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• Julian Ramirez Azamar

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7. La distribución de probabilidad para la variable aleatoria x se presenta enseguida. X 20 25 30 35

f (x) 0.20 0.15 0.25 0.40

a) ¿Es válida esta distribución de probabilidad? Explique por qué. b) ¿Cuál es la probabilidad de que x = 30? c) ¿Qué probabilidad existe de que x sea menor o igual que 25? d) ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30?

Solución: a)

¿Es válida esta distribución de probabilidad? Sí, es válida, pues cumple con las condiciones requeridas para que sea una función de probabilidad, porque los valores son mayores a 0, y la suma de las probabilidades es igual a 1.

b)

¿Cuál es la probabilidad de que x = 30? La probabilidad de que x sea igual con 30 es de 0.25

c)

¿Qué probabilidad existe de que x sea menor o igual que 25? P (x ≤ 25) = P(x=20) + P(x=25) P (x ≤ 25) = 0.20 + 0.15 P (x ≤ 25) = 0.35 La probabilidad de que x sea menor o igual que 25 es de 0.35

d)

¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30? P(x>30) = P(x=35) P(x>30) = 0.40 La probabilidad de que x sea mayor a 30 es de 0.40

8. Los datos siguientes se obtuvieron por conteo del número de salas de operaciones en uso en el Hospital General Tampa durante un periodo de 20 días: en tres de estos días sólo se usó una sala de cirugía; en cinco de estos días se usaron dos; en ocho días se utilizaron tres, y en cuatro días se usaron las cuatro salas de operaciones del hospital. a) Use el método de frecuencia relativa a efecto de construir una distribución de probabilidad para el número de salas de operación en uso en cualquier día dado. x

f(x)

1 2 3 4

3/20 = 0.15 5/20 = 0.25 8/20 = 0.4 4/20 = 0.2

b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.

frecuencia

c) Muestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas para una distribución de probabilidad discreta válida.

0.15

P (x=1) = 3/20 > 0 P(x=2) = 5/20 > 0 P (x=3) = 8/20 > 0

1 2 3 4

0.2

0.25

0.4

frecuencia

3/20 = 0.15 5/20 = 0.25 8/20 = 0.4 4/20 = 0.2

P(x=4) = 4/20 > 0

20/20 = 1

La suma de las probabilidades es igual a uno y las probabilidades son mayores a 0, por lo que esta distribución de la probabilidad satisface las condiciones requeridas. 1

2

3

4

9. En Estados Unidos, 38% de los alumnos de cuarto grado de primaria no puede leer un libro apropiado para su edad. Los datos siguientes muestran el número de sujetos, por edad, que se identificaron como niños con problemas de aprendizaje que requieren educación especial. La mayoría tiene problemas de lectura que debieron identificarse y corregirse antes del tercer grado. La ley federal estadounidense actual prohíbe que la mayoría de los niños reciba ayuda adicional de programas de educación especial hasta que el retraso sea de aproximadamente dos años de aprendizaje, y por lo general eso significa hasta tercer grado o grados superiores (USA Today, 6 de septiembre, 2001). Edad 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Número de niños 37 369 87 436 160 840 239 719 286 719 306 533 310 787 302 604 289 168

Suponga que se desea seleccionar una muestra de menores con problemas de aprendizaje y que deben tomar educación especial a efecto de incluirlos en un programa diseñado para mejorar su capacidad de lectura. Sea x una variable aleatoria que indica la edad de un niño seleccionado al azar. a) Use los datos para elaborar una distribución de probabilidad para x. Especifique los valores de la variable aleatoria y los valores correspondientes de la función de probabilidad f (x). X 6 7 8 9 10 11 12 13 14

f (x) 37 369 / 2021175 = 0.01848 87 436 / 2021175 = 0.0432 160 840 / 2021175 = 0.0795 239 719 / 2021175 = 0.1186 286 719 / 2021175= 0.1418 306 533 / 2021175 = 0.1516 310 787 / 2021175 = 0.1537 302 604 / 2021175 = 0.1497 289 168 / 2021175 = 0.1430

b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.

