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• Yonnathan Ramirez Ocampo

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Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco

Ingeniería Civil

EJERCICIOS RESUELTOS P1. Dos alineamientos se cortan en la estaca 358+6.75 formando un Angulo de intersección ∆=36°40’ y son empalmados por medio de una curva circular de 5° (G=5°). Calcular el número que corresponde las estacas del PC y PT así como los ángulos de deflexión de las estacas del número entero para que el estacado se efectuara desde el PC

Calculo del radio de curvatura LCD: longitud de cuerda unidad (Lc=20.00m) 𝑅=

𝐿𝑐 1 2𝑠𝑒𝑛 ( 𝐺) 2

𝑅=

10 5" 𝑠𝑒𝑛 ( ) 2

𝑅 = 229.256 𝑚 Calculo de la tangente 1 36°40′ 𝑇 = 𝑅𝑡𝑎𝑛 ( ∆) = 229.256 ∗ tan ( ) = 75.967 𝑚 = 𝑁° (3 + 15.967𝑚) 2 2 𝑁𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 = 𝐿 =

∆ 36°40′ = = 7.333 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝐺 5°

→ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑒𝑠 𝑆 = 20 ∗ 𝐿 = 20 ∗ 7.333 = 146.667 = 𝑁°(7 + 6.667𝑚) 𝑃𝐶 = (358 + 6.75𝑚) − (3 + 15.967𝑚) = 𝑁°(354 + 10.783 𝑚) 𝑃𝑇 = (354 + 10.783𝑚) + (7 + 6.667𝑚) = 𝑁°(361 + 17.450 𝑚)

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Angulo de deflexión para una cuerda de 20 m 𝑑=

𝐺 5° = = 2°30′ 2 2

La estaca del numero entero, inmediata al PC es el número 355, para fijarla la longitud de la cuerda tendrá la siguiente medida 355 − (354 + 10.783 𝑚) = 9.217 𝑚 La deflexión que corresponde a la cuerda de 9.217 es: 𝑑′ =

2°30′ (9.217) = 1°09′08" 20

Se cuenta con las siguientes informaciones eje

azimut Longitud(m)

AB

34°

735.70

BC

74°

210.50

CD

124°

640.40

D

A

C

B

Con los datos de la figura mostrada determinar: El radio Y la longitud de la curva circular tangente a los tres ejes:

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Calculo del radio de curvatura Ángulos de deflexión ∆1 = 74° − 34° = 40° ∆2 = 124° − 74° = 50° 𝑇1 + 𝑇2 = 𝐵𝐶 = 210.50 ∆1 ∆2 𝑅1 tan ( ) + 𝑅2 tan ( ) = 𝐵𝐶 = 210.50 𝑝𝑒𝑟𝑜 2 2 𝑅=

𝑅1 = 𝑅2 = R

210.50 210.50 = = 253.530 m ∆1 ∆2 40° 50° tan ( ) + tan ( ) tan ( ) + tan ( ) 2 2 2 2

Calculo de longitud de curva ∆= ∆1 + ∆2 = 90° →

𝐿S =

π ∗ R ∗ ∆ π ∗ 253.530 ∗ 90° = = 398.244 𝑚 180° 180°

P3. Deducir las fórmulas para ubicar un punto cualquiera de una curva simple por el método de las coordenadas Tomando las abscisas sobre las tangentes Tomando las abscisas sobre la cuerda

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Solución: Lc: cuerda unidad G: grado de cuerda unidad R: radio de curvatura 𝛿𝑛 : 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝐿𝑐 𝐺 = 2 ∗ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛( ) 𝑅 𝛿1 = 𝑔1 = 𝛿2 = 𝛿3 = 𝛿4 = 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒

𝑔1 2

𝐺 ∗ 𝐶1 𝐿𝑐

𝑔1 + 𝐺 𝑔1 𝐺 𝐺 = + = 𝛿1 + 2 2 2 2

𝑔1 + 𝐺 + 𝐺 𝑔1 𝐺 𝐺 𝐺 = ( + ) + = 𝛿2 + 2 2 2 2 2

𝑔1 + 𝐺 + 𝐺 + 𝑔2 𝑔1 𝐺 𝐺 𝑔2 𝑔2 =( + + )+ = 𝛿3 + 2 2 2 2 2 2

𝑔1 + ∑n−2 i=1 G + 𝑔2 = ∆

;

n: numero de deflexiones

𝑔1 + ∑n−1 𝐺 i=1 G 𝛿n = = 𝛿n−1 + 2 2 La fórmula para ubicar todas las estacas que se encuentran separadas entre a una distancia de cuerda unidad. P5. Una tangente de +5% corta otra de tres -3% en la estación 68+00 donde la elevación es de 642.40 ft. Determine las elevaciones de las estaciones cada 100 ft para esta curva de 1000 ft de longitud con tangentes desiguales. Solución

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Abscisas y cotas del PCV y PTV. 𝑚 ∶ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = +5% 𝑛 ∶ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = −3% 𝐿𝑐 ∶ 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 = 1000 𝑓𝑡 𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑃𝐶𝑉 = 𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝐼𝑉 −

