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DINÁMICA EJERCICIOS DESARROLLADOS. LIBRO MECÁNICA VECT ORIAL DE DINÁMICA POR SHAMES IRVING 4ta Edición.

da

2

PRÁCTICA

CALIFICADA GRUPO Nº 6 22/07/2013

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA ____ FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL

“ E sc uela d e F o r mación P r o fesional d e I ng e ni ería C i v il ” PRÁCTICA CALIFICADA Nº 02 “DESARROLLO DE EJERCICIOS DE CINÉTICA” LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE DINÁMICA POR SHAMES IRVING 4ta Edición CURSO

: DINÁMICA

SIGLA

: IC- 244

CICLO ACADÉMICO

: 2012-II

GRUPO

: N° 06 (SHAMES 4 Edición)

DOCENTE

: Ing. CASTRO PEREZ, Cristian.

INTEGRANTES

:- AGUILAR HUICHO, Edgar. - GARCIA RAMOS, Wilson Luis. - ORÉ MENDOZA, John. - I - SULCA SANTIAGO, Emerson.

FECHA

: Ayacucho, Julio del 2013

ta

Ayacucho – Perú 201 3

1

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

2

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244) INDICE

Cinética de Leyes de Newton de una Partícula.

…..…………………4

Cinética de Trabajo y Energía de una Partícula.

..………..................8

Cinética de Cantidad de Movimiento de una Partícula.

..…………….........16

Cinética de Leyes de Newton de un Cuerpo Rígido.

…..………..….......20

Cinética de Trabajo y Energía de un Cuerpo Rígido.

..……..……..........24

Cinética de Cantidad de Movimiento de un Cuerpo Rígido.

.....……………......28

3

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244) Ciné tica de Le ye s de Ne wton de una Partícula

12.120. Un esquiador esta bajando por una colina a una velocidad de 14m/s mientras está en la posición que se muestra. Si el esquiador pesa 800N ¿Qué fuerza total ejercen sus esquis sobre la superfcie de la nieve? Suponer que el coeficiente de rozamiento es de 0.1. La colina se puede considerar como una superficie parabólica.

Solución

Datos:

V W

14 m

s 8 00 N

m 81.55kg

y

Ecuación:

6

K 15 2

y

K

Kx

2

2 75

2 2 x 75

Hallando: Radio de Curvatura:

4

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

2 32

[1 ( y ) ] y 1

Para x = 15

4 x 75 4 75

39.38m Para las fuerzas normales a la superficie:

ac ac

14 2 39.38 FN

4.977 m

s

2

ma c

FN

(81.55)(4.977 )

FN

405.87 N

Además para saber el ángulo:

tg

dy

4

dx

75

x

Para x = 15

Arctg

4 15 75

FN

38.66º

w cos

1030 . 56

405 .87

N

Además Fr:

FN

ma r

V : cte

v

2

2

3

2

5

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

8

Fr

Wsen

ar

4.86 2

F

0.1(1030 . 56) Fr

u

Fr 2

1035 .6 N

800 (sen(38.66º ))

1.55ar

103 .056

12.139. Una masa de 3kg se está moviendo a lo largo de una varilla vertical 2 parabólica cuya ecuación es y = 3.4x un muelle lineal con K = 550N/m está conectado a la masa y no presneta deformación cuando la masa está en su posicin mas baja teniendo en ese momento una longitud t0 = 1. Cuando la directriz del muelle está a 30º de la vertical, como se muestra en el diagrama, la masa se esta moviendo a 2.8m/s. En ese instante. ¿Cuál es la componente de la fuerza sobre la varilla en la dirección perpendicular a la misma?

Solución Datos:

K

550 N

M

3kg 2.8 m

V

m

s

En la ecuación:

1

L f cos 30º 3.4( L f sen30º ) 2

6

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

0.689 m 0.3111m x 1 0.689

L

Hallando radio de Curvatura: 2 32

[1 ( y ) ] y

2 32

[1 (2 3.4x) ] 2 3.4

Para x = 0.3445

2.43m Fuerza Normal:

FN ma c 2

FN FN

2.8 3 2.43 9 .679 N

Además para saber el ángulo θ:

tg

dy dx

6.8x

Para x = 0.3445

Arctg(6.8 0.3445 ) 6 6.88º FN

mg cos

FR c os(66.88º 30º )

9.679 N

Donde:

