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• Manuel Alexander Haro Adauto

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo

INTEGRANTES 

NOA PALOMINO, Ronny

   

HARO ADAUTO, Manuel DIAZ; Juan Luis HUAMAN , Darwin PAZOS, Wiliams

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DEDICATORIA Este trabajo va dedicado a todos nuestros seres queridos, gracias a su aliento y motivación entregamos nuestro mayor esfuerzo por alcanzar nuestros ideales.

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INDICE 1. RESUMEN __________________________________________ 5 2. INTRODUCCION _____________________________________ 6 3. PROBLEMÁTICA ____________________________________ 12 4. OBJETIVOS ________________________________________ 13 5. JUSTIFICACIÓN ____________________________________ 15 6. FUNDAMENTO TEÓRICO ______________________________ 16 7. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA ____________________________ 25 8. RESULTADOS ______________________________________ 31 9. CONCLUSIONES ____________________________________ 32 10. RECOMENDACIONES ________________________________ 34 11. BIBLIOGRAFÍA ____________________________________ 35

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1. RESUMEN La actividad radiactiva de un isótopo o velocidad de desintegración es el número de desintegraciones que experimenta dicho isótopo en la unidad de tiempo. Experimentalmente se comprueba que la actividad de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo de forma exponencial, sin depender de la temperatura ni de otros factores externos. Este trabajo evalúa el modelo de decaimiento exponencial que experimentan los isotopos radiactivos Cesio 137 y Estroncio 90, que escaparon a la atmósfera terrestre en el accidente nuclear de Chernóbil (Ucrania) ocasionado en 1986. Así también poder estimar la vida media de estos elementos y los índices de radiación en un futuro próximo.

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2. INTRODUCCION CASO DE ESTUDIO: El Decaimiento Radiactivo La radiactividad se define como la desintegración espontánea del núcleo de uno o más átomos. Este fenómeno fue descubierto en 1896 por Henry Becquerel; éste se refiere casi por completo a los elementos más pesados de la tabla periódica. Todos los elementos con número atómico mayor a 83 son radiactivos, algunos son naturales y otros son obtenidos en laboratorio por manipulación humana. Cada elemento radiactivo se desintegra con cierta rapidez o velocidad de decaimiento radiactivo, cuando más radiactivo es el elemento, mayor es su velocidad de desintegración. Las sustancias radiactivas, como el uranio, desintegran cierto porcentaje de su masa en determinada unidad de tiempo. La forma más [Escribir texto]

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo común de expresar esta rapidez de decaimiento es dando el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa (Vida Media).

Los isótopos radiactivos o radioisótopos tienen varios usos, algunos isótopos se emplean para analizar materiales rastreando elementos presentes en cantidades muy pequeñas. La técnica utilizada se llama análisis de activación. Se irradia una muestra con proyectiles nucleares (normalmente neutrones) para convertir núclidos estables en núclidos radiactivos, que luego se miden con detectores de radiación nuclear. Los isótopos también son útiles en la radiología, una rama de la medicina. Esta bombardea isótopos radiactivos, y éstos liberan rayos X, los cuales, los huesos la absorben, y, con ayuda de una placa fotográfica, los isótopos no absorbidos son captados por medio de ésta, así como trazadores radiactivos y medios de contraste.

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Otra importante función es en el fechamiento de restos fósiles y restos minerales. Esta técnica consiste en someter a la muestra a un bombardeo de isótopos radiactivos. El isótopo radiactivo que se usa para saber la antigüedad de los organismos vivos es el Carbono14. Todos los organismos vivos, durante sus vidas, absorben este isótopo, y cuando mueren, éste isótopo va decayendo, así que, determinando la cantidad de C14 restante, se puede determinar la antigüedad del fósil.

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Para medir la cantidad de carbono 14 restante en un fósil, los científicos incineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido de carbono. Se utilizan contadores de radiación (contadores Geiger) para detectar los electrones emitidos por el decaimiento de carbono 14 en nitrógeno. La cantidad de carbono 14 se compara con la de carbono 12, forma estable del carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se ha desintegrado y así datar el fósil.

