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Universidad privada de Tacna UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULDAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE ING. CIVIL

TRABAJO FINAL “APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERIA CIVIL”

ASIGNATURA Matemática IV

ESTUDIANTE Anali Bustinza Huayllapuma Olivers Ángel Condori Ramos Erick Cesar Llano Condori

DOCENTE Dr. Ing. Arcadio Atencio Vargas

TACNA-PERU 2019

1

Universidad privada de Tacna INDICE

1.

INTRODUCCION ................................................................................................................ 4

2.

OBJETIVOS ........................................................................................................................ 5

3.

FUNDAMENTO TEORICO ............................................................................................... 5

4.

PROBLEMAS ...................................................................................................................... 7

4.1.

EJERCICIO Nº 01 .......................................................................................................... 7

4.1.1.

Análisis del problema ................................................................................................. 7

4.1.2

Emisión de hipótesis .................................................................................................. 7

4.1.3

Estrategias de solución.............................................................................................. 7

4.1.4

Resolución del problema ........................................................................................... 8

4.1.5

Análisis de resultado .................................................................................................. 9

4.2.

EJERCICIO Nº 02 .......................................................................................................... 9

4.2.1.

Análisis del problema ............................................................................................... 10

4.2.2.

Emisión de hipótesis ................................................................................................ 10

4.2.3.

Planteamiento de estrategias ................................................................................. 10

4.2.4.

Resolución del problema ......................................................................................... 10

4.2.5.

Análisis de resultado ................................................................................................ 12

4.3.

EJERCICIO Nº 03 ........................................................................................................ 13

4.3.1.

Análisis del problema ............................................................................................... 13

4.3.2.

Emisión de hipótesis ................................................................................................ 13

4.3.3.

Planteamiento de estrategias ................................................................................. 13

4.3.4.

Resolución del problema ......................................................................................... 14

4.3.5.

Análisis de resultados: ............................................................................................. 16

4.4.

EJERCICIO Nº 04 ........................................................................................................ 16

4.4.1.

Análisis del problema ............................................................................................... 16

4.4.2.

Emisión de hipótesis ................................................................................................ 16

4.4.3.

Estrategias de solución............................................................................................ 16

4.4.4.

Resolución del problema ......................................................................................... 17

4.4.5.

Análisis de resultado ................................................................................................ 18

4.5.

EJERCICIO Nº 05 ........................................................................................................ 19

4.5.1.

Análisis del problema ............................................................................................... 19

4.5.2.

Emisión de la hipótesis ............................................................................................ 19

4.5.3.

Estrategia de solución.............................................................................................. 19

4.5.4.

Resolución de problema .......................................................................................... 20

2

Universidad privada de Tacna 4.5.5.

Análisis de resultado ................................................................................................ 22 EJERCICIO Nº 06 ........................................................................................................ 22

4.6. 4.6.1.

Análisis del Problema .............................................................................................. 23

4.6.2.

Emisión de hipótesis ................................................................................................ 23

4.6.3.

Estrategia de Solución ............................................................................................. 23

4.6.4.

Resolución Problema ............................................................................................... 23

4.6.5.

Análisis de resultados: ............................................................................................. 24

5.

CONCLUSIONES ............................................................................................................. 25

6.

RECOMENDACIONES: .................................................................................................. 25

7.

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................. 25

3

Universidad privada de Tacna 1. INTRODUCCION

En el presente trabajo se quiere reafirmar en la vida real la aplicación de los integrales en la carrera de ingeniería civil, con el fin de poder resolver mediante estas el desarrollo de varios problemas que se pueden tener en el ámbito de nuestra carrera sea tanto por fluidos, áreas, estructuras, volúmenes, ordenadas, etc. Buscando así soluciones con lo aprendido en la clase de matemática 4 en nuestra carrera. Una ecuación diferencial debe entenderse como modelo de un fenómeno de la realidad. Es decir, como una expresión matemática que reproduce lo que sucede en un fenómeno, si sustituimos cantidades y parámetros adecuados. Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A partir de la formación matemática de distintas situaciones se describen procesos reales aproximados. Dentro de los diversos campos de acción de la Ingeniería Civil, una de las múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones

4

Universidad privada de Tacna

2. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL 

Aprender a utilizar las ecuaciones diferenciales como una herramienta que posibilite la solución de problemas de ingeniería, específicamente en el campo de la construcción.