FR

x K

0.3111 550 171.105

Reemplazando:

3 9.81 cos(66.88º ) 115.63 N

171 .105 cos(36.88º )

9.679

7

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244) Ciné tica de T rabajo y Ene rgía de una Partícula

13.48. Un cojinete A de 15kg de masa desliza sin rozamiento por un tubo. El cojinete está conectado a un muelle lineal cuya constante K vale 1N/mm. Si el cojinete, inicialmente en reposo, se suelta en la posición que se muestra. ¿Cuál será su velocidad cuando el muelle este en la posición EF? En la posición inicial del cojinete el muelle esta alargado 75mm. Solución

Datos:

K

1N

mm m 15kg

K

Lf

1N 1000 mm . mm 1m

1000 N

m

300 2 150 2 335 .41mm i 75mm

L 3 35.41 7 260.41m (longitud sin elongación) 5 m LE 300 mm 3 300 260 . 9.6mm E 41 Planteando Ecuación de Energía:

8

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

E EOC EOG EOE

EE E1C E1G E1E

1 K ( i) 2 2

1 2 0 mV 2 1 1 15 9 .81(0.15) 15 V 2 1000 (0.075 ) 2 2 2 V 1.79 m s 0

mg (0.15)

1 ( K )( E ) 2 2 1 (1000 )(0.0396 ) 2 2

13.50. Un cojinete A con una de 5kg puede deslizar por un tubo sin rozamiento. Si se suelta, partiendo del reposo, en la posición que se muestra, en la que el muelle no presenta deformación, ¿Qué velocidad tendrá el cojinete después de haber recorrido 50mm? La constante del muelle es de 2N/m.

Solución Datos:

2N m mm 5 kg K

2000 N

m

9

DINÁMICA (IC – 244) Por Ley de Cosenos:

2da Práctica Calificada

x

299.13 200

29.13mm

Planteando Ecuación de Energía:

EC

EE

0 mgh

5 9.81(0.025 ) V

0.39 m

EA

EA

EG

EC

1 mV 2

2

1 2 (5) V 2

EE

EG

1 ( K )( x) 2 2

0

1 2 (2000 )(0.02913 ) 2

s

13.70. Se dispara un proyectil de peso W 1N contra un bloque de madera que pesa W 2N. El proyectil se aloja en la madera y ambos cuerpos se mueven hasta la posición indicada en el diagrama mediante línea discontinua antes de volver a caer. Calcular la cantidad de trabajo interno realizado durante esta acción. Discutir los efectos de este trabajo. El proyectil tiene una velocidad V0 antes de impactar contra el bloque. Desestimar la masa de la barra de soporte y el rozamiento de A.

10

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244) Solución

W 1: Proyectil. W 2: Bloque.

3 3cos 64.45º 1.708

P.C.C.M:

W1.V

V (W1 W2 )

0

V0W1 W1 W2

Vi Planteando por Conservación de Energía:

EC1 1 (W1 . 2

W2 ) g

Vi Vi

EP1 .V Wi

EC 2 2

EP 2 W2 )(1.708)

(

1

2g (1.708)

5.8 W

5.8(W1

W2 )

1 2 W1 V0 2

13.78. Un péndulo tiene un peso con un disco uniforme comparativamente grande de 0.6m de diámetro y una masa M de 1.5kg. En el instante que se muestra, el sistema tiene una velocidad angular ω de 0.3rad/s. Si despreciamos la masa de la barra. ¿Cuál es la energía cinética del péndulo en ese instante? ¿Cuál es el error en el que incurrimos si consideramos el peso como una partícula, tal como hemos hecho anteriormente con otros péndulos? Utilizar el resultado del problema 13.76.

11

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244)

Solución

Datos:

r M

0.3m 1.5kg

Ec

1 I 2

2

a)

EC

I

1 mR 2 2

1 1 2 (1.5)(0.3) (1.5)(1.5) 2 (0.3) 2 2 2 EC 0.1549 J

b) Error:

ECrotacionpa rticula

ECR . P

1 2 mV 2

1 (1.5)(0.3 1.5) 2 2

0.1519 J

Error

E 0.1549 E 0.3%

0.1519

12

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244)

13.99. Partiendo del reposo, un cuerpo A se suelta cobre una superficie circular sin rozamiento. A continuación el cuerpo se mueve sobe una superficie horizontal CD cuyo coeficiente de rozamiento dinámico con el cuerpo es de 0.2. Un muelle cuya constante K = 900N/m esta colocado en C como se muestra en el diagrama. ¿Cuánto se comprimirá el muelle? El cuerpo tiene una masa de 5kg.

