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C´ alculo Infinitesimal CURSO 2009-10 Clase Pr´actica No. 3 ´ SERIES NUMERICAS

´INDICE Secci´on Sugerencias Repaso de la Teor´ıa Objetivos Metodolog´ıa C´alculo Num´erico. Programas Sumar INLINE con el comando SUM Crear sucesiones en MatLab Ejercicios Precisando algunas ideas sobre el error Aplicaci´on: Constante de Euler L´ımites experimentales Herramientas simb´olicas Una dificultad con el factorial simb´ olico Ejemplos (comandos SYMSUM y EVALF) Convergencia y suma. Ejemplos Series dependientes de un par´ametro. Ejemplos Ejercicios y ejemplos Notas sobre los ejercicios Conclusiones Ap´endice

Diapositiva 5 7 9 10 11 13 15 18 20 22 23 24 27 28 29 31 35 38 40 41

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SUGERENCIAS Antes de comenzar el trabajo con MatLab (ML) y Adobe-Acrobat (PDF) debemos personalizar estos entornos mediante algunas acciones de rutina. El objetivo es producir aquellos efectos que sean deseables, necesarios o convenientes para trabajar con eficiencia y comodidad. 1- (ML) Ajustar tama˜ no y color de texto y fondo. 2- (ML y PDF) Ajustar los tama˜ nos de las respectivas ventanas para trabajar simult´aneamente con ambas en pantalla (no es necesario si se dispone de copia impresa) 3-(ML) Crear carpetas personales temporales (al final de la sesi´on pueden ser eliminadas) y declarar la correspondiente trayectoria (PATH). Esto es esencial para la ejecuci´ on de programas. Basta ejecutar lo siguiente. >>!mkdir C:\calculo\carpeta_personal >>path(’C:\calculo\carpeta_personal’,path)

SUGERENCIAS (cont.) 4-(ML) Aplicando >>format compact podemos ahorrar el espacio de la ventana de comandos. 5-(ML) Activar MORE mediante >>more on para impedir el desplazamiento descontrolado de la ventana de comandos. 6-(ML) Ejecutar >>format long e para salida num´erica de doble precisi´on (16 d´ıgitos significativos) y exponente de tres d´ıgitos (potencias de 10), o bien ejecutar en l´ınea >>format short e si bastan 5 d´ıgitos en la mantisa. 7) Se recomienda el uso de los programas SUMA NUM y SUMA SYM, que facilitan los c´alculos y permiten salvar los resultados en un archivo pre-seleccionado: C:\calculo\carpeta_personal\ClasePrac3.doc

El concepto de serie num´ erica. Sea (xn)∞ on num´erica y sea Sn la sucesi´ on n=1 una sucesi´ definida por S 1 = x1 , S 2 = x1 + x2 , ··· ··· Sn = x1 + · · · + xn, n = 1, 2, 3, ... Al par de sucesiones ((xn), (Sn)) se le llama serie. La sucesi´ on (Sn) se llama sucesi´ on de sumas parciales de la serie. A Sn se le llama n-´esima suma parcial de la serie. A xn se le llama t´ermino n-´esimo de la serie. P∞ Como notaci´ on para las series usaremos el s´ımbolo n=1 xn, P o simplemente xn, cuando no interese saber cu´al es el primer t´ermino de la serie.

El concepto de serie num´ erica. (cont.) Una serie se dice “convergente” si la correspondiente sucesi´ on Pn de sumas parciales (Sn), Sn = k=1 xk, n ∈ N, es convergente. En caso contrario decimos que la serie no converge. Recordar cu´ando se dice que una serie diverge al infinito y cu´ando una serie es oscilante. P∞ En s´ımbolos, la serie n=1 xn, converge si existe el l´ımite limn Sn = S. P Si una serie no converge, el s´ımbolo xn simplemente representa a la sucesi´ on de sumas parciales. Si converge, entonces tambi´en representa al n´ umero S que es el l´ımite o suma de la serie. En tal caso debe aclararse en qu´e t´ermino n0 comienza la suma, es decir, escribimos P∞ n=n0 xn = S.

