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• Dayana Quintero

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1) .Si sobre un cuerpo actúan las siguientes fuerzas: F→1=−10⋅i→+10⋅j→ ⋮  F→2=4⋅i→−3⋅j→ ⋮ F→3 =5⋅i→− j→ ⋮ F→4 = i → − j→ Determina una fuerza cuyo efecto sea equivalente a aplicar las 4 fuerzas expuestas. Solución: En este caso, lo que se nos pide es calcular la fuerza resultante del sistema de fuerzas que se aplica sobre el cuerpo. Por definición: ∑F→=F→1+F→2+F→3+F→4 ⇒∑F→=(F→1x+F→2x+F→3x+F→4x)⋅i →+(F→1y+F→2y+F→3y+F→4y)⋅j→  ⇒∑F→=(−10+4+5+1)⋅i→+(10−3−1−1)⋅j→ ⇒∑F→=5⋅j→ 2) Dos amigos, uno más corpulento y otro más delgado, empujan un sofá en la misma dirección y sentido. El primero de ellos ejerce una fuerza de 11 N y el segundo 7 N. ¿Cuál es la fuerza resultante con la que empujan el sofá? Solución: Datos

Resolución

F1 = 11 N F2 = 7 N FR = ?

Dado que las fuerzas que ejercen son concurrentes y se aplican en la misma dirección y sentido, ambas pueden ser sustituidas por una única fuerza resultante cuyo efecto es el mismo que aplicar las dos anteriores. El módulo de la nueva fuerza resultante se calcula: FR = FR = 11 FR = 18 N

F1 + N

+

7

F2 N

3)Un chico y una chica atan a una anilla dos cuerdas y juegan para saber quién tiene más fuerza. El chico coge una de las cuerdas y aplica una fuerza de 11 N y al mismo tiempo la chica aplica 13 N. Si los dos tiran de su cuerda con la misma dirección pero cada uno en sentido contrario. ¿Quién ganará, el chico o la chica? Solución Datos

Resolución

Fchico = 11 N Fchica = 13 N

Dado que las fuerzas que ejercen son concurrentes y se aplican en la misma dirección aunque en sentido contrario, ambas pueden ser sustituidas por una única fuerza resultante. Dicha fuerza tiene la misma dirección y el sentido de la mayor. En este caso:

FR = ?

FR = FR = | FR = 2 N

| 11

N

Fchico 13

Fchica | N |

Esto quiere decir que la situación equivalente es como si el chico no tirara de la cuerda y ella tirase con una fuerza de 2 N. Por tanto, gana la chica. 

n un instante de tiempo dado, un cohete posee una velocidad v→=12 ⋅ i→ − 7 ⋅ j→ m/s. Sabiendo que su masa es de 2 kg. ¿Cuál es su cantidad de movimiento en ese instante? Solución

Datos v→=12 ⋅ i→ − 7 ⋅ j→ m/s m = 2kg Resolución Aplicando la definición de cantidad de movimiento: p→=m⋅v→ ⇒p→=2 kg ⋅ (12 ⋅ i→ − 7 ⋅ j→) m/s ⇒p→=24 ⋅ i→ − 14 ⋅ j→  N⋅s

4)Dos bolas de billar tienen las velocidades que se aprecian en la figura. 

Sabiendo que m1 = 170 g y m2 = 156 g, calcula el momento lineal del sistema formado por ambas bolas. Solución: Datos  Masa de la primera bola: m1 = 170 g = 0.17 kg  Valor (módulo) de la velocidad  de la primera bola: v1 = 3 m/s  Angulo con parte positiva del eje x del vector velocidad de la primera bola: α = 45º