Solución Datos:

K

900 N

m

5kg

m

Hallando velocidad de la masa en el punto D.

VD

2 gh

2(9.81)7 11.72 m

s

Conservación de energía en el tramo CD.

ED 1 2 mVD 2

0

EC

w fr

1 2 K ( x) ( fr) (10 2

x)

Donde:

Fr uN 0.2(mg) 1 2 mV D 2

1 K ( x) 2 0.2(m)( g ) (10 2

x)

13

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

1 (5)(11.72) 2 2

1 900 ( x) 2 0.2(5)(9.81) (10 2

x)

Resolviendo:

x 0.727 m 13.120. Un collar desliza sin rozamiento por un tubo como se muestra. El muelle no presenta deformación cuando esta en posición horizontal y tiene una constante de 180N/m. ¿Cuál es la masa mínima que debe tener A para justo alcanzar A´ si se suelta partiendo del reposo y en la posición que se muestra en el diagrama? ¿Cual será la fuerza sobre el tubo cuando A ha recorrido la mitad de la distancia hasta A´?

Soluc ión Datos:

K 180 N

m

m ?

c

1.4 2 0.6 2

c 1.523 a) Planteando Ecuación de Energía:

14

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244)

EO

EA

mgh m(9.81)(0.6)

1

1 2 K ( x) 2 0.8) 2

(180 )

(1.523 2 m 7.99kg mínima masa b) cuando recorre una distancia AA´/2:

Por ley de senos

Energía:

mg (0.6sen45º )

(7.99)(9.81)(0.6sen45º ) V

1 1 2 2 K ( x) mV 2 2 1 180 (1.064 0.8) 2

2.6 m s

Luego

FN FN FN FN

ma C (2.6)2 7.99 0.6 90.02 N

90.02

Fr sen(21.5) 161.84 N

mg(sen45º )

90.02

2

1 (7.99)V 2

2

15

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244) Ciné tica de Cantidad de M ov imie nto de una Partícula

14.56. Los cilindros A y B deslizan sin rozamiento a lo largo de una barra. El cilindro A, inicialmente en reposo y de forma que el muelle K1 al que está conectado está inicialmente no deformado, se suelta. El impacto con el cilindro B tiene un coeficiente de restitución e igual a 0.8. Antes del impacto el cilindro B esta en reposo y esta soportado en la posición que se muestra por el muelle K2. Suponer que los muelles no tienen masa. a) ¿Cuánto se comprimirá el muelle inferior? b) ¿Cuánto descenderá el cilindro B después del impacto antes de alcanzar su posición mas baja?

Solución Datos:

WA WB

500 N 8 00 N

K1

1 000 N

K 2 1 100 N e

m m

0.8

16

DINÁMICA (IC – 244) a)

x K WB sen45º 800 2 x . 1100 2

x 0.051m Se comprime 51mm inicialmente

2da Práctica Calificada

b) Cuando A apenas impacta a “B”

EOA mgh

E1A

1 1 2 K ( x) mV 2 2 1

500 (0.8) cos 45º

2

1000 (0.8)

2

2 ( ) Ai V

mgh 1 (500 ) 2 9.81

3.313 m

.V

2

1i

s

Para ecuaciones de choque: P.C.C.M

mA .VAi mB .VBi mA .VAf mB .VBf

;

VBi

0

500 (3.313) 500V 800V Bf Af

1 .565 5VAf 8VBf ...................(I ) Además.

e

VBf VAf VBi V

0.8

Ai

VB f VA VB

VAf

2.6504 ..................(II )

m 0.357 s ( ) 2.293 m ( ) s

Luego aplicando Ecuación de Energía:

17

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244)

EB

EB

EC 1 2 mB VBf 2 1 (800 ) (2.293) 2 9.81

EG

E

EC

EG

E

1 1 2 2 2) K 2 (0.051 K 2 (0.051) 0 0 2 2 1 1 2 800 ( ) 1100 (0.051) 2 (1100 )(0.051 2)

mg ( )

2

2

0.14m

2

2

(desciende)

0.198 m (compresión)

14.57. La masa A y B deslizan sin rozamiento a lo largo de una barra. El muelle, que en su configuración libre tiene 0.8m de longitud, esta comprimido hasta la posición que se muestra. El sistema, que inicialmente esta en reposo, se suelta A y B realizando un impacto plástico. El muelle no tiene masa. a) ¿Cuál será la velocidad de las masas después de que B recorra 0.2m? b) ¿Cuál será la perdida de energía mecánica del sistema?

