• Author / Uploaded
• Yonathan Richard Ccapa Ambrosio

• Categories
• Ecuaciones
• Análisis
• Matemáticas Aplicadas
• Física y matemáticas
• Matemáticas

Citation preview

Resolución de la Segunda Práctica de Economía Matemática IV 1

1. Hallar la extremal 𝜋(𝑥) = ∫0 (𝑥 2 + 𝑥̇ 2 )𝑑𝑡 a) Funcional

b) Ecuación de Euler

Sujeto a: 𝑥(0) = 0 𝑥(1) = 1

𝑓 = 𝑥 2 + 𝑥̇ 2 𝑓𝑥 = 2𝑥 𝑓𝑥 = 2𝑥̇ 𝑑𝑓𝑥 = 2𝑥̈ 𝑑𝑡 𝑑𝑓𝑥 𝑓𝑥 = 𝑑𝑡 2𝑥 = 2𝑥̈ 𝑥 = 𝑥̈ 𝑥 − 𝑥̈ = 0

c) Hallando raíces características 𝑟 2 + (0)𝑟 − 1 = 0 𝑟2 = 1 𝑟 = 1 ; 𝑟 = −1 d) Solución 𝑥 = 𝐴0 𝑒 −𝑡 + 𝐴1 𝑒 𝑡 e) Reemplazando las condiciones 𝑥(0) = 𝐴0 𝑒 (0) + 𝐴1 𝑒 (0) = 0 𝐴0 + 𝐴1 = 0 𝐴0 = −𝐴1 𝑥(1) = 𝐴0 𝑒 (−1) + 𝐴1 𝑒 (1) = 1 f) Hallando Constantes −𝐴1 𝑒 (−1) + 𝐴1 𝑒 (1) = 1 𝐴1 (𝑒 (−1) + 𝑒) = 1 1 𝐴1 = (−1) 𝑒 +𝑒 𝐴1 = 0.324 𝐴0 = −𝐴1 , 𝐴0 = −0.32 g) Hallando la extremal 𝑥 = 𝐴0 𝑒 −𝑡 + 𝐴1 𝑒 𝑡 𝑥 = −0.32𝑒 −𝑡 + 0.32𝑒 𝑡

2. Hallar la extremal

2

𝐽(𝑘) = ∫0 (𝑥 2 + 2𝑥̇ 𝑥 + 𝑥̇ 2 ) 𝑑𝑡 𝑥(0) = 1 , 𝑥(2) = 4

a) El Funcional El ejercicio es no lineal

𝑓 = 𝑥 2 + 2𝑥̇ 𝑥 + 𝑥̇ 2 𝑓 = (𝑥 + 𝑥)̇2 𝑓𝑥̇ = 2(𝑥 + 𝑥)̇(𝑥) 𝑓𝑥̈ = 2𝑥 𝑓𝑥̈ > 0 El ejercicio es de Minimización

b) Por lo tanto el Optimo será 𝑥(𝑡) = 𝐴0 𝑡 + 𝐴1 c) Reemplazando las condiciones 𝑥(0) = 𝐴0 (0) + 𝐴1 = 1 𝐴1 = 1 𝑥(2) = 𝐴0 (2) + 1 = 4 𝐴0 =

3 2

d) Hallando la extremal 3 𝑥(𝑡) = 𝑡 + 1 2

3. Optimizar

3

𝑉(𝑦) = ∫1 (𝑥 2 (1 − 𝑥̇ )2 ) 𝑑𝑡

a) El Funcional

𝑥(1) = 0 , 𝑥(3) = 2

𝑓 = 𝑥 2 (1 − 𝑥̇ )2 𝑓 = (𝑥 − 𝑥𝑥̇ )2 𝑓𝑥̇ = 2(𝑥 − 𝑥𝑥̇ )(−𝑥) = −2𝑥 2 + 2𝑥 2 𝑥̇ 𝑓𝑥̈̇ = 2𝑥 2