Aplicar las ecuaciones diferenciales a la vida real mediante problemas relacionados con la Ingeniería Civil

OBJETIVOS ESPECIFICOS 

Relacionar ecuaciones diferenciales con la vida real



Obtener la ecuación de la curva elástica y su máxima deflexión vertical



Obtener la ecuación del movimiento del resorte

3. FUNDAMENTO TEORICO En la carrera de ingeniería civil es importante una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una función desconocida. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva. Tipos de soluciones de los ejercicios: Método de integración: sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. EI

d2 x = M(x) dx 2

Se integrará dos veces consecutivas para obtener la ecuación de la flecha: 𝑦=∬

𝑀(𝑥) 𝐸𝐼

Integrales definidas: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎

Volumen: 𝑏

𝑣 = 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥 𝑎

5

Universidad privada de Tacna Momento: 𝑏

𝑤𝑡 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

Área: 𝑏

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Coordenadas (x, y): 𝑥=

1 𝑏 ∫ 𝑥(𝑓(𝑥))𝑑𝑥 𝐴 𝑥=𝑎

1 𝑏 1 𝑦= ∫ (𝑓(𝑥))2 𝑑𝑥 𝐴 𝑥=𝑎 2

Volumen de la pirámide: 𝑛

𝑉 = lim ∑ 𝐴(𝐸𝑖)∆𝑖𝑦 ∆→0

𝑖=1

ℎ

𝑉 = ∫ 𝐴(𝑦)𝑑𝑦 0

Área en Y: 𝐴(𝑦) =

𝑠2 (ℎ − 𝑦)2 ℎ2

Ec. De la Def. Del Resorte: Para un muelle de densidad variable, módulo de elasticidad variable y sección de la envolvente variable, la ecuación generalizada de las perturbaciones es la que sigue: md2 y dy = −Ky − β 2 dt dt

6

Universidad privada de Tacna

4. PROBLEMAS 4.1.

EJERCICIO Nº 01

ENCONTRAR LA MAXIMA DEFORMACION 𝐸 = 2 × 104 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2

Sección:

4.1.1. Análisis del problema Este problema corresponde a deflexión en vigas en el que usara el método de doble integración El método a usar es separación de variables 4.1.2

Emisión de hipótesis

Nos piden la deformación máxima corresponde a un 𝑣 = 0, depende del material y la sección 4.1.3

Estrategias de solución

Método de integración 𝐸𝐼

𝑑2 𝑥 = 𝑀(𝑥) 𝑑𝑥 2

𝑑2 𝑥 𝑀(𝑥) = 𝑑𝑥 2 𝐸𝐼 Se integrará dos veces consecutivas para obtener la ecuación de la flecha: 𝑦=∬

7

𝑀(𝑥) 𝐸𝐼

Universidad privada de Tacna 4.1.4

Resolución del problema

a.

Calculamos las reacciones

b.

∑ 𝐹𝑋 = 0

∑ 𝐹𝑌 = 0

𝐴𝑋 = 0

𝐴𝑌 = 3600 𝑁

∑ 𝑀𝐴 = 0 3600(3) = 𝑀𝐴 10800 = 𝑀𝐴

Calculo de las ecuaciones de momento TRAMO ̅̅̅̅ AB

0≤𝑋≤6

𝑥 𝑀(𝑥) = −600𝑥 ( ) + 3600𝑥 − 10800 2 𝑀(𝑥) = −300𝑥 2 + 3600𝑥 − 10800

c.

Aplicando doble integración 𝐸𝐼 𝐸𝐼

𝑑2 𝑥 = −300𝑥 2 + 3600𝑥 − 10800 𝑑𝑥 2

𝑑𝑦 𝑥2 𝑥2 = −300 + 3600 − 10800𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑥 3 2

𝐸𝐼 ∗ 𝑦 = −100

𝑥4 𝑥3 𝑥2 + 1800 − 10800 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 4 3 2

𝐸𝐼 ∗ 𝑦 = −25𝑥 4 + 600𝑥 3 − 5400𝑥 2 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 d.

