7 x 3.).En definitiva: cada variedad está 21 días en la vidriera y 14 días no. 35 días en total que duró la oferta. Por último, se dijo que la cantidad de cajas – días tienen que ser un múltiplo de 15. Y precisamente: la oferta duró 35 días y se exponían tres cajas, entonces, 35 x 3 = 105, que es múltiplo de 15. 105 Plantaciones fr utícolas Se plantaron 2.197 plantas. Explicación: La cantidad de plantas llegadas sería un cubo perfecto. Y la cantidad de plantas plantadas son el producto de tres números consecutivos. Ahora bien, dado tres números consecutivos A, B, C, se llega a un cubo 141

EL VALLE DEL INGENIO del modo siguiente: A x B x C + B. (Ejemplo: 2 x 3 x 4 + 3 = 27), siendo la raíz el número central. (En este caso el 3). Entonces, llegaron 25 plantas de más, sobraron 38, o sea, de llegar la cantidad justa hubieran sobrado 13 plantas. 13 es igual a B, es decir, a la raíz cúbica del total de plantas. 133 = 2.197. 106 La plantación de Pedro Si los atados tenían 27 unidades cada uno la cantidad total de plantas es múltiplo de tres. Por otra parte, todos los números cuadrados son o múltiplos de tres o exceden en una unidad a un múltiplo de tres (hay una demostración geométrica, pero, basta con observar algunos cuadrados). La cantidad total de plantas es el cuadrado de un número primo y por lo tanto no es múltiplo de tres. Entonces excede en una unidad a un múltiplo de tres. Por lo tanto, nunca la cantidad de plantas podría ser justa. (aunque no siempre la diferencia sería una planta, una planta es la diferencia mínima). 107 Fraccionando manzanas Las cantidades son: 7.056, 144, 16 y 9. Explicación: Dividió 7.225 en dos partes: 7.056 y 169. Dividió 169 en dos partes: 144 y 142

SOLUCIONES 25. Dividido 25 en dos partes: 16 y 9. Recordemos que los cuadrados son la suma de los números impares. Entonces, para encontrar un cuadrado que sea la suma de otros dos cuadrados podemos sumar los impares hasta un cuadrado impar. Ejemplo: 1 + 3 + 5 + 7 = 9 + 16 = 25. De esa manera podremos encontrar un cuadrado que sea la suma de tres, cuatro o cinco cuadrados. El método resolutivo de este problema es el procedimiento inverso. 108 Una caja de manzanas y otra de peras Las frutas son en total 58. Explicación: 841 = 29 x 29. Según el enunciado hay dos cantidades iguales. Eso solo es posible si esa cantidad repetida es 29. El precio de cada fruta puede variar, pero ambos deben sumar también 29 centavos. Una posibilidad: 29 manzanas a $ 0,16 cada una = 4,64. 29 peras a $ 0,13 cada una = 3,77. Total: 4,64 + 3,77 = 8,41. Total de frutas: 29 + 29 = 58. 109 Diferencia de precio La cantidad total de kilos es 288. Explicación: Tratamos de establecer cuando la diferencia entre ambos planes es de un peso. Y encontramos lo siguiente: seis kilos de un lote y seis kilos del otro lote. En el primer plan serían nueve pesos. En el segundo plan 143

EL VALLE DEL INGENIO serían doce kilos, o sea, cuatro lotecitos de tres kilos que a dos pesos cada uno, serían ocho pesos. La diferencia es de un peso. Por último, solo tenemos que multiplicar 12 por 24 = 288. 110 Proyecto fr utícola Pedro plantó seis filas. Explicación: Estudiemos cada caso: cuatro filas: Consideremos los cuadrados 4, 9, 16, 25, 49, 64, 81, etc. Las plantas sobrantes serían: 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, etc. Continuemos por el cinco: Las plantas sobrantes serían, comenzando por el 9: 4, 1, 0, 1, 4, 4, 1, etc. Y así hagamos una tabla hasta diez. Y veremos que solo con seis filas aparecen tres plantas sobrantes. Por último, en todos los casos hay un ciclo que se repiten: con cuatro filas, es de cuatro plantas. Con cinco es de cinco. Etc. O sea, cualquiera sea la cantidad de plantas en cualquier filas solo en el caso de seis filas tendremos una solución. Otra manera más simple de resolver el problema es considerar cada cuadrado, restarle 3 y comprobar si así se puede llegar a la solución. 111 Los números de las plantas Omitió dos números 15 y 21. Y repitió el 36. Explicación: 144

