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• Paolita Torrez Sanchez

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• Geometria plana)
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Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere

y

.

a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. Solución:

b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Solución: Como las rectas de cortan resulta que determinan un plano. Consideremos el punto de intersección que pertenecerá al plano buscado. Necesitamos el vector normal al plano. Lo podemos hallar con:

2.- Demuestre, usando el producto triple escalar, que los cuatro puntos , son coplanarios. Solución:

3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos

y

viene dada por la fórmula: Solución:

La distancia entre ambos planos

4.- Considere el plano

y

vendrá dada por la distancia de

dado por

. Determine el valor de

y la recta tal que el plano

y la recta

a

, donde:

de ecuación sean paralelas.

Solución:

5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del plano y el punto . Solución:

6.- Calcule el volumen de la región limitada por el cono .

y el paraboloide

Solución:

7.- Determine el valor de

, si

y

.

Solución:

8.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza partícula desde el punto Solución:

al

a lo largo de la curva

, para mover una .

9.- Calcule la integral de línea

, siendo

región rectangular cerrada, con vértices en los puntos

el contorno de la y

.

Solución:

10.- Demuestre que: Solución:

11.- Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por . Encuentre el área del triangulo . Solución:

y

12.- Considere los planos ecuaciones paramétricas, si existen, para la intersección.

. Encuentre las

Solución:

13.- Sean

y

, las ecuaciones de una recta y un

plano respectivamente. a) Encontrar Solución:

b) Determinar la ecuación de la recta contenida en π, que pasa por perpendicular a . Solución:

14.- Encontrar Solución:

sabiendo que:

y

.

, y es

15.- Dados los planos Encuentre la ecuación vectorial de la recta determinada por la intersección de los planos y Solución:

16.- Dada la curva

y el punto

. Hallar la ecuación de la

recta tangente en dicho punto. Solución:

17.- Dados los vectores paralelepípedo con lados adyacentes Solución:

. Encuentre el volumen del .

18.- Si los vectores modo que

y

forman entre si un ángulo de

grados y

. Calcule

de

sea perpendicular a .

Solución:

19.- Calcular la distancia entre los dos planos: Solución: Los planos son paralelos. Ahora bien, la distancia entre los dos planos paralelos será la distancia de un punto de uno de los planos al otro plano . Elegimos entonces un punto del plano : Del plano

sabemos que:

20.- Calcular la distancia entre el punto

y la recta

.

Solución:

21.- Hallar la curvatura de Solución:

en

e

.

Derivando implícitamente respecta a : Derivando implícitamente respecto a x de nuevo: Cuando

e

:

Así, reemplazando en la fórmula:

22.- La masa de un cuerpo laminar se describe por

, donde

se

muestra en la figura:

a) Usando el cambio de variables:

, graficar el dominio del plano

Solución: Haciendo el cambio de variable, tenemos:

Observe que la transformación

dada es la inversa de

.

b) Aplicando el teorema del cambio de variables, calcular Solución:

23.- Encontrar el volumen del sólido limitado por: Solución:

usando las variables

24.- Sea la trayectoria

. Demuestre que

es independiente de

que pasa por dos puntos dados.

Solución:

25.- Use coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región encima del plano . cilindro

y el

Solución:

26.- El área de una hoja es de . Se desea escribir un texto, el cuál debe estar centrado con márgenes de a ambos lados y arriba y abajo. Determine cuáles son el largo y el ancho que maximizan el área del texto. Solución:

27.- Sea

. Calcule

.

Solución:

28.- Determine el volumen del sólido acotado por las curvas . Solución:

,

,

29.- Si

, donde

;y

tiene derivadas parciales continuas de segundo

orden, pruebe que: Solución:

30.- Calcule el máximo de la función con el cilindro del plano Solución:

sobre la curva de intersección .

Así,

31.- Cambie el orden de integración y calcule la siguiente integral:

Solución:

32.- Escriba en coordenadas rectangulares, cilíndricas, esféricas la integral:

Solución:

33.- Encuentre el valor de la derivada direccional de la función punto en la dirección que va desde hasta el punto

en el .

Solución:

34.- Si

, determine el valor de la expresión:

Solución:

35.- Calcule el ángulo entre los gradientes de las funciones en el punto .

y

Solución:

36.- Determine la ecuación del plano tangente a la superficie punto . Solución:

en el

37.- Encuentre los valores extremos de la función .

si

está en la elipse

Solución:

38.- Use integrales triples para calcular el volumen del sólido que está dentro del cilindro y en el elipsoide . Solución:

39.- Considere la función mínimos si es que existen de la función dada. Solución: Puntos críticos:

. Determine el o los máximos y

Evaluando:

40.- Verifique el Teorema de Green para

, donde

es la

frontera, tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas .

y

Solución:

41.- La ecuación de estado de un Gas Ideal está dada por , donde y son constantes. Considere el volumen como una función de la tempratura y la presión . a) Calcule Solución:

b) Demuestre que Solución:

42.- Sea cambio de variable

. Calcule la integral usando el .