La exposición humana sin protección a fuentes radiactivas genera graves alteraciones en la estructura genética y permanentes anomalías a nivel orgánico.

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El accidente de Chernóbil fue un accidente nuclear sucedido en la central

nuclear

Vladímir

de Chernóbil,

actual Ucrania)

considerado,

junto

con

Ilich

Lenin (a

el

sábado 26

el

accidente

18 km de

nuclear

de

la

ciudad

abril de 1986. de

Es

Fukushima

I en Japón de 2011, como el más grave en la Escala Internacional de Accidentes Nucleares (accidente mayor, nivel 7), constituye uno de los mayores desastres medioambientales de la historia. Aquel día, durante una prueba en la que se simulaba un corte de suministro eléctrico, un aumento súbito de potencia en el reactor 4 de esta central nuclear produjo el sobrecalentamiento del núcleo del reactor nuclear,

lo

que

del hidrógeno acumulado

terminó en

su

provocando interior.

la

Básicamente

explosión se

estaba

experimentando con el reactor para comprobar si la energía de las turbinas podía generar suficiente electricidad para las bombas de [Escribir texto]

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo refrigeración en caso de fallo (hasta que arrancaran los generadores diésel). La cantidad de dióxido de uranio, carburo de boro, óxido de europio, erbio, aleaciones de circonio y grafito expulsados, materiales radiactivos y/o tóxicos que se estimó fue unas 500 veces mayor que el liberado por la bomba atómica arrojada en Hiroshima en 1945, causó directamente la muerte de 31 personas y forzó al gobierno de la Unión Soviética a la evacuación de 116.000 personas provocando una alarma internacional

al

detectarse

radiactividad

en

al

menos

13

países

de Europa central y oriental.

Después

del

descontaminación,

accidente, contención

se

inició

un

y

mitigación

proceso que

masivo

de

desempeñaron

aproximadamente 600.000 personas denominadas liquidadores en las zonas circundantes al lugar del accidente y se aisló un área de 30 km de radio alrededor de la central nuclear conocida como Zona de alienación, que sigue aún vigente. Solo una pequeña parte de los liquidadores se vieron expuestos a altos índices de radiactividad. Los trabajos de [Escribir texto]

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo contención sobre el reactor afectado evitaron una segunda explosión de consecuencias dramáticas que podría haber dejado inhabitable a toda Europa. Dos

personas,

empleadas

de

la

planta,

murieron

como

consecuencia directa de la explosión esa misma noche y 31 en los tres meses siguientes. Mil personas recibieron grandes dosis de radiación durante

el primer día después

del accidente,

200.000

personas

recibieron alrededor de 100 mSv, 20.000 cerca de 250 mSv y algunos 500 mSv. En total, 600.000 personas recibieron dosis de radiación por los trabajos de descontaminación posteriores al accidente. 5.000.000 de personas

vivieron

en

áreas

contaminadas

y

400.000

en

áreas

gravemente contaminadas, hasta hoy no existen trabajos concluyentes sobre la incidencia real, y no teórica, de este accidente en la mortalidad poblacional. Tras prolongadas negociaciones con el gobierno ucraniano, la comunidad internacional financió los costes del cierre definitivo de la central, completado el 15 de diciembre de 2000. Inmediatamente después del accidente se construyó un "sarcófago", para aislar el interior del exterior, que se ha visto degradado en el tiempo por diversos fenómenos

naturales

por

lo

que

corre

riesgo

de

desplomarse.

Desde 2004 se lleva a cabo la construcción de un nuevo sarcófago para el reactor. El resto de reactores de la central están cerrados.

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3. PROBLEMÁTICA Durante el accidente nuclear que tuvo lugar en Chernóbil Ucrania, en 1986, dos de los elementos radiactivos que escaparon a la atmosfera fueron el Cesio 137 con velocidad de decaimiento de 2,3% anual y el estroncio 90 con velocidad de decaimiento de 2,8% anual. a) ¿Cual material se descompone más rápidamente? b) ¿Que porcentaje de Estroncio 90 quedara en la atmosfera de Chernóbil en 2036, es decir 50 años después del accidente? [Escribir texto]

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo c) Determinar la vida media del Estroncio 90 para una cantidad inicial de 1000 gramos.

