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• Alexis Orsini

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Facultad de Ciencias Económicas Contador Público/ Licenciatura en Economía/ Licenciatura en Gestión de Organizaciones

Cálculo Aplicado a Ciencias Económicas Unidad 1: Funciones reales de variable real

EJERCICIOS RESUELTOS

Facultad de Ciencias Económicas Contador Público/ Licenciatura en Economía/ Licenciatura en Gestión de Organizaciones Cálculo Aplicado a Ciencias Económicas

EJERCICIO 1: Escriba los siguientes conjuntos como intervalos, represéntelos gráficamente en la recta real y encuentre, si es posible, centro, amplitud y radio de cada uno de ellos. En los casos en que se pueda, escríbalos como entorno.

A  x / x 

 2  x  4

A es el conjunto formado por 𝑥 tal que 𝑥 pertenece al conjunto de los números reales y 𝑥 es mayor o igual que -2 (incluye a -2) y menor que 4 (no incluye a 5). A es el conjunto de números reales mayores o igual que -2 y menores que 4

A   2, 4 

 amplitud  a  4   2   6   2  4  no puede expresarse como entorno Punto medio  c   1 2  ya que no es un intervalo abierto 6  Radio  h   3  2

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EJERCICIO 1: Escriba los siguientes conjuntos como intervalos, represéntelos gráficamente en la recta real y encuentre, si es posible, centro, amplitud y radio de cada uno de ellos. En los casos en que se pueda, escríbalos como entorno.

B  x / x 

 1  x  5

B es el conjunto formado por 𝑥 tal que 𝑥 pertenece al conjunto de los números reales y 𝑥 es mayor que 1 (no incluye a 1) y menor que 5 (no incluye a 5). B es el conjunto de números reales mayores 1 y menores que 5.

B  1, 5 

  amplitud  a  5  1  4  1 5  Punto medio  c   3 E  3 , 2  2  4  Radio  h   2  2

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EJERCICIO 1: Escriba los siguientes conjuntos como intervalos, represéntelos gráficamente en la recta real y encuentre, si es posible, centro, amplitud y radio de cada uno de ellos. En los casos en que se pueda, escríbalos como entorno.

E  x / x 

 x  3

E es el conjunto formado por 𝑥 tal que 𝑥 pertenece al conjunto de los números reales y 𝑥 es menor o igual que 3 (incluye a 3). E es el conjunto de números reales menores o igual que 3.

E    , 3

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EJERCICIO 1: Escriba los siguientes conjuntos como intervalos, represéntelos gráficamente en la recta real y encuentre, si es posible, centro, amplitud y radio de cada uno de ellos. En los casos en que se pueda, escríbalos como entorno.

G  x / x 

 x  2  3  E  2,3 centro

radio

centro  c  2   E 3 , 2 radio  h  3 

radio

centro

radio

extremo inferior del intervalo : 2  3  1  G   1, 5  extremo superior del intervalo : 2  3  5  amplitud  a  5   1  6

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EJERCICIO 1: Escriba los siguientes conjuntos como intervalos, represéntelos gráficamente en la recta real y encuentre, si es posible, centro, amplitud y radio de cada uno de ellos. En los casos en que se pueda, escríbalos como entorno.

I  x / x    x  3  2

 x  3  2 o bien

x 3  2

x  3  2 o bien x 1 o bien

x 3  2 x5

I   ,1   5,  

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EJERCICIO 1: Escriba los siguientes conjuntos como intervalos, represéntelos gráficamente en la recta real y encuentre, si es posible, centro, amplitud y radio de cada uno de ellos. En los casos en que se pueda, escríbalos como entorno.

 K  x / x  

2 2   0  x  1    E '  1,  3 3  Entorno reducido

centro  c  no lo incluye  1  2   E '  1 ,  2   3 radio  h     3  2 5 extremo inferior del intervalo : 1     1  5   3 3 K   ,  1   1,       2 1 3 3    extremo superior del intervalo : 1    3 3 

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EJERCICIO 2: Resuelva las siguientes desigualdades y represente gráficamente el conjunto solución.

c) 3  2 x  6  3 x 2 x  3x  6  3 x3 x  3 S   3,  

e)  1  4  2 x  3 1  4   2 x  3  4  5   2 x  1 5 1  x  2 2 1 5  x  2 2

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EJERCICIO 2: Resuelva las siguientes desigualdades y represente gráficamente el conjunto solución.

f ) x2  2x  3  0

Factorizando

 x  1 x  3  0

Para que un producto sea mayor a cero ambos factores deben tener el mismo signo

x 1  0   y x  3  0 

o bien

x 1  0   y x  3  0 

 x  1   y x  3 

o bien

 x  1   y x  3 

x3

o bien

x  1

S   , 1   3,  

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EJERCICIO 2: Resuelva las siguientes desigualdades y represente gráficamente el conjunto solución. g ) 2x2  x  6  0 Factorizando