Solución:

Así, el cambio de variable transformará la región dadas en la región del plano encerrada por

del plano

, encerrada por las rectas .

43.- Hallar el volumen de la región sólida formada por la intersección de la esfera con el cilindro . Solución:

44.- Demuestre que: Solución:

45.- Calcular el área de la superficie dada por: Solución:

46.- Si

y

entonces:

Solución:

47.- Hallar la máxima distancia al origen de la recta obtenida al interceptar los planos . Solución:

48.- Determine el volumen del sólido limitado por las curvas . Solución:

49.- Encuentre el volumen de la región limitada por el plano . Solución:

50.- Calcular el área comprendida entre las curvas Solución:

y el paraboloide

51.- Sea

, donde

y

. Determinar

el valor de la integral. Solución:

52.- Determinar el área de la superficie de la esfera . Solución:

interior a

53.- Sea

. Encuentre el plano tangente, si existe, a la en el punto

superficie

.

Solución: Como

y

diferenciable en Luego

es diferenciable en

Así, el plano tangente a

son funciones diferenciables en

y:

en

dirección de la normal exterior a la esfera

Solución:

es

(sus derivadas parciales existen y son continuas).

está dado por:

54.- Encontrar la derivada direccional de la divergencia de .

, entonces

en el punto , donde

en la

55.- Permutar el orden de integración de:

Solución:

56.- Sea

un campo escalar y un campo vectorial dado por . Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son

continuas. Demuestre que: Solución:

57.- Use coordenadas polares para combinar la suma dentro de una integral doble y resuelva:

Solución:

58.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva orientada de manera positiva:

Donde con

consiste del segmento de recta que va desde .

Solución: Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:

Aquí:

Se tiene:

a

y de la curva

59.- Determine el volumen del sólido que está encima del cono

y debajo de la esfera

. Solución:

60.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.

Donde Solución:

es cualquier trayectoria que va desde –

Es decir, existe

con

hasta

.

. Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:

Integrando con respecto a se tiene:

Se tiene:

61.- Dadas las funciones y

. Demostrar que las ecuaciones diferenciales

se pueden escribir en coordenadas polares como:

Solución:

62.- Calcular la derivada direccional de

en el

en la máxima dirección.

Solución:

63.- Una caja rectangular descansa sobre el plano con un vértice en el origen. Determinar el volumen máximo de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al plano . Solución:

64.- Sea a) Demuestre que

es un campo conservativo

Solución:

b) Encuentran el potencial escalar Solución:

c) Calcule

Solución:

donde

está dada por:

65.- Calcule gráficas de

, donde y

es la frontera de la región situada entre las

.

Solución:

66.- Un alambre de longitud se divide en dos trozos de modo que con el primer trozo se construye un cuadro y con el segundo una circunferencia. Determine la longitud de cada trozo de modo que la suma de las áreas de las figuras geométricas sea mínima. Solución:

67.- Sea

. Determine el valor de , si existen, de modo que:

Solución:

68.- Utilice el Teorema de Green para calcular la integral es la frontera de la región situada en el interior del rectángulo limitado por y en el exterior del cuadrado limitado por Solución:

, donde .

69.- Calcular

para

los planos coordenados y el plano Solución:

,y .

la región sólida acotada por

70.- Calcular

para

primer octante del plano Solución:

y .

la porción del

71.- Dada una curva en el espacio por las ecuaciones paramétricas hállese la ecuación del plano que pasa por el punto

de la curva y que es

perpendicular a la tangente a la misma en dicho punto. Solución:

72.- Una placa circular, cuyo contorno es , se calienta de tal modo que la es . Determine los puntos más calientes temperatura en el punto y más fríos de la misma y hállese la temperatura en cada uno de ellos. Solución:

73.- Determine el volumen del sólido cuya base es la región del plano que limitan la y la recta , mientras que su tejado es el plano . parábola Solución:

74.- Al expresar el volumen situado por debajo del plano plano se obtuvo la siguiente suma de integrales iteradas:

Dibuje la región y exprese orden de integración.

en cierta región

del

mediante una integral iterada, en la cual se haya invertido el

Solución:

75.- Calcular del cono Solución:

, siendo encima del plano

y .