 Masa de la segunda bola: m2 = 156 g = 0.156 kg  Velocidad (módulo) de la segunda bola: v2 = 2 m/s  Angulo con parte negativa del eje y del vector velocidad de la segunda bola: β = 30º Consideraciones previas Sabemos que el momento vectorial de un sistema de partículas (consideramos que las bolas de billar son partículas puntuales) se calcula como la suma de los momentos lineales de cada una de las partículas que lo componen. En este caso, para determinar estos momentos nos resultará conveniente tener la expresión vectorial de las velocidades de las bolas. Hay que tener cuidado, pues el ángulo α y el β están referidos a ejes distintos. Recuerda que, en general, consideraremos el semieje positivo x para los ángulos, quedando: v→1=vx⋅i→+vy⋅j→=v⋅cos(α)⋅i→+v⋅sin(α)⋅j→=3⋅cos(45º)⋅i→+3⋅sin(45º)= 2.12⋅i→+2.12⋅j→   ...y para el caso de la segunda velocidad tendremos en cuenta que el ángulo a considerar será también el que forma el vector con el semeje positivo x, es decir 270º - 30º = 240º(como se deduce de la propia figura): v→2=2⋅cos(240º)⋅i→+2⋅sin(240º)=−1⋅i→−1.73⋅j→ Resolución La cantidad de movimiento total del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de ambas bolas, es decir: p→total=p→1+p→2=m1⋅v→1+m2⋅v→2=0.17⋅(2.12⋅i→+2.12⋅j→) +0.156⋅(−i→−1.73⋅j→)=0.2044⋅i→+0.09052⋅j→ kg⋅m/s

5)Si la ecuación de trayectoria de un cuerpo es r→=t2i→−5 t j→ − 2t2 ⋅ k→ m, ¿Cuál es la fuerza que le obliga a moverse si su masa es de 4 kg? Solución: Datos Masa m = 4 kg Ecuación de posición: r→=t2i→−5 t j→ − 2t2 ⋅ k→ m F? Resolución De acuerdo a la segunda ley de Newton: ∑F→ = m⋅a→ Conocemos la masa y sabemos que la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad instantánea respecto al tiempo y la velocidad instantánea es la derivada del vector de posición respecto al tiempo. a→=dv→dt ⋮  v→=dr→dt Derivando primero el vector de posición y luego el vector velocidad: v→=d(t2⋅i→−5t⋅j→+2t2⋅k→)dt=2⋅t ⋅i→ − 5 ⋅ j→ − 4⋅t ⋅ k→a→=d(2t ⋅i→− 5j→−4t ⋅ k→)dt = 2⋅i→ − 4⋅ k→  Sustituyendo en la expresión de la segunda ley: ∑F→=4 kg⋅(2⋅i→ − 4⋅ k→ ) m/s⇒∑F→=8⋅i→ − 16⋅ k→ N

Sobre un cuerpo actúan las siguientes fuerzas: F→a=i→+j→ N ; F→b=j→+k→ N ; F→c =i→+k→ N   ¿Qué aceleración adquiere el cuerpo si tiene 2 kg de masa? Solución

Datos  Masa del cuerpo: m = 2 kg  Fuerzas: F→a=i→+j→ N ; F→b=j→+k→ N ; F→c =i→+k→ N Resolución Para resolver este ejercicio simplemente aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica de traslación (segunda ley de Newton). Debemos tener en cuenta la notación vectorial: ∑F→=m⋅a→⇒a→=∑F→m=F→a+F→b+F→cm=i→+j→+j→+k→+i→+k →2=i→+j→+k→ m/s2

6)Dos cuerpos cuyas aceleraciones respectivas son 6 m/s2 y 9 m/s2, se encuentran sometidos a la misma fuerza. ¿Cuál es la relación entre las masas? Solución Datos    

Aceleración del primer cuerpo a1 = 6 m/s2 Aceleración del segundo cuerpo a2 = 9 m/s2 Fuerza que actúa sobre el primer cuerpo F1  Fuerza que actúa sobre  el segundo cuerpo F2

Resolución El enunciado nos indica que las fuerza que actúa sobre el primer cuerpo y la que actúa sobre el segundo es la misma, es decir: F1=F2

