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Tarea 3 Estadística I Integrantes: Mariana Jaramillo 9-709-179 Oliver Calzadilla 9-751-2313 Técnicas de Conteo (Principio de Multiplicación, Permutaciones y Combinaciones) Espacios Muestrales y Eventos 1. Una agencia gubernamental debe decidir cómo situar ocho nuevas plantas eléctricas en los Estados de Texas y California. Suponga que las ocho plantas eléctricas se deben colocar entre los dos estados. (S = {(0,8) (1,7) ……} 9 eventos) a. Usando dos coordenadas de tal manera que (3,5) represente el evento en que se van a colocar 3 plantas en Texas y 5 en California, liste los puntos del correspondiente espacio muestral. S= { ( 0,8 ) , (1,7 ) , ( 2,6 ) , ( 3,5 ) , ( 4,4 ) , ( 5,3 ) , (6,2 ) , ( 7,1 ) ,(8,0) } b. Liste los siguientes eventos: A: Se colocan más plantas eléctricas en Texas que en California. A={ ( 5,3 ) , ( 6,2 ) , ( 7,1 ) ,(8,0) } B: Uno de los estados se quedan sin planta. B= { ( 0,8 ) ,(8,0) } C: Texas y California tienen el mismo número de plantas C={(4,4 )} Hallar: A U B A ∩ B C’

A ∪ B={ (5,3 ) , ( 6,2 ) , (7,1 ) , ( 8,0 ) ,(0,8)} A ∩ B= {(8,0) } C ´ ={ ( 0,8 ) , ( 1,7 ) , ( 2,6 ) , ( 3,5 ) , ( 5,3 ) , (6,2 ) , ( 7,1 ) ,(8,0) } Técnicas de Conteo (Principio de Multiplicación, Permutaciones y Combinaciones) 2. Un contratista de construcción ofrece casas con tres distintos tipos de distribución, tres tipos de techo y dos tipos de alfombrado. ¿De cuántas formas diferentes puede un comprador elegir una casa? Muéstrese el número total de selecciones empleando un diagrama de árbol. (18 formas) Número total de arreglos=( 3 ) ( 3 ) ( 2 )=18 formas diferetes

I A

II III I

Casas

B

II III I

C

II III

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

3. Un vendedor de autos nuevos quiere impresionar a sus clientes potenciales con la cantidad posible de diferentes modelos de que dispone. Un modelo de auto presenta dos tipos de motores, dos transmisiones y cuatro colores de carrocería. ¿Cuántas posibilidades de elección respecto a estas opciones hay? Represente en un diagrama de árbol todas las posibles opciones. (16 opciones) Número total de arreglos=( 2 ) ( 2 )( 4 )=16opciones

Carrosería 1 Carroseía 2 Transmisión I Carrosería 3 Carrosería 4 Motor I Carrosería 1 Carrosería 2 Transmisión II Carrosería 3 Carrosería 4 Auto Carrosería 1 Carrosería 2 Transmisión I Carrosería 3 Carrosería 4 Motor II Carrosería 1 Carrosería 2 Transmisión II Carrosería 3 Carrosería 4

4. Un cuestionario enviado por correo en un estudio de mercado consta de 8 preguntas, cada una de las cuales puede responderse en tres formas distintas. ¿En cuántas formas diferentes puede una persona contestar las 8 preguntas del cuestionario? (38 formas diferentes) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) = 38 = 6561 formas de responder

5. Un número telefónico consiste en siete dígitos, los primeros tres representan el código de área. ¿Cuántos números telefónicos diferentes son posibles para el código de área 537? (10,000 número diferentes) (10) (10) (10) (10) = 10 000 Números diferentes 6. Las placas de matrículas para automóviles emitidas por cierto estado tienen dos letras seguidas por tres dígitos.

a. ¿Cuántas placas diferentes pueden emitirse? (676,000 placas diferentes)

( 26 ) ( 26 ) ( 10 ) ( 10 )( 10 ) =676 000 placas diferentes b. ¿Cuántas placas diferentes pueden emitirse si no se utilizaran la letra O y el cero? (455,625)

( 25 ) ( 25 ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9 )=455 625 placas diferentes Nota: Utilizar un abecedario de 26 letras.

