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• MauricioSandoval

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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula 1.1.

Diversos Sistemas Coordenadas

1.1A.* La velocidad periférica de los dientes de una hoja de sierra circular (diámetro 250mm) es de 45m/s cuando se apaga el motor y, la velocidad de los dientes decrece a un ritmo constante, hasta la parada al cabo de 9 segundos. Hallar el instante en que la aceleración total de los dientes es 40m/s2. Respuesta: t = 8,55segs • Aplique una de las ecuaciones cinemáticas para el caso que la aceleración es constante, para encontrar la aceleración tangencial antes que se apague el motor. • Aplique el teorema de Pitágoras para encontrar la aceleración normal en el mismo instante. • Determine la velocidad en el mismo instante. • De nuevo aplique una ecuación de cinemática con aceleración constante para determinar el tiempo cuando la aceleración total es 40m/s2. 1.1B.** Una partícula se está moviendo a lo largo de una trayectoria parabólica dado por la ecuación y = 2 x en el punto A, la partícula tiene una rapidez de 10m/s y la razón de variación de la rapidez a lo largo de la trayectoria es 10m/s2. ¿Determine el vector de aceleración de la partícula en ese punto? y 4m

A

y=2 x 4m x

r Respuesta: a = 10,95 ˆi + 0,47 ˆj m/s

Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula • Del formulario la ecuación para la aceleración en coordenadas intrínsecas es: r dv v2 a= eˆ t + eˆ n dt ρ • Determine la dirección de eˆ t derivando la función de la trayectoria ( tgα = tangente a la trayectoria

Figura 1.i))

y

dy (ver dx

dx α

dy

eˆ t

eˆ n

x

Figura 1.i • Determine la dirección de eˆn girando eˆ t 90º. Ejemplo (de la Figura 1.i): eˆ t = cos α ˆi + senα − ˆj ; eˆ n = senα − ˆi + cos α − ˆj (acuérdese que la componente normal siempre apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria).

( )

( )

( )

• Determine el radio de curvatura de la trayectoria ρ de la formula del Formulario.

1.1C.* El perno P situado al extremo de una barra telescópica fija se desliza a lo largo de la trayectoria parabólica fija y2 = 40x (x en mm). La coordenada y de P varía con el tiempo t (segs), según y = 4t2+6t (mm), cuando y = 30mm, calcule: a) el vector de velocidad de P; b) el vector de aceleración de P. y

y 2 = 40 x P

x

r r Respuesta: a) v = 34,1ˆi + 22,7ˆj mm/s b) a = 37,8ˆi + 8ˆj mm/s 2 •

Con las dos ecuaciones dadas en el anunciado se puede determinar la componente de posición en x en términos de t.

•

Derivando con respecto al tiempo se encuentra la velocidad y aceleración.

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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula

1.1D.* El pasador se mueve por una trayectoria curva determinada por los movimientos de las ranuras A y B. En el instante mostrado A tiene una velocidad de 20cm/s y una aceleración de 5cm/s2, ambas hacia la derecha, mientras B tiene una velocidad de 70cm/s hacía abajo y una aceleración de 10cm/s2 hacía arriba. Determine el radio de curvatura de la trayectoria en ese momento.

P B

A

Respuesta: ρ = 701,57 cm •

Define la velocidad en coordenadas rectangulares.

•

Encuentre el ángulo de la velocidad, defina el vector unitario eˆ t y girarlo 90º, como ejemplo B, para encontrar eˆ n .

•

Iguale la aceleración en coordenadas rectangulares con la ecuación para las componentes intrínsecas, expresando eˆ t y eˆ n en coordenadas rectangulares.

1.1E.** El brazo OB gira en el sentido horario con velocidad angular constante ωo = 5rad/s. Determine la aceleración angular α de la barra BD que desliza por el collar pivoteado en C cuando θ = 90°. B 250mm

θ

C

O D

600mm

Respuesta: αDB = 6,2rad/s2 •

Se formulan dos ecuaciones para la velocidad de B en términos de coordenadas polares con eˆ r y eˆ θ expresados en ˆi y ˆj . Una ecuación con su polo en O y la otra en C.

•

Se igualan las ecuaciones para determinar las incógnitas.

•

Se realiza lo mismo con la aceleración.