0.1537

0.1516

0.1186

0.1418

e d a d d e u n n i ñ o co n p ro b l e m as d e ap re n d i z aj e

c) Muestre que la distribución de probabilidad satisface las ecuaciones (5.1) y (5.2).

∑ f ( x )=1 0.0795

f (x) ≥ 0 P (6) = 0.01848 > 0

P (8) = 0.0795 > 0 P (9) = 0.1186 > 0

0.0432

P (7) = 0.0432 > 0

0.01848

P (10) = 0.1418 > 0 P (11) = 0.1516 > 0

F (6) F (7) F (8) F (9) F (10) F (11) F (12) F (13) F (14)

= 0.01848 = 0.0432 = 0.0795 = 0.1186 = 0.1418 = 0.1516 = 0.1537 = 0.1497 = 0.1430

P (12) = 0.1537 > 0 P (13) = 0.1497 >0 1 P (14) = 0.1430 > 0

=1 2

3

4

5

6

7

10. A continuación se presentan las distribuciones de frecuencias porcentuales de la satisfacción laboral para una muestra de altos directivos y gerentes de rango medio en el área de sistemas de información (SI). Las puntaciones varían de baja, 1 (muy insatisfecho), a alta, 5 (muy satisfecho). Puntuación de satisfacción laboral 1 2 3 4 5

Altos directivos de SI (%) 5 9 3 42 41

Gerentes de rango medio de SI (%) 4 10 12 46 28

a) Elabore una distribución de probabilidad para la puntuación de satisfacción laboral de un alto directivo. Puntuación de satisfacción laboral

Altos directivos de SI (%)

X

f (x)

1 2 3 4 5

0.05 0.09 0.03 0.42 0.41

b) Prepare una distribución de probabilidad para la puntuación de satisfacción laboral de un gerente de rango medio. Puntuación de satisfacción laboral x 1 2 3 4 5

Gerentes de rango medio de SI (%) f (x) 0.04 0.10 0.12 0.46 0.28

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alto directivo reporte una puntuación de satisfacción laboral de 4 o 5? P (4 U 5) = P (4) + P (5) = 0.46 + 0.28 = 0.74 P (4U5) = 0.74

La probabilidad de que un directivo reporte una puntuación de satisfacción laboral de 4 o 5 es de 0.74

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un gerente de rango medio esté muy satisfecho? f (5) = 0.28 La probabilidad de que un gerente de rango medio este muy satisfecho es de 0.28. e) Compare la satisfacción laboral general de los altos directivos con la de los gerentes de rango medio. La satisfacción laboral de los altos directivos es mayor a comparación de los gerentes de rango medio, pues el 41% de los altos directivos están satisfechos y que den una puntuación de 4 o 5 tiene una probabilidad de 0.74, en cambio, los gerentes que están muy satisfechos son solo el 28% y que den una puntuación de 4 o 5 estrellas es la misma que los altos directivos, pues es de 0.74 solo que este esta probabilidad está distribuida en su mayoría en 4

Sati sfaccion de gerentes de rango m

Sati sfaccion altos directi vos

probabilidad

0.41

0.42

Probabilidad

0.1

0.09

a) Elabore una distribución de probabilidad para la duración de una visita de servicio.

0.12

11. Un técnico proporciona servicio a las máquinas de correo en algunas empresas del área de Phoenix. Dependiendo del tipo de falla, la visita de servicio puede durar 1, 2, 3 o 4 horas. Los distintos tipos de falla ocurren aproximadamente con la misma frecuencia.

0.03

0.04

0.05

b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.

3

1

c) Muestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas para una función de probabilidad discreta. 1

2

4

d) ¿Cuál es la probabilidad de que una visita de servicio dure tres horas?

2

5

3

e) El técnico acaba de llegar a una visita de servicio, pero desconoce el tipo de falla. Son las 3:00 p.m. y los técnicos de servicio trabajan sólo hasta las 5:00 p.m. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que trabajar tiempo extra para reparar la máquina hoy?