SOLUCIONES 465 es la suma correspondiente de los números 1 + 2 + 3 + ............. + 30. Por otra parte, la suma de dos números triangulares consecutivos siempre es un cuadrado. Como los dos números omitidos se compensan con el número repetido, solo tenemos que buscar un número triangular que a la vez sea un cuadrado. Ese número es el 36. Ya es fácil encontrar los otros dos. 112 Una fila cuadrada Ese cuadrado no existe, es decir, el problema no tiene solución. Explicación: consideremos los cuadrados

4, 9, 16,

25, ........................ 144. Ahora consideremos en cuanto un múltiplo de once excede a estos cuadrados: 7, 2. 6, 8, 8, 6, 2, 7, 10. 0, 10. Si ahora continuamos con los cuadrados siguientes: 169, 196, 225, etc. Descubriremos que los excedentes son: 7, 2, 6, 8, 8, etc. Es decir, estos once números forman un ciclo que se repiten indefinidamente. Y el 1, el 3, el 4, el 5, y el 9 están ausentes. 113 Juan y Pedro La fila B puede tener como máximo 96 plantas. Explicación: Pedro estaba primero en la planta Y x 3. Y luego en la planta Z x 2. Consideremos a Y como una unidad. Pedro primero 145

EL VALLE DEL INGENIO estaba en 3Y y luego avanza una Y. O sea, avanza 4Y, única manera que resulte Z x 2. El número de esa planta es múltiplo de cuatro. Y el mayor múltiplo de cuatro menor de 100 es 96. Demostración: 96 / 4 = 24. Y = 24. Pedro estaba en la planta 24 x 3 = 72. Luego, Juan pasó a la planta 48 y Pedro avanzó también 24 plantas llegando a 48 x 2 = 96. 114 Plantación rectangular La última cifra es un dos. Explicación: Podemos considerar al rectángulo como a dos cuadrados de lado par. Y la cantidad de plantas que contienen los cuadrados de lado par siempre es un múltiplo de cuatro. De acuerdo con el criterio de divisibilidad, las dos últimas cifras tienen que ser múltiplo de cuatro. Para llegar a una cantidad comprendida entre setenta y ochenta, cada cuadro debe tener una cantidad comprendida entre treinta y cuarenta y que sea múltiplo de 4. Solo hay una posibilidad: 36. Y la suma de los dos cuadrados será un número terminado en 72. Por ejemplo: el rectángulo es 106 x 212 = 22.472. O sea, 1062 x 2 = 11.236 + 11.236.

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SOLUCIONES 115 La producción de los perales Cada peral produce 9 cajones. Explicación: 900 frutales producen 8.100 cajones para la planta de empaque. El promedio por planta es de 9 cajones. Cada manzano produce 12 cajones. Pero, un cuarto, o sea, 3 cajones por planta se derivan a la industria. Entonces, para el empaque el promedio por planta entre ambas variedades es 9 cajones. Y si cada manzano produce 9 cajones (para el empaque) cada peral también produce 9 cajones. 116 Manzanas otra vez Los cajones son 39 y contienen 78 manzanas cada uno. Explicación: Para la suma de 1 + 2 + 3 + 4 ............... + N la fórmula es N (N + 1)/ 2. Supongamos que N sea par. Entonces N (N + 1) /2 equivale a N x N/ 2 + N /2. N x N es una cantidad entera de N. Sobra entonces la mitad de N. Si la mitad es 39 N es igual a 39 x 2 = 78. Podemos conjeturar este resultado probando con N = 2. N = 4. N = 6. N = 8. N = 10. Y así también comprobaremos que la cantidad de cajones es igual a la cantidad de manzanas sobrantes. Con un razonamiento similar se puede comprobar que cuando N (la última cantidad depositada) es impar, todas las manzanas son contenidas exactamente por cajones cuya 147