OBJETIVOS Abordar el estudio te´ orico-experimental de las series num´ericas aplicando los resultados y t´ecnicas aprendidas en clases y siguiendo las dos principales vertientes que actualmente nos ofrece la tecnolog´ıa, a saber, la num´erica y la simb´ olica. El alumno aprender´a a utilizar sus conocimientos te´ oricos para interpretar, contrastar y predecir los resultados experimentales. A trav´es de ejemplos seleccionados el alumno descubrir´a las ventajas y desventajas que ofrecen los diferentes comandos o funciones de la actual versi´ on de Matlab.

METODOLOG´IA El m´etodo consistir´a en combinar los recursos inform´aticos (´ambito experimental) con el an´alisis matem´atico (rigor cient´ıfico). Mediante herramientas num´ericas Matlab se calcular´a APROXIMADAMENTE el valor de la suma de algunas series, previa comprobaci´ on matem´atica de su convergencia. En todos los casos el alumno deber´a juzgar la calidad de la aproximaci´ on. Utilizando comandos simb´ olicos se intentar´a calcular EXACTAMENTE el valor de algunas series convergentes. Los resultados obtenidos ser´an criticados y contrastados utilizando la teor´ıa y las t´ecnicas estudiadas en clases.

C´ alculo num´ erico. Programas Bas´andonos en la definici´ on matem´atica de xn o de Sn, podemos construir programas que permitan calcular aproximadamente el valor de las sumas parciales de series convergentes. El programa SUMA_NUM calcula el valor de las sumas parciales de la serie cuyo t´ermino general xn es introducido en la fase de entrada. Ejecutar el programa SUMA_NUM para n = 1, ..., 10, 100, 1000, 10000, y considerar xn = 1/n2, cuya serie es convergente (¿por qu´e?) al valor exacto ∞ X 1 n=1

n2

=1+

1 4

+

1 9

··· =

π2 6

.

El programa SUMA_NUM debe ser descargado de la WEB de la asignatura. Los datos de entrada necesarios se captan por el propio programa en la fase inicial. En la pag. 12 aparece una versi´ on corta de SUMA_NUM.

C´ alculo num´ erico. Programas (cont.) %Version breve del Programa SUMA_NUM.M %para calcular sumas parciales function suma_num N=input(’Numero de terminos de la suma parcial:N=’); N0=input(’ Entrar el valor entero en que comienza la suma N0=’); sucesion=input(’ Entrar el termino general xn=’,’s’); s=0; for j=N:-1:N0, n=j; s=s+eval(sucesion); end disp(sprintf(’ El valor de la suma parcial es S=%3.5g’,s));

Sumar INLINE con el comando SUM Podemos sumar parcialmente una serie de forma breve y directa en la l´ınea de comandos, utilizando el comando num´erico (y simb´olico) SUM. A continuaci´ on aparecen dos variantes de un mismo procedimiento INLINE. La variante 2 es una versi´ on m´as breve que la 1, y s´olo consiste en fundir las l´ıneas a, b y c de la variante 1, en la l´ınea a de la variante 2. Variante 1 >>suce=inline(’1./n.^2’); >>vector=1:1000;%a >>Sn=suce(vector);%b >>S=sum(Sn)%c S = 1.6439e+000

Variante 2 >>suce=inline(’1./n.^2’); >>S=sum(suce(1:1000))%a S = 1.6439e+000

La siguiente secci´ on muestra c´ omo explotar a´ un m´as la potencia de los recursos Matlab para simular sucesiones o series.

Crear series o sucesiones en Matlab Si queremos simular de modo independiente a la sucesi´on (xn) o a su serie asociada (Sn), con identificador propio, podemos seguir los procedimientos que recordamos en las diapositivas 15 y 16. Sean las series ∞ X (−1)n+1 n=1

n2

,

∞ X sen(4/(n + 2)) n=1

n+5

.

Dos maneras diferentes de implementar en MatLab la rutina que debe simular al t´ermino general de la serie o a la propia serie son las siguientes. 1) Mediante programa FUNCTION Sucesi´on t´ermino general (xn) function xn=sucesion(n) xn=(-1)^(n+1)./n.^2;

Crear series o sucesiones en Matlab (cont.) Sucesi´on de sumas parciales Sn function sn=serie(n,n0) sn=0; for k=n:-1:n0 sn=sn+(-1)^(k+1)./k.^2; end Los programas tipo FUNCTION constituyen la forma m´as potente que tiene el usuario para definir funciones en MatLab. El INPUT puede consistir de matrices, otras funciones, etc. Se conservan guardadas como un archivo.M con el mismo nombre que identifica a la funci´on-sucesi´on, en una carpeta previamente seleccionada. Otra manera de crear sucesiones o series, con su propio identificador y directamente en la l´ınea de comandos, se muestra en la siguiente diapositiva.

