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• luis

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Matem´aticas. G.M.I.M. Ejercicios resueltos de integrales 1. Ejemplos de integrales definidas. a) Z 10 1

b) c)

Z 4 0

x

2

Z 4 1

h

5x4 dx = x5

i4 1

= 45 − 1 = 1023

dx = [ln (x)]10 2 = ln (10) − ln (2) = ln (5) ' 1,60944

2

(x − 2x) dx =

Z 4 0

Z 4

2

x dx −

0

"

2x dx =

x3 3

#4

h

− x2

i4

0

0

=

64 16 − 16 = 3 3

2. Ejemplo de integral de una funci´ on a trozos. Se considera la funci´ on f : [1, 5] −→ IR, definida por: f (x) = Calcula las integrales: a)

Z 2 1

½ 2 x

x+6

f (x) dx

si 1 ≤ x ≤ 3 si 3 < x ≤ 5

b)

Z 5 1

f (x) dx

Soluci´ on: a) b)

Z 5

Z 2 1

f (x) dx =

f (x) dx =

1

x3 = 3

#3 1

Z 3 1

Z 2 1

x3 x dx = 3

f (x) dx +

x2 + + 6x 2

#5

µ

= 3

=

#2

2

Z 5 3

8 1 7 − = = 2,33 3 3 3

= 1

f (x) dx =

27 1 − 3 3

¶

µ

+

Z 3 1

2

x dx + ¶

Z 5 3

µ

(x + 6) dx =

25 9 + 30 − + 18 2 2

¶

=

26 86 + 20 = = 28,67 3 3

3. Ejemplos de c´ alculo de integrales indefinidas que se resuelven utilizando la tabla de integrales simples. ¶ Z Z Z 3Z x 3 x 3 x e dx = 7 x dx − e dx = 7x − e dx = 7x dx − 5 5 5

Z µ

1)

7x2 3ex = − +C 2 5 Z

2) µ

Z

3)

t

2

−1 Z √ t 2 +1 1 t1/2 −1/2 √ dt = t dt = −1 +C = 2 t+C +C = 1/2 +1 t 2

2 t+ 3

¶

Z µ

dt =

¶

2 t4 2 t3 t4 2t3 t + t2 dt = + +C = + +C 3 4 3 3 4 9 3

1

Z

4)

1 1 Z −3 1 x−3+1 1 x−2 dx = x dx = · + C = · +C = 6x3 6 6 −3 + 1 6 −2 −x−2 −1 +C = +C 12 12 x2

= Z

5)

Z

7)

Z

8)

4

2ex dx = 2ex + C

Z e

x

Z e

(x + e ) dx =

x dx +

xe+1 e dx = + ex + C e+1 x

Z −3 −3 −3 Z −2 −3 x−1 3 dx = dx = x dx = · +C = +C 2 2 (2x) 4x 4 4 −1 4x

1 √ 8

−7 √ 1 Z −7/8 1 x 8 +1 1 x1/8 dx = x dx = · −7 +C = · +C = 28x+C 4 4 4 1/8 +1 x7 8

Z

9)

´ 2z − 5 1 Z 1 ³ 2 dz = (2z − 5) dz = z − 5z + C 7 7 7

Z

10)

dx =

e−x

Z

6)

Z

2

Z

(x2 + 5)(x − 3) dx =

(x3 − 3x2 + 5x − 15) dx =

Z

11)

12)

Z 2

(4u2 + 4u + 1) du =

(2u + 1) du =

! Z Ã 3 x − 3x2 + 5x − 2

x Z µ

=

x2 − 3x + 5 −

2 x

dx =

¶

dx =

4u3 + 2u2 + u + C 3

Z Ã 3 x

3x2 5x 2 − + − x x x x

!

dx =

x3 3x2 − + 5x − 2 ln |x| + C 3 2

Z

13)

x4 5x2 − x3 + − 15x + C 4 2

7x dx =

7x +C ln (7)

Z

14) Z

15)

sen x dx = − cos x + C

Z 1 8 dx = 8 dx = 8 arctan x + C 2 1+x 1 + x2 µ

Z

¶

Z 4 8 t3 − 5t2 + 4t − 8 16) dt = t − 5 + − 2 dt = 2 t t t Z Z Z Z 2 t 8 4 8 = t dt − 5 dt + dt − dt = − 5 t + 4 ln |t| + +C t t2 2 t

2

Z

(Hemos hecho aparte la integral Z

Z 8 t−1 −8 −2 dt = 8 t dt = 8 = ) 2 t −1 t

Z 7 −21 −2/3 −21 x−2/3 −5/3 √ dx = 7 x dx = 7 +C = x +C = +C 3 5 −2/3 2 2 x2/3 x

17)

4. Ejemplos de c´ alculo de integrales indefinidas que se resuelven utilizando la tabla de integrales generalizadas. Z

1)

1 1 Z 3 1 dx = dx = ln |3x − 2| + C 3x − 2 3 3x − 2 3 Z

2x (x2 + 3)5 dx =

2) Z

Z 5 5 Z −2 dx = 5 (8 − 4x) dx = (8 − 4x)−2 (−4) dx = (8 − 4x)2 −4

3)