la superficie

76.- Calcular la integral . Solución:

, donde

pertenece a

77.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:

Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple convexa. Solución: Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:

78.- Calcular región Solución:

, en que

y .

es la frontera de la

Por teorema de la divergencia: Pero: Aplicando coordenadas esféricas:

79.- Sea

en que

Solución: Por teorema de Stokes:

Pero:

Análogamente:

y

, demuestre que:

80.- Dada la función z = u ( x, y )e ax +by y

∂ 2u = 0 , halle los valores de la constante a y b, ∂x∂y

∂ 2 z ∂z ∂z tales que − − + z = 0. ∂x∂y ∂x ∂y Solución:

∂z ∂u ax +by e = a * u ( x, y )e ax +by + ∂x ∂x ∂z ∂u ax +by e = b * u ( x, y )e ax +by + ∂y ∂y ∂2z ∂u ax +by ∂ 2 u ax +by ∂u ax + by e = abu ( x, y )e +b e + + a e ax +by ∂x∂y ∂x ∂x∂y ∂y Por lo tanto

∂ 2 z ∂z ∂z +z − − ∂x∂y ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u ∂u = abue ax +by + b e ax +by + a e ax +by − aue ax +by − e ax +by − bue ax +by − e ax +by + ue ax +by ∂y ∂x ∂y ∂x = e ax +by (abu + b

∂u ∂u ∂u ∂u +a − au − − bu − + u) ∂x ∂y ∂x ∂y

 ∂u ∂u = e ax +by (ab − a − b + 1)u + (b − 1) + (a − 1) ∂x ∂y  Por lo tanto,

a =1 b =1 ab − a − b + 1 = (1)(1) − (1) − (1) + 1 = 0

]

81.- Determine los valores extremos de la función f ( x, y, z ) = xy + yz + xz sobre la esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 3. Solución: Sea F = xy + yz + xz + λ ( x 2 + y 2 + z 2 − 3) (i.)

∂F = y + z + 2λx = 0 ∂x

(ii.)

∂F = x + z + 2λ y = 0 ∂y

(iii.)

∂F = y + x + 2λ z = 0 ∂z

(iv.)

∂F = x2 + y2 + z2 − 3 = 0 ∂λ

De (i.) –(ii.):

y + 2λ x − x − 2λ y = 0 y (1 − 2λ ) − x(1 − 2λ ) = 0; Si 1 − 2λ ≠ 0 x=y De (i.)-(iii.)

z + 2λx − x − 2λz = 0 z (1 − 2λ ) − x(1 − 2λ ) = 0, Si 1 − 2λ ≠ 0 z=x Reemplazando en (iv.): x 2 + x 2 + x 2 − 3 = 0

x = ±1 y = ±1 z = ±1 Max: F (±1, ± 1, ± 1) = 3 Min: F (±1, ± 1, ± 1) = −2

82.- Halle el valor de la integral

∫∫∫ x

2

y 2 z dx dy dz con R definido por

R

x + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 . 2

2

Solución: 2 2 ∫∫∫ x y zdx dy dz = R

2∏ 1

=

1

∫ ∫ ∫ρ θ ρ

5

2∏ 1

1

( ρ cos θ ) ∫ ∫ ∫ θ ρ

2

( ρ senθ ) 2 ( z ) ( ρ dz dρ dθ )

= 0 =1 z = 0

cos 2 θ sen 2θ z dz dρ dθ

= 0 =1 z = 0

2∏

=

1 1 * ∫ cos 2 θ sen 2θ dθ 6 2 θ =0

De senθ cos θ =

sen 2θ 2

Tenemos sen 2θ cos 2 θ = De sen 2α =

1 − cos 2α 2

Tenemos: sen 2 2θ =

Por lo tanto,

=

1 12

2∏

∫ 0

sen 2 2θ 4

1 − cos 4θ 2

sen 2 2θ 1 − cos 4θ = = sen 2θ cos 2 θ 4 8

1 − cos 4θ ∏ 1 dθ = [2 ∏ ] = 8 96 48

83.- Calcule la integral

   F * n dS con F = ( x, y,2 z ) y S es la superficie externa del sólido ∫∫ S

acotado por x + y = 1 − z 2

y z = 0.