4. OBJETIVOS En base a la problemática descrita anteriormente, se plantean los siguientes objetivos generales y específicos:

4.1 OBJETIVOS GENERALES

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo 

Comprender la importancia de las funciones exponenciales y logarítmicas para modelar de manera matemática una gran cantidad de fenómenos que se presentan en la naturaleza y en situaciones de la vida real.



Desarrollar habilidades para la aplicación de propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas en la resolución de problemas.

4.2

OBJETIVOS ESPECIFICOS 

Identificar al decaimiento radiactivo como un fenómeno de la naturaleza que cumple el modelo matemático del decrecimiento exponencial.



Verificar que la actividad radiactiva de elementos radiactivos decaen exponencialmente con el transcurrir del tiempo.



Verificar que la velocidad de desintegración de un elemento radiactivo es inversamente proporcional a su vida media.



Aplicar propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales en el decaimiento radiactivo del Estroncio 90 y Cesio 137.



Encontrar la vida media de isotopos radiactivo.



Verificar que el isótopo radiactivo Estroncio 90 se descompone en la atmosfera mas rápido que el isótopo radiactivo Cesio 137.



Resolver problemas de decaimiento radiactivo, que puedan interpretarse en términos de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

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5. JUSTIFICACIÓN [Escribir texto]

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo A continuación se listarán los beneficios que se obtendrán de este trabajo de investigación:



Se podrá mostrar de manera gráfica el decaimiento radiactivo del estroncio 90 y el Cesio 90 desde el momento del desastre.



Se podrá proyectar el índice de radiactividad de los próximos años en la zona de desastre.



Se podrá estimar el tiempo que debe transcurrir para que la zona de desastre esté libre de la radiactividad emitida por el estroncio 90 y el Cesio 90.

6. FUNDAMENTO TEÓRICO [Escribir texto]

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo Para alcanzar los objetivos planteados inicialmente, aplicaremos los conceptos teóricos de los siguientes temas: 

Funciones exponenciales.



Funciones logarítmicas.



Modelamiento exponencial.



Decaimiento radiactivo.

6.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES BÁSICAS Alfa: nombre dado a la radiación o partícula emitida por un núcleo inestable; está formada por dos neutrones y dos protones, o sea, un núcleo de helio-4. Se representa por el símbolo . Beta: nombre dado a la radiación o partícula que consiste en un electrón, positivo o negativo, emitido en la desintegración de un núcleo atómico. Se representa por el símbolo ß. Cesio

137:

principalmente

es

un

metal

por fisión

radiactivo nuclear.

de cesio que Tiene

un

se

produce

periodo

de

semidesintegración de 30,23 años, y decae emitiendo partículas beta a un isómero nuclear metaestable de Bario-137 (Ba-137m). El Ba-137m tiene una vida media de 2,55 minutos y es el responsable de todas las emisiones de rayos gamma. El Bario-137 es estable. Este no tiene isotopo por el hecho de que es un metal radiactivo. [Escribir texto]

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo Decaimiento radiactivo: transformación de un núcleo por emisión espontánea de radiación o partículas o por captura de uno de sus electrones. Elemento químico: sustancia formada por átomos que tienen el mismo número de protones en el núcleo. Por lo general tiene varios isótopos naturales. Electrón: partícula elemental estable que forma parte de los átomos y que posee la mínima carga de electricidad negativa detectada hasta ahora. Estroncio 90: es un metal radiactivo de cesio que se produce principalmente

por fisión

nuclear.

Tiene

un

periodo

de

semidesintegración de 28,78 años, subproducto de la lluvia nuclear que sigue a las explosiones nucleares y que representa un importante riesgo sanitario ya que sustituye con facilidad al calcio en los huesos dificultando su eliminación. Este isótopo es uno de los mejor conocidos emisores beta de alta energía y larga vida media y se emplea en generadores auxiliares nucleares para naves espaciales, estaciones meteorológicas remotas, balizas de navegación y, en generadores de energía autónoma. Fisión nuclear: reacción nuclear en la que tiene lugar la rotura de un núcleo pesado, generalmente en dos fragmentos, cuyos tamaños son del mismo orden de magnitud. Esta reacción se acompaña de emisión de neutrones y radiaciones, con liberación de una gran cantidad de energía. Por lo general, se produce como consecuencia de la captura de un neutrón. Isótopo: los distintos núcleos que tienen el mismo número atómico y, por lo tanto, pertenecen al mismo elemento químico, pero que tienen diferentes números de masa. Valor de la masa atómica cuando se toma como unidad la dozava parte de la masa atómica del núcleo del carbono-12.