Crear series o sucesiones en Matlab (cont.) 2) Mediante el comando INLINE Sucesi´on xn >>xn=inline(’sin(4./(n+2))./(n+5)’,’n’); Serie (Sn) >>sn=inline(’sum(sin(4./((1:n)+2))./((1:n)+5))’,’n’) Esta modalidad, en principio, debe limitarse a las funciones elementales. Sin embargo, la arquitectura matricial del Matlab permite estructurar en una sola l´ınea la definici´ on de Sn. Notar que la cl´ausula 1 : n, que se debe encerrar entre par´entesis, tambi´en puede emplearse en el c´odigo FUNCTION anterior. La funci´ on-sucesi´ on INLINE es vol´atil, pues se pierde al cerrar la sesi´on. Puede guardarse antes de cerrar la sesi´ on en un archivo .MAT junto a las dem´as variables utilizadas durante la sesi´ on de trabajo, y a´ un existentes en el Workspace. Esto u ´ltimo no es recomendable si el u ´nico objetivo es conservar la funci´ on.

Crear series o sucesiones en Matlab (cont.) OBJETOS STRING Y SYM.- Las sucesiones (funciones) en MatLab tambi´en pueden crearse con identificador propio, como cadenas de caracteres (string) o expresiones formadas con variables declaradas como simb´olicas (sym). >>sucstr=’n/(n^3+3*n+2)’; % xn STRING >>n=200; valor=eval(sucstr) valor =2.499998125001406e-005 >>syms n, sucsym=n/(n^3+3*n+2); % xn SIMBOLICA >>h=subs(sucsym,200,n) h =2.499998125001406e-005 >>serie_n=’sum(sin(4./((1:n)+2))./((1:n)+5))’;%Sn STRING

Tener en cuenta que, a diferencia del caso STRING, con variables SYM no podemos usar la arquitectura matricial del Matlab.

Ejercicios Aplicar el programa SUMA_NUM, el comando INLINE o dise˜ nar un FUNCTION conveniente, para calcular aproximadamente el valor de las siguientes series, cuando sean convergentes. Tratar de analizar te´ oricamente el car´acter de cada serie. El programa SUMA_NUM tambi´en estima el error relativo que se comete calculando el valor de la serie.

1)

∞ X 1 n=1

3)

2)

n4

n=1

∞ X (−1)n n=1

∞ X (−1)n(n + 1)

n

4)

∞ X n=1

n5 + 3n2 + 1 2

−n 5n

+1

7n + 3

Ejercicios

∞ X (−1)n 5) √ n n=1

8)

∞ X n=1

6)

n=1

log(nn) log(n) +

∞ X 2n + 3n + 2

n3

9)

∞ X n=1

3nn2 1 n1.05

+2

∞ X n! + n2

7)

n=1

10)

nn + n

∞ X n=1

2n + n n4 + 2n+1

Notas: Para calcular n!, siendo n una variable num´erica, usar factorial(n). Ver >>help factorial. No tiene sentido calcular la suma de una serie que no converge. En cada ejercicio deben aplicarse previamente los criterios de convergencia. La serie asociada a la sucesi´ on xn = log(n)/np, p > 1, es convergente. En efecto, sea ε ∈ (0, p) tal que p − ε > 1. Entonces, de log(n)/nε → 0, se deduce que P xn = log(n)/(nεnp−ε) ≤ M/np−ε lo cual prueba que xn converge. Adem´as, (log(n)/np)1/n → 1, luego, (xn) no est´a dominada por ninguna geom´etrica. Concluimos que el error relativo debe ser estimado seg´ un la opci´ on a) del programa SUMA_NUM con s = p − ε (ver el ejercicio 8).