7. Suponga que hay ocho plazas para administradores que van a asignarse a ocho empleados en un programa de entrenamiento en administración junior de una empresa.

a. ¿De cuántas maneras pueden asignarse las ocho plazas a las ocho personas? (40 320) 8P8 =

8! = 8*7*6*5*4*3*2*1 = 40 320

b. Suponga que sólo se dispone de seis plazas para las ocho personas, ¿De cuántas maneras se pueden asignar las seis plazas a seis de las ocho personas? (20 160) 8P6 =

8! =20 160 (8−6)!

8. Un club consta de 20 miembros. ¿De cuántas formas puede seleccionarse tres directivos: presidente, vicepresidente y secretario? (6 840) 20P3

=

20 ! 20∗19∗18∗17 ! = = 6840 17 ! (20−3)!

9. Los 10 números del 0 al 9 se van a emplear en grupos de códigos de cuatro dígitos para identificar una prenda. El código 1083 podría identificar una blusa azul, talla mediana; el grupo de código 2031 podría identificar unos pantalones talla 18, etc. no están permitidas las repeticiones de números. Es decir, el mismo número no se puede utilizar dos veces. ¿Cuántos diferentes grupos de códigos se pueden asignar? (5 040) 10P4 ¿

10 ! (10−4)!

10. se están formando grupos de cuatro letras empleando las letras AEIOUXY a. ¿Cuántos grupos pueden formarse si no deben repetirse las letras? (840) 7P4

=

7! = 840 (7−4 )!

b. ¿Cuántos grupos pueden formarse si cualquiera letra puede repetirse tantas veces como se desee? (2401) (7) (7) (7) (7) = 7 4= 2401

11. Un encuestador seleccionó al azar a 4 de 10 personas. ¿Cuántos grupos de 4 personas son posibles? (210) 10P4

=

10! 10∗9∗8∗7 5040 = = = 210 4! 4∗3∗2∗1 24

12. En una clase de 30 estudiantes, hay 20 hombres y 10 mujeres. a. ¿De cuántas formas puede seleccionarse un comité de tres hombres y dos mujeres? (51 300) Solución:

b. ¿De cuántas formas puede seleccionarse un comité de cinco estudiantes si los cinco deben ser del mismo sexo? Solución:

13. Se va a conformar un grupo de proyecto de dos ingenieros y tres técnicos que se elegirán de un grupo de cinco ingenieros y nueve técnicos. ¿cuántos grupos de proyecto pueden formarse con los catorce empleados disponibles?

Probabilidad de un Evento 14. de los resultados del problema 1, obtenga las siguientes probabilidades:

15. Al lanzar un par de dados balanceados, ¿qué probabilidad hay de obtener: a. 7 ; b. 11 c. 7 u 11 ; d. 3 ; e. 2 o 12 (1/18) Dos dados número de posibles combinaciones es 6 x 6 = 36 resultados posibles.

16. Una muestra de 2 000 conductores con licencia reveló la siguiente cantidad de violaciones al límite de velocidad: Cantidad de Violaciones

Cantidad de conductores

0 1 2 3 4 5 ó más

1910 46 18 12 9 5

a. Asigne probabilidades a los diferentes sucesos. Cantidad de Violaciones

Cantidad de conductores

Probabilidades

0 1 2 3 4 5 o más Total

1910 46 18 12 9 5 2000

0.955 0.023 0.009 0.006 0.0045 0.0025 1.00

b. ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor haya cometido dos violaciones al límite de velocidad? P(B) = 0.009 * 100 = 0.9% c. ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor no haya cometido violaciones al límite de velocidad? P(C) = 0.955 * 100 = 95.5% d. ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor haya cometido 3 ó 4 violaciones al límite de velocidad? (1.05%) P(D) = 0.006 +0.0045 = 0.0105*100 = 1.05%

REGLA GENERAL DE ADICIÓN, REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

17. Un estudio realizado por el Servicio Nacional de Parques reveló que 50% de los vacacionistas que van a la región de las Montañas Rocallosas visitan Yellowstone Park, 40% visitan los Tetons y 35% visitan ambos lugares. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un vacacionista visite Yellowstone Park o los Tetons? (55%) Regla de la adición: P (AU B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P (AU B) = P(50%) + P(40%) – P(35%) =

55 %

b. ¿Los eventos son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta. P (AU B) = P(A) + P(B) = P(50%) + P(40%) =

90 %

Las visitas de los excursionistas son mutuamente excluyentes, lo cual significan que no pueden ir a visitar los lugares al mismo tiempo.