La relación pedida, m1/m2 la podemos encontrar aplicando la segunda ley de Newton ( F=m·a ), y asumiendo que la masa no varía mientras actúa la fuerza, nos queda: m1⋅a1=m2⋅a2⇒m1m2=a2a1⇒m1m2=96=3⋅32⋅3=32 Dicho de otro modo, la masa del primer cuerpo es una vez y media la masa del segundo cuerpo ( m1=m2·1.5 ). Nota: Observa que, hemos trabajado durante todo el problema con los valores de las fuerzas y de la aceleración, sin tener en cuenta su naturaleza vectorial. En realidad, dado que F→1=F→2, las aceleraciones tendrán la misma dirección y sentido, y podemos utilizar sus módulos para encontrar la relación pedida. 7)Un cuerpo de 6 kg inicialmente en reposo es sometido a una fuerza de 10 N durante 4 segundos. ¿Qué espacio recorre? Solución Datos  Masa del cuerpo m = 6 kg  Fuerza a la que se encuentra sometido F = 10 N  Tiempo durante el que actúa la fuerza t = 4 s Consideraciones previas Podemos suponer que todas las fuerzas, aceleraciones y movimientos ocurren en el eje x, de manera que  resolveremos el problema a partir de los valores de dichas magnitudes (módulos). Resolución En primer lugar, sabemos que cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza, aparece una aceleración en la misma dirección y sentido que esta. Si asumimos que la masa permanece constante en todo momento, podemos escribir:

F→=m⋅a→⇒F=m⋅a⇒10=6⋅a⇒a=106m/s2 Obteniendo la aceleración producida por la fuerza, el problema se reduce a un problema de cinemática con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Recordamos que: x=x0+v0t+12at2 Teniendo en cuenta que el cuerpo parte del reposo ( v0=0 ), podemos sustituir: x=x0+v0t+12⋅a⋅t2=12⋅106⋅42=13.3 m Por tanto el cuerpo recorre 13.3 m en esos 4 segundos.

8) Pablito está clavando un clavito en la pared con un martillo de 2 kg de masa. Cuando este impacta con el clavo su velocidad es de 6 m/s. ¿Qué fuerza opone la madera al movimiento del clavo, suponiendo que este se hunde 5 mm? Solución Datos  Masa del martillo mmartillo= 2 kg  Velocidad inicial del martillo vo = 6 m/s  Distancia recorrida por el clavo x = 5 mm = 5·10-3 m Consideraciones previas Podemos suponer el martillo y el clavo como un único elemento que avanza perforando la madera y disminuyendo progresivamente su velocidad, debido a la fuerza que opone la madera. Supondremos que esta fuerza que opone la madera es constante y que la masa del clavo es despreciable frente a la del martillo. Resolución

La estrategia de resolución consiste en buscar la aceleración a la que se encuentra sometido el conjunto martillo-clavo, y a partir de ella y de la segunda ley de Newton, calcular la fuerza de resistencia de la pared. El conjunto martillo-clavo tiene una velocidad inicial de vo = 6 m/s, y una final de vf = 0, ya que la fuerza que opone la madera hace que se desacelere. Asumiento que la fuerza es constante, la aceleración también lo será, con lo que nos encontramos ante un m.r.u.a, cuyas ecuaciónes son (suponiendo que nos desplazamos en el eje x): a=ctevf=v0+a⋅tx=x0+v0⋅t+12⋅a⋅t2 A partir de la segunda y la tercera ecuación podemos obtener la aceleración a la que se encuentra sometido el sistema martillo-clavo. Para ello proponemos el siguiente proceso: vf=v0+a⋅tx=x0+v0⋅t+12⋅a⋅t2}0=6+a⋅t5⋅10−3=0+6⋅t+12⋅a⋅t2}a⋅t=−65⋅10− 3=0+6⋅t+12⋅a⋅t⋅t} Y sustituimos la ecuación superior en la inferior: 5⋅10−3=0+6⋅t+12⋅a⋅t⋅t⇒5⋅10−3=6⋅t+12⋅(−6)⋅t⇒5⋅10−3=3⋅t⇒t=53⋅10−3s Sustituyendo en la primera ecuación... 0=6+a⋅t⇒−6=a⋅53⋅10−3⇒a=−185⋅10−3 m/s2 Donde el signo - indica que la velocidad va disminuyendo, como cabía esperar de una fuerza de resistencia. Por otro lado, observa que, aunque las ecuaciones presentadas son todas las que necesitas para resolver cualquier problema de m.r.u.a, podríamos haber utilizado la siguiente ecuación para llegar al mismo resultado de manera más inmediata: v2=v20+2⋅a⋅Δx Observa que esta última ecuación puedes obtenerla a través de las anteriores tal y como se pone de manifiesto en el apartado de ecuaciones de m.r.u.a. ya indicado.

