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• Andres Pittia

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Lic. Fauroux, Adriana Raquel

EJERCICIOS RESUELTOS DE RECTA Y PLANO 1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(1, 2, 3) y P2(0, 1, 2) dando la ecuación vectorial, la paramétrica cartesiana y la simétrica. RESPUESTA Podemos considerar, sobre un sistema de ejes cartesianos en el espacio, dos puntos P1 y P2 y un punto genérico P de la recta. Teniendo en cuenta la figura adjunta, resulta:

Y considerando que todo vector arbitrario P1P es combinación lineal del vector P1P2, la igualdad anterior nos queda:

Y sustituyendo por los valores de las coordenadas:

Que es la ecuación vectorial de la recta pedida. La anterior ecuación también e puede escribir:

Que es la ecuación paramétrica cartesiana de la recta. Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación simétrica:

Y en nuestro caso concreto:

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UTN Lic. Fauroux, Adriana Raquel 2) Determinar la ecuación del plano π que contiene a la recta:

y pasa por el punto B(1, 2, 3)

RESPUESTA

G El director a = (1;2;1) de la recta es paralelo al plano π . El vector formado por un punto de la recta, por ejemplo P(0;1;1), y el punto B, también es paralelo al plano π . Luego el G JJJG normal al plano, se obtiene haciendo el producto vectorial a × PB = (3;-1;-1)=(A;B;C) Reemplazando en π :Ax+By+Cz+D=0 : π :3x-y-z+D=0 . Para conocer el valor de D, basta con reemplazar las coordenadas, por ej. de B en π ⇒ D= 0. Luego la ec. del plano buscado es π :3x-y-z=0 3) Hallar la ecuación del plano β que pasa por el punto P(4, 2, -1) y es perpendicular a los planos: π :x – 3y + z – 6 = 0 ; α :x + 4z – 8 = 0 RESPUESTA

La ecuación general del plano es de la forma: β :Ax + By + Cz + D = 0 El vector normal al plano β , debe ser perpendicular a cada uno de los normales de los JJJG planos dados, por lo tanto nβ se obtiene como el producto vectorial i j k JJJG JJJG nπ × nβ = 1 −3 1 = ( −12; −3;3) o bien se puede tomar uno paralelo cuyas coordenadas 1 0 4 JJJG resulten proporcionales, por ejemplo nβ =(4;1;-1)

Sustituyendo en la ecuación general: β :4x+y-z+D=0 Reemplazando por las coordenadas de P, se obtiene que D= -19. Luego el plano buscado es β : 4x + y – z – 19 = 0

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UTN Lic. Fauroux, Adriana Raquel 4) Determinar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a la recta:

RESPUESTA JJG JJJJJG ar × P0 P d= JJG ar

JJG El vector director de la recta es ar =(1, 1, 2). Las coordenadas de un punto de la recta es = (1, por ej. P0 JJJJ G 0, 1). El vector P0 P = (0, 2, 2). El producto vectorial será entonces JJG JJJJJG ar × P0 P JJG JJJJJG JJG JJJJJG JJG ar × P0 P = ( −2; −2;2) ⇒ ar × P0 P = 12 y ar = 6 ⇒ d = = 2 JJG ar

Luego d(P;r) = 2

5) Determinar la relación que existe entre las coordenadas de los vectores normales a dos planos perpendiculares entre sí.

RESPUESTA

Observar que los normales a dos planos perpendiculares, también resultan perpendiculares entre si, por lo tanto el producto escalar entre los normales debe ser nulo. JJG JJG n1 = (A1 ;B1 ;C1 ) y n2 = (A2 ;B2 ;C2 )

⇒ La relación buscada es: A1 .A2 +B1 .B2 +C1 .C2 =0

6) Hallar la proyección ortogonal sobre el plano π : x – 3y +4 z – 2 = 0, de la recta:

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UTN RESPUESTA

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Podemos resolver el problema obteniendo la ecuación del plano que contenga a la recta y que resulte perpendicular al plano pedido, de ese modo, la recta de corte de los dos planos será la proyección de la recta dada. Llamamos α al plano perpendicular a π y que contiene a la recta r. El normal de π resulta paralelo al plano α , y el director de r también. Por lo tanto, el resultado del producto    i j k JJJG JJG vectorial entre ambos es el normal del plano α : nα = nπ × ar = 1 −3 1 = ( −9; −2;3) 2 −3 4 ⇒ α : -9x-2y+3z+D =0

Reemplazando por las coordenadas del punto P(1; 0; -1) ∈ r resulta D= 12 ⇒ α : -9x-2y+3z+12 =0 ⎧α : −9 x − 2y + 3z + 12 = 0 r ≡⎨ ⎩ π : x − 3 y + 4z − 2 = 0

E l Gproduc eGntre los dos normales, es el director de la recta proyección r´, JJJ JJG to vectorial JJ nα × nπ = (1;39;29) = ar // r ´ Asignando por ejemplo z=0, se resulte el sistema de 2x2 obteniéndose que 40 −6 ⎛ 40 −6 ⎞ x= ;y = luego P ⎜ ; ;0 ⎟ ∈ r´ por lo tanto la ec. pedida es: 29 29 ⎝ 29 29 ⎠ ⎛ 40 −6 ⎞ r´: (x ; y ; z) = ⎜ ; ;0 ⎟ + t (1 ; 39 ; 29) con t∈ R ⎝ 29 29 ⎠

⎧y =1 7) Halle la ec. del plano paralelo al eje z y que contiene a la recta r : ⎨ ⎩z =1 RESPUESTA JJG Como r ⊂ en el plano, entonces ar = (0;1;0) x (0;0,1) =(1;0;0) . Este vector paralelo a la recta r, resulta paralelo al plano. Por otro lado como el plano el paralelo al eje de cotas, el  versor k =( 0;0;1) resulta también paralelo al plano. Por lo tanto el vector normal al plano G es n = (1;0;0) x (0;0;1) = (0;-1;0) =(A;B;C).

Luego π :A.x+B.y+C.z+D=0 reemplazando : π : -y+D=0 . Un punto cualquiera de la recta r es P(1;1;1), punto que también pertenece al plano. Reemplazando sus coordenadas en π se obtiene que D= 1. La ec. del plano buscado es π : -y +1=0

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8) Hallar el plano perteneciente al haz de planos (x+2y-z)+ λ (x-2y+1) = 0 ⎧ x =1 ⎪ y que resulta paralelo a la recta de ec. r : ⎨ y = λ ; λ ∈ R ⎪ ⎩ z = 1 − 2λ RESPUESTA

Si el plano es paralelo a la recta, el normal del plano y el director de la recta deben ser perpendiculares, luego su producto escalar debe valer cero. (x+2y-z)+ λ (x-2y+1) = 0 ⇒ (1+ λ ).x+(2-2 λ ).y –z + λ =0 JJG JJG ⇒ nπ =(1+ λ ;2-2 λ ; –1) y el director de la recta es ar =(0;1;-2) ⇒ (1+ λ ;2-2 λ ;–1) .(0;1;-2) =0 ⇒ λ =2

Reemplazando este valor en la ec,. del haz queda: π : 3x – 2y – z +2= 0

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