EJERCICIOS RESUELTOS1
Cálculo II - MAT 102 Aux.: Gunnady R. Caro C. EJERCICIOS RESUELTOS FUNCIONES VECTORIALES Y DE VARIAS VARIABLES. Fuente
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Cálculo II - MAT 102
Aux.: Gunnady R. Caro C.
EJERCICIOS RESUELTOS FUNCIONES VECTORIALES Y DE VARIAS VARIABLES. Fuente: Problemas propuestos de la Práctica Curso de Verano 3/2012 3.1 Graficar y encontrar una ecuación vectorial de las siguientes curvas: 3.1.1
{ Solución: Eligiendo el parámetro t como
, entonces:
√ √ Tomando el valor positivo, se tiene: √ La función vectorial resultante es: ( )
(
√
)
√
√
Z
Y
X
3.1.2
{ Solución:
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Eligiendo el parámetro t como
, entonces:
√
√ √
√
La función vectorial resultante es: √
( )
(
√
) Z
Y
X
3.2 Empezando en , una abeja vuela de tal manera que su vector posición era ( ) ( ) hasta , en ese momento continuo su vuelo en la dirección tangente a la rapidez que llevara. ¿En qué lugar chocara la abeja con el plano ? Solución: Sea el vector velocidad: ( )
( )
(
)
El vector unitario tangente a la velocidad será: ( )
( ) | ( )|
(
)
√ ( )
(
) √ MAT102-ICUATF.blogspot.com
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El punto en el que la abeja cambia la dirección de su vuelo está dado por: (
)
(
) (
(
)
(
)
)
√
La recta por la que sigue su trayectoria la abeja será: 〈
〉
√
〈
〉
Finalmente, el punto donde choca la abeja con el plano es:
√ √
{
√
√ { (
)
3.3 Una mosca camina a lo largo de un alambre de forma de hélice, de tal manera que su vector posición e ( ) s ¿En qué punto chocará la mosca con la esfera y que tan lejos viajo para llegar ahí (supóngase que empezó cuando t=0)? Solución: Del vector posición de la mosca: ( )
Reemplazando en la ecuación de la esfera: (
)
(
)
( )
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Tomando el valor positivo, el punto donde choca la mosca con la esfera es: (
) (
)
Para hallar la distancia recorrida por la mosca hasta chocar con la efera encontraremos la longitud de arco descrito por su movimiento desde a : ∫ | ( )| ( )
( )
( )
∫ √
(
)
∫ √
( )
√
4.2 Un depósito tiene la forma de un cilindro circular recto con radio unidades y altura , terminado en cada uno de sus extremos por una tapa cónica. Si la altura de la tapa es tres cuartos de la altura del cilindro, exprese la superficie del depósito como una función de las variables indicadas. Solución:
𝐻
𝑆
𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑆𝑢𝑝 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝑆𝑢𝑝 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
𝐻
𝐻
𝑆𝑢𝑝 𝑐𝑜𝑛𝑜
𝑺(𝒓 𝑯)
𝜋𝑟𝐻
𝜋𝑟 𝑟
𝟐𝝅𝒓𝑯
× 𝑆𝑢𝑝 𝑐𝑜𝑛𝑜
𝟐𝝅𝒓
𝐻
𝒓𝟐
𝟑 𝑯 𝟒
𝟐
𝑟
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4.3 Una lata para refresco se construye con una envolvente lateral de hojalata, y con tapa y base de aluminio. Dado que el costo de la tapa es de Bs. 20 por unidad cuadrada, de Bs. 10 por unidad cuadrada para la base, y de Bs. 30 por unidad cuadrada para la envolvente. Determinar la función de costo c(r,h) en donde r es el radio de la lata, y h su altura. Solución:
𝑟
La función de costo de la lata será: (
)
×
×
(
5.1 Hallar 5.1.1
)
×
(
)
si: (
)
(
(
))
(√
)
Solución:
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(
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)
( (
(
(
)
(√
)
( √ (
)
( √
(
(
(
))
(
))
))
) (
))
(
))
(
√
)) )
(√
(
(
( (
))
))
( (
(
(
)
(
)
(
) (
))
√
) ,*
( (
(
.
( (
(
(
))
(
(
))
)
(
( ( ( (
(
(
))
)
(
) ( (
( )
( (
( (
)) + )) ))
) ( (
))))
)) ))
) (
(
(
))
(
(
(
(
(
(
))
)) )
(
(
(
(
)
(
) (
))
(
)
(
) (
))/
)) )
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5.4 Al poner un triángulo isósceles sobre un rectangulo se forma un pentágono, como se muestra en la figura siguiente. Si el pentágono tiene perímetro P fijo, encuentre las longitudes de los lados del pentágono que hacen máxima el área del pentágono. Solución: 𝑎
𝑎 𝜃
𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑎
𝑏
(
)
(
√
)
√
√ √
√ √ √
√ √
√
√
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√
√
√
Ejercicio Adicional: 1. Encontrar la longitud de la curva definida por
( )
(∫
∫
√
) entre
√
. Solución: ( )
(
√
√
)
∫ ‖ ( )‖ ∫ √
∫ √
∫ √ ∫
(
(
∫
) ∫ (
[
[(
)(
(
)
)
(
(
)] (
)
( (
)
) )
)
(
) ]| )
(
( .√
[
)
)
/
| .√
/
]
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(
)
( .√
[ 0
(√
)
)
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(√
)
.√ (√
)
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)
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