Calculando las constantes (𝐶1 , 𝐶2 ) Para: 𝑥 = 0

→ 𝑦=0

Para: 𝑥 = 0

→

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=0 8

→

𝐶2 = 0

→

𝐶1 = 0

Universidad privada de Tacna 𝐸𝐼 ∗ 𝑦 = −25𝑥 4 + 600𝑥 3 − 5400𝑥 2 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝐸𝐼 ∗ 𝑦 = −25𝑥 4 + 600𝑥 3 − 5400𝑥 2 e.

La deflexión máxima se da en ‘’B’’: 𝑋 = 6𝑚

𝐼=

𝐸 = 2 × 104

𝑏ℎ3 (0.4)(0.4)3 = = 0.00213𝑚4 12 12

𝑘𝑔 104 𝑐𝑚2 𝑁 𝑘𝑔⁄ 4 ≅ 2 × 10 × × 9.8 2 2 𝑐𝑚2 𝑐𝑚 1𝑚 𝑘𝑔 𝐸 = 19,6 × 108 𝑁⁄𝑚2 𝐸𝐼 = 4181333.33 𝑁. 𝑚2

f.

La deflexión máxima 𝑦=

−25(6)4 + 600(6)3 − 5400(6)2 𝐸𝐼

𝑦 = −0.0232 𝑚 4.1.5

≅

−2.32 𝑐𝑚

Análisis de resultado

La deformación máxima se da en el extremo “B” y en vertical cuyo valor es: 𝑦 = −2.32 𝑐𝑚 (↓)

4.2.

EJERCICIO Nº 02

DETERMINAR LA DEFLEXION MAXIMA DE LAS FIGURA QUE ESTA SOMETIDA LA SIGUIENTE VIGA

Sección:

9

Universidad privada de Tacna 4.2.1. Análisis del problema Este problema corresponde a deflexión en vigas en el que usara el método de doble integración El método a usar es separación de variables 4.2.2. Emisión de hipótesis Nos piden la deformación máxima corresponde a un 𝑣 = 0, depende del material y la sección 4.2.3. Planteamiento de estrategias Método de integración 𝐸𝐼

𝑑2 𝑥 = 𝑀(𝑥) 𝑑𝑥 2

𝑑2 𝑥 𝑀(𝑥) = 𝑑𝑥 2 𝐸𝐼 Se integrará dos veces consecutivas para obtener la ecuación de la flecha: 𝑦=∬

𝑀(𝑥) 𝐸𝐼

4.2.4. Resolución del problema a.

Calculamos las reacciones

∑ 𝐹𝑋 = 0

∑ 𝐹𝑌 = 0

𝐴𝑋 = 0

𝐴𝑌 + 𝐶𝑌 = 1000 𝑁

∑ 𝑀𝐴 = 0 𝐴𝑦 = 250 𝑁 1000(6) = 𝐶𝑦 (8) 6000 = 𝐶𝑦 8 𝐶𝑦 = 750 𝑁

10

Universidad privada de Tacna b.

Calculo de las ecuaciones de momento y corte

TRAMO ̅̅̅̅ AB

0 ≤ 𝑥 ≤ 6𝑚

𝑣 = 250 𝑁 𝑀 = 250𝑥

̅̅̅̅ TRAMO BC

6𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 8𝑚 𝑣 = 250𝑥 − 1000 − 750 𝑀 = 250𝑥 − 1000(𝑥 − 6) 𝑀 = −750𝑥 + 6000

c.

