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Gu´ıa de problemas para el examen extraordinario de M´etodos Matem´aticos 1. Encuentre la serie de Fourier compleja de las siguientes funciones: (a) f (t) = t2 , para 0 ≤ t < 2; tal que f (t + 2) = f (t). (b) f (t) = 1 − t, para 0 ≤ t < 6; tal que f (t + 6) = f (t). (c) f (t) = e−t , para 0 < t < 5; tal que f (t + 5) = f (t). 2. Encontrar los coeficientes complejos Zn de Fourier y dibujar los espectros de frecuencia para la funci´on diente de sierra definida por: 1 1 f (t) = − t + , T 2 para 0 < t < T y f (t + T ) = f (t). 3. Pruebe que la serie de Fourier que representa la funci´on peri´odica f (t) definida por, (

π2 si −π ≤ t < 0 (t − π)2 si 0 < t < π.

f (t) = tal que f (t) = f (t + 2π) es:

∞ ∞ X 2 2 (−1)n 4X sin(2n − 1)t f (t) = π 2 + cos(nt) + π sin(nt) − . 2 3 n π n=1 (2n − 1)3 n=1 n

"

#

Utilice este resultado para probar que: (a)

∞ X 1 n=1

(b)

n2

=

∞ X (−1)n+1 n=1

n2

π2 6

=

π2 12

4. Una funci´on peri´odica f (t) de periodo 2π est´a definida dentro del dominio 0 ≤ t < π por, (

f (t) =

t si 0 ≤ t ≤ π2 π − t si π2 ≤ t ≤ π.

Dibuje la gr´afica de f (t) para −2π < t < 4π en ambos casos donde (a) f (t) es una funci´on par (b) f (t) es una funci´on impar. Encuentre la expansi´on en serie de Fourier que representa la funci´on par para todo valor de t, y u´ sela para probar que, ∞ X 1 π2 = 2 8 n=1 2n − 1) 1

5. Una cuerda uniforme y flexible est´a firmemente estirada y tiene sus extremos fijos en los puntos x = 0 y x = L. El punto medio de la cuerda est´a desplazado a una distancia a como se muestra en la figura. Si f (t) denota el perfil de desplazamiento de la cuerda, exprese f (t) como una expansi´on en la serie de Fourier que solamente est´a formada por t´erminos senos. 6. Una cuerda uniforme y flexible est´a firmemente estirada y tiene sus extremos fijos en los puntos x = 0 y x = L. El punto medio de la cuerda est´a desplazado a una distancia a como se muestra en la figura. Si f (t) denota el perfil de desplazamiento de la cuerda, exprese f (t) como una expansi´on en la serie de Fourier que solamente est´a formada por t´erminos senos. 7. Pruebe que la forma compleja de la expansi´on de serie de Fourier de la funci´on peri´odica f (t) = t2 , (−π < t < π), tal que f (t) = f (t + 2π), est´a dada por, ∞ 2 π2 X + (−1)n ejnt f (t) = 2 6 n=0 n

De la serie anterior, obtenga la serie trigonom´etrica correspondiente. 8.

(a) Obenga la forma compleja de la expansi´on en serie de Fourier de la onda cuadrada, (

f (t) =

0 si −2 < t < 0 π si 0 < t < 2.

tal que f (t) = f (t + 4). Obtenga tambi´en la serie de Fourier trigonom´etrica correspondiente. (b) Usando los coeficientes de Fourier de f (t) y el Teorema de Parselval que establece: ∞ h i 1 1X 1 Z a+T [f (t)]2 dt = (a0 )2 + (an )2 + (bn )2 T a 4 2 n=1

pruebe que,

∞ X

π2 1 = 2 8 n=1 2n − 1) 9. Pruebe que la expansi´on es serie de Fourier de la funci´on peri´odica f (t) = 500πt para  1 1 0 < t < 50 y f (t) = f t + 50 , puede expresarse como, f (t) = 5π − 10

∞ X 1 n=0

n

sin(100nπt)

10. Una funci´on peri´odica f (t) de periodo 2π est´a definida en −π ≤ t ≤ π por, (

f (t) =

−t si −π ≤ t ≤ 0 t si 0 ≤ t ≤ π

Obtener la expansi´on en serie de Fourier para f (t) y, a partir de ella y usando el teorema de Parserval que establece ∞ h i 1 Z a+T 1 1X [f (t)]2 dt = (a0 )2 + (an )2 + (bn )2 T a 4 2 n=1 2

pruebe que,

∞ X

1 π2 = 4 96 n=1 2n − 1) 11. Una funci´on peri´odica f (t) de periodo 2π est´a definida en el rango −π < t < π por, t 2