EL VALLE DEL INGENIO capacidad es exactamente de una cantidad de manzanas igual a N. 117 Repar tiendo manzanas Había 35 manzanas. Explicación: La cantidad de manzanas puede ser un múltiplo de seis menos una: 5, 11, 17, 23. 29, 35, 41, 47, 53 y 59. Todos son primos, no se pueden repartir en partes iguales. El único no primo es el 35. Primero había seis personas. Se retiró una. Quedaron cinco. Cada una se llevó 7 manzanas. 118 Velocidades diferentes A B le faltan 10 plantas. Explicación: Si cuando A avanza siete plantas B avanza solo cinco y si A sobrepasa a B justo en una planta, esa planta tiene que ser la 36. (El mínimo común múltiplo de 5 y 7 es 35, pero, agregamos la primera planta). La próxima vez que un tractor está frente a una planta y el otro está frente a otra planta será cuando A esté en la planta 71 y B en la planta 61. Cuando A arrancó, B estaba en la planta 11. Y cuando A llegó a la última planta B estaba en la planta 61. La fila tiene 71 plantas. La clave está en advertir que los datos del enunciado se refrieren a espacios unitarios completos, o sea, no hay fracciones.

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SOLUCIONES 119 Las manzanas de una chacra En la chacra había 2.197 manzanas (133). Explicación: Los dos errores de Juan determinan que la cantidad de menos sea igual a cuatro veces la cantidad de plantas de cada fila. Por lo tanto, solo hay que dividir 52 por 4 = 13. La cantidad total de manzanas es 133 = 2.197. Podemos comprobarlo considerando cualquier trío de números que respondan al enunciado. En nuestro caso: 13 x 13 x 13 = 2.197. Y 11 x 13 x 15 = 2.145. 2.197 – 2.145 = 52, o sea, 13 x 4. También se podría busca la solución probando con unos y otros números. Pero, es un procedimiento más trabajoso y menos elegante. 120 Prog resión g eométrica Razón: 3. Cantidad menor: 7. Cantidad mayor: cualquiera. Explicación: Solo se puede hacer la distribución indicada si se entrega a cada uno una cantidad igual a la razón menos uno. Si la razón es dos, se entrega una cantidad igual a la que ya se tiene. Si la razón es 3, se entrega una cantidad doble de la que ya se tiene. Etc. Se entrega una cantidad doble de la que ya se tiene, por lo tanto, la razón es tres. Sorprendentemente, cualquiera sea la serie, nos sobrarán tantas manzanas como el primer número. Sobraron siete, 149

EL VALLE DEL INGENIO el primer número es siete. Y también sorprendentemente, la cantidad mayor puede ser cualquiera, o sea, la serie se puede extender indefinidamente sin alterar las condiciones exigidas. 121 Suma de plantas La fila tiene 56 plantas y el productor sumó dos veces la planta 50. Explicación: Si el productor hubiese sumado ida y vuelta, como indica el enunciado, sin contar dos veces un mismo número, el resultado hubiese sido un cuadrado. El último cuadrado anterior a 3.186 es 3.136 (562). Entonces está aclaro que repitió la planta 50. No puede ser 552 = 3.025, porque tendríamos una planta con el número 161 y así la sumatoria sería mucho mayor de 3.186. Por último, 56 x 56 = 3.136 + 50 = 3.186. 122 Aritmética fr utícola Una caja tiene una manzana y la otra del otro lote, 18. En total 19. Explicación: Para eliminar la diferencia entre la caja 1 de A y la caja 1 de B hay 17 cajas (número primo). Aquella diferencia solo puede ser 17 o múltiplos de 17. Pero, no pueden ser 2 y 19 porque nos pasamos de 20. Ni 1 y 35. Solo pueden tener 1 y 18. Luego, la cantidad que agregamos a A (la menor) debe tener una 150