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo Neutrón: nucleón cuya carga eléctrica es nula. Su masa en reposo es 1.00136 veces la del protón. Interviene en la constitución de los núcleos atómicos y es inestable fuera de ellos. Su símbolo es n. Núcleo atómico: parte del átomo que está formada por todos sus protones y neutrones. Número atómico: en cuanto a lo que se refiere a un elemento químico dado, número de protones contenidos en su núcleo. Coincide con la carga eléctrica positiva del núcleo y con el número de orden del elemento en la tabla periódica. Su símbolo es Z. Positrón: nombre del electrón con carga eléctrica + 1.

Protón: nucleón cuya carga eléctrica es, en magnitud, igual a la del electrón, pero positiva. Interviene en la constitución de todos los números atómicos y constituye por sí solo el núcleo del hidrógeno. Su símbolo es p. Radiación: energía o partículas materiales que se propagan a través del espacio. Forma de propagarse la energía o las partículas. Radiación gamma: radiación electromagnética emitida durante una desexcitación

nuclear;

es

extraordinariamente

penetrante.

Se

representa por el símbolo g. Radiactividad: propiedad

que

presentan

algunos

núcleos

de

desintegrarse espontáneamente. Radisótopo: isótopo radiactivo. Reacción en cadena: reacción de fisión nuclear en la que se producen partículas idénticas a las que la provocan y que son causa de nuevas fisiones. [Escribir texto]

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo Reacción nuclear: reacción entre partículas en las que las fuerzas que intervienen son de naturaleza nuclear. Reactor nuclear: instalación en la que puede iniciarse, mantenerse y controlarse una reacción nuclear en cadena. Transmutación: cambio de la identidad de un núcleo al ser sometido a irradiación. Velocidad de desintegración: es el ritmo de cambio del número de núcleos radiactivos en función del tiempo transcurrido, Vida media: es el intervalo de tiempo necesario para que el número de átomos de un núcleo inestable se reduzca a la mitad por desintegración espontánea.

6.2 MARCO TEÓRICO

Modelo de decaimiento exponencial Los modelos de decaimiento exponencial aplican para cualquier situación donde el decaimiento (disminución) es proporcional al tamaño actual de la cantidad de interés. Tales situaciones son encontradas en biología, negocios, química y las ciencias sociales. Los modelos de decaimiento exponencial también son usados muy comúnmente,

especialmente

para

el

decaimiento

radioactivo,

concentración de drogas en la sangre, la depreciación del valor.

Ley de desintegración radiactiva: Los tres tipos de radiactividad (alfa, beta y gamma) son los que se presentan en los núcleos radiactivos naturales. No son, sin embargo, los únicos tipos de radiactividad. En núcleos radiactivos artificiales se [Escribir texto]

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo han observado otros tipos de emisiones radiactivas como la desintegración β+ o la captura electrónica. El estudio de las características de estas emisiones se aleja de las pretensiones de estos apuntes aunque se puede decir que toda emisión radiactiva (natural o artificial) sigue una ley conocida como ley de la desintegración radiactiva.

En 1900 Rutherford sugirió que el ritmo de emisión radiactiva de una sustancia disminuye exponencialmente con el tiempo. Los procesos radiactivos son aleatorios, han de estudiarse estadísticamente, basando las deducciones en el cálculo de probabilidades: de probabilidad de que un núcleo concreto se desintegre en un instante concreto. Para ver cómo es este estudio imaginemos una muestra con N0 núcleos radiactivos en el tiempo t0. Cuando pase un tiempo t , parte de los

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El modelo exponencial en el Decaimiento Radiactivo núcleos se han desintegrado y quedan concretamente N núcleos radiactivos (N