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Bloque 4. Cálculo

Tema 7 Integral Definida Ejercicios resueltos 4.7-1 Resuelve las siguientes integrales definidas: a) b)

2

 3 x dx  e dx 2

0

1

x

0

e

1 dx x

c)



d)

  x  2x

e)



1 1

2

1



 x 3  5 x 4 dx

1

3

dx x 1 2 2x 1 f)  2 dx 1 x  x

g)

2

2



0

senxdx

1 dx 1  x2 5 1 i)  dx 2 x 1  x  2    1

h)



j)



1

a)



2

b)



1

c)



e

d)

  x  2x

0

x dx 0 1  x4

Solución 0

0

1

2

   

3 x 2 dx   x 3   23  03  8  0  8 0

   

1

e x dx  e x   e1  e 0  e  1 0

e 1 dx  ln x 1   ln e    ln 1   1  0  1 x

1

1

2

3

 x  5x

4



1

2 1 1  dx   x 2  x 3  x 4  x 5   3 4 2  1

2 4 10 1 2 1  1 2 1  2     1     1  1  1   2  3 3 3 2 3 4  2 3 4  3

G3w

Conocimientos básicos de Matemáticas.

Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida

Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González

MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos 1

e)

1

3



x 1

2

 t  x 1 1 t1 2 1 2     C  2 x 1  C dx   dt t dt    12 x 1 t  dt  dx  1



1

3



3

x 1

2

f)

dx



2

1



 



dx  2 x  1   2 2  2 1  2 2  2 2

2x 1 dx x2  x

2x 1 2x 1 A B dx   dx   dx   dx 2 x x   x  1 x x 1

x

2x 1 A B    2 x  1  A   x  1  B  x x   x  1 x x  1

x 0 1  A   A  B 1 x  1  1   B  2



1

21 2 2 2 x 1 1 dx   dx   dx  ln x  ln x  1 1  2 1 1 x x x x 1

  ln 2  ln 3    ln 1  ln 2   ln 2  ln 3  ln 2  ln 3 g)



2

0 1

senxdx    cos x 0    cos 2     cos 0   1  1  0 2

1   1 dx   arctagx 0   arctag1   arctag 0    0  2 1 x 4 4

h)



i)

  x  1   x  2  dx

0

5

1

2

1

A

B

  x  1   x  2  dx   x  1 dx   x  2 dx 1 A B    1  A   x  2   B   x  1  x  1   x  2  x  1 x  2

x  1  1  3A  1  A x  2  1  3 B  3

G3w

Conocimientos básicos de Matemáticas.

B

1 3

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Ejercicios resueltos 2

1

5

1

5 1  1  1  dx  ln x  1  ln x  2  2    2 3  x 1 x  2 

  x  1   x  2  dx  3  2



j)



1

0

5

1 1 1 1 1 2 1 ln 4  ln 7    ln 1  ln 4   ln 4  ln 7  ln 4  ln 4  ln 7  3 3 3 3 3 3 3

x dx 1  x4

 t  x2  1 1 1 1 x  dx dt  arctg  t   C  arctg x 2  C    2  1  x4 2 2  dt  2 xdx  2 1  t

 

1 x 1 1 1 1  1  dx  arctg  x 2     arctg 1    arctg  0       0  4 0 1 x 0 2 2 2 2 4 2 8



1

4.7-2 Calcula el área de la región limitada por las siguientes gráficas: a) y  x 1  y  0 ( EJE OX )   x 0   x 1   y  0 ( EJE OX )   x 0   x 2

c) y  x3

  y  0 ( EJE OX )   x 1   x 2

b) y  x 2  1

  y  x  2  y  0 ( EJE OX ) 

d ) y  x2

e) y  x2  x  2

f ) y  cos x  y  0 ( EJE OX )   x  2   x  3 2

g) y  x2   yx 

h) y   x 2  6 x   y  x 2  2 x 

  y  0 ( EJE OX )   x 0   x 1

Solución

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Conocimientos básicos de Matemáticas.

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Ejercicios resueltos

3

a) y  x 1  y  0 ( EJE OX )   x 0   x 1

1

3 1  1  A    x  1 dx   x 2  x     1    0   0 2 2 0  2  1

4

3

2 1

y  x 1 -4

-3

-2

y 0

-1

1

2

3

4

-1

x0

x 1

-2 -3

-4

  y  0 ( EJE OX )   x 1   x 2

b) y  x 2  1

A

2

1



2

10  1  7 1  8 x  1 dx   x 3  x     2     1    1  3 3 1  3  3  3 2



y  x2  1 5

4

3

2

1

y 0 -3

G3w

-2

-1

1

x 1

2

x2

3

-1

Conocimientos básicos de Matemáticas.