Aplicando doble integración

TRAMO ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ∫ 𝐸𝐼 ∫ 𝐸𝐼

𝑑2 𝑦 ∫ 250𝑥 𝑑𝑥 2

𝑑𝑦 250𝑥 2 = + 𝐶1 𝑑𝑥 2

𝐸𝐼 ∗ 𝑦 = 125

𝑥3 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 3

TRAMO ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ∫ 𝐸𝐼

𝑑2 𝑦 = ∫(−750𝑥 + 6000)𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

𝑑𝑦 750𝑥 2 ∫ 𝐸𝐼 = ∫ (− + 6000𝑥 + 𝐶3 ) 𝑑𝑥 2 𝑥3 𝑥2 𝐸𝐼 ∗ 𝑌 = −375 + 600 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 3 2

11

Universidad privada de Tacna d.

Calculando las constantes por condición de borde En 𝑥 = 0

→ 𝑦=0

En 𝑥 = 8𝑚

→

𝑦=0

→

𝐶2 = 0

→

0=−

375(8)3 3

+ 3000(8)2 + 6𝐶3 + 𝐶4

−128000 = 8𝐶3 + 𝐶4 … … … … … … (1) En 𝑥 = 6

→

𝑦𝐼 = 𝑦𝐼𝐼 →

125𝑥 3 3

375(6)3 3

+ 6𝐶1 =

+ 3000(6)2 + 6𝐶3 +

𝐶4 −72000 = 6𝐶3 + 𝐶4 − 6𝐶1 … … … … … (2) En 𝑥 = 6

→

𝑑𝑦 𝑑𝑥𝐼

𝑑𝑦

= 𝑑𝑥

→

𝐼𝐼

126(6)2 + 𝐶1 = −375(6)2 + 6000(6) +

𝐶3 −18000 = 𝐶3 − 𝐶1 … … … … … … … (3) 𝐶1 = −2500 𝐶3 = −20500 𝐶4 = 36000 e.

La deflexión máxima se da en: 𝑥 = 6𝑚 (𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑣 = 0) 𝐸𝐼 ∗ 𝑦 =

125(6)3 − 2500(6) + 0 3 −6000 𝑦= 𝐸𝐼

𝑃𝑒𝑟𝑜: 𝐼=

𝑏ℎ3 (0.3)(0.2)3 = = 0.0002 𝑚 12 12 6

𝐸 = 2 × 10 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 ∗ 9.8 ∗

104 𝑐𝑚2 1𝑚2

𝐸 = 19.6 × 1010 𝑁⁄𝑚2 𝐸𝐼 = 392 × 105 𝑌=

−6000 = −1.53 × 10−4 392 × 105 = −0.153 𝑚𝑚

4.2.5. Análisis de resultado La deformación máxima se da en el extremo “B” y en vertical cuyo valor es: 𝑦 = −2.32 𝑐𝑚 (↓)

12

Universidad privada de Tacna 4.3.

EJERCICIO Nº 03

SE QUIERE HALLAR EL CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO ESTRUCTURAL, DE TAL FORMA QUE SE AFIRMA, SABIENDO QUE ESTA AFIRMARA EL PUNTO DE EQUILIBRIO DEL OBJETO. UNA DE LAS MANERAS DE PODER ENCONTRAR SU CENTRO DE GRAVEDAD ES MEDIANTE LAS INTEGRALES DEFINIDAS.

4.3.1. Análisis del problema Se analizará el cuerpo estructural de un edificio para poder hallar el centro de gravedad de esta, usándose varios métodos de integración. 4.3.2. Emisión de hipótesis Se quiere hallar el centro de gravedad de una estructura mediante el uso de integrales en la ingeniería. 4.3.3. Planteamiento de estrategias Uso de integrales definidas, masa, volumen, momento, área. Para poder resolver y hallar el centro del cuerpo.