Precisando algunas ideas sobre el error Calcular el valor de la suma de una serie convergente, significa hallar informaci´ on acerca del n´ umero S que a ´esta corresponde como l´ımite. Por ejemplo, podr´ıa ser suficiente saber que el l´ımite desconocido S satisface la siguiente doble desigualdad 0 < Sn = 5.66253321 ≤ S ≤ 5.66253582 = Sn+1, con lo cual sabr´ıamos que cualquier n´ umero Sa dentro del intervalo (Sn, Sn+1), es una aproximaci´ on de S con no menos de 6 d´ıgitos significativos correctos, aquellos que coinciden en ambas aproximaciones. Es decir, parece plausible aceptar que el desarrollo decimal de S es S = 5.66253..., indicando los puntos suspensivos la parte a´ un desconocida. Desigualdades como la anterior, ofreciendo estimaciones por defecto y por exceso, son caracter´ısticas de las series alternadas (diapositiva 49).

Precisando algunas ideas... (cont.) M´as general, si S1 y S2 son dos aproximaciones de S, tales que 0 < S1 ≤ S ≤ S2, una estimaci´ on superior ε˜r del error relativo εr = |(Sa − S)/S|, cuando se adopta cualquier valor Sa ∈ (S1, S2) como aproximaci´ on de S, est´a dada en este caso por S2 − S1 . ε˜r = S 1

Si ε˜r < 10−p/2, ello indica que Sa tiene p d´ıgitos correctos, independientemente de la escala de S, es decir, los p d´ıgitos m´as significativos del desarrollo decimal de Sa coinciden con los de S (ver en el Ap´endice, pag.43, el caso Sa = (S1 + S2)/2). Notas: Aproximar significa “sustituir” el valor exacto S que desconocemos, por el conocido Sa. El objetivo de esta sustituci´ on es obtener informaci´ on de S a trav´es de Sa. La calidad de esta aproximaci´ on Sa se corresponde con la cantidad de informaci´ on que la misma contiene sobre S . La calidad est´a dada por la cantidad de d´ıgitos correctos que tiene el n´ umero Sa que hemos adoptado como aproximaci´ on.

´ APLICACION: LA CONSTANTE DE EULER P∞

La serie n=1 1/np diverge a infinito si p ≤ 1. Sin embargo, se prueba que existe el l´ımite

lim n

n X k=1

1 k

! − log(n)

=γ

Al n´ umero γ se le llama constante de Euler. Podemos estimar el valor de γ siguiendo los pasos que se muestran a continuaci´on. >>format long e >>suce=inline(’1./n’); >>N=1000000; euler=sum(suce(1:N))-log(N) euler =5.772161649007153e-001 Notas: Copiar en la l´ınea de comandos lo que aparece a la derecha de >>... y ejecutar. Es conveniente usar >>format long e, y no pasar de n = 106. Tener en cuenta que la convergencia es “muy lenta”. En efecto, si adoptamos el desarrollo γ0 dado en http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni donde aparece γ con una precisi´on de 100 d´ıgitos, encontramos que el error relativo de esta aproximaci´on es |(euler − γ0)/γ0| = 8.66e − 07 < 10−5/2. ¡S´ olo 5 digitos con n = 106!

L´ımites experimentales En principio, ning´ un criterio experimental puede llevarnos a una conclusi´on rigurosa acerca del car´acter de una serie num´erica, o de una sucesi´on cualquiera. Para medir la calidad de los resultados se utilizan diferentes t´ecnicas, algunas de dudosa fiabilidad. Por ejemplo, a pesar de lo apuntado en la diapositiva 21, aplicable a series alternadas, en general es peligroso estimar el error cometido comparando Sn con Sn+1 mediante Sn − Sn+1 xn+1 = . Sn Sn

Semejante estimaci´ on no siempre produce resultados confiables cuando tratamos con series positivas, es el caso de las series que convergen P como lentamente, por ejemplo, 1/n1.2. P Para ilustrar lo dicho consideremos la serie arm´ onica 1/n: >>error=abs((1/1000001)/sum(1./(1:1000000))) error=6.947946829368704e-08

¡Un “error” muy peque˜ no!...sin embargo, sabemos que esta serie es divergente.

Herramientas simb´ olicas Comando MatLab para calcular sumas finitas e infinitas con exactitud absoluta: SYMSUM. >>syms k % esta declaracion es necesaria >>symsum(k,1,k) ans = 1/2*(k+1)^2-1/2*k-1/2 y es f´acil comprobar que 1/2*(k+1)^2-1/2*k-1/2= k(k + 1)/2, es decir, la conocida f´ ormula que sintetiza la suma de los primeros k naturales. En los ejemplos que siguen copiar en la l´ınea de comandos lo que aparece a la derecha de >>, y ejecutar uno a uno los comandos.