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Ejercicios resueltos 4

  y  0 ( EJE OX )   x 0   x 2

c) y  x3

A

2

0

2

 1   16  x dx   x 4      0  4  4 0  4  3

8

6

y  x3

4

2

x2

x 0 1

2

3

y0

   y  0 ( EJE OX ) 

d ) y  x2 y  x  2

5

Puntos de corte: 4

3

x2   x  2  x2  x  2  0 y  x2

x  1, 2 1

0

y  x  2

1

y 0 -2

-1

2

A   x 2 dx     x  2  dx 

2

1

1

1

2

 x3   x2        2x  3 0  2 1

2

3 5 1    1  1 A    0    2  4      2     2   2 6 3    2  3

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Conocimientos básicos de Matemáticas.

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Ejercicios resueltos 5

  y  0 ( EJE OX )   x 0   x 1

e) y  x2  x  2

1

y  x2  x  2

y 0 -1.5

-1

0.5

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -1 -1.5 -2

x 1

x 0 -2.5

1

 x3 x2   1 1   13 A     x  x  2  dx      2 x       2   0   0 2   6  3 2 3 0 1

2

f ) y  cos x  y  0 ( EJE OX )   x  2   x  3 2

x  2

x  3 2

1 y 0 



2 

y  cos x

-1

A  

3 2

 2

G3w



 3 2  3 cos xdx    senx  2    sen   2 

Conocimientos básicos de Matemáticas.

      sen  2      1  1  2   

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Ejercicios resueltos 6

g) y  x2   yx 

1.5 1.25 1

yx

0.75

y  x2

0.5 0.25

0.5

1

1.5

-0.25 -0.5

Puntos de corte:

x 2  x  x 2  x  0  x   x  1   0  x  0,1 1

 x 2 x 3   1 1   1 A    x  x  dx          0   0 3  0  2 3   6 2 1

2

h) y   x 2  6 x   y  x 2  2 x 

y   x2  6 x 8

Puntos de corte:  x2  6 x  x2  2 x 

6

 2 x2  8 x  0  x   x  4   0 4

x  0, 4 A     x 2  6 x    x 2  2 x   dx  0 4

y  x2  2 x

2

   2 x 2  8 x  dx  4

0

-1

1

2

3

4

5

6

4

 x3 x2    2  8   3 2 0   128   64     64   0     3  3

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Ejercicios resueltos 7

4.7-3 Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje OX las siguientes gráficas: c) y  3 y  0   x  0 x  5 

1 2  x  2x  2  1  y x  2

a) y  1  x2   x  1   x 1 

b) y  

Solución

x  1

a) y  1  x   x  1   x 1  2

y  1  x2

x 1

1

-1

1

  dx     1  2 x  x  dx 

1

1

2

V    1  x2 1

1

2

4

1

1

-1

1

 2 x 3 x5    x     3 5  1  2 1  2 1     1       1     3 5  3 5  4 2  16    2      3 5  15 

-1

1 2  x  2x  2  1  y x  2

b) y  

y 2

1 2 x  2x 2

1.5 1

y

0.5 1

2

1 x 2 3

4

-0.5

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Ejercicios resueltos 8

Puntos de corte: x2 x   2 x    x 2  4 x  x  x 2  3 x  0  x   x  3   0  x  0, 3 2 2 Se calcula el volumen generado por la gráfica de arriba (volumen lleno) y se le resta el volumen generado por la gráfica de abajo (volumen del agujero): 2

2

4 2 3 x  3 x 3 x  x2    2 x  dx     dx      2 x 3  4 x 2  dx    V    dx  0 0 0 0 4 2  2   4  3

3

 x4  x5 x 4 5 x3  15 2     2 x3   x  dx       0 4 4 0  4   20 2 243  810  675 108 27  243 81 135        0       2 4  20 20 5  20 3

c) y  3 y  0   x  0 x  5 

y3

x5

x0

y0

5

5

V     3  dx    9dx    9 x 0    45  0   45 0

G3w

2

5

0

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Ejercicios resueltos 9