Integrales definidas: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑎

Volumen: 13

Universidad privada de Tacna 𝑏

𝑣 = 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥 𝑎

Momento: 𝑏

𝑤𝑡 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

Área: 𝑏

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Coordenadas (x, y): 1 𝑏 𝑥 = ∫ 𝑥(𝑓(𝑥))𝑑𝑥 𝐴 𝑥=𝑎 𝑦=

1 𝑏 1 ∫ (𝑓(𝑥))2 𝑑𝑥 𝐴 𝑥=𝑎 2

4.3.4. Resolución del problema

Para hallar el centro de gravedad de masa de la lámina de densidad saber su 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2 y el eje x, tenemos que: 𝑓(𝑥) = 0 Integrando para calcular su masa obtenemos 2

𝑚 = 𝑝 ∫ 𝑦. 𝑑𝑥 −2

2

𝑚 = 𝑝 ∫ (4 − 𝑥 2 ). 𝑑𝑥 −2

𝑚 = 𝑝 [4𝑥 − 𝑚=

𝑥3 2 ] ∫ . 𝑑𝑥 3 −2

32𝑝 3

El momento con respecto al eje x es:

[16𝑥 −

8𝑥 3 𝑥 5 2 + ] ∫ . = 256𝑝/15 3 5 −2

256𝑝 15 𝑀𝑥 8 32𝑝 = = 𝑚 3 5 La función de la curva que forma la masa del objeto 14

Universidad privada de Tacna

𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 1

Las fórmulas para hallar las coordenadas del centro de masa: 1

𝑥 = 𝐴 . ∫ 𝑋(𝐹 = 𝑋)𝑑𝑥

𝑦=

1 . ∫(𝐹 = 𝑋)2 2𝐴

Ahora hallaremos el volumen del área para así poder hallar las coordenadas que nos indicaran cuál es su centro de gravedad.

1

2𝑥 4 3 1 1 3 (2𝑋 𝐴=∫ + 1)𝑑𝑥 = [ + 𝑥] { = + 1 = 𝑢2 = 1.5𝑢2 0 2 4 2 0 Luego de hallar el área, nos encargamos de las coordenadas de (x, y). Para x: 𝑥=

1 1 ∗ ∫ 𝑥(2𝑋 3 + 1)𝑑𝑥 1.5 0

𝑥=

1 2 ∗ ∫ (2𝑋 4 + 𝑥)𝑑𝑥 3 0

𝑥=

2 2𝑥 5 𝑥 2 1 ∗[ + ]{ 3 5 2 0

𝑥=

2 2 1 3 ∗[ + ]= 3 5 2 5

Para y: 𝑦=

1 1 ∗ ∫ (2𝑥 3 + 1)2 𝑑𝑥 2 ∗ 1.5 0 1

1

𝑦 = 3 ∗ ∫0 (4𝑥 6 + 4𝑥 3 + 1)𝑑𝑥 𝑦=

1 4𝑥 7 4𝑥 4 1 ∗[ + + 𝑥] { 0 3 7 4 15

Universidad privada de Tacna

𝑦=

1 4 6 ∗ [ + 2] = 3 7 7

4.3.5. Análisis de resultados: Se halló el punto de equilibrio de la estructura obteniéndose como resultado (3/5, 6/7) respectivamente en (x, y), en ese orden. Se utilizó varias fórmulas tanto geométricas u otras para poder obtener el resultado. 4.4.

EJERCICIO Nº 04

EN ESTE PROBLEMA SE QUIERE EMPLEAR LA INTEGRAL DEFINIDA PARA PODER HALLAR EL VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE, EN DICHO DESARROLLO USAMOS LA FÓRMULA DE LA GEOMETRÍA PLANA PARA EL ÁREA DE UN RECTÁNGULO, SE EMPLEA AHORA UN PROCESO SIMILAR PARA OBTENER VOLÚMENES DE CIERTOS TIPOS DE SÓLIDO COMO EL DE LA PIRÁMIDE.

4.4.1. Análisis del problema Se tiene la siguiente pirámide, donde requerimos emplear la integral definida para poder hallar el volumen correspondiente. 4.4.2. Emisión de hipótesis Se quiere hallar el volumen de la pirámide, se toma en cuenta en la imagen como referencia a las pirámides egipcias, queriendo desarrollar de una forma más matemática posible su volumen en toda su dimensión. 4.4.3. Estrategias de solución Se tiene distintas fórmulas que nos ayudaran para el desarrollo de este ejercicio aplicado en la ingeniería.