𝐿𝑐 1000 = 68 − = 𝑁°(63 + 00 𝑓𝑡) 2 2

𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑃𝑇𝑉 = 𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝐼𝑉 +

𝐿𝑐 1000 = 68 + = 𝑁°(73 + 00 𝑓𝑡) 2 2

𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐶𝑉 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝐼𝑉 − 𝑚

𝐿𝑐 1000 = 642.40 − 0.05 ( ) = 617.40 𝑓𝑡 2 2

𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝑇𝑉 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑃𝐼𝑉 − 𝑛

𝐿𝑐 1000 = 642.40 − 0.03 ( ) = 627.40 𝑓𝑡 2 2

Cotas en la tangente en puntos intermedios 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐶𝑉 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑚 ∗ 100 𝑓𝑡 = 642.40 − 0.05 ∗ 500 = 617.40 𝑓𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑎 1 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑚 ∗ 400 𝑓𝑡 = 642.40 − 0.05 ∗ 400 = 622.40 𝑓𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑎 2 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑚 ∗ 300𝑓𝑡 = 642.40 − 0.05 ∗ 300 = 627.40 𝑓𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑎 3 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑚 ∗ 200 𝑓𝑡 = 642.40 − 0.05 ∗ 200 = 632.40 𝑓𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑎 4 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑚 ∗ 100 𝑓𝑡 = 642.40 − 0.05 ∗ 100 = 637.40 𝑓𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑎5 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑛 ∗ 100 𝑓𝑡 = 642.40 − 0.03 ∗ 100 = 639.40 𝑓𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑎6 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑛 ∗ 200 𝑓𝑡 = 642.40 − 0.03 ∗ 200 = 636.40 𝑓𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑎 7 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑛 ∗ 300 𝑓𝑡 = 642.40 − 0.03 ∗ 300 = 633.40 𝑓𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑎 8 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑛 ∗ 400 𝑓𝑡 = 642.40 − 0.03 ∗ 400 = 630.40 𝑓𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝑇𝑉 = 𝑐𝑜𝑡𝑎 𝑃𝐼𝑉 − 𝑛 ∗ 500 𝑓𝑡 = 642.40 − 0.03 ∗ 500 = 627.40 𝑓𝑡 Correcciones de pendiente en los puntos intermedios cada 100 ft 𝐼 = 𝑚 − (−𝑛) = 𝑚 + 𝑛 = 5% + 3% = 8% = 0.08 𝐼 0.08 𝑌=( ) 𝑋2 = 𝑋 2 = (0.00004)𝑋 2 2 ∗ 𝐿𝑐 2 ∗ 1000 Las correcciones de pendiente para los diversos puntos son: 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 = 𝑁°(64),

𝑥1 = 100 𝑓𝑡, 𝑦1 = (0.00004 ∗ 1002 ) = 0.4 𝑓𝑡

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2 = 𝑁°(65),

𝑥2 = 200 𝑓𝑡, 𝑦2 = (0.00004 ∗ 2002 ) = 1.60 𝑓𝑡

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 3 = 𝑁°(66),

𝑥3 = 300 𝑓𝑡, 𝑦2 = (0.00004 ∗ 3002 ) = 3.60 𝑓𝑡 Página 5

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𝑥4 = 400 𝑓𝑡, 𝑦2 = (0.00004 ∗ 4002 ) = 6.40 𝑓𝑡

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 4 = 𝑁°(67), 𝑃𝐼𝑉 = 𝑁°(68),

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𝑥5 = 500 𝑓𝑡, 𝑦2 = (0.00004 ∗ 5002 ) = 10.00 𝑓𝑡

Como comprobación, esta última corrección de pendiente debe ser igual al valor de la externa a la externa vertical (𝐸𝑣 ) 𝐸𝑣 =

𝐿𝑐 𝐼 1000 ∗ 0.08 = = 10.00 𝑓𝑡 8 8

Como se trata de una simétrica las correcciones de pendiente de los puntos 5, 6, 7 y 8 de la segunda rama. Son exactamente las mismas de los puntos 4, 3, 2, y 1 de la primera rama respectivamente. Para obtener las cotas de los respectivos puntos sobre la curva llamadas también cotas rojas, cotas de proyecto, cotas de rasante o cotas de subrasante, se deben restar de las cotas en la tangente, las correcciones de pendiente ya que se trata de una curva vertical, convexa. De esta manera queda calculada la curva vertical, con lo cual se puede elaborar el modelo de carretera. Tabla de cotas, de los puntos de la curva vertical convexa puntos abscisas pendientes PCV 1 2 3 4 PIV 5 6 7 8 PTV

N°(63) N°(64) N°(65) N°(66) N°(67) N°(68) N°(69) N°(70) N°(71) N°(72) N°(73)

+5%

-3%

Cotas en la tangente (ft) 617.40 622.40 627.40 632.40 637.40 642.40 639.40 636.40 633.40 630.40 627.40

Corrección de pendiente (ft) 0.00 -0.40 -1.60 -3.60 -6.40 -10.00 -6.40 -3.60 -1.60 -0.40 0.00

Cotas rojas(ft) 617.40 622.00 625.80 628.80 631.40 642.40 633.00 632.80 631.80 630.00 627.40

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