En cualquier caso, una vez obtenida la aceleración, podemos calcular la fuerza pedida a partir de la segunda ley de Newton: F=m⋅a⇒F=2⋅(−185⋅10−3)=7.2⋅10−3 N 9) Sobre un cuerpo actúan las siguientes fuerzas: F→a=i→+j→ N ; F→b=j→+k→ N ; F→c =i→+k→ N   ¿Qué aceleración adquiere el cuerpo si tiene 2 kg de masa? Solución Datos  Masa del cuerpo: m = 2 kg  Fuerzas: F→a=i→+j→ N ; F→b=j→+k→ N ; F→c =i→+k→ N Resolución Para resolver este ejercicio simplemente aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica de traslación (segunda ley de Newton). Debemos tener en cuenta la notación vectorial: ∑F→=m⋅a→⇒a→=∑F→m=F→a+F→b+F→cm=i→+j→+j→+k→+i→+k →2=i→+j→+k→ m/s2 10) - Calcular la magnitud de la aceleración que produce una fuerza cuya magnitud es de 50 N a un cuerpo cuya masa es de 13,000 gramos. Expresar el resultado en m/s^2 Solución: En el ejemplo, tenemos prácticamente nuestros datos, que es lo primero que tenemos que hacer. F = 50 N m = 13,000 gramos a=?

Hacemos la conversión de los gramos a kilogramos, ya que son las unidades del sistema internacional.

Despejando la aceleración de la fórmula de la segunda ley de Newton, tenemos:

Que vendría a ser nuestro resultado.

11)  Calcular la masa de un cuerpo si al recibir una fuerza cuya magnitud de 350 N le produce una aceleración cuya magnitud es de 520 cm/s^2. Exprese el resultado en kg (Unidad de masa del sistema internacional).  Solución: Hacemos lo mismo del paso anterior, vamos a colocar nuestros datos, con ello tenemos entonces: F = 350 N a = 520 cm/s^2 m=? Vamos a colocar a nuestra aceleración en unidades de metros por segundo al cuadrado, para ello hacemos nuestra conversión.

Ahora si podemos despejar a la masa de la fórmula de Newton.

12) Determinar la magnitud de la fuerza que recibe un cuerpo de 45 kg, la cual le produce una aceleración cuya magnitud es de 5 m/s^2.

Solución: Pasamos a escribir los datos: m = 45 kg a = 5m/s^2 F=? Entonces aplicamos la fórmula de la segunda Ley de Newton

Qué vendría a ser nuestra fuerza.

13)  Determinar la magnitud del peso de una persona cuya masa es de 90 kg.

Solución: Para poder encontrar el peso de una persona, tenemos que recurrir a nuestra fórmula de la segunda ley de newton pero en términos del peso, es decir:

los datos que tenemos son:

Teniendo en cuenta los datos, solo basta sustituir los datos en la fórmula:

Es decir que el peso de la persona es de 882 Newtons.   14) Calcular la masa de un sillón cuyo peso tiene una magnitud de 410 N

Solución: En el problema nos piden calcular la masa del sillón, y contamos con dos datos importantes para la solución. El peso que viene expresado en 410 Newtons, y la fuerza de gravedad que aunque no aparezca en la imagen, debemos entender que todo objeto o masa está sometida a la gravedad.  Obtención de la masa Datos:

a) Obteniendo la masa del sillón Recordemos la fórmula principal de la segunda Ley de Newton:

Que la podemos expresar también de esta forma:

Despejando a la “masa”, obtenemos:

Sustituyendo nuestros datos en la fórmula, obtenemos:

Por lo que la masa del sillón es de 41.836 kilogramos. Resultado:

15) Determinar la magnitud de la fuerza neta que debe aplicarse a un bloque de madera cuyo peso tiene una magnitud de 8N, para que adquiera una aceleración cuya magnitud es de 0.5 m/s²