3  2  x  2  x    0 2  3  x  2 x      0 Para que un producto sea menor o igual a cero 2  los factores deben tener distinto signo o bien ser cero.  x  2  0   y  3 x   0  2

o bien

 x  2  0   y  3 x   0  2

  x  2   y  3 x   2 3  S   2,  2 

o bien

  x  2   y  3 x   2

 2  x 

3 2

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EJERCICIO 2: Resuelva las siguientes desigualdades y represente gráficamente el conjunto solución.

i) x 2  9 x2  9

Se aplica raíz cuadrada a ambos miebros de la igualdad

x 3

Por definición de valor absoluto

-3  x  3 S   3,3

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EJERCICIO 2: Resuelva las siguientes desigualdades y represente gráficamente el conjunto solución.

k)

2x  5 0 x3

Para que un cociente sea menor a cero el signo del numerador debe diferir del signo del denominador.

2 x  5  0   y x  3  0  5  x   2   y  x  3  

o bien

o bien

o bien

2 x  5  0   y x  3  0  5  x   2   y  x  3   3 x 

5 2

5  S   3,  2 

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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

a) f ( x)  x 3

D

,I

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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

a) f ( x)  x 3

D

,I

f1 ( x)  x 3  2

D

,I

𝑓 se desplaza verticalmente 2 unidades hacia arriba

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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

a) f ( x)  x 3 f 2 ( x)   x  2 

3

𝑓 se desplaza horizontalmente 2 unidades hacia izquierda

D

,I

D

,I

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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

a) f ( x)  x 3

D

,I

f3 ( x)  5  x 3

D

,I

Recordar que Para hallar 𝑓3 debemos considerar la función simétrica a 𝑓 respecto al eje de ordenadas y luego desplazarla verticalmente 5 unidades hacia arriba

y  x3 , y   x3 son simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y)

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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

b) g ( x )  e x A.H : y  0

D

,I



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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

b) g ( x )  e x A.H : y  0

D

,I



g1 ( x)  e x  3  g se desplaza verticalmente 3u. hacia abajo D

, I   3,   , A.H : y  3

g 2 ( x)  e x3  g se desplaza horizontalmente 3u. hacia la derecha D

,I



, A.H : y  0

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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

b) g ( x )  e x g 3 ( x )  e 2 x  3 D

A.H : y  3

, I   3,  

Para hallar 𝑔3 debemos considerar la función simétrica a 𝑔 respecto al eje de ordenadas, desplazarla horizontalmente 2 unidades hacia la derecha y luego desplazarla verticalmente 3 unidades hacia arriba. x x Recordar que y  e , y  e son simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y)

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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

c) h( x)  ln x D  ,I  A.V : x  0

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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

c) h( x)  ln x

AV . :x0

h1 ( x)  ln x  4  g se desplaza verticalmente 4u. hacia arriba D



,I

, AV . :x0

h2 ( x)  ln( x  3)  2  g se desplaza horizontalmente 3u. hacia la izquierda y luego se desplaza verticalmente 2u. hacia abajo. D   3,   , I 

, AV . : x  3

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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

c) h( x)  ln x h3 ( x)  2  ln x D



AV . :x0

,I

Para hallar ℎ3 debemos considerar la función simétrica a ℎ respecto al eje de abscisas y luego desplazarla verticalmente 2 unidades hacia arriba.

Recordar que y  ln x , y   ln x son simétricas respecto al eje de abscisas (eje x)

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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

d ) j ( x)  x D

 0

  0,   , I 



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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

d ) j ( x)  x j1 ( x)  x  2  j se desplaza verticalmente 2u. hacia arriba D

 0

, I   2,  

j2 ( x)  x  2  j se desplaza horizontalmente 2u. hacia la izquierda D   2,   , I 



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EJERCICIO 3: En las siguientes funciones, grafique la primera de ellas utilizando una breve tabla de valores (no más de 3 valores) y luego grafique las demás usando conceptos de traslación y reflexión. Determine dominio e imagen de cada una de ellas.

d ) j ( x)  x

j3 ( x)  3  x  2

Para hallar 𝑗3 debemos considerar la función simétrica a 𝑗 respecto al eje de abscisas, desplazarla horizontalmente 2u. hacia la derecha y luego desplazarla verticalmente 3 unidades hacia arriba.

