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EJERCICIOS PROPUESTOS DE FILTRACION 1. PROBLEMA 1 Una solución acuosa que contiene un 70% de sólidos insolubles es filtrada a razón de 10 tn/h, utilizando un filtro prensa de marcos y palcas, que trabaja a presión constante de 3 at. Experimentalmente se ha encontrado de la torta depositada contiene un 50% de humedad, siendo la densidad del sólido seco 3.5 g/cm3 y el diámetro equivalente de las partículas depositadas 0.002 mm. El lavado de la torta depositada empieza cuando se han filtrado 10,000 kg/h de la papilla de alimentación, utilizándose 150 litros de agua; mientras que las operaciones de descarga, limpieza y montaje se emplean 30 minutos. Si se considera despreciable la resistencia que el medio filtrante ofrece a la filtración; calcular: a) La resistencia específica de la torta. b) Volumen de agua filtrada al cabo de una hora, c) Tiempo necesario para realizar el lavado, d) Capacidad de filtración. Datos. Para la constante de Kozeny puede tomarse k”=5 Propiedades del agua: 1,000 kg/m 3; Viscosidad 1 mPa-s En una hora se filtran 10,000 kg de la suspensión. Sólido seco depositado: w = (10,000) (0,07) = 700 kg. M = Peso torta húmeda = 100 kg torta húmeda = 2 Peso torta seca 50 kg torta seca M = Masa sólido seco + Masa líquido retenido Masa sólido seco Si VT = Volumen de torta depositada M= 1 + VT ϵ P = 1+ ϵP VT (1 – ϵ) Pf (1 – ϵ) Pf Sustituyendo las variables por su valor se obtiene que la porosidad es e = 0.778. Superficie específica de la partícula: aso = 6/dp

= 6 /(0.002 – 10-3 m) = 3 . 106 m-1

La resistencia específica de la torta se obtiene a partir de la ecuación 10.6: α = m/kg

K” (1 - ϵ) (α so)2 ϵ3 Ps

=

5 (1 – 0.778 ) (3 . 106 m-1 )2 (0.778)3 (3.500 kg/m3)

=

6.07 . 10 9

Para filtración a caída de presión constante, el volumen de filtrado viene dado por la ecuación 10.28. Como la resistencia del medio es despreciable Rf = 0,

dicha ecuación se simplifica y queda de la forma: V = A

(2 C (-ΔP) ½

1) en la que: n

(-ΔP) = 3 at 9.8 – 102 Pa = 2.94 . 105 Pa 1 at Además, de la definición de la constante C [ec. 10.23]: C=

1- MS

=

αpS

1 – (2). (0.07)

=

2.024 . 10-12 m-2

(6.07 . 109 m/kg) (103 kg/m3)(0.07)

Volumen de filtrado recogido en 1 hora: V = W ((1-MS) pS

= (700 kg s.s.)(1 – 2 . 0.07) = 8.6 m3 (1.000 kg/m3)(0.7)

con lo, que el área de filtración se obtiene de la ecuación 10.28, con R f= 0:

2 (2.024 . 10-12m2) (2.94 . 105 Pa) (3.600 S) 8.6 m3 = A (10-3 . Pa.S)

½

Obteniéndose un área de filtración: A = 4.155 m 2 El caudal de lavado coincide con el del final del filtrado, y como Rᶠ = 0, la ecuación 10.39 se simplifica: qL = ¼ C A2 (-ΔP)t

ȠV 2

Como: A = 4.155 m Ƞ = 10-3 . Pa.S

C = 2.024 . 10-12 m-2 (-ΔP) = 2.94 . 105 Pa

V = 8.6 m3

Se obtiene: qL = 2.99 . 10-4 m3/s El tiempo de lavado será:

tL = VL = ( 0.15 m 3) -4 qL (2.99 . 10 m3/s)

= 502 s

Calculo de la capacidad de filtración: F (c) = V = 8.6 m3 = 1.457 . 10 -3 m3/s t + tl + to (3.600 + 502 + 1.800) F (c)= 1. 457 . 10-3 m3/s = 87,42 litros/min 2. PROBLEMA 2

Una solución acuosa que contiene 10% de sólidos en suspensión es filtrada en un filtro prensa de marcos y placas. En un experimento previo se ha obtenido que la relación torta húmeda/torta seca es de 2.2, siendo la torta incomprensible de resistencia específica de 2,5 . 10 10 m/kg. A lo largo de una operación a presión constante de 3 at, la variación de la cantidad de filtrado con el tiempo se recoge en la siguiente tabla: Tiempo (minutos) Masa filtrado (kg)

8

18

31

49

70

95

1,600

2,700

3,720

4,900

6,000

7125,00 0

A partir de estos datos calcular: a) Área total del filtro y resistencia del medio filtrante, b)si el tiempo no operativo de cada ciclo filtrante son 26 minutos, calcular el volumen de filtrado que se recogerá al cabo de 10 horas, si se opera con el ciclo óptimo de filtración, c) se desea filtrar la misma disolución, pero trabajando a caudal volumétrico constante. Si al cabo de 142 minutos la caída de presión que experimenta el fluido al atravesar la torta y el medio filtrante es de 4.5 at, calcular el volumen de filtrado que se obtiene y el caudal con el que circula. Datos. Propiedades del agua = 1,000 kg/m 3; Viscosidad 1 mPa-s Filtración a caída de presión constante En este tipo de operación, la variación del volumen del filtrado y el tiempo se correlacionan mediante una ecuación de segundo grado [ec. 10.27]: K1 V2 + k2 V – t = 0 En la que las constantes K 1 y k2 viene dadas por las ecuaciones 10.25 y 10.26. La de la ecuación 10.27 es la de una recta si se representa t/V frente a V, como una pendiente K1 , y ordenada en el origen k2. a) De los datos del enunciado puede construirse la tabla: t (s) V (m3) t/V (s/m3)