SOLUCIONES unidad más que la que agregamos a B. Por ejemplo: a A le agregamos 2 manzanas por cajón: 3, 5, 7, etc. Y a B, 1: 19, 20, 21, etc. En ambas casos la caja 18 tiene 35 manzanas. 123 Una caja chica, una mediana y una g rande Caja chica = 14. Caja mediana = 22. Caja grande: 28. Explicación: Las manzanas de la caja chica es igual a la cantidad que falta cuando pasamos las manzanas de la caja mediana a la grande, más las que sobran cuando pasamos las manzanas de las dos cajas. O sea, 6 + 8 = 14. De eso deducimos el resto. 124 Filas g ranny Cada fila tiene 65 plantas. Explicación: Se sabe que la suma de los números impares siempre es un cuadrado. Y que es el cuadrado de la cantidad de sumandos. Ejemplo: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52. Entonces, pueden ser 64 filas. Si restamos una unidad al número de cada fila, tendremos un cuadrado: 64. Y el resto también es un cuadrado, porque equivale a sumar impares consecutivos. Y así el total de granny es 64 más 642. Y si dividimos ese resultado, que es el total de plantas granny, por 64, que es la cantidad de filas. El resultado es 65 que es la cantidad de plantas de 151

EL VALLE DEL INGENIO cada fila. Recordemos que son 64 números pares, o sea, entre 2 y 128. Hemos llegado a la solución sin hacer cálculos. Pero, hagamos la comprobación: Suma de los pares hasta 128: 32 x 130 = 4.160. Dividimos 4.160 por 64 = 65. Además, 4.160 – 64 = 642. 125 Falta una planta Cada atado tenía 12 plantas. Primero habría comprado 10 atados (120 plantas = 112 - 1). Luego, 14 atados (168 plantas = 132 - 1). Por último: 120 + 168 = 288 plantas en 24 atados (288 = 172 - 1). Explicación: Si multiplicamos un número A por A + 2, el resultado será un cuadrado menos una unidad. Así resultó en la primera y en la segunda compra. Por último, debemos sumar cada cuadrado con el cuadrado subsiguiente (4 + 16. 9 + 25. etc.) hasta obtener el resultado buscado. Este es un método para llegar a una solución. Pero, no nos garantiza que esa solución sea única. 126 Dos recipientes de manzanas En A quedaron 5.550 manzanas. Explicación: Si se hacen las operaciones indicadas, en el recipiente B queda una cantidad igual a un cuadrado cuya raíz es el número de depósitos efectuados en cada recipiente. La raíz de 2.500 es 50. La sumatoria de 1 a 50 es 152

SOLUCIONES 50 (50 +1)/2. Duplicamos esa cantidad. Entonces, en A quedaron 50 x 51 = 2.550 manzanas. Para entender este algoritmo consideremos la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 por una parte. Y la suma 6 + 7 + 8 + 9 + 10 por otra parte. Presentemos la resta del modo siguiente: (6 – 1) + (7 – 2) + (8 -3) + (9 – 4) + (10 – 5). Queda claro que el resultado final es 52. 127 Cajas g randes y chicas Las cajas grandes son 4. Cada una vale $ 3. Las cajas chicas son 3. Cada una vale $ 2. Primero 4 x 3 = 12. 3 x 2 = 6. Total 18. Después: las cajas grandes son 3. Y las chicas son 4. Entonces, 3 x 3 = 9. 4 x 2 = 8. Total 17. Explicación: entre el primer caso y el segundo hay $ 1 de diferencia. Y eso solo es posible si la diferencia entre cajas grandes y chicas es una. Y si la diferencia de $ es 1. Esto facilita enormemente la búsqueda. 128 Parcelas de verduras Sí, puede haber tres parcelas así. Y no solo pueden estar, ya están. Explicación: Son las tres parcelas consideradas por Juan: es decir: según Juan: B – A = C – B. Y esta ecuación es igual a la de Pedro: 2X – Y = Z. O sea, las tres parcelas elegidas por Juan son 153