=

5 (8 − 4x)−1 5 −5 (8 − 4x)−1 +C = +C = +C 4 −1 4 4(8 − 4x) Z

4) Z

Z

2

x e−x dx =

6)

7)

2x dx = ln |x2 + 1| + C +1

x2

Z 3x x 3 Z 2x 3 dx = 3 dx = dx = ln |x2 − 1| + C 2 2 2 x −1 x −1 2 x −1 2

5)

Z

(x2 + 3)6 +C 6

−1 Z −1 −x2 2 (−2x) e−x dx = e +C 2 2

1 Z ax 1 eax e dx = e a dx = eax + C = +C a a a ax

Z

Si fuera a = 0,

Z

e0 dx = Z

8)

10)

1 dx = x + C.

Z (ln (x))3 1 (ln (x))4 dx = (ln (x))3 · dx = +C x x 4 Z

9) Z

(suponiendo a 6= 0).

Z 1 (ln (x))2 ln (x) dx = ln (x) · dx = +C x x 2

3 3 1 4x 4x 1 Z x3 2 4 (3x ) dx = · +C = +C 4 x dx = 3 3 ln (4) 3 ln (4)

x3

2

3

5. Dada la funci´on de coste marginal de la producci´ on de x unidades de un bien, C 0 (x) = 1 + x + 3x2 u.m., calcula la funci´on de coste total sabiendo que el coste fijo es 250 u.m., es decir, C(0) = 250. Soluci´ on: La funci´on de coste total es una primitiva de la funci´on de coste marginal Z

Z 0

C(x) =

(1 + x + 3x2 ) dx = x +

C (x) dx =

x2 + x3 + K 2

Determinamos el valor de la constante K usando la condici´on de que cuando x = 0 el coste total es 250: Para x = 0 tenemos que C(0) = 0 + K = 250. Por tanto, el valor de K es K = 250 y la funci´on de coste total queda totalmente determinada: x2 C(x) = x + + x3 + 250 2

6. Ejemplos de integrales que se calculan usando el m´ etodo de integraci´ on por partes. Z

a) Queremos calcular la integral 

Z

x · sen (x) dx.

u=x

x · sen (x) dx = 

→

du = dx

Z

dv = sen (x) dx → v =

sen (x) dx = − cos(x)

Z

  =

Z

= x · (− cos(x)) −

− cos(x) dx = −x · cos(x) +

cos(x) dx =

= −x · cos(x) + sen (x) + C 

Z

x e−3x dx = 

b)

µ

1 = x · − e−3x 3 1 −x e−3x + = 3 3 µ −3x

= e

µ

1 − e−3x 3

−x 1 − 3 9

→

¶

Z

−

¶

= e

x e−x/2 dx = 

−3x − 1 9

u=x

¶

+C

→

du = dx

Z

dv = e−x/2 dx → v =

e−x/2 dx = −2e−x/2

Z −x/2

= x · (−2e ³

)−

 =

−x e−3x e−3x − +C = 3 9

µ −3x



e−3x dx = − 31 e−3x



1 −3x −x e−3x 1 Z −3x − e dx = + e dx = 3 3 3

+C =

+C

du = dx

Z

dv = e−3x dx → v =

¶

Z

c)

u=x

  =

Z −x/2

−2 e

´

dx = −2x e

−x/2

+2

e−x/2 dx =

= −2x e−x/2 + 2 −2 e−x/2 + C = −2x e−x/2 − 4 e−x/2 + C = −e−x/2 (2x + 4) + C

4



Z

x6 ln (x) dx = 

d)

u = ln x

→

dv = x6 dx → v =

 Z du = (1/x) dx  = 6 7

x dx = x /7

Z 7 x7 ln (x) x 1 x7 ln (x) 1Z 6 = − · dx = − x dx = 7 7 x 7 7

=

x7 ln (x) 1 x7 − · +C = 7 7 7

x7 7

µ

ln (x) −

1 7

¶

+C

7. Ejemplos de integrales definidas. a)

Z 1 0

1 dx = [arctan x]10 = arctan 1 − arctan 0 = 0,79 − 0 = 0,79 1 + x2 b)

Z x

Z 4

c)

1

a1/3

" 2

t dt =

t3 3

#x

= a1/3

x3 (a1/3 )3 x3 − a − = 3 3 3

i4 x 1 Z 4 2x 1 h 2 dx = dx = ln |x + 1| = 1 x2 + 1 2 1 x2 + 1 2 1 = (ln (17) − ln (2)) = 1,07 2

Cuando el c´alculo de la integral definida no es inmediato, puede ser preferible calcular primero la integral indefinida y luego la definida. Veamos c´omo se har´ıa con la misma integral de antes. Z 4

c) Para calcular

1

x dx, empezamos por la integral indefinida. x2 + 1

Z

x 1 Z 2x 1 ln |x2 + 1| 2 dx = dx = ln |x + 1| + C = +C x2 + 1 2 x2 + 1 2 2 Utilizando la primitiva que acabamos de calcular, hallamos la integral definida: Z 4 1

d)