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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula

1.1F.** El motor ubicado en D desenrolla el cable BCD con una rapidez constante de 0,8m/s. Determinar la velocidad del extremo B de la barra pivoteada AB cuando R = 4m. Desprecie el tamaño de la polea en C. 7m C

θ

A

R

4m

0,8m/s B

D

( )

( )

r Respuesta: v B = 0,45 − ˆi + 0,82 − ˆj •

Determine la velocidad de B con coordenadas polares (en ˆi y ˆj ) con polo en C. Incógnita: θ& .

•

Determine la velocidad de B con coordenadas polares, (en ˆi y ˆj ) (o con cuerpos rígidos) con polo en A. Incógnita: velocidad angular de la barra AB.

1.1G.** La rotación del brazo OA está gobernado por la pieza ranurada. Si ésta tiene una aceleración de 6m/s2 y una velocidad de 0,6m/s, ambas hacia abajo en el instante en que θ = 30°, determine la aceleración angular correspondiente.

5cm

A θ 15cm

0

Repuesta: &θ& = 31 rad / s 2 •

La trayectoria de movimiento del punto A es un círculo alrededor del punto O (ver Figura 1.ii).

•

Se ve que la velocidad de A tiene dos componentes rectangulares en − ˆi y − ˆj . La componente vertical tiene que tener la misma magnitud que pieza ranurada.

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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula

•

Sabiendo la dirección de la velocidad de A y la magnitud de una componente determine la velocidad total.

•

Del mismo modo y usando coordenadas intrínsecas se puede determinar la aceleración.

•

Formule ecuaciones para la velocidad y aceleración de A desde O para encontrar la velocidad y aceleración angular de la barra.

r vA

A

eˆn

θ

θ

eˆ t

0 Figura 1.ii

1.1H.*** El brazo ranurado de longitud R está pivoteado en O y lleva en su interior la corredora C. La posición de C dentro de la ranura se controla mediante una cuerda que se mantiene tensa y fija en D. El brazo rota en sentido antihorario con velocidad angular constante ω = 4rad/s. La longitud de la cuerda CBD = R (r = 0 cuando θ = 0). Determine la magnitud de la aceleración de C cuando θ = 30°. R = 375mm.

B

R

cuerda

r

C O

θ

D R

Respuesta: a = 6667,3mm/s2 •

Se aplica la ecuación para la velocidad y aceleración en coordenadas polares con el polo en O.

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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula

•

Se tiene que definir r en términos de θ para poder derivarlo con respecto al tiempo usando la regla de la cadena para encontrar r& y &r& . Se puede determinar una relación entre r y θ desde la Figura 1.iii R r

θ R Figura1.iii

1.2.

Movimiento Relativo

1.2A.* En la figura la velocidad y aceleración del bote respecto al sistema coordenado fijo a la tierra es 15m/s y 10m/s2 respectivamente. La longitud de la cuerda de remolque es de 20m. El ángulo θ es de 30º y aumenta en forma constante a razón de 10rad/s. Determine la velocidad y aceleración absoluta del esquiador. Y

45º X

θ

r r Respuesta: v ESQ = 183,8ˆi + 110,6ˆj , a ESQ = 992,93( −ˆi ) + 1739,07ˆj •

•

Los ejes móviles r en rel boter están en traslación y, por lo tanto, se aplica las ecuaciones: v ESQ = v BOTE + v ESQ / BOTE r r r a ESQ = aBOTE + aESQ / BOTE r No se olvide la componente normal de la aceleración relativa a ESQ / BOTE .

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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula

1.2B.*** La partícula P está moviendo en el sentido antihorario dentro de la ranura elíptica con una velocidad constante de 200mm/s mientras el bloque A se mueve hacia arriba con una velocidad vA de 120mm/s y una aceleración aA de 250mm/s2. Si θ = 30º, hallar la velocidad y aceleración absoluta de P con respecto a los ejes mostrados. La x2 y2 ecuación para un elipse es: 2 + 2 = 1 donde a = 1m y b = 0,5m a b

r vA r aA

P a

θ

Y b

A X 35º

r Respuesta: a P = 212ˆi + 108 ˆj mm/s 2 •

Los ejes móviles deben estar en el centro de la elipse trasladándose con el bloque.

•

La velocidad. Se sabe:

r a. La dirección y magnitud de la velocidad ( v A ) del bloque A. b. La magnitud de la velocidad (vP/A) de la partícula P con respecto al bloque. r r r c. Que la velocidad absoluta de la partícula v P = v A + v P / A (ver Figura 1.iv). y

r vP

vP/A = 0,2m/s

α

vA = 0,12m/s

35º x Figura 1.iv

•

Determine el ángulo α derivando la función de la trayectoria.