EL VALLE DEL INGENIO las mismas que busca Pedro. Por ejemplo: 4, 100 y 196. (100 – 4 = 196 - 100) y (100 + 100 – 4 = 196). (B - A = C – B) = (B + B – A = C) 129 Cajones aritméticos Es posible el resultado de la operación de la opción B) o sea, 55. Explicación: El resultado de esa operación solo puede ser un número triangular. Y de las cinco opciones solo el 55 lo es. Para comprender mejor este resultado basta hacer varias operaciones de este tipo. Se verá que siempre se termina en un número triangular. Por ejemplo: 3 + 6 + 9 + ......... + 30 = 165. 165/3 = 55. Otra manera de entender el problema: En el ejemplo del enunciado la operación equivale a: 5/5 + 10/5 + 15/5 ................. = 1 + 2 + 3+ ......... Por último: Los datos no nos permiten determinar cual es la cantidad total de manzanas. Pero, eso no se pedía en el enunciado. 130 Primos fr utícolas Las seis cantidades son: 7, 37, 67, 97. 127 y 157. Explicación: Se trata de encontrar una progresión aritmética de seis números primos. Esto solo puede hacerse por simple 154

SOLUCIONES búsqueda. Pero, puede simplificarse la tarea: Los números primos son de la forma K – 1 o K + 1, siendo K seis o múltiplo de seis. Por lo tanto, la razón de la progresión (diferencia entre un término y el siguiente), solo puede ser seis o múltiplo de seis. Comenzamos por el cinco o el siete y le sumamos: 6 + 6 + 6 .............. Luego le sumamos 12 + 12 + 12 ............. . Y así descubrimos que sumando al 7 30 + 30 + 30 + ............ encontramos los seis primos que buscamos. Y que si seguimos con el 36 y el 42, pronto descubrimos que más allá no existe esa progresión. 131 Dos parcelas Pedro compró 120 plantas. Explicación: Para que un número triangular, siendo N impar, se pueda descomponer en dos cuadrados iguales, faltarían una cantidad de plantas igual a la raíz de tales cuadrados. Entonces, el cuadrado próximo a 56 es 64. (82). Y 64 x 2 = 128. Nos faltarían 8 plantas. Pedro compró 120 (la suma de 1 hasta 15). 132 Una chacra diferente La chacra tiene cinco cuadros. Y cada cuadro tiene 9. 25. 49, 81, y 36 plantas respectivamente. Explicación: A primera vista, 155

EL VALLE DEL INGENIO como ya hay una cantidad impar (9) tendría que haber otra cantidad impar. Pero, así nunca llegaríamos exactamente a 200, porque 200 es un múltiplo de 4. Y cuando dividimos un número cuadrado impar por cuatro siempre queda un resto de 1. Entonces, para que la suma de cuadrados impares sea múltiplo de cuatro hacen falta cuatro cuadrados (u ocho o doce, etc.) Ya tenemos un cuadrado impar (9). Por eso agregamos 25, 49 y 81. (Con 121 nos pasaríamos de 200. Por último, para llega a 200 agregamos un cuadrado par: 36 (todo cuadrado par es múltiplo de 4). Y la solución es única. 133 Cinco cajones A puede tener 58 manzanas. B, 116. C, 174, D, 232. Y E, 261. Explicación: la cantidad mínima para mantener las relaciones indicadas es 29, o sea, a cada cajón le asignamos las cantidades siguientes: A, 2. B, 4. C, 6, D, 8. Y E, 9. Dividimos 841 por 29. El resultado es 29. Quiere decir que hemos multiplicado las cantidades anteriores por 29. Demostración: A + C (58 + 174) = 232. Sobran 29. B + D (116 + 232) = 348. Faltan 87. Y 29 x 3 = 87. Si asignamos a las cajas otros números no llegaremos al total de 841 porque este número es el cuadrado de 29 que es primo. 156