Herramientas simb´ olicas (cont.) Otro caso bien conocido es el de la suma de los cuadrados de los primeros k naturales. >>symsum(k^2,1,k) ans = 1/3*(k+1)^3-1/2*(k+1)^2+1/6*k+1/6 Para valores particulares de k se tiene que >>symsum(k,1,20) ans = 210 >>SUMA=symsum(k^3,1,50) SUMA = 1625625 >>S=symsum((k+3)^3/(k+2),1,50) S = 162709251506323893811685759/3099044504245996706400

C´ alculo exacto de sumas infinitas Para sumar “exactamente” sumas infinitas tambi´en usamos el comando Matlab SYMSUM Ejemplos: >> syms k >> symsum(1/k^2,1,Inf) ans =1/6*pi^2 >>symsum(1/k,1,Inf) ans =inf Ejercicios. Calcular A)

∞ X 1 n=1

n4

, B)

∞ X n+1 n=1

n4

Notas: El resultado B) est´a relacionado con el A). Tratar de explicarlo usando las propiedades de las series. Ambos A) y B) est´an relacionados con la funci´ on zeta. Buscar alguna informaci´on sobre la funci´ on zeta de Riemann invocando >>help zeta, o consultando el Ap´endice al final de la presentaci´ on.

Una dificultad con el factorial simb´ olico SYMSUM no funciona con n!. Para comprobarlo ejecute >>symsum(factorial(k),1,k) Para calcular series que contengan a n!, debemos P invocar expl´ıcitamente al ∞ n´ ucleo Maple. Por ejemplo, si se trata de la serie n=0 2n/n!, podemos calcular su l´ımite como >>maple(’sum(2^n/factorial(n),n=0..inf)’) ans = exp(2) Notar que el enunciado Maple analiza sint´acticamente un STRING y no exige declarar previamente >>syms n. El uso del n´ ucleo Maple tiene un inconveniente para el usuario: MatLab y Maple tienen reglas sint´acticas diferentes. Para facilitar el trabajo utilizaremos el programa SUMA_SYM que utiliza el n´ ucleo Maple y puede descargarse desde la Web de la asignatura

Ejemplos (comandos SYMSUM y EVALF) EJEMPLO 1 >>syms n >>symsum((n+5)/(n*(n+3)*(n+7)),1,inf) ans = 8657/17640 EJEMPLO 2 >>syms n >>symsum((3*n-10)/(2*n^2*(n+4)^3),1,inf) ans = 18475/13824-11/16*zeta(3)-7/128*pi^2 % Evaluar funciones en Maple >>maple(’evalf(zeta(3))’) ans = 1.2020569031595942853997381615115

Convergencia y suma. Ejemplos Estudio del car´acter de una serie y c´alculo de la suma. Comando SUM (Maple). Salida simb´ olica (exacta) y num´erica (aproximada). EJEMPLO 3 >>%DEFINIR x(n) >>maple(’x:=n->n/(2^n)’); >>%CRITERIO DEL COCIENTE >>maple(’limit(x(n+1)/x(n), n=infinity)’) ans = 1/2% ES CONVERGENTE >>%CALCULO DE LA SUMA >>maple(’sum(x(n),n=1..+infinity)’) ans = 2

Convergencia y suma. Ejemplos (cont.) EJEMPLO 4 >>%DEFINIR w(n) >>maple(’w:=n->(2*n+1)/n^3’); >>%CALCULO EXACTO DE SERIE >>maple(’sum(w(n), n=1..+infinity)’) ans = zeta(3)+1/3*pi^2 >>%CALCULO NUMERICO APROX (MAPLE) DE SERIE >>maple(’evalf(sum(w(n),n=1..+infinity))’) ans = 4.4919250368560471583445684948035 >>%VARIANTE MATLAB DE CALCULO NUMERICO >>numeric(zeta(3)+1/3*pi^2) ans = 4.491925036856046e+000

Series dependientes de un par´ ametro. Ejemplos EJEMPLO 5 >>maple(’y:=n->n/(p^n)’);% se define el termino general y(n,p) >>maple(’limit((y(n))^(1/n),n=infinity)’)%criterio raiz enesima ans=limit((n/(p^n))^(1/n), n=inf)%no hay respuesta >>maple(’limit(simplify((y(n))^(1/n)),n=infinity)’) ans=1/p %hay respuesta..pero, converge o no la serie?, >>%aqui MatLab-Maple comete una falta de >>%rigor matematico- cual es? >> maple(’sum(y(n),n=1..+infinity)’) ans=p/(p-1)^2% ..y, sin embargo >>%el sistema ha calculado la suma de la serie !!!!!