Solución: El problema principal de este ejemplo, es encontrar la fuerza neta para que el bloque se mueva con una aceleración de 0.5 m/s² , como dato nos proporcionan el peso del bloque de madera. Recordemos que si quisiéramos encontrar la fuerza directamente nos haría falta la masa, porque la aceleración ya no las dan, entonces pasemos a encontrar la masa, aprovechando que nos dan el peso.  Obtener la fuerza neta Datos:

a) Obteniendo la fuerza neta para mover el bloque de madera Primeramente necesitamos encontrar la masa de la madera, para ello recurrimos a: Solución Problema 2 Segunda Ley de Newton De forma similar al ejemplo anterior, en este problema de la Segunda Ley de Newton reforzamos el concepto principal que es la utilización correcta de la fórmula, con ello se proporciona la solución paso a paso

del ejemplo y nuevamente el alumno comprueba sus resultados de manera correcta y concisa.  Nivel de Dificultad:  Problema 6. Determinar la magnitud de la fuerza neta que debe aplicarse a un bloque de madera cuyo peso tiene una magnitud de 8N, para que adquiera una aceleración cuya magnitud es de 0.5 m/s²

Solución: El problema principal de este ejemplo, es encontrar la fuerza neta para que el bloque se mueva con una aceleración de 0.5 m/s² , como dato nos proporcionan el peso del bloque de madera. Recordemos que si quisiéramos encontrar la fuerza directamente nos haría falta la masa, porque la aceleración ya no las dan, entonces pasemos a encontrar la masa, aprovechando que nos dan el peso.  Obtener la fuerza neta Datos:

a) Obteniendo la fuerza neta para mover el bloque de madera Primeramente necesitamos encontrar la masa de la madera, para ello recurrimos a:

Despejando a la masa “m”, obtenemos:

Sustituyendo nuestros datos en la fórmula:

Una vez obteniendo la masa de la madera, podemos proceder a encontrar la Fuerza Neta:

Sustituyendo los datos y la masa encontrada en la fórmula:

Por lo que la fuerza neta necesaria para mover el bloque debe ser de 0.4081 Newtons Resultados:

16) . Calcular la magnitud de la aceleración que recibirá el siguiente bloque como resultado de las fuerzas aplicadas 

Solución: Este tipo de problemas son más interesantes porque se comprende la aplicación de suma de fuerzas, en la imagen observamos que existen dos fuerzas (una en dirección a la derecha) y otra en (dirección a la izquierda), si observa, la primera fuerza es de 21 Newtons y la segunda de 15 Newtons, al someterse al bloque de madera de 2kg, en oposición a las fuerzas obtendremos una fuerza resultante.  Obtener la aceleración del bloque Datos:

a) Obtener la aceleración del bloque Al tener dos fuerzas interactuando en el bloque, lo primero que haremos será encontrar esa fuerza resultante.

La fuerza que va hacía la derecha (es positiva) y la fuerza que va hacía la izquierda (es negativa). Esto es con el fin de establecer un sistema de referencia de fuerzas, puede leer más de esto en la Primera Condición de Equilibrio. Sustituyendo las fuerzas, obtenemos la fuerza resultante:

Una vez que tenemos la fuerza neta, ahora si podemos usar la fórmula.

Despejando a la aceleración “a”, obtenemos:

Recordar que a la fuerza a la que nos referimos es a la fuerza resultante, entonces:

Por lo que la aceleración para mover al bloque debe ser de 3 m/s² Resultado:

17) ¿Cuál es la aceleración de un cohete que asciende verticalmente por la fuerza de F newton que le suministra sus reactores? Solución El cuerpo de estudio es un cohete. Las fuerzas que actúan sobre él son su peso y la fuerza del motor que permite elevarlo. Ambas se encuentran en el eje y. Si realizamos su diagrama de cuerpo libre, obtenemos:

En este caso no es necesario descomponer ninguna fuerza para que coincida con la dirección de los ejes del sistema de referencia, ya que todas cumplen esta condición. Si aplicamos la segunda ley de Newton sobre el eje y (sobre el eje x no es necesario porque no existe ninguna fuerza), obtenemos que: ∑Fy=m⋅ay ⇒F−P=m⋅ay ⇒ay=F−Pm