SOLUCIONES 134 Muchas peras y manzanas En la chacra hay 45 plantas. Explicación: Si la producción de manzanas hubiera aumentado primero el triple y luego el doble, cada planta de manzanas produciría en la tercera temporada igual que una planta de peras. En la tercera temporada faltaron 15 manzanas. Las agregamos: 795 + 15 = 810. Dividimos por 18: 810 / 18 = 45. 135 Manzanas triangulares En el lote A hay 315 manzanas (15 x 21). En el lote B hay 225 manzanas. (15 x 15). Explicación: La diferencia entre A y B es igual al producto de B por la diferencia al número triangular siguiente. Probando con los números triangulares consecutivos llegamos a la solución: los dos números triangulares son: 15 y 21. Y la diferencia entre ambos lotes es: 15 x 6 = 90. 136 Diferencia entre manzanos Las plantas en total son 30. Explicación: Tomemos de a dos las plantas de cada fila: 1º y 2º, de una fila, 1º y 2º, de la otra fila. 3º y 4º, 3º y 4º. Etc. Veremos que los números de ambas variedades suman igual. La diferencia la producen las plantas 157

EL VALLE DEL INGENIO últimas de cada fila. En este caso la diferencia es 31, o sea, la suma de dos números consecutivos. Y esos números solo pueden ser 15 y 16. La fila tiene 15 plantas y las dos 30. 137 Plantas en cuadrado La cantidad de plantas contenidas en un cuadrado de lado par es múltiplo de cuatro. Puede verse del modo siguiente: Comenzamos por un cuadrado de 2 x 2. Si pasamos a un cuadrado de un número de par mayor, estaremos agregando lotecitos de 4 unidades. Por otra parte, ninguna cantidad impar de atados de 14 plantas puede ser múltiplo de cuatro. Pongamos 4 = K. entonces, 14 = 3K + K/2. Y con una cantidad impar de K/2 no se puede llegar a un múltiplo de 4, siempre sobra K/2. Por lo tanto siempre sobraran 2 plantas (o faltaran 12). 138 Clasificando manzanas Quedaron 95 manzanas. Explicación: Necesitamos un número tal que su 4 % sea un número entero y que restando ese 4 % permita la misma operación con el 5 % y también la tercera operación. Lo encontramos por simple búsqueda. Es el número 158

SOLUCIONES 125. O sea, primero había 125 manzanas. 4 % = 5. 125 – 5 = 120. 5 % de 120 = 6. 120 – 6 = 114. 114 / 6 = 19. 114 – 19 = 95. 139 Reunión de productores Hubo 253 apretones de manos. Opción: D. Explicación: Llamemos a los productores A, B, C, etc. Y podemos considerar el problema del modo siguiente: Entre lo dos últimos productores hubo un apretón. El siguiente anterior tuvo dos apretones. El siguiente anterior, tres apretones. Etc. El cálculo sería: 1 + 2 + 3 + 4 ………………. + N – 1. El resultado de estas sumas se llama números triangulares. Y en las opciones propuestas, solo hay uno: el 253. Cualquiera sea la cantidad de productores, nunca los apretones de manos podrían ser alguna de las opciones restantes. Por último: los productores eran 23. N (N + 1) / 2 = 22 x 23 / 2 = 253. 140 Reconversión Pedro plantó 5.050 manzanos. Explicación: Consideremos el teorema siguiente: Un número triangular, siendo N par, se puede descomponer en dos cuadrados iguales más la raíz de esos cuadrados. Entonces: 50 es la raíz de esos cuadrados y el total de 159