480 1,6 300

1,080 2,7 400

1,860 3,72 500

2,940 4,9 600

4,200 6,0

5,700 7,125

700

800

Del ajuste de estos datos, por el método de los mínimos cuadrados, se obtiene las constantes K1 y k2 K1 = 90,40 s/m6 k2 = 157, 58 s/m3 El valor de la constante C se obtiene a partir de la ecuación 10.23: C= m2

1 – MS α pS

=

1 – (2.2) . (0.1)

= 3,12 . 10 -13

(2,5 . 1010 m/kg) (1,000 kg/m3)(0,1)

Cálculo del área de filtración: De la expresión de la constante K1 (Ec. 10.25) es posible obtener esta área: A2 = Ƞ = 1,2 . 10 -3 Pa.S 2 = 72,357 m

2 K1C (-ΔP)

2 (90,40 s/m6) (3,12 . 10-13 m2) (3,98 . 104 Pa)

Luego: A = 8,506 m2 Cálculo de la Resistencia del medio filtrante De la expresión de la constante k2 [ec. 10.26] es posible obtener el valor de la resistencia del medio filtrante: Rf = k2 A (-ΔP) m-1

= (157, 58 s/m3) (8,506 m2) (3 ,9.8 . 104 Pa) = 3,284 . 10 11

Ƞ

1,2 . 10-3 Pa.S

b) Capacidad de filtración: viene dada por la ecuación 10.41, que en este caso es: F (c) =

V t+t

en la que to = 26 . 60 s = 1,560 s

o

De la ecuación 10.27 se obtiene: t = K1 V2 + k2 V Y la capacidad de filtración será: F (c) =

V K 1 V2 + k 2 V + t o El ciclo óptimo se obtiene al derivar esta función con respecto al volumen de filtrado, e igualar a cero esta derivada: [F (c) ] = K1 V2 + k2 V + to – V (2 K1 V + k2) dt (K1 V2 + k2 V + to)2 por lo que el numerador de esta expresión es igual a cero, o lo que es lo mismo: K1 V2 = to d

De la que se obtiene:

Vopt = (to/ K1 )½

Como: to = 1,560 s y K1 = 90,40 s/m6 se obtiene un volumen óptimo de filtrado: Vopt = 4,154 m3 Tiempo de filtración. Se obtiene de la expresión: t = K1 V2 + k2 V t = (90,40 s/m6) (4,154 m3)2 + (157, 58 s/m3)( 4,154 m3) t = 2,215 s = 36 min 55 s Tiempo de un ciclo: tciclo = t + to = 2,215 s + 1,560 s = 3,775 s Número de ciclos: nº ciclos = (10 h) (3,600 s/h) = 9,536 ciclos 3,775 s Se han cumplido 9 ciclos completos más la parte de 0,536 ciclos, que se corresponden a: [0,5364 ciclos) . (3,775 s/ciclo)] = 2.025 s

3. PROBLEMA 3 Un pueblo con sistema de alcantarillado y una población de 12,000 habitantes proyecta construir dos filtros percoladores de alta velocidad, cada uno de 20 m de diámetro y 2 m de profundidad, para el tratamiento de sus aguas residuales. ¿Serán estos filtros suficientemente grandes para satisfacer los parámetros de carga normales? Solución. Suponga que el flujo de aguas residuales es de 400 lpd (tabla 12-4). El flujo medio de aguas residuales municipales es entonces: 12,000 X 400 = 4,800 m3 /día 103 Así pues, el flujo hacia cada filtro es de 4,800 m 3 /día, incluido el 100% de recirculación. Suponga que la DBO afluente es de 190 mg/L (tabla 12-4). Entonces la carga de DBO5 afluente a la planta es de: 4,800 X 103 X 190 = 912 kg/día 106 Suponga una eliminación del 30% de la DBO en los primarios (tabla 12-6). Entonces la carga de DBO en cada filtro es ½ X 0.70 X 912 = 319 kg/día Tamaño de los filtros con base en la carga de DBO. Suponga que la carga de DBO por diseño es de 0,56 kg/m . día (tabla 12-09). Entonces tenemos que: Volumen de filtro = área x profundidad = π d2 x 2 m 4 Y Carga unitaria de DBO =

319 kg/día = 0,560 kg/ m 3. día 2 3 [(π d /4) X 2]m

De donde: d = 17.5 m Comentario: Así pues, los dos filtros de 20 m de diámetro tienen sin duda el tamaño suficiente para las cargas de DBO e hidráulica a normales. En la práctica también se debe considerar lo que sucede cuando se presentan cargas mayores que las normales o cuando un filtro está fuera de servicio. Las posibilidades son: hacer más grandes los dos filtros, incluir un tercero o permitir una sobre carga temporal.