Z 2 0

x dx = x2 + 1

"

ln |x2 + 1| 2

#4

= 1

ln (2) ln (17) − = 1,07 2 2

(3x + 1)2 dx. Calculamos primero la integral indefinida: Z

1 Z 1 (3x + 1)3 (3x + 1)3 (3x + 1)2 3 dx = +C = +C 3 3 3 9 Ahora, la integral definida: (3x + 1)2 dx =

Z 2 0

" 2

(3x + 1) dx =

(3x + 1)3 9

#2

= 0

73 1 342 − = = 38 9 9 9

NOTA: En este caso particular hubiera sido m´as f´acil si desarrollamos el cuadrado antes de integrar. As´ı: Z 2 0

2

(3x + 1) dx =

Z 2 0

h

(9x2 + 6x + 1) dx = 3x3 + 3x2 + x

5

i2 0

= 38

8. Ejemplos de integrales definidas que se calculan utilizando el m´ etodo de integraci´ on por partes. a)

Z 2 1

x3 ln (x) dx.

Empezamos por calcular la integral indefinida. 

Z 3

x ln (x) dx = 

u = ln x

→

dv = x3 dx → v =

 Z du = (1/x) dx  = 3 4

x dx = x /4

Z 4 x4 ln (x) x 1 x4 ln (x) 1Z 3 = − · dx = − x dx = 4 4 x 4 4 µ ¶ 1 x4 ln (x) 1 x4 x4 ln (x) − +C = − · +C = 4 4 4 4 4 Ahora calculamos la integral definida Z 2 1

" 3

x ln (x) dx =

x4 4

µ

1 ln (x) − 4

= 4 ln (2) − 1 +

b)

Z 2 0

¶#2

= 1

16 4

µ

ln (2) −

1 4

¶

−

1 4

µ

ln (1) −

1 4

¶

1 15 = 4 ln (2) − = 1,84 16 16

te−t dt

Calculamos primero la integral indefinida: 

Z

t e−t dt = 

u=t

→

Z

dv = e−t dt → v =

du = dt



Z

 = −t e−t − e−t dt = −e−t

−e−t dt =

Z

= −t e

−t

+

e−t dt = −t e−t − e−t + C = −e−t (t + 1) + C

Ahora calculamos la integral definida: Z 2 0

h

t e−t dt = −e−t (t + 1)

i2 0

= −e−2 (2 + 1) + e0 (1) = −3e−2 + 1 = 0,59

9. Ejemplo de c´ alculo de ´ area. Calcula el ´area del recinto determinado por la curva y = x2 + 2, las rectas verticales x = −2, x = 2 y el eje de abscisas. Soluci´ on: Observamos que la funci´on es positiva, ya que x2 + 2 > 0. Por tanto, el ´area es: Z 2

x3 (x + 2) dx = + 2x 3 −2 µ

=

#2

2

8 +4 3

¶

µ

−

−8 −4 3

Ã

= −2

¶

=

23 + 2 (2) 3

!

Ã

−

!

(−2)3 + 2(−2) 3

=

8 8 16 40 +4+ +4 = +8 = = 13,33 3 3 3 3

6

10. Un ejemplo de integral impropia. Z ∞ 0

e−2x dx

La calculamos directamente, porque es r´apida: Z ∞ 0

−2x

e

dx = l´ım

Z b

b→∞ 0

"

−2x

e

−e−2x dx = l´ım b→∞ 2

#b

Ã

= l´ım

b→∞

0

−e−2b e0 + 2 2

!

= 0+

1 = 2

1 2

11. Otro ejemplo de integral impropia. Z ∞ 0

3x e−x/2 dx

Soluci´ on: Recordamos que la integral impropia se define como Z ∞ 0

3x e

−x/2

dx = l´ım

Z b

b→∞ 0

3x e−x/2 dx

Es m´as complicada que la del ejemplo anterior, por lo que la iremos calculando paso a paso. Calculamos primero la integral indefinida: 

Z

3x e−x/2 dx = 

u = 3x

→

dv = e−x/2 dx → v =

Z

du = 3 dx e−x/2 dx = −2e−x/2

  =

Z

= −6x e

−x/2

e−x/2 dx = −6x e−x/2 − 12e−x/2 + C = −6 e−x/2 (x + 2) + C

+6

Ahora calculamos la integral definida: Z b 0

h

3x e−x/2 dx = −6 e−x/2 (x + 2)

ib 0

= −6 e−b/2 (b+2) + 6 e0 (2) = −6(b + 2)e−b/2 + 12

Por u ´ltimo, el l´ımite: l´ım (−6(b + 2)e−b/2 + 12) = ( l´ım −6(b + 2)e−b/2 ) + 12 = 0 + 12 = 12

b→∞

b→∞

(C´alculo del l´ımite por la regla de l’Hˆopital: l´ım −6(b + 2)e−b/2 = l´ım b→∞ b→∞ −∞ −12 −6 −12 = l´ım b/2 = l´ım b/2 = = 0) b→∞ e b→∞ e ∞ /2 ∞

7

−6(b + 2) = eb/2