Volumen de la pirámide: 16

Universidad privada de Tacna 𝑛

𝑉 = lim ∑ 𝐴(𝐸𝑖)∆𝑖𝑦 ∆→0

𝑖=1

ℎ

𝑉 = ∫ 𝐴(𝑦)𝑑𝑦 0

Área en Y: 𝐴(𝑦) =

𝑠2 (ℎ − 𝑦)2 ℎ2

4.4.4. Resolución del problema

Acomodando las formulas queda: 1 2𝑧 = 1 2𝑠 ℎ−𝑦 ℎ Se despeja “z”:

𝑧=

𝑠 (ℎ − 𝑦) ℎ

Hallar el área de la sección plana que es A(y) en unidades cuadradas:

𝐴(𝑦) =

𝑠2 (ℎ − 𝑦)2 ℎ2

Como ya se tiene el área podemos hallar el volumen de la pirámide: 𝑛

𝑉 = lim ∑ 𝐴(𝐸𝑖)∆𝑖𝑦 ∆→0

𝑖=1

Pasándolo a integral queda: ℎ

𝑉 = ∫ 𝐴(𝑦)𝑑𝑦 0 ℎ 2

𝑉=∫ 0

Como

𝑠2 ℎ2

son constantes se sacan:

17

𝑠 (ℎ − 𝑦)𝑑𝑦 ℎ2

Universidad privada de Tacna

𝑉=

𝑠2 ℎ ∫ (ℎ − 𝑦)2 𝑑𝑦 ℎ2 0

Integrando: 𝑈 =ℎ−𝑦 𝑑𝑢 = 1𝑑𝑦 −𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 Remplazamos: 𝑉=

𝑠2 ℎ 2 ∫ (𝑢) (−𝑑𝑢) ℎ2 0

𝑉=

ℎ 𝑠2 [− ∫ 𝑢2 𝑑𝑢] ℎ2 0

𝑉= 𝑉= 𝑉=

𝑠2 𝑢3 ℎ (− ){ ℎ2 3 0

𝑠 2 −(ℎ − 𝑦)3 ℎ ( ){ 0 ℎ2 3

𝑠 2 −(ℎ − ℎ)3 −(ℎ − 0)3 − ( ) ( ) ℎ2 3 3 𝑠 2 +(ℎ)3 𝑉 = 2( ) ℎ 3 𝑉=

𝑠 2 (ℎ)3 ( ) ℎ2 3

1 𝑉 = 𝑠2ℎ 3 4.4.5. Análisis de resultado Se obtuvo un volumen de

1 2 𝑠 ℎ 3

como resultado de la pirámide, donde h

vendría a ser la altura y s la distancia proporcionada, es un valor inexacto en un numero entero, pero teniendo esos valores reales se puede hallar el volumen de una forma exacta.

18

Universidad privada de Tacna 4.5.

EJERCICIO Nº 05

DETERMINAR LA DEFLEXIÓN EN LA MITAD DE LA VIGA: 𝐸 = 2 ∗ 106

𝑇𝑜𝑛 𝑐𝑚2

Sección:

4.5.1. Análisis del problema 

Se analizará la deflexión en vigas en el que se usará el método de doble integración.



Se usará el método de separación de variable.

4.5.2. Emisión de la hipótesis 

Nos piden la deformación en medio de la viga corresponde a la deformación máxima.

4.5.3. Estrategia de solución 

Método Doble integración: 𝑬𝑰 ∗

19

𝒅𝟐 𝒚 = 𝑴(𝒙) 𝒅𝒙𝟐

Universidad privada de Tacna 4.5.4. Resolución de problema

a.

Calculo de reacciones:

Por simetría:

𝐴𝑌 = 𝐵𝑌 = 24 𝑇𝑜𝑛 b.

Calculo de las ecuaciones de momentos y corte Tramo AB 0 ≤ X ≤ 8m

𝑥 𝑀(𝑥) = 24𝑥 − 6𝑥 ( ) 2 𝑀(𝑥) = 24𝑥 − 3𝑥 2 c.