Solución Datos:

MA

2kg

M B 1kg K

1000 N

Li

0.8m

m

18

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

0.8 0.3 0.5m

x

Impacto Plástico o Inelástico (e = 0) Hallando la velocidad para A (inicial)

0

1 2 K( x) 0 2

0

0

1 mV 2

2

1000 (0.5) 2 2V 2 VA i

11.18 m

s

Como el impacto es plástico:

VAf

VBf

Ambos llevan la misma velocidad

P.C.C.M:

VAi mA VBimB

VAf mA VBf mB

11.18(2) V f (2 1) a)

Vf

7.45 m

s

b) Pérdida de Energía

E

1 MV 2 2

E E

Ef

1 2 (2 1)(7.45) 2

E Pérdida de Energía

Ei 1 mAVA2 2 1 2 (2)(11.18) 2

83.25 124.99 41.74 J

19

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244) Ciné tica de Le ye s de Ne wton de un Cue rpo Rígido

16.80. Una barra AB, inicialmente en reposo, de 3m de longitud y un peso de 445N se muestra inmediatamente después de haberse soltado. Calcular la fuerza de tracción en los cables EA y DB en ese instante.

Solución

Torque en el CIR:

I 445(

3 3 1 ) ( ml 2 mb 2 ) 4 12

20

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244) Donde:

4

15 2

b

2 (3 3)

5.4

3 3 445 ( ) 4 Torque en A:

32 5.42 ) 45( 12 0.426 rad 2 s A

445( T2

3 3 ) T2 (3) 4

IA 1 445 2 ( )3 (0.426 ) 3 9.81

2 46.01 N

Torque en B: B

T (3 cos 30º 445 (3 )1

IB

cos 30º 2

)

1 445 2 ( )3 (0.426 ) 3 9.81

T1 2 01.81 N 16.81. La barrara AB se suelta en la configuración que se muestra. ¿Cuáles serán las fuerzas de soporte en ese instante si despreciamos el rozamiento? La barra pesa 900N y tiene 6m de longitud.

21

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

Solución

W

900 N

Mediante ley de senos:

Luego, haciendo torque en C.I.R

I 900 ( 3 cos15º 4.3923 cos 45º )

1 ( ml 2 md 2 ) 12

Reemplazando valores:

22

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

900 (0.208 )

900 6 ( 9.81 12

0.113 rad

s

2

Torque respecto a B:

B

900 (3 cos15º ) FA

IB

F (6 cos 30º ) A

1 900 2 ( )6 3 9.81

2 09.038 N

Torque respecto a A: A

IA

6F (cos 45º ) 900 (3 cos15º ) B FB

8 74.2 N

2

3.8879 )

1 900 2 ( )6 3 9.81

23

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244) Ciné tica de T rabajo y Ene rgía de un Cue rpo Rígido

17.5. Considerar que la biela AB es una barra delgada de 1kg de masa, y calcular la energía cinética para los datos que se dan.

Solución

3000

rad 1min . min 60 s

Hallando VB:

50 rad

s

VB

50 0.075

3.75 m

s

24

DINÁMICA (IC – 244)

5

2da Práctica Calificada

VB 3.75

(0.4308) (0.4308 ) 8.705 rad s

VA VA

8.705 0.438

Luego por cinética:

3.81 m

 VCG

r s

   VB VCG

A

 VCG

0kˆ 0.075 cos 30º 0.075 sen30º ˆj) (iˆ 0.225 8.705 ( )( cos(73.22º ) sen(73.22º ) ˆj) 2 kˆ iˆ 0 3  VCG .937iˆ .53 ˆj VCG

3.65 m

s

EC (Energía Cinética de la barra)

1 1 mV 2 I 2 2 2 1 1 1 2 2 2 E C AB (1)(3.65) ( (1)(0.225 ).(8.705 ) 2 2 12 6.82 J E C AB

EC

AB

25

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244)

17.6. Dos bielas idénticas CB y AB están articulada entre si en el punto B. La biela B esta articulada con el bloque D que pesa 225N. Cada biela tiene 600mm de longitud y pesa 45N. La biela BA gira en sentido opuesto al de las agujas del reloj con una velocidad angular constante w de 3rad/s. Calcular la energía cinética del sistema cando BA este orientada (a) formando un anulo de 60º con la vertical y (b) formando un ángulo de 90º con la vertical (esta ultima posición se muestra en el diagrama con línea discontinua).