Recordar que y  x , y   x son simétricas respecto al eje de abscisas (eje x)

D

 0

,I



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EJERCICIO 4: Dadas las siguientes funciones, halle el dominio e imagen de las mismas y grafique.

a) y 

2x  3 x 1

D

 1

AV : x  1

I

 2

AH : y  2

Funciones homográficas f  x  D I

axb cxd

 d     c a    c 

AV . :x A.H : y 

a c

d c

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EJERCICIO 4: Dadas las siguientes funciones, halle el dominio e imagen de las mismas y grafique.

c) y 

2  3x x2

D

 2

I

 3

AV : x  2 AH : y  3

Funciones homográficas f  x  D I

axb cxd

 d     c a    c 

AV . :x A.H : y 

a c

d c

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EJERCICIO 4: Dadas las siguientes funciones, halle el dominio e imagen de las mismas y grafique.

d) y 

2x 1 x

D

 0

AV : x  0

I

 2

AH : y  2

Funciones homográficas f  x  D I

axb cxd

 d     c a    c 

AV . :x A.H : y 

a c

d c

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EJERCICIO 4: Dadas las siguientes funciones, halle el dominio e imagen de las mismas y grafique.

f) y

2 x 1

D

 1

I

 0

AV : x  1 AH : y  0

Funciones homográficas f  x  D I

axb cxd

 d     c a    c 

AV . :x A.H : y 

a c

d c

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EJERCICIO 5: Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 5 realice las siguientes operaciones:

a )  f  g  ( x)  x 2   3x  5   x 3  3x  5 b)  f  g  ( x )  x 2   3 x  5   x 2  3 x  5 c )  f .g  ( x )  x 2  3 x  5   3 x 3  5 x 2  f  x2 d )   ( x)  3x  5 g

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EJERCICIO 6: Con las mismas funciones del ejercicio anterior, encuentre las funciones compuestas 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 y 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥

f  x   x2

g  x   3x  5

f

g  ( x)  f  g  x     g  x     3x  5 

g

f  ( x)  g  f  x    3 f  x   5  3x 2  5

2

2

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EJERCICIO 7: En cada uno de los siguientes casos, encuentre las funciones compuestas 𝑓∘𝑔 𝑥 y 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 . Obtenga el dominio de cada una de ellas y represente gráficamente el mismo en el eje real. a ) f ( x)  2 x  3

g ( x) 

1 x

f

g  ( x)  f  g  x    2 g  x   3 

g

f  ( x)  g  f  x   

b) f ( x ) 

3 2x

2 2  3x 3 x x

1 1  f  x 2x  3

g ( x) 

g  ( x)  f  g  x   

D

 0

D

3  3    ya que 2 x  3  0  x   2  2

x4 2

3 3 3   2g  x 2 x  4 x  4 2 3 3  8x  4 f  x  4 2x 3  8x   2x   g f  ( x)  g  f  x    2 2 2 4x

f

D

 4

D

 0

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EJERCICIO 7: En cada uno de los siguientes casos, encuentre las funciones compuestas 𝑓∘𝑔 𝑥 y 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 . Obtenga el dominio de cada una de ellas y represente gráficamente el mismo en el eje real. c) f ( x)  x

f

g ( x)  x 2  4

 g f  ( x)   f  x    4  2

d ) f ( x) 

f

D   , 2   2,   ya que x 2  4  0  x 2  4  x  2 o x  2

g  ( x)  g  x   x 2  4

g  ( x) 

1 x

 

g ( x)  1  g  x

x

2

4 x 4 D 

x4 2x 1

1 2x 1  x4 x4 2x 1

1 4 f  x  4 x   g f  ( x)  2 f  x  1 1 2 1 x

2x 1 1  D   , 4    ,   ya que  0 y x  4 x4 2 

D



 4 ya que

1 1 0 y 2 1  0 x x

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EJERCICIO 7: En cada uno de los siguientes casos, encuentre las funciones compuestas 𝑓∘𝑔 𝑥 y 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 . Obtenga el dominio de cada una de ellas y represente gráficamente el mismo en el eje real. 3x  1 x2 3x  1   f g  ( x)  ln  g  x    ln    x2  3 f  x   1 3ln x  1 g f ( x )     f  x   2 ln x  2 e) f ( x)  ln x

f ) f ( x)  ln x

g ( x) 

1 3x  1  D   ,     2,   ya que 0 3 x  2   D



 e 2  ya que x  0 y ln x  2  0

g ( x)  5 x  4

f

g  ( x)  ln  g  x    ln(5 x  4)

g

f  ( x)  5 f  x   4  5 ln x  4

4  D   ,   ya que 5 x  4  0 5  D 

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EJERCICIO 8: En las siguientes funciones, ℎ 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 , se pide que distinga las dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥).

a )  f g  ( x )  h( x )   3 x  2    g  x    f ( x )  x 4 , g ( x )  3 x  2 4

4

b)  f g  ( x )  h( x ) 

1 3

x2  5

1

 3

g  x

 f ( x) 

1 2 , g ( x )  x 5 3 x

c)  f g  ( x)  h( x)  3( x  2)  ln( x  2)  3g  x   ln  g  x    f ( x)  3 x  ln x , g ( x)  x  2 d )  f g  ( x )  h( x ) 

g  x 5x x   f ( x )  , g ( x)  5 x 2 2 2 25 x  15 x  g  x    3g  x  x  3x