Series dependientes de un par´ ametro. Ejemplos (cont.) EJEMPLO 6 >>maple(’a:=n->1/(n!)*(x-2)^n’); >>maple(’limit(abs(a(n+1)/a(n)),n=infinity)’) ans = %-no hay respuesta... limit(abs(1/(n+1)!*(x-2)^(n+1)*n!/((x-2)^n)),n=inf) >>maple(’limit(simplify(abs(a(n+1)/a(n))),n=infinity)’) ans =0 %-converge? >>% suma de la serie >>maple(’sum(a(n),n=0..+infinity)’) ans=exp(x-2)

Series dependientes de un par´ ametro. Ejemplos (cont.)

EJEMPLO 7 >>maple(’b:=n->(2*n^2)/(n!)*(x-2)^n’); >>maple(’limit(b(n+1)/b(n),n=infinity)’) ans = 0 >>maple(’sum(b(n),n=0..+infinity)’) ans= (2*x-4)*exp(x-2)*(-1+x)

Series dependientes de un par´ ametro. Ejemplos (cont.)

EJEMPLO 8 >>maple(’g:=n->2/(n*(n+1))*(x/exp(1))^n’); >>maple(’limit(simplify(abs(g(n+1)/g(n))),n=infinity)’) ans= exp(-1)*abs(x) >>maple(’sum(g(n),n=1..+infinity)’) ans= x*exp(-1)*(2/x/exp(-1)*(-log(1-x*exp(-1))/x/exp(-1)-1)*... (x*exp(-1)-1)+1/(1-x*exp(-1))*(-2*x*exp(-1)+2))

Ejercicios. Calcular exacta y aproximadamente las siguientes sumas y comparar los resultados. Usar los programas SUMA NUM y SUMA SYM 2n

1)

P∞

3)

P∞ 22n + n

5)

P∞

7)

P∞

n=0

n=0

n=0

n=0

(2n)!

(2n)! n! (2n)! (2n)! (3n + 1)!

3n

2)

P∞

4)

P∞ n2

6)

P∞

8)

P∞

n=0

n=0

n=0

n=1

(2n + 1)!

n! (n!)2 (2n)! n! nn

9)

P∞ (−1)n+1 n=1

11)

P∞

13)

P∞

15)

P∞

n=1

n=1

n=1

n n2 n2

+1 1

(2n + 1)(2n − 1) 1 (4n + 1)(4n − 1)

10)

P∞

12)

P∞ 5n + 2

14)

P∞ 10n + 2

16)

P∞

−n 5 n=0

n=0

n=0

n=1

5n

5 2n 500 (4n + 3)(4n − 1)

17)

P∞ (−1)n n=1

19)

21)

P∞

P∞

n2 1

n=1

n4 1

n=0

(2n + √

23)

P∞

n=0

1)4

n

(2n +

1)1.7

18)

1

P∞

n=0

(2n + 1)2

20)

P∞ (−1)n

22)

P∞ 5n + 4

24)

P∞ 3n + 4

n=1

n=0

n=1

n4 3(72n)

n2.5

Notas sobre los ejercicios Comprueba en cada caso, por medios propios, que realmente hay convergencia. Las funciones especiales que aparecen en algunas respuestas pueden no ser conocidas por el alumno. Puede obtenerse informaci´on sobre las mismas usando los comandos HELP y MHELP. ¿C´omo probar´ıas que lim

(n!)2

= 0?

(2n)! Escribir el t´ermino general de las series 13), 15) y 16) como suma de fracciones simples. n→∞

¿Puede afectarse el car´acter de una serie modificando un n´ umero finito de t´erminos de la serie? ¿Qu´e se modifica al agregar o quitar un n´ umero finito de sumandos a una serie?