Solución

Datos:

WD

225 WBarras 45 N (c u) 3 rad s

VCGAB BC

3.0(0.3) 0.9 m 3 rad

s

s

3kˆ ( 0.6sen i 0.6 cos ˆ ˆ kˆ ( 0.3sen i 0.3cos ˆ j) ˆ 3 2.7 cosˆ i 0.6sen  VCGBC ˆ j VCG BC

 V C

3kˆ (0.6 cos ˆ j)

3kˆ ( 0 .6 cosˆ j) 26

DINÁMICA (IC – 244)

V

3.6 cos i ˆ

a) Para θ =60º

2da Práctica Calificada

VC VC

0.9 m

AB

s

1 .56 m s 1.8 m s

BC

VC

1 mV 2AB 2 1 45 (0.9) 2 2 9.81

EC EC

0º 6

EC

1 1 1 I AB 2 I BC 2 mV 2BC MVC2 2 2 2 1 45 1 45 1 225 (1.56) 2 (0.6) 2 (3) 2 (1.8) 2 2 9.81 12 9.81 2 9.81

45.83J

60 º

b) Para θ =90º

V

C

AB

VC

BC

VC

0.9 m 0.9 m

0

EC EC

90 º

s s

90 º

2 1 45 1 45 (0.9) 2 (0.6)2 (3) 2 2 9.81 12 9.81

4.95 J

27

2da Práctica Calificada

DINÁMICA (IC – 244) Ciné tica de Cantidad de M ov imie nto de un Cue rpo Rígido

17.83. Un cilindro escalonado tiene 50kg de masa y un radio de giro de 1.2. Un boque A de 25kg esta soldado al cilindro. Si en la configuración que se muestra el muelle no presenta deformación y si constante K es de 0.1N/mm. ¿Cuál será la velocidad angular del cilindro después de girar 90º? Suponer que el cilindro rueda sin deslizar.

Solución Datos:

mA mC K

25kg 50 kg 1.2m 100 N

m

I C

(0.45)F ( x) R

5( g ) 2(1.5

0.3)

1 (

2

m C

2

2

IA

m d ) A

28

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

100 (

1 1 2 ( (50)(1.2) 2 (25)(0.6 1.22 ) m A (1.8) 2 ) 2 12

1.5) 25(9.81) 2 (1.8) 2.78 rad 2 s

.dt

 t Si t = 0

;

c...................(I ) ω =0

t d

2 t t

(1.5)

VO t

1 ( 2

1 2 at 2

1.5)t 2

2.78 1.063s ( 2.78)(1.063) 2.96 rad s

17.83. Un cilindro A de 150N de peso y un radio de giro de 100mm se coloca sobre una cinta transportadora que se esta moviendo con una velocidad constante VB = 10m/s. Hallar la velocidad deleje del cilindro para el instante t = 5s. El coeficiente de rozamiento entre el cilindro y la cinta es de 0.5.

29

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

Soluc ión Datos:

W 150 N T 0.1m V t

VO

10 m s 5s

10 m

s t

F dt mV f m V f 0

En dirección x:

Fr

0 .5W cos30º

Conservación de Energía:

EO 1 mV O2 2

150 2 (10) 9.81

1 I 2

EF

Pérdida

2 1 1 2 mV 2F FrA x mg ( h) F 2 2 2 2 1 150 2 10 2 (0.1) 2(150 )( xsen30º ) 8 9.81 0.25

150 2 V 9.81

2 O

1 150 2V (0.1) 2 2 9.81 0.25

2

1 3 (150 )( )x 2 2

Resolviendo:

85.048 x 2018 .35 20.18V 2 ...............(I )

30

DINÁMICA (IC – 244)

2da Práctica Calificada

Para t = 5s

x x

VO

V 2

.t

5 V 5 2

Reemplazando en (I)

V

18.7 m s

31