Solución: a) Elabore una distribución de probabilidad para la duración de una visita de servicio. X 1 2 3 4

f (x) ¼ = 0.25 ¼ = 0.25 ¼ = 0.25 ¼ = 0.25

b) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad

horas de servicio

0.25

0.25

0.25

probabilidad

c) Muestre que su distribución de probabilidad satisface las condiciones requeridas para una función de probabilidad discreta. f (x) ≥ 0 ∑ f ( x )=1 f (x )=¿f (1) + f (2) + f (3) + f (4) f (1) = 0.25 > 0 f (2) = 0.25 > 0 = 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25

∑

f (3) = 0.25 > 0 f (4) = 0.25 > 0

=1

las probabilidades de los valores de f (x) es mayor a 0 y la suma de todas las probabilidades es igual a 1 por lo que se cumplen las condiciones requeridas para que sea una función de probabilidad discreta. d) ¿Cuál es la probabilidad de que una visita de servicio dure tres horas? f (3) = 0.25

La probabilidad de que una visita dure tres horas es de 0.25 e) El técnico acaba de llegar a una visita de servicio, pero desconoce el tipo de falla. Son las 3:00 p.m. y los técnicos de servicio trabajan sólo hasta las 5:00 p.m. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que trabajar tiempo extra para reparar la máquina hoy? 1

2

3

P (x >2) = P (x =3) + P (x =4) = 0.25 + 0.25 = 0.5 P (x >2) = 0.5 La probabilidad de que el técnico tenga que trabajar tiempo extra es de 0.5

12. Los dos proveedores de cable principales en Estados Unidos son Comcast Cable Communications, con 21.5 millones de suscriptores, y Time Warner Cable, con 11.0 millones de clientes (The New York Times Almanac, 2007). Suponga que la gerencia de Time Warner Cable evalúa de manera subjetiva una distribución de probabilidad del número de suscriptores nuevos el año siguiente en el estado de Nueva York como sigue. X 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 600 000

f (x) 0.10 0.20 0.25 0.30 0.10 0.05

a) ¿Es válida esta distribución de probabilidad? Explique por qué. b) ¿Cuál es la probabilidad de que Time Warner obtenga más de 400 000 suscriptores nuevos? c) ¿Qué probabilidad existe de que Time Warner obtenga menos de 200 000 suscriptores nuevos? Solución: a) ¿Es válida esta distribución de probabilidad? Sí, es válida pues cumple con lo siguiente: Las probabilidades para cada uno de los valores de x, la probabilidad es mayor a 0. La suma de las probabilidades es igual a 1 b) ¿Cuál es la probabilidad de que Time Warner obtenga más de 400 000 suscriptores nuevos? P (x > 400 000) = P (x= 500 000) + P (x=600 000) = 0.10 + 0.05 = 0.15 P (x > 400 000) = 0.15 La probabilidad de que obtenga más de 400 000 suscriptores nuevos es de 0.15 c) ¿Qué probabilidad existe de que Time Warner obtenga menos de 200 000 suscriptores nuevos? P (x < 200 000) = P (x = 100 000) = 0.10 P (x < 200 000) = 0.10

La probabilidad de que Time Warner obtenga menos de 200 000 suscriptores nuevos es de 0.10. 3.2 Un embarque foráneo de 5 automóviles extranjeros contiene 2 que tienen ligeras manchas de pintura. Suponga que una agencia recibe 3 de estos automóviles al azar y liste los elementos del espacio muestral S usando las letras M y N para “manchado” y “sin mancha”, respectivamente; luego asigne a cada punto muestral un valor x de la variable aleatoria X que representa el número de automóviles con manchas de pintura que compró la agencia. Espacio muestra MMM MMN MNM NMM NNM NMN MNN

x 0 1 1 1 2 2 2

1 (3 C 3)(2 C 0) = 10 5C2 6 (3 C 2)(2C 1) P (x =1) = = 10 5C2 3 (3 C 1)(2C 2) P (x = 2) = = 10 5C2 P( x = 0) =

P (x = k) = (3C3-k) (2Ck) 5C2

FDP

3.3 Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral. Espacio Muestral

w

3.4 Se lanza una moneda hasta que se presentan 3 caras sucesivamente. Liste sólo aquellos elementos del espacio muestral que requieren 6 o menos lanzamientos. ¿Es éste un espacio muestral discreto? Explique su respuesta.

3.5 Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X: a) f(x) = c (x2 +4), para x = 0, 1, 2, 3;