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EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL 1.1.

OBJETIVOS

Mostrar un método directo para determinar el desarrollo de la potencia de un polinomio.

1.2.

MÉTODOS RELACIONADOS A LA POTENCIA DE POLINOMIOS

A) Binomio de NEWTON

Donde:

B) Formula de LEIBNIZ

Donde: Son números enteros positivos no nulos.

C) Polinomio de Villarreal

Donde:

1

EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL

1.3.

OBSERVACIONES

Esta fórmula fue descubierta por Federico Villarreal en 1873 cuando tenía 23 años de edad. Si “n” es un numero real o complejo el desarrollo de la potencia del polinomio siguiente se expresa como:

En este caso es llamado “serie de Villarreal” y su formula fue descubierta por él, en el cual se determina los coeficientes de la serie de infinitos términos. La fórmula descubierta por Villarreal para determinar el desarrollo de la potencia de un polinomio es sumamente ventajoso porque es un método a la vez directo y numérico ya que por la forma de obtener los términos de manera recursiva hace posible que usted pueda programar en lenguajes de programación como Visual Basic, C++, Pascal, Matlab, etc.

1.4.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL POLINOMIO DE VILLARREAL

Sean los polinomios:

Tales que:

Es decir:

2

EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL Donde:

El objetivo es deducir al formula de arriba, lo cual se realizara de la siguiente manera.

Calculo de las enésimas derivadas de P(x):

Calculo de las enésimas derivadas de Q(x)

Evaluaciones previas de las derivadas anteriores en x = 0 para P(x).

Evaluaciones previas de las derivadas anteriores en x = 0 para Q(x).

Considerando:

3

EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL

Determinación de los coeficientes: b0, b1, b2, b3,……, bmn. a) Determinando b0: Si

Hacemos x = 0:

De donde:

b) Determinando b1: Si

Derivamos la ecuación (1):

Ahora multiplicamos la ecuación (2) por P(x)

Haciendo x = 0 en la ecuación (3) obtenemos:

De donde:

4

EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL Luego reemplazando estos valores en la ecuación (4):

c) Determinando b2: Si

Derivamos la ecuación (3):

Ordenando adecuadamente tenemos:

Haciendo x = 0 en la ecuación (5) obtenemos:

De donde:

Reemplazamos estos valores en la ecuación (6):

d) Determinando b3: Si

Derivando la ecuación (5):

5

EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL

Ahora agrupando términos semejantes:

Luego haciendo x = 0 en la ecuación (7):

De donde:

Reemplazando estos resultados en la ecuación (8):

Luego:

Resumiendo los resultados tenemos:

6

EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL

Es decir:

7

EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL 1.5.

CONCLUSIÓN

Si: Es un polinomio de grado “m”, entonces el polinomio

que

resulta

de

elevar al exponente “n” a P(x) es otro polinomio Q(x) de grado “mn” de la forma:

Donde:

1.6.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

A) Determinar el desarrollo de:

Solución Aplicando el polinomio de Villarreal tenemos:

Donde:

Con: “m = 2” y “n = 2”

8

EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL Entonces:

Ahora el objetivo es determinar:

Identificando los coeficientes tenemos:

Como m = 2 y n = 2, reemplazamos estos valores en:

Hallando b0:

Hallando b1:

Hallando b2:

Hallando b3:

9

EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL

Hallando b4:

Resumiendo tenemos los coeficientes hallados:

Finalmente reemplazamos estos valores en:

Se obtiene lo siguiente:

B) Determinar el desarrollo de:

Solución Aplicando el método de Villarreal mediante un programa diseñado como Matlab obtenemos lo siguiente:

C) Determinar el desarrollo de:

Solución Aplicando el método de Villarreal mediante el programa de Matlab obtenemos:

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EL POLINOMIO DE FEDERICO VILLARREAL

D) Determinar el desarrollo de:

Solución Aplicando el método de Villarreal mediante el programa Matlab obtenemos:

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