2

Solución:

 ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅ F = ( , , ) ⋅ ( x, y , 2 z ) = 1 + 1 + 2 = 4 ∂x ∂y ∂z

∫∫

   F ⋅ n ds = ∫∫∫ ∇ ⋅ F dv = ∫∫∫ 4 dv R

S

2∏

=4

R

2 1 1− ρ

∫ ∫ ∫ ρ dz dρ dθ

θ =0 ρ =0 z =0

1

= 4 ⋅ (2 ∏) ∫ ρ (1 − ρ 2 ) dρ ρ =0

1 1 = 8 ∏ −  = 2 ∏ 2 4

84.- Calcule la integral de línea

∫ ye

xy

dx + xe xy dy , donde C es la curva formada por los

C

siguientes segmentos de rectas: Punto Inicial (2,1) → (1,2) → (−1,2) → (−2,1) → (−2,−1) → (−1,−2) → (1,−2) → (2,−1) Punto Final Solución: Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que

∂ ∂ ( xe xy ) = e xy + xye xy = ( ye xy ), se tiene que la integral de línea es independiente de la ∂x ∂y trayectoria, y por lo tanto:

∫ ye

xy

dx + xe xy dy =

∫ ye

xy

dx + xe xy dy

C+

C

1

= − ∫ 2e 2t dt = −e 2 + −1

1 e2

Donde C* : γ (t ) = (2, t ), − 1 ≤ t ≤ 1

85.- Qué puede decir de

  xy xy ye dx + xe dy , donde C * : r ( t ) = 2 i + tj , − 1 ≤ t ≤ 1. ∫

C ∪C *

Solución: La integral de línea es nula, ya que

∫ ye

xy

dx + xe xy dy

C ∪C *

∂θ

∂P

∫∫ ( ∂x − ∂y )dA

= 

Teorema deGreen D

= 

0

Campo Conservador

Donde D es la región plana limitada por la curva cerrada C ∪ C * y

P( x, y ) = ye xy , Q( x, y ) = xe xy

86.- Calcular

      F ⋅ n ds donde y C es la frontera de la parte del = + 2 + 3 F xz i xy j xy k ∫

C

plano 3 x + y + z = 3 que está en el primer octante. Solución: Por Teorema de Stokes, se tiene que:

     ∂g ∂g  ⋅ = ⋅ = − − F dr rot F n ds P + Q R ∫C ∫∫S ∫∫D  ∂x ∂y  dA Donde S : z = 3 − 3 x − y = g ( x, y ) orientada hacia arriba limitada por la curva C en el primer octante. D es la proyección de S en el plano xy

    rot F = 3 xi + ( x − 3 y ) j + 2 yk   P

Q

R

 ∴ ∫ F ⋅ dr = ∫∫ (10 x − y ) dA C

D

1 3−3 x

1

0

0

=∫

∫ (10 x − y)dy dx =∫ (10 xy − 0

1

= ∫ (10 x(3 − 3 x) − 0

y2 ) 2

1 (3 − 3 x) 2 (9 − 18 x + 9 x 2 ) )dx = ∫ (30 x − 30 x 2 − )dx 2 2 0

1

1

1 1 = ∫ (60 x − 60 x 2 − 9 + 18 x − 9 x 2 )dx = ∫ (78 x − 69 x 2 − 9)dx 20 20 =

1 78 x 2 69 x 3 1 ( − − 9 x) = (39 x 2 − 23x 3 − 9 x) 2 2 3 2

=

1 7 (39 − 23 − 9) = 2 2

87.- Determinar el valor de la integral cilindro

y los planos

, donde

, arriba del plano

Solución:

88.- Evaluar, usando algún tipo de coordenadas, la integral:

Solución:

es la región limitada por el .

89.- Dado el campo vectorial afirmar que

. ¿Es posible

es nula si , definida por

es una curva simple cerrada?

Solución:

90.- Si

calcule el trabajo realizado por

lo largo del segmento de recta que va desde el punto utilizar una función de potencial.

al desplazar una particula a al punto

. Evalúe sin

Solución:

91.- Si

Solución:

y

, donde α es constante, mostrar que:

92.- Dada la elipse con centro en el origen. Encuentre los puntos más alejados del origen, determinando así su eje mayor. Solución:

93.- Calcular: Solución:

94.- Determinar el volumen del sólido limitado superiormente por , y debajo por el plano . por Solución:

, lateralmente

95.- Calcular la integral

para

y

.

Solución: Usando el teorema de la divergencia, se tiene:

96.- Hallar el plano tangente a la recta normal a la superficie .

en el punto

Solución: Sea la superficie , es

97.- Dada Solución:

. Entonces, el vector es normal a . En particular, el vector normal a la superficie dada en el punto .

, hallar el valor de la expresión

.

98.- Resolver la integral doble

.

Solución:

99.- Determinar el valor de la integral la región encerrada por Solución:

, donde .

es la frontera de

100.- Hallar el valor de la integral y Solución:

, donde

es la superficie de la esfera de centro el origen y radio .