Notas sobre los ejercicios (cont.)

Los comandos SYMSUM y la combinaci´ on MAPLE-SUM, no son capaces de calcular cualquier suma. Por ejemplo, considere la serie 3) y la serie 15) con el denominador (372n + 6) en lugar de 372n, y aplique alguno de los mencionados comandos. En tales casos la opci´ on es acudir a los m´etodos num´ericos. Este es un ejemplo que ilustra una de las limitaciones que tienen los comandos simb´ olicos. La convergencia de todas las series consideradas en esta sesi´on de Laboratorio puede ser determinada por el alumno con los criterios estudiados en clases. El c´alculo de la suma exacta es tambi´en factible en algunos casos sin necesidad de aplicar herramientas Matlab ¿Cu´ales? (Ver Ap´endice- diapositiva 41)

CONCLUSIONES FINALES Hay dos grandes maneras de abordar la soluci´ on de problemas matem´aticos en el ordenador: A) mediante comandos/rutinas num´ericas, B) mediante las llamadas herramientas simb´ olicas. En cualquier caso, los resultados deben ser contrastados con la teor´ıa. Las conclusiones experimentales no pasan de ser conjeturas. Ambas vertientes A) y B), tienen su propio campo de acci´on y un ´area com´ un de aplicaci´ on considerablemente amplia. En cada tipo de problema debemos saber cu´ales herramientas son las adecuadas para simular procesos, transformaciones, etc. En esta clase el alumno ha aplicado sus conocimientos te´oricos y ha utilizado diferentes herramientas del sistema MatLab-Maple para resolver problemas matem´aticos.

´ APENDICE Subsecci´ on

Diapositiva

Funci´ on zeta de Riemann Errores Dificultades aritm´eticas que debemos conocer ¿Qu´e significa eps? Consecuencias de la NO asociatividad Un programa para analizar un ejemplo Series positivas Series alternadas Series geom´etricas Series aritm´etico-geom´etricas Series telesc´ opicas Ir a pag k → Shift+Ctrl+N+k

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Funci´ on zeta de Riemann

Es sabido que la serie ξ(s) =

∞ X 1 s n n=1

es convergente para s > 1. De modo que s → ξ(s) es una funci´on bien definida, conocida bajo el nombre de funci´ on zeta de Riemann. Es tambi´en posible definirla para s = a + ib, siempre que a > 1. Anteriormente calculamos los valores de zeta para algunos valores de s, a partir de su propia definici´ on como serie. MatLab tiene implementada la funci´on zeta de modo que podemos invocarla directamente. >> zeta(2) ans = 1.644934066848226e+000

Errores Sea E el valor exacto desconocido y A una aproximaci´on de E. El error absoluto se define como εa = |E − A|. El error relativo est´a dado por εr = |(E − A)/E|. Si medimos la distancia desde la tierra a J´ upiter, un metro de error no es significativo. Sin embargo, un metro de error es inadmisible para un cirujano. Por ello el error relativo, que no depende de la escala utilizada, es m´as importante en la computaci´ on cient´ıfica que el absoluto. En la pr´actica no conocemos E. Si tenemos dos aproximaciones A1 y A2, tales que 0 < A1 < E < A2, entonces podemos aproximar E mediante Aa = (A1 + A2)/2. Para estimar εr = |(E − Aa)/E| utilizamos la f´ormula A2 − A1 . εr ≤ ε˜r = 2A1 Teniendo en cuenta la anterior desigualdad, decimos que Aa coincide con E en p d´ıgitos significativos si ε˜r < 10−p/2.

Dificultades aritm´ eticas que debemos conocer. La pseudo-aritm´etica del ordenador admite en algunos casos que A + B = A, siendo B 6= 0. Esto tiene como consecuencia que la pseudo-aritm´etica no sea asociativa, y que el resultado de sumar parcialmente una serie puede depender de la forma en que se asocian los sumandos. El fen´omeno anterior se manifiesta cuando A es “muy grande con respecto a B”, y se explica a partir de las limitaciones que tiene la representaci´on en punto flotante que internamente hace el ordenador de los n´ umeros. A continuaci´ on se indica c´ omo ilustrar que la pseudo-suma no es asociativa. >>(eps/2+eps/2)+1==eps/2+(eps/2+1) La respuesta ans =0 indica que la == es falsa, las expresiones dan resultados diferentes, es decir, la suma del ordenador NO es asociativa. Lo anterior se explica con el siguiente hecho experimental, >>1+eps/2==1 ans =1

