El Movimiento Vibratorio
Dr. Ing. Alberto Salgado Rodríguez } Periódicos: son aquellos que se repiten a si mismos a intervalos regulares de ti
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Periódicos: son aquellos que se repiten a si mismos a intervalos regulares de tiempo. En términos matemáticos se dice que un movimiento u(t) es periódico si existe algún periodo Tf, tal que u(t+Tf t+Tf)=u(t), para toda t. el movimiento periódico mas simple es el movimiento armónico simple, en el cual el movimiento varia senoidalmente con el tiempo.
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No periódicos: son aquellos que no se repiten a si mismos a intervalos constantes. Dichos movimientos pueden resultar de cargas impulsivas (explosiones o por la caída de objetos), o bien por cargas transitorias de larga duración como son los sismos o el trafico
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Algunas formas de movimientos periódicos pueden parecer mas complejos que simples movimientos armónicos; no obstante, con el uso de técnicas matemáticas se pueden expresar como la suma de una serie de movimientos armónicos simples.
Inclusive, movimientos transitorios no periódicos se pueden representar como movimientos periódicos si se supone que ellos se repiten después de una zona de quietud, en la cual no ocurre movimiento. Dr. Alberto Salgado Rodríguez
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El movimiento armónico simple se puede caracterizar por un movimiento senoidal a frecuencia constante. Tres constantes lo definen totalmente: amplitud, frecuencia y fase. Se pueden representar utilizando notación trigonométrica o notación compleja
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u (t ) = Asen Asen (wt + f )
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A es la amplitud, ω es la frecuencia circular, y y φ es la fase Dr. Alberto Salgado Rodríguez
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la frecuencia circular describe la taza de oscilación en términos de radianes por segundo, donde 2π radianes corresponde a un ciclo del movimiento. El ángulo de fase describe el tiempo de desfase de los picos o cruces por cero referidos a la función seno normal. El movimiento será cero si ωt+φ=0, ó cuando t=- φ/ ω. Dr. Alberto Salgado Rodríguez
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w f = = T 2 p 1
dist .angular . de . un . ciclo 2 p T = = velocidad . angular w Dr. Alberto Salgado Rodríguez
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Ley de Euler i a
e = cos a + i sen a
e i a - e - i a sena = -i 2
i = - 1
e i wt + e -i wt e i wt - e - i wt u (t ) = a - bi 2
cos a =
2
e i a + e -i a 2
u ( t ) =
a - ib i wt a + ib -i wt e + e 2
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2
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Determinar la amplitud, el periodo y el ángulo de fase de la función de desplazamientos siguiente : d=105 sen (ωt-58), en [cm] Determinar las funciones de velocidades [v] y aceleraciones [a]. Graficar las funciones d, v y a.
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Para una función de periodo Tf,, se tiene:
Los coeficientes de Fourier:
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Para la función periódica de la figura, determinar los coeficientes de Fourier.
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Si se sustituye ω1Tf=2π,, se obtiene
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Si se repite para las demás n, se obtiene:
n=1, 5, 9, … n=3, 7, 11, … n= pares enteros Para toda n
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Por lo tanto, la función en términos de series de Fourier Fourier queda de la siguiente forma:
4 A 1 1 1 x( t ) = (cos w1t - cos 3 w1 tt + cos 5 w1t - cos 7 w1 t + ... p 3 5 7 Las series de Fourier representan la función exactamente solo para n=∞. Si la serie se trunca en algún valor finito de n, la serie solo se aproxima a la función. Para muchas funciones, sin embargo, la aproximación es bastante buena aun cuando n sea relativamente pequeña. Esta característica se utiliza a menudo en el análisis dinámico de suelos y estructuras Dr. Alberto Salgado Rodríguez
c0 = a 0 cn = a n 2 + b n 2 fn = tan -1 ( a n / b n )
Cn y φn son la amplitud y la fase, respectivamente, de la n-ésima n armónica La gráfica de Cn y ωn se le conoce como Espectro de Amplitudes de Fourier; y la gráfica de φn y ωn se le conoce como Espectro de Fases
de Fourier
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Para el ejemplo anterior, determinar los espectros de amplitudes y de fases de Fourier
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f(t)=|(sent)|
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Sí sustituimos
cos a =
e i a + e -i a 2
i a
- i a
e - e sena = -i 2
en
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Obtenemos:
Sí se definen nuevos coeficientes de Fourier:
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Por lo tanto:
Ya que
w- n = -w n
Los límites de la sumatoria se pueden cambiar para escribir las series de Fourier de una forma más compacta: Dr. Alberto Salgado Rodríguez
Los coeficientes
*
c n
Se pueden determinar directamente de x(t)
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Para la función vista anteriormente:
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1. Para las funciones de la tarea anterior, calcular, utilizando la notación exponencial, los coeficientes de Fourier. Investigar sobre la transformada discreta de Fourier. Investigar sobre la transformada rápida de Fourier.
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