 

f (t) = sin

Pruebe que la forma compleja de la expansi´on en serie de Fourier para f (t) es, ∞ X

j4n(−1)n jnt e f (t) = 2 n=−∞ π(4n − 1) 12. Dada la funci´on f (t) = t para 0 < t < 2, encuentre la expansi´on en serie de Fourier, (a) Con solamente t´erminos senos (b) Con solamente t´erminos cosenos Dibuje en casa caso la extensi´on par e impar de la funci´on en el intevalo −6 < t < 6. 13. Eval´ue las siguientes integrales, (a) I γ

(b)

cos z dz z−π

ez dz z(z + 1)

I γ

donde γ est´a dado por |z − 1| = 3. 14. Eval´ue la siguiente integral, I γ

ez dz (z − 1)(z + 3)2

donde γ est´a dado por: (a) |z| = 3/2 (b) |z| = 10 15. Eval´ue las siguientes integrales, (a) I γ

(b) I γ

cos πz dz z−1

ez + z dz (z − 1)4

donde γ es cualquier contorne cerrado simple que comprende z = 1. 3

16.

(a) Calcule la siguiente integral dz (z − z0 )n

I γ

donde γ es un contorne cerrado simple que encierra al punto z0 y n es un n´umero entero. (b) Aplique el resultado del inciso anterior para calcular las siguientes integrales: i. I C

dz (z − 2 − j)

donde C est´a dado por |z| = 5 ii. I C

zdz (z − 1)(z + 2j)

donde C es cualquier contorno cerrado simple que contenga a ambos puntos z = 1 y z = −2j. 17. Eval´ue las siguientes integrales de contorno (a) I C

z3 + z dz (2z + 1)3

donde C est´a dado por |z| = 1 (b) I C

4z dz (z − 1)(z + 2)2

donde C est´a dado por |z| = 3 18. Calcule la siguiente integral I γ z3

dz − z4

donde γ esta definida por |z| = 21 . (a) Aplicando el Teorema del Residuo, y (b) Aplicando el Teorema de Cauchy. 19. Calcule la siguiente integral I C

e−z , (z − 1)4

donde γ, es el c´ırculo |z| = 2 en sentido positivo. (a) Aplicando el Teorema del Residuo, y (b) Aplicando el Teorema de Cauchy. 4

20. Calcule la siguiente integral e2z , (z + i)4

I γ

donde γ es cualquier contorno cerrado que encierra a −i. (a) Aplicando el Teorema del Residuo, y (b) Aplicando el Teorema de Cauchy. 21. Calcule la siguiente integral e2z , (z − 1)3

I γ

donde γ, es cualquier contorno cerrado simple que encierra a 1. (a) Aplicando el Teorema del Residuo, y (b) Aplicando el Teorema de Cauchy. 22. Calcule la siguiente integral I γ

ez , (z 2 + π 2 )2

donde γ, es el c´ırculo |z| = 4 en sentido positivo. 23. Calcule la integral I γ

cos z , z3 + z

donde γ, est´a dada por: (a) |z| = 2 (b) |z| =

1 2

(c) i z − = 1

2

24. Eval´ue la integral I γ

dz , (z − a)(z − b)

donde γ, es cualquier contorno cerrado simple, talque (a) Si a y b est´an en el interior de γ

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(b) Si a est´a en el interior de γ y b en el exterior (c) Si b est´a en el interior de γ y a en el exterior. Justifique claramente sus respuestas en todos los casos. 25. Determinar la validez del siguiente par de transformadas (a) (

f (t) =

1− 0

|t| τ

para |t| < τ para |t| > τ ,

(b) "

F (w) = τ

) sin( wτ 2

#2

wτ 2

26. Hallar la convoluci´on de las siguientes funciones,

27. Determinar la transformada de Fourier de la funci´on que se muestra en la siguiente figura,

28. Para las funciones que se muestran en la figura, Calcular

(a) f1 (t) ∗ f1 (t). (b) f2 (t) ∗ f2 (t). (c) f3 (t) ∗ f3 (t). (d) f1 (t) ∗ f2 (t). (e) f1 (t) ∗ f3 (t). (f) f2 (t) ∗ f3 (t). 29. Eval´ue las siguientes integrales de convoluci´on, (claro que puede aplicar el teorema de convoluci´on). (a) H(t) ∗ e−t H(t). (b) e−at H(t) ∗ e−bt H(t). Atentamente: Profesor Marco A. Barranco-Jim´enez

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