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• Matias Rodriguez

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Ejercicios Transformaciones lineales Ejercicio 1. Actividad 8 Sea T : V → W una transformaci´on lineal. Demostrar que: a) Nu(T ) es un subespacio de V b) Im(T ) es un subespacio de W a) NuT = {v ∈ V : T (v) = 0V } ⊆ V. Queremos ver que NuT es un subespacio de V : i) 0V ∈ Nu(T ) pues T (0V ) = 0W por propiedades de t.l. ii) Sean v1 ; v2 ∈ Nu(T ) queremos ver que v1 + v2 ∈ Nu(T ) v1 ∈ Nu(T ) ⇒ T (v1 ) = 0V v2 ∈ Nu(T ) ⇒ T (v2 ) = 0V luego T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = T est.l

0W + 0W = 0W |{z} |{z}

v1 ∈Nu(T )

v2 ∈Nu(T )

Por lo tanto v1 + v2 ∈ Nu(T ) iii) Si λ ∈ R y v ∈ Nu(T ), entonces T (λv) = λT (v) = T est.l

0W |{z}

v∈Nu(T )

Luego λv ∈ Nu(T ) En consecuencia, Nu(T ) es un subespacio de V b) Im(T ) = T (V) = {w ∈ W : ∃v ∈ V/ T (v) = w)} ⊆ W Veamos que Im(T ) es un subespacio de W i) 0W ∈ Im(T ) ii) Sean w1 ; w2 ∈ W ⇒ ∃v1 ; v2 ∈ V tal que T (v1 ) = w1 y T (v2 ) = w2 , entonces T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = w1 + w2 , luego , por la definici´on de conjunto imagen, w1 + w2 ∈ Im(T ) iii) Si λ ∈ R y w ∈ W entonces ∃v ∈ V/ T (v) = w ⇒ T (λv) = λT (v) = λw, luego, por definici´on de conjunto imagen, λw ∈ Im(T ) Por lo tanto Im(T ) es un subespacio de W Ejercicio 2. Actividad 11 Hallar la expresi´on anal´ıtica de una transformaci´on lineal F : R3 → R3 tal que: 1

Nu{(x; y; z)/x + z = 0 ∧ x + 2y + z = 0} y adem´as Nu(F ) ⊆Im(F ). Indicar una base y dimensi´on del Nu(F ) y de la Im(F ). x+z =0 ⇒ z = −x Primero busquemos una base de Nu(F ): ⇒ x + 2y + z = 0 ⇒ y = 0 (x, y, z) = (−z, 0, z) = z(−1, 0, 1) ⇒ Nu(f ) = gen{(−1; 0; 1)} Luego por Base de Nu(f ) = {(−1; 0; 1)} ⇒ dim(Nu)(f ) = 1 y por el teorema de la dimensi´on dim(Im)(f ) = 2 Para definir una t.l. basta hacerlo sobre sobre los vectores de una base del espacio de salida, es decir R3 . Si B = {v1 , v2 , v3 } basta definir entonces: f (v1 ) = w1 f (v2 ) = w2 f (v3 ) = w3 de manera que f cumpla lo pedido. Como (−1; 0; 1) ∈Nu(f ) y Nu(F ) ⊆Im(F ) podemos definir: f (−1; 0; 1) = (0; 0; 0) para que (−1; 0; 1) ∈ N u(f ) f (v2 ) = (−1; 0; 1) para que Nu(f ) ∈ Im(f ) f (v3 ) = w3 Para terminar de completar la base B, v2 y v3 deben ser vectores l.i. con (−1; 0; 1), por ejemplo B = {(−1; 0; 1), (0; 1; 0), (0; 0; 1)} (verificar que son base) Para w3 debemos tener en cuenta que un sistema de generadores de la imagen de f es Im(f ) = gen{w1 , w2 , w3 } = gen{(0; 0; 0), (−1; 0; 1), w3 } = gen{(−1; 0; 1), w3 } y como dim(Im)(f ) = 2 podemos tomar w3 = (0; 0; 1). Queda definida entonces la transformaci´on lineal por: f (−1; 0; 1) = (0; 0; 0) f (0; 1; 0) = (−1; 0; 1) f (0; 0; 1) = (0; 0; 1) Falta hallar la expresi´on anal´ıtica de f : (x, y, z) = α(−1; 0; 1) + β(0; 1; 0) + γ(0; 0; 1) ⇒ β = y , α = −x , γ = x + z ⇒ f (x, y, z) = −xf (−1; 0; 1)+yf (0; 1; 0)−(x+z)f (0; 0; 1) = y(−1; 0; 1)+(x+z)(0; 0; 1) ⇒ f (x, y, z) = (−y, 0, x + y + z) 2