Aplicando Doble integración Tramo AB : 𝑬𝑰 ∗

𝒅𝟐 𝒚 = 𝑴(𝒙) 𝒅𝒙𝟐

𝑑2 𝑌

∫ 𝐸𝐼 𝑑𝑥 2 = ∫(24𝑥 − 3𝑥 2 )𝑑𝑥 𝐸𝐼 ∗

𝑑𝑦 = 12𝑥 2 − 𝑥 3 + 𝐶1 𝑑𝑥

𝐸𝐼 ∗ 𝑌 = 4𝑥 3 −

𝑥4 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 4 20

…

…

𝐸𝐶. 𝐺𝐼𝑅𝑂

𝐸𝐶. 𝐷𝐸 𝐹𝐿𝐸𝑋𝐼𝑂𝑁

Universidad privada de Tacna

d.

Calculando constantes por condiciones de borde: 𝐸𝑛 𝑋 = 0 → 𝑦 = 0 𝐄𝐈 ∗ 𝐘 = 𝟒𝐱 𝟑 −

𝐱𝟒 + 𝐂𝟏 𝐗 + 𝐂𝟐 𝟒

EI ∗ 0 = 403 −

04 + C1 0 + C2 4

𝐶2 = 0 𝐸𝑛 𝑋 = 8 → 𝑦 = 0 𝐄𝐈 ∗ 𝐘 = 𝟒𝐱 𝟑 −

𝐱𝟒 + 𝐂𝟏 𝐗 + 𝐂𝟐 𝟒

𝐸𝐼 ∗ 0 = 4(8)3 −

84 4

+ 𝐶1 8 + 0

84 − 4(8)3 = 𝐶1 8 4 −128 = 𝐶1

𝐄𝐈 ∗ 𝐘 = 𝟒𝐱 𝟑 −

EI ∗ Y = 4x 3 −

𝑦=

𝐱𝟒 + 𝐂𝟏 𝐗 + 𝐂𝟐 𝟒

x4 + C1 (−128) + 0 4

4𝑥 3 −

𝑥4 −128𝑥 4

𝐸𝐼

Para el medio de la viga: 𝑿=𝟒→ 𝒙𝟒 𝟒𝒙𝟑 − 𝟒 − 𝟏𝟐𝟖𝒙 𝒚= 𝑬𝑰 44 4(4)3 − 4 − 128(4) 𝑦= 𝐸𝐼 𝑦=

3(4)3 − 128(4) 𝐸𝐼 𝒙𝟒 𝟒𝒙𝟑 − 𝟒 − 𝟏𝟐𝟖𝒙 𝒚= 𝑬𝑰 21

Universidad privada de Tacna

𝑦=

−320 𝐸𝐼

Si: 𝒃 ∗ 𝒉𝟑 (0.6)(0.4)3 𝑰= == = 0.0032𝑚4 𝟏𝟐 12

𝑬 = 2 ∗ 106

𝑇𝑜𝑛 104 𝑐𝑚2 𝑇𝑜𝑛 10 ∗ = 2 ∗ 10 𝑐𝑚2 1𝑚2 𝑚2

𝐲=

𝑦=

−𝟑𝟐𝟎 𝐄𝐈

−320 64 ∗ 106

𝑦 = −0.000005𝑚 = −0.005𝑚𝑚 4.5.5. Análisis de resultado 

Debido al material y la sección la deformación es muy pequeña: 𝑦 = −0.005𝑚𝑚

4.6.

EJERCICIO Nº 06

DETERMINAR LA ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO DE RESORTE Si: Es un movimiento amortiguado libre: F (t)=0 

Considere coeficiente del amortiguamiento del aire=3 N.s/m 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 → 𝐾 = 700 Del resorte:

22

𝑁 𝑀

Universidad privada de Tacna

4.6.1. Análisis del Problema 

Se analizará la deformación de un resorte (Y) en función del tiempo (Y(t))



Se usará método de Ec. Diferenciales de orden superior.

4.6.2. Emisión de hipótesis 

La deformación depende directamente de la fuerza y la “K” constante del resorte.