18. La compañía Diet Cola tiene una máquina automática que llena botellas con 16 onzas de la bebida que produce. La mayoría de las botellas se llenan en forma adecuada; sin embargo, algunas se llenan más de lo necesario y a otras le falta líquido. Una muestra aleatoria de 1000 botellas observadas dio como resultado:

Suceso A

Onzas < 16

Número de botellas 20

B C

16 >16

940 40

a. Asigne probabilidades a los diferentes sucesos. Suceso A B C

Onzas < 16 16 >16

Número de botellas 20 940 40

Probabilidades 0.02 0.94 0.04

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una botella determinada esté más llena o menos llena de lo que debe? C= más llena A=menos llena P (A U C) = P(A) + P(C) =

20 40 60 + = = 0.06 1000 1000 1000

¿Los eventos son mutuamente excluyentes? Una botella no puede estar llena o menos llena a la vez.

19. Suponga que una bolsa contiene 10 esferas marcadas 1, 2, 3, . . . .10. Sea E el evento de extraer una esfera marcada con un número par y F el evento de extraer una esfera marcada con un número 5 o mayor. Obténgase P (E U F) ¿Son E y F mutuamente excluyentes?

S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

Salga un número par

E={2,4,6,8,10}

Salga un número 5 o mayor F= {5,6,7,8,9,10} P(E) =

5 = 0.5 10

P(F) =

3 = 0.3 10

E U F = {6,8,10}

Si E y F son eventos mutuamente excluyentes, entonces: P (EU F) = P(E) + P(F) =

0.80

20. Una caja contiene 15 esferas, de las cuales 10 son blancas, tres rojas y dos negras. Se extrae aleatoriamente una esfera sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de extraer: . Dos esferas blancas, una después de otra (0.4286) b. Una esfera roja y después una esfera blanca (0.1429) c. Tres esferas blancas, una después de otra (0.2637) Solución a) P (B, B) = 10B x 9B = 0.4285 15 14 b) P (R, B) = 3R x 10B = 0.1429 15 14 c) P (B, B, B) = 10B x 9B x 8B = 0.2637 15 14 13

21. Los datos históricos muestran que el 15% de las lavadoras de una lavandería necesitan motor nuevo durante los primeros dos años de operación. La probabilidad de que necesite correas de transmisión nuevas, dado que necesita un motor nuevo es 80%. ¿Cuál es la probabilidad de que una lavadora necesite tanto un nuevo motor como una correa de transmisión nueva durante los primeros dos años? (0.12) solución P(A)= 15% necesitan un motor nuevo. P(B) =80% necesitan tanto correas como motor. P(A) x P(B) = 0.15 x 0.80 = 0.12 % van a necesitar motor y correa nueva. 22. Un negocio de transporte tiene dos vehículos destinados a entregas locales. Debido a la disponibilidad de los vehículos por la demanda de entregas y por alguna que otra descompostura, se calcula que la probabilidad de que un vehículo esté disponible cuando se necesite es 0.90. Si la disponibilidad de un vehículo es independiente de la del otro, calcule: a. La probabilidad de que ambos vehículos estén disponibles (0.81) b. La probabilidad de que ambos vehículos no estén disponibles. (0.01) c. La probabilidad de que solamente uno de los vehículos esté disponible (0.18) solución a) P(A)= 0.90 ambos vehículos disponibles P(B)= 0.90 P(A∩B) = P(A) P(B) = (0.90) (0.90) = 0.81 = 81% b) P(A´) no estén disponibles P(B´) 1- 0.90 = 0.1 P(A'∩B') = P(A' ) P(B' ) = (0.1) (0.1) = 0.01 = 1% c) P(AUB) uno esté disponible = 1- P(A'∩B')

23. La siguiente tabla es una tabla de contingencia que presenta la reacción de los votantes, de acuerdo con la afiliación a un partido, a un nuevo plan de impuestos.

a. Elabore la tabla de probabilidad conjunta correspondiente a estos datos.

Afiliación D R I Probabilidad Marginal

F 0.3 0.125 0.125

N 0.05 0.075 0.025

O 0.05 0.15 0.1

PM 0.4 0.35 0.25

0.55

0.15

0.3

1

b. Determine las siguientes probabilidades: P(O) P(R∩O) P(I) P(I ∩ F) P(O/R) P(R U D) P(D U F)

  0.35 -0.30

  0.125   0.35 + 0.40 0.40 + 0.55 -0.30

0.3 0.05 0.25 0.125 0.43 0.75 0.65