18) ¿Cuál es el valor de la gravedad en Marte si su masa es 6.42·1023 kg y su radio 3397 km?. Si en la Tierra, una pelota que se lanza verticalmente hacia arriba alcanza una altura máxima de 20 metros, que altura máxima alcanzará en Marte si se le imprime la misma velocidad inicial. Solución Datos MM = RM = 3397 km -11 2 2 G = 6.67·10  N·m /kg

=

3397

6.42·1023 kg · 103 m

Resolución Sabiendo que la gravedad de un cuerpo se calcula por medio de la siguiente expresión: g=G⋅MMRM2 Por tanto: g=6.67⋅10−11 N⋅m2/kg2 ⋅ 6.42⋅1023 kg(3397⋅103 m)2 g = 3.71 m/s Atendiendo ahora al problema del lanzamiento vertical en Marte, en primer lugar deberemos calcular la velocidad inicial, con la que se lanza la pelota en la Tierra. Para ello, haremos uso de la ecuación de la posición y de velocidad de este tipo de movimiento: y=H+v0⋅t−12g⋅t2 v=v0−g⋅t}  Lanzamiento vertical en la Tierra 20=0+v0⋅t−123.71⋅t2 0=v0−3.71⋅t} Si despejamos la segunda ecuación, obtenemos que v 0 es; v0=9.8⋅t Y sustituyendo en la primera, obtenemos que t vale:

20=9.8⋅t2−129.8⋅t2 ⇒20=129.8⋅t2 ⇒t=4.08−−−−√ ⇒t = 2.02 s Volviendo a sustituir el nuevo valor en la segunda: v0=9.8 ⋅ 2.02 = 19.79 m/s Lanzamiento vertical en Marte Una vez que conocemos la velocidad inicial con que se lanzó la bola en la Tierra, ahora vamos a calcular la altura máxima que alcanzará la bola en Marte con dicha velocidad inicial. Para ello, en primer lugar vamos a calcular el tiempo que tardará en alcanzar la altura máxima: v=v0−g⋅t ⇒0 = 19.79−3.71⋅t ⇒t=5.33 s Y una vez que sabemos el tiempo, ya podemos emplear todos los datos calculados para calcular la altura máxima: y=H+v0⋅t−12g⋅t2  ⇒y=0+19.79⋅5.33−123.71⋅(5.33)2 ⇒y = 52.78 m

19) Cuál será el peso de una persona de 70 kg en la superficie de la Tierra y a 500 km de altura?. Masa de la Tierra: 6·10 24 kg. Radio de la Tierra: 6370 Km. Solución Datos h = 500 km m = MT= RT=6370 Km = 6.37 · 106 m

=

500 70

·

103 m kg 24 6·10  kg

Resolución En la Supercie de la Tierra Aplicando la definición de peso en el superficie de la Tierra, obtenemos que:

P=m⋅g ⇒P=70⋅9.8 ⇒P=686 N A 500 Km sobre la Superficie de la Tierra Para calcular el peso a la altura que se nos solicita, debemos utilizar la definición genérica del peso, sabiendo que la distancia que separa a la persona y el centro de la tierra es (RT+h): P=G⋅MT⋅m(RT+h)2 ⇒P=6.67⋅10−11⋅6⋅1024⋅70(6.37⋅106+500⋅103)2 ⇒ P=6.67⋅10−11⋅6⋅1024⋅704.72⋅1013⇒P=6.67⋅10−11⋅8.9⋅1012 ⇒P=593  N Como puedes observar, cuanto mayor es la altura menor es el peso de la persona.

20) Un muelle al que se le aplica una fuerza F=500⋅i→ N sufre una deformación x→=2⋅i→ m. ¿Cuál es su constante de elasticidad? 

Solución Datos F=500⋅i→ N  :  x→=2⋅i→ m Resolución Aplicando la ley de Hooke, podemos determinar la constante de elasticidad del muelle de la siguiente forma: F→=k⋅x→ ⇒500⋅i→=k⋅2⋅i→ ⇒k=500⋅i→2⋅i→=250 N/m