𝑓𝑥̈ = 2𝑥 𝑓𝑥̈ > 0 El ejercicio es de Minimización b) Por lo tanto el Optimo será 𝑥(𝑡) = 𝐴0 𝑡 + 𝐴1 c) Reemplazando las condiciones 𝑥(1) = 𝐴0 (1) + 𝐴1 = 0 𝐴1 = −𝐴0 𝑥(3) = 𝐴0 (3) − 𝐴0 = 2 𝐴0 = 1 d) Hallando la extremal 𝑥(𝑡) = 𝐴0 𝑡 + 𝐴1 𝑥(𝑡) = 𝑡 − 1

e) Hallando el Mínimo 3

𝑉(𝑦) = ∫(𝑥 − 𝑥𝑥̇ )2 𝑑𝑡 1 3

𝑉(𝑦) = ∫((𝑡 − 1) − (𝑡 − 1)(1))2 𝑑𝑡 1 3

𝑉(𝑦) = ∫((𝑡 − 1) − (𝑡 − 1))2 𝑑𝑡 1 3

𝑉(𝑦) = ∫ 0 𝑑𝑡 1

𝑉(𝑦) = 0 ∴ El óptimo mínimo valor es Cero. 1

4. Hallar el valor optimo a) El funcional

𝑉(𝑥) = ∫0 (2𝑥 + 𝑥̇ 2 ) 𝑑𝑡

𝒇 = 𝟐𝒙 + 𝒙̇ 𝟐

𝑓𝑥 = 2 𝑓𝑥̇ = 2𝑥̇ 𝑑𝑓𝑥 = 2𝑥̈ 𝑑𝑡 b) Ecuación de Euler

𝒇𝒙 =

𝒅𝒇𝒙 𝒅𝒕

2 = 2𝑥̈ 𝑥̈ = 1

c) Integrando ∫ 𝑥̈ = ∫ 1

→

𝑥̇ = 𝑡 + 𝐴0

∫ 𝑥̇ = ∫ 𝑡 + 𝐴0 𝒙=

𝒕𝟐 + 𝒕𝑨𝟎 + 𝑨𝟏 𝟐

d) Hallando Constantes (0)2 + (0)𝐴0 + 𝐴1 = 0 → 𝑨𝟏 = 𝟎 2 1 𝟏 𝑥(1) = + (1)𝐴0 + (0) = 𝑁 → 𝑨𝟎 = 𝑵 − 2 𝟐 𝑥(0) =

𝑥(0) = 0 , 𝑥(1) = 𝑁

Hallando la condición de transversalidad

𝒚𝒕 = 𝑳𝒊𝒃𝒓𝒆 , 𝑻 = 𝑭𝒊𝒋𝒐 ∴ Entonces 𝑓𝑥̇ = 0 , 𝑓𝑥̇ = 2𝑥̇ 2𝑥̇ = 0

𝑥(1) =

𝑥̇ = 0 𝑥̇ = 𝑡 + 𝐴0 = 0 𝐴0 = 0 − 𝑡 1 → −1=𝑁 2 1 − =𝑁 2

𝑡2 + (1)(−𝑡) + (0) 2

𝑨𝟎 = 𝑵 −

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 → 𝑨𝟎 = − − = − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒

e) Hallando el extremal

𝑡2 + 𝑡(−𝑡) + 0 2 𝒕𝟐 𝒙(𝒕) = − 𝒕𝟐 𝟐

𝑥(𝑡) =

f) Hallando del optimo 𝒙(𝒕) =

𝒕𝟐 𝟐

− 𝒕𝟐

𝒙̇ (𝒕) =

𝟐𝒕 − 𝟐

𝟐𝒕 = 𝒕 − 𝟐𝒕 → 𝒙̇ (𝒕) = −𝒕

1

𝑉(𝑥) = ∫(2𝑥 + 𝑥̇ 2 ) 𝑑𝑡 0 1

𝑉(𝑥) = ∫ (2 ( 0 1

𝑡2 − 𝑡 2 ) + (−𝑡)2 ) 𝑑𝑡 2

𝑉(𝑥) = ∫(𝑡 2 − 2𝑡 2 ) + (−𝑡)2 ) 𝑑𝑡 0 1

𝑉(𝑥) = ∫(−(𝑡)2 ) + (−𝑡)2 ) 𝑑𝑡 0 1

𝑉(𝑥) = ∫ 0 𝑑𝑡 0

𝑉(𝑥) = 0 ∴ El óptimo mínimo valor es Cero.