La aceleración. Se sabe: r a. La dirección y magnitud de la aceleración ( a A ) del bloque A. b. La magnitud de la velocidad relativa (vP/A) es constante y, por lo tanto, dvP/A/dt = 0.

•

Determine el radio de curvatura de la elipse (ρ) para encontrar la magnitud de la aceleración normal relativa y girar la dirección de la velocidad relativa 90º para encontrar la dirección normal.

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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula

1.2C.** El pasador P se mueve a lo largo de una trayectoria curva y es controlado por los movimientos de los eslabones ranurados A y B. Determine el radio de curvatura (ρ) del la trayectoria en el instante mostrado. (Ver Animación 1) B P

vB = 3m/s 2 aB= 30m/s 1 1

A vA = 5m/s 2 aA= 20m/s

Respuesta: ρ = 9,3m •

Formule dos ecuaciones para la velocidad de la partícula, con respecto a A y B.

•

Repita para la aceleración de P.

•

Aplique los conocimientos de las coordenadas intrínsecas para determinar ρ.

1.2D.** La caja C sube al bajar la rueda en A con velocidad constante de 2m/s por una guía vertical. Cuando la rueda está en B la caja está en el piso. Encuentre la velocidad de C como función de s. Descarte el tamaño de la polea. 4m

D

B

4m

C

A s

Respuesta: v C =

vA = 2m/s

− 2 8s + s 2 (s + 4)

•

Encuentre una ecuación para la longitud de la cuerda en términos de la posición de C y A con respecto al eje DB. Derívela.

•

Encuentre una expresión para la posición de C en términos de s y reemplace.

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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula

1.2E.** En el instante mostrado en la figura, la partícula P se mueve con una velocidad s& hacia arriba y una aceleración &s& hacia abajo, ambas con respecto al disco. Determinar la aceleración de P cuando se encuentra a una distancia b/2 del centro del disco. (Ver Animación 4) ω1 = constante a D

ω2 = constante

C

ω2

b P

P

A

Respuesta:, • • •

Sistema fijo en C, sistema móvil en D. r r Se determinen r&o y &r&o con coordenadas polares (movimiento circular) o cuerpos rígidos. r r Se determinan ρ& y &ρ& con polares con el polo en C.

1.2F.** La barra semicircular de radio 10m gira con velocidad angular constante horario igual a 5 rad/s alrededor del pivote A y está unida mediante un pasador C, a una barra recta de longitud 12,5m, la cual gira con respecto al rpivote B. Determinar para la posición mostrada en la figura: a) la velocidad de C ( v c ), b) velocidad angular de la r barra BC ( ωBC ), c) la aceleración de C ( a c ) y d) la aceleración angular de la barra ( α BC ). C 12,5m

10m 30º

B

A 7,5m

Respuesta:

( )

•

( )

r a) v C = 34,89 ˆi + 26,17 − ˆj , b) ωBC = 3,49rad / s , r c) a C = 145,91 − ˆi + 80,76( − ˆj ) , d) α BC = −5,46rad / s

Se formulan ecuaciones para la velocidad y la aceleración de C con el sistema fijo y móvil en A (ver Figura 1.v). Quedan como incógnitas; ρ& y &ρ& t .

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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula

r ρ&

C

&ρr& t

&ρr& n 60º

eˆ n

30º A

eˆ t Figura 1.v

•

Se desarrollan ecuaciones para la misma velocidad y aceleración, ahora considerando el movimiento de C desde el punto B (ver Figura 1.vi). C

θ r aCn

12,5m 10m

r r v c ,aC t

θ B 7,5m Figura 1.vi

1.2G.*** La leva forma una cardiole definida por r = b − c cos θ (b > c) . El brazo OB gira en sentido contrario al de las agujas del reloj a una velocidad constante de 20rpm, y la leva gira en sentido opuesto a la velocidad constante de 40rpm, determine la aceleración del centro del rodillo A cuando el brazo y leva se hallan en posición relativa, tal que θ = 90º. Las dimensiones de la curva son b = 10cm y c = 5cm. B

20 rpm r

A

θ 0 40 rpm

Respuesta: a p = 140cm / s 2 •

Los ejes móviles y fijos coinciden en 0. El sistema móvil gira con la leva.

•

Exprese ρ& y &ρ& en coordenadas polares.

•

Se encuentran r& y &r& derivando la expresión para la cardiole con respecto al tiempo.

•

Ojo con θ& .

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