EL VALLE DEL INGENIO manzanos es: 2.500 + 2.500 + 50 = 5.050. Para entender este teorema consideremos lo siguiente: la suma de los números impares siempre es un cuadrado (demostración geométrica). Si consideramos los números pares correspondientes tendremos otro cuadrado igual más la cantidad de esos pares. Y se puede ver que hay un exceso igual a la cantidad de pares, o sea, a la mitad de N. Y así habría otra manera de llegar a la solución. 141 El novato Trasladó 15 manzanas de la caja A, a la caja B. Sin importar que sean deliciosas o chañares. O sea, basta hacer que una caja tenga 75 manzanas cualesquiera y la otra caja 40 (podía haber pasado 20 de A, a B). Explicación: Imaginemos que en la caja A están las 70 deliciosas y 5 chañares. Y en la otra están la 40 chañares restantes. Entonces, en A hay 30 deliciosas más que chañares en B, como quería el frutero. Cualquier intercambio de manzanas no modifica esa diferencia. Si restamos deliciosas a la caja A también restaremos la misma cantidad de chañares en B. 142 Promedio de manzanas Las manzanas son 312. Explicación: La caja grande tiene 160

SOLUCIONES 180 manzanas. 180 excede en 11 al múltiplo anterior de 13, cantidad de cajas. (El múltiplo anterior de 13 es 169). Para que el promedio por caja sea un número entero, cada una de las doce cajas debe tener 11 manzanas. Entonces, 11 x 12 = 132. 132 + 180 = 312. 312 / 13 = 24. 143 La caja X Pedro sacó de esa caja 30 manzanas granny y 10 deliciosas. Explicación: El 25 por ciento es una cuarta parte. Esta parte son las deliciosas. Los tres cuartos restantes son granny. Es decir, el total es múltiplo de cuatro. Y si sacamos cierta cantidad de manzanas esa cantidad tiene que ser múltiplo de cuatro para que el resto también lo sea. Y el total se compone de un cuarto de deliciosa y tres cuartos de granny. La cantidad de granny es múltiplo de tres. Y de las cantidades indicas solo el 30 lo es. Por último, hay que saca 10 deliciosas para que continúen siendo el 25 por ciento del total. 144 Cajitas de fr utas Las frutas son: Manzanas = 68. Peras: 182. Explicación: Unificamos las manzanas. Como las cajas deliciosas son el doble 161

EL VALLE DEL INGENIO que las granny, hacemos lotes de 17 manzanas (6 + 6 + 5). Y hacemos lotecitos de 7 peras. (4 + 3). Entonces, de 250 vamos restando 17: (250 – 17 = 233). (233 – 17 = 216). (216 – 17 = 199). (199 – 17 = 182). Y aquí tenemos un múltiplo de 7. Son 182 peras. Y, 250 – 182 = 68 manzanas. Si seguimos restando 17, llegaríamos a 63, otro múltiplo de 7, pero, aquí las cajas de manzanas serían más que las cajas de peras. 145 Nueve cajas de manzanas Las cajas contienen: 1, 2, 4, 7, 10, 13, 16, 19 y 28 manzanas respectivamente. 146 Dos trabajadores y un tractor La fila tiene 21 plantas. Explicación: El tractor alcanza al primer trabajador en la planta nueve. Y el otro trabajador se encuentra en la planta tres. De ahí, cuando este trabajador avanza dos plantas el tractor avanza ocho. 0 sea, el tractor se desplaza a una velocidad igual a cuatro veces la del trabajador. Y como este trabajador avanzó cinco plantas desde el comienzo, el tractor avanzó 20.