Ejercicio 3. Actividad 19 Sea T : U → V la transformaci´on lineal definida respecto a las bases B = {u1 , u2 , u3 } y B 0 = {v1 , v2 , v3 } de U y V respectivamente, de la siguiente manera T (u1 ) = v1 + v2 + v3

T (u2 ) = 3v1 − 2v2

T (u3 ) = v1 + 2v2 − v3

Hallar la matriz de T respecto a las bases B y B 0 y usarla para calcular la imagen del vector u = 3u1 − 2u2 − 5u3   [T (u1 )]B 0 [T (u2 )]B 0 [T (u3 )]B 0 .. .. ..   . . . [M (T )]BB 0 =   .. .. .. . . . T (u1 ) = 1v1 + 1v2 + 1v3 ⇒ T (u1 )]B 0 = (1; 1; 1) T (u2 ) = 3v1 − 2v2 ⇒ T (u1 )]B 0 = (3; −2; 0) T (u3 ) = 1v1 + 2v2 − 1v3 ⇒ T (u1 )]B 0 = (1; 2; −1)   1 3 1 ⇒ [M (T )]BB 0 =  1 −2 2  1 0 −1 Falta hallar la imagen del vector u = 3u1 − 2u2 − 5u3 , es decir, T (3u1 − 2u2 − 5u3 ), usando la matriz:      1 3 1 3 −8 [T (u)]B 0 = [M (T )]BB 0 [u]B ⇒ [T (u)]B 0 =  1 −2 2   −2  =  −3  1 0 −1 −5 8 Luego T (u) = −8v1 − 3v2 + 8v3 Ejercicio 4. Actividad 26 Analizar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si es verdadera demostrarla, y si es falsa ofrecer un contraejemplo. a)Si A = M (f )B y B = M (f )B 0 entonces det(A)=det(B) VERDADERA. M (f )B = PB 0 →B M (f )B 0 PB→B 0 = PB 0 →B M (f )B 0 (PB 0 →B )−1 Luego det(M (f )B ) = det(PB 0 →B M (f )B 0 (PB 0 →B )−1 ) = det(PB 0 →B )det(M (f )B 0 )det(PB 0 →B )−1 = = det(PB 0 →B )det(M (f )B 0 )

1 = det(M (f )B 0 ) det(PB 0 →B )

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b) Si T : V → W es una transformaci´on lineal y {v1 , v2 · · · , vn } es un conjunto linealmente independiente de V, entonces {T (v1 ), T (v2 ), · · · , T (vn )} es un conjunto linealmente independiente en W FALSO. Contraejemplo: Sea T : R2 → R3 definida sobre una base de R2 por: f (1; 0) = (0; 0; 0) f (0; 1) = (0; 0; 1) En este caso tenemos {v1 , v2 } = {(1; 0), (0; 1)} es base de R2 (y por lo tanto l.i.) pero {T (v1 ), T (v2 )} = {(0; 0; 0), (0; 0; 1)} no es un conjunto linealmente independiente (por contener al vector nulo). La expresi´on anal´ıtica de esta transformaci´on lineal es: T (x, y) = (0; 0; y) Observaci´ on 1. Esta proposici´on es cierta en el caso de que T fuera un monomorfismo. O sea, un monomorfismo manda conjuntos l.i en conjuntos l.i. Ejercicio 5. Actividad 16 Dado el tri´angulo de v´ertices A = (−1; 0), B = (0; 1) y C = (1; 0) aplicarle la transformaci´on T = T3 ◦ T2 ◦ T1 siendo: T1 : una simetr´ıa respecto del eje x T2 : simetr´ıa respecto a la recta y = x T3 : rotaci´on alrededordel origen de φ = 45◦  1 0 x T1 (x, y) = (x, −y) =  0 −1   y 0 1 x T2 (x, y) = (y, x) = 1 0 y √       √ x 2/2 − 2/2 cosφ −senφ x √ = T3 (x, y) = = √ y senφ cosφ y 2/2 2/2 √  √     2/2 −√ 2/2 0 1 1 0 x √ T (x, y) = T3 ◦T2 ◦T1 (x, y) = == 1 0 0 −1 y 2/2 2/2 √ √  √     √   0 −1 x −√ 2/2 −√2/2 x √2/2 −√ 2/2 = 1 0 y y 2/2 2/2 2/2 − 2/2 Por lo tanto

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√ √   √ √ −1 −√ 2/2 −√2/2 = ( 2/2; − 2/2) T (−1; 0) = 0 2/2 − 2/2 √    √ √ √ 0 −√ 2/2 −√2/2 = (− 2/2; − 2/2) T (0; 1) = 1 2/2 − 2/2 √  √   √ √ −√ 2/2 −√2/2 1 T (1; 0) = = (− 2/2; 2/2) 0 2/2 − 2/2 

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