4.6.3. Estrategia de Solución 

Ec. De la Def. Del Resorte: 𝐦𝐝𝟐 𝐲 𝐝𝐲 = −𝐊𝐲 − 𝛃 𝟐 𝐝𝐭 𝐝𝐭

4.6.4. Resolución Problema 𝛃=𝟑

𝐍. 𝐒 𝐦

𝑲 = 𝟕𝟎𝟎

𝒎=

𝐍 𝐦

𝟖𝟎 = 𝟖. 𝟏𝟔𝐊𝐠 𝟗. 𝟖 23

Universidad privada de Tacna

𝐦𝐝𝟐 𝐲 𝐝𝐭 𝟐

= −𝐊𝐲 − 𝛃

𝐝𝐲 𝐝𝐭

̈ 𝐾𝑦 + 𝛽𝑦̇ = 0 𝑚𝑦 + ̈ 𝛽𝑦̇ + 𝐾𝑦 = 0 𝑚𝑦 + ̈ 3𝑦̇ + 700𝑦 = 0 8.16𝑦 + 8.16m2 + 3𝑚 + 700 = 0

𝐦=

𝑚=

−𝐛 ± √𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 𝟐𝐚

−3 ± √(3)2 − 4 ∗ 8.16 ∗ 700 2 ∗ 8.16 𝑚=

−3 ± 151.12𝑖 16.32

𝑚 = −0.1838 ± 9.26𝑖

𝑌 = 𝐶1 𝑒 −0.18𝑡 ∗ cos(9.26𝑡) + 𝐶2 𝑒 −0.18𝑡 sin(9.26𝑡) 4.6.5. Análisis de resultados: 

Se tendrá una Ec. 𝒀 = 𝒆−𝟎.𝟏𝟖𝒕 ∗ (𝑪𝟏 ∗ 𝐜𝐨𝐬(𝟗. 𝟐𝟔𝒕) + 𝑪𝟐 ∗ 𝐬𝐢𝐧(𝟗. 𝟐𝟔𝒕))

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Universidad privada de Tacna 5. CONCLUSIONES -

Se llegado a la conclusión de que la integral es de gran importancia y que desempeña un papel esencial e importante ya que la ciencia y la tecnología moderna sencillamente serían imposibles sin ella. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas e integrales y es por ello la importancia que tienen las integrales.

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Con ciertos cambios se puede extender que la aplicación de las integrales para el cálculo de distintas formas en la vida real, confirmándose así que su aplicación es totalmente importante para el desarrollo de nuestra carrera.

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Mediante el uso de integrales es posible analizar áreas y volúmenes en sistemas homogéneos como no homogéneos.

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También se confirma que las integrales se relacionan estrechamente en dos ciencias que son la física y matemática, sea tanto para analizar figuras y cuerpos en los distintos ejes sea en 2 o 3 dimensiones.

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Los ejercicios realizados se hicieron con el fin de darle la importancia de la aplicación de las integrales en nuestro proceso como profesionales, desempeñándose específicamente en la carrera de ingeniería civil.

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A atreves de la investigación se pudo concluir que las integrales tienen un campo de acción muy amplio.

6. RECOMENDACIONES: -

Se tiene que mejorar en el tema de procesamiento de resolución de ejercicios para poder tener un mayor desempeño al momento de su explicación.

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Se tiene que tener en cuenta muy bien el proceso de análisis para la resolución del ejercicio, ya que nos ayuda a poder interpretarlo de una forma más práctica

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Tener un conocimiento básico sobre formulas genéricas convertidas a integrales, son muy necesarias para este tipo de desarrollos en particular.

7. BIBLIOGRAFÍA -

COLLADO, C. F. (2014). METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION .

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CUEVAS, G. (2017). ANALISIS ESTRUCTURAL . LATINOAMERICA.

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HIBBELER. (2016). DINAMICA.

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JOHNSTON, B. (2015). DINAMICA-MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS .

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MOTT, R. (s.f.). MECANICA DE FLUIDOS.

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RAMOS, E. E. (2016). ANALISIS MATEMATICO 4. PERU-LIMA . 25

Universidad privada de Tacna -

SEVILLA, U. D. (2019). DERIVACION Y INTEGRACION . ESPAÑA.

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