¿Qu´ e significa eps? EPS es el “epsilon de m´aquina”. EPS es, te´ oricamente, el menor n´ umero positivo eps, representable internamente, que cumple 1 + eps > 1. EPS nos da un estimado de la exactitud m´axima alcanzable (full accuracy). Ejecutar >>eps para visualizar esta constante en la ventana de comandos. En la pr´actica num´erica es normal asumir que un error cuyo valor absoluto es menor que eps es igual a cero. La cadena eps es una palabra reservada del Matlab. (Ver Kincaid-Cheney, signatura IND M7-150, p 37, cap 2.)

Consecuencias de la NO asociatividad El que la pseudo-aritm´etica del ordenador no sea asociativa tiene repercusiones en el c´alculo aproximado de series. Si xn > 0, xn+1 ≤ xn, n ∈ N, y la serie ∞ X xn , n=1

es convergente, entonces cualquier suma parcial Sn deber´ıa calcularse seg´ un se indica a continuaci´ on: 1) H1 = xN −1 + xN 2) H2 = xN −2 + H1 ···

···

N) HN = x0 + HN −1 siendo finalmente HN = SN . Es decir, debemos sumar empezando por los t´erminos m´as peque˜ nos.

Un programa para ilustrar la no asociatividad de la pseudo-suma. El programa COMPARA se ejecuta en la l´ınea de comandos: >>compara y muestra los resultados que se obtienen al sumar x1 + · · · + x50000, con xn = 1/n4, asociando la suma de dos maneras diferentes. ¿Cu´al de los dos resultados adoptar´ıas como aproximaci´ on de la suma? ¿Hay alguna discrepancia con la teor´ıa?

Series positivas Una serie n ∈ N.

P∞

n=n0

xn, se dice positiva, si xn ≥ 0, para todo

En realidad, para que una serie sea positiva, s´ olo exigimos que exista un n1 tal que xn ≥ 0, para todo n > n1. Los criterios del cociente, la raiz en´esima, y los de comparaci´ on en general, est´an dados para series positivas. Si la serie no es positiva, entonces podemos estudiar la serie de P los valores absolutos |xn|, que obviamente es positiva. P Recordamos que, si la serie |xn| es convergente, se dice P P que xn converge absolutamente. xn converge pero P P Si |xn| no converge, se dice que xn converge condicionalmente.

Series alternadas Definici´ on. Si an > 0, n ∈ N, entonces la serie ∞ X

(−1)n+1an,

(1)

n=1

se llama serie alternada. Criterio de Leibnitz. Si (an) decrece hacia cero, entonces la serie (1) es convergente. Estimaci´ on del error o resto. Si (1) converge a S y Sn es su suma parcial en´esima, entonces 0 < |S − Sn| < an+1, n = 1, 2, 3, ...

Series geom´ etricas Definici´ on. Una serie de la forma ∞ X

ar n,

(2)

n=0

se llama serie geom´ etrica, de raz´ on r y primer t´ermino a. Criterio de convergencia. La serie (2) converge si y s´ olo si |r| < 1. En tal caso s´ olo necesitamos conocer a y r para calcular la suma S, a saber, S=

a 1−r

.

Series aritm´ etico-geom´ etricas Definici´ on. Una serie aritm´etico-geom´etrica tiene la forma ∞ X

r n(dn + a),

(3)

n=0

donde r, d, a ∈ R. Convergencia. La serie (3) converge si y s´ olo si |r| < 1. En tal caso la suma S es S=

a(1 − r) + dr (1 −

r)2

.

Usar el programa SUMA_SYM para obtener la f´ ormula (4).

(4)

Series telesc´ opicas Definici´ on. Una serie

∞ X

an,

n=0

se dice telesc´ opica si existe (bn) tal que an = bn+1 − bn, n = 0, 1, 2, ... Convergencia. Una serie telesc´ opica converge si y s´ olo si existe el l´ımite limn bn = b, y en tal caso ∞ X n=0

(bn+1 − bn) = b − b0.

FIN