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SOLUCIONES 147 Jueg o con plantas Pedro había elegido 16 plantas. Explicación: Veamos un ejemplo con 5 plantas y llamemos X al número de la primera: X + (X +1) + (X + 2) + (X + 3) + (X + 4) = Z. Z – 10 / 5 = X. Pongamos X = 7: 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 45. 45 – 10 = 35. 35 / 5 = 7. O sea, la cantidad que restamos de Z (en este caso, 10) determina la cantidad de plantas. 10 es la suma de 1 a 4 y las plantas son una unidad más, o sea, 5. En nuestro problema restamos 120, suma de 1 a 15. Las plantas son 16. Hagamos la prueba con cualquier número y veremos que el método funciona. 148 Una planta menos El cuadro A tiene 5 filas. Cada una tiene siete plantas. El cuadro B tiene 5 filas cada fila tiene 6 plantas. Explicación: Podemos formar pares con una fila del cuadro A y una fila del cuadro B. la suma de los números de las plantas de ambas filas es un cuadrado (en este caso: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 49). Solo tenemos que dividir 245 por los números cuadrados, o sea, por 4, por 9, por 16, por 25, por 36, por 49. Y aquí encontramos la solución: 245 / 49 = 5. Son 5 pares de dos filas. Los números de cada par suman 49. Por último, hay que 163

EL VALLE DEL INGENIO descomponer 49 en dos números triangulares consecutivos: N = 6 = 21. N = 7 = 28. Otra manera más simple de resolver el problema: descomponemos 145 en sus factores primos: 5 x 7 x 7. Tenemos un cuadrado: 7 x 7 = 49. Y descomponemos 49 en dos números triangulares consecutivos: 21 y 28. 149 Bandejas chicas y g randes Se traspasaron 61 bandejas chicas (61 x 5 = 305). Y 45 grandes (45 x 11 = 495). Explicación: Suponemos que todas las bandejas contienen 8 manzanas, promedio de 5 y 11. Entonces, serían 100 bandejas. Deducimos que pueden ser 50 chicas (50 x 5 = 250. Y 50 grandes (50 x 11 = 550). Para establecer la diferencia restamos 5 bandejas de 11 manzanas y aumentamos 11 bandejas de 5 manzanas. La diferencia es 16. Cualquier otra combinación con mayor cantidad de bandejas chicas que grandes produce una diferencia mayor de 30. 150 Manzanas adicionales Las manzanas adicionales son 21. Explicación: Cuando a una cantidad impar de cajas agregamos manzanas adicionales de la 164

SOLUCIONES manera explicada, esta cantidad es múltiplo de la cantidad de cajas. Entonces. Debemos buscar un divisor de 2.401. Probamos con 2, 3, 5, 7, y aquí encontramos la solución: 2.401 / 7 = 343. 343 no puede ser porque las manzanas adicionales serían más de 2.401. Las cajas son 7. Y las manzanas adicionales son: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Primero, cada caja tenía: 2.401 – 21) / 7 = 340.

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Epílog o Este libro está dividido en tres partes: acertijos fáciles, intermedios y difíciles. Pero, esta clasificación fue imperfecta. Algunos acertijos calificados como fáciles, en realidad, son intermedios o hasta difíciles. Y viceversa: algunos acertijos clasificados como difíciles, en realidad son intermedios o hasta fáciles. Y otro tanto, sucede con los llamados: “intermedios”. Por eso, un excelente ejercicio mental que podría sugerirle es el siguiente: reordene los acertijos según su propio criterio. Comience por decidir si respetará estas tres clases de acertijos según la dificultad de los mismos o los dividirá en mayor número de partes. Por ejemplo: muy fáciles, fáciles, intermedios, difíciles, muy difíciles. Para realizar esta segunda selección deberá estudiar más detenidamente cada enunciado y así seguramente comprobará que muchos de ellos en realidad son más accesibles de lo que le parecieron 166

en un primer análisis. Entenderá también está verdad: no debemos quedarnos con la primera impresión. Es necesario familiarizarnos primero con los datos del problema, sin dejarnos dominar por esa sensación de impotencia que muchas veces se produce precisamente porque todavía no tenemos una clara noción del acertijo. Si perseveramos, podemos resolver o no, pero, sí comprobaremos que en realidad los elementos del problema nos resultan accesible. También puede seleccionar los acertijos según otro criterio. Por ejemplo: el tipo de método resolutivo. De cualquier manera, con este ejercicio podemos mejorar notablemente nuestra capacidad de análisis y síntesis. Buena suerte.

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