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• Rosana Gonzales Mel

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS

Dr. Augusto F. Mendiburu Rojas

Consideremos los siguientes Ejemplos:  Un fabricante que produce Jugos envasados, afirma que, en promedio, el contenido de cada botella pesa al menos 200 gramos. Para verificar esta afirmación, se pesa el contenido de una muestra aleatoria y se infieren el resultado a partir del resultado muestral.

 Una compañía recibe un cargamento de piezas. Solo puede aceptar el envío si no hay más de un 5% de piezas defectuosas. La decisión de si aceptar la remesa, puede basarse en el examen de una muestra aleatoria de piezas.



Un docente está interesado en valorar la utilidad de realizar regularmente controles en un curso de Estadística. El curso consta de dos partes y el docente realiza estos controles sólo en una de ellas. Cuando acaba el curso, compara los conocimientos de los estudiantes en las dos partes del curso mediante un examen final y analiza su hipótesis de que los controles aumentan el nivel medio de conocimientos.

 Un investigador quiere saber si una propuesta de reforma fiscal es acogida de igual forma por hombres y mujeres. Para analizar si es así, recoge las opiniones de una muestra aleatoria de hombres y mujeres.

CONTRASTANDO UNA HIPÓTESIS Son demasiados...    

Creo que la edad media es 30 años...



Muestra aleatoria

X  20 años

Rechazo la hipótesis

¿QUÉ ES UNA HIPÓTESIS? Un supuesto sobre la población, principalmente de sus parámetros:  Media  Proporción  Varianza

• Si queremos contrastarla, debe establecerse antes del análisis.

Creo que el porcentaje de artículos defectuosos será el 5%

IDENTIFICACIÓN DE HIPÓTESIS

Hipótesis nula Ho • La que contrastamos

Hipótesis Alterna H1 • Niega a H0

H 0 :   H1 :

, ,  , , 

DEFINICIONES IMPORTANTES 

Estadístico de prueba: Es un valor, determinado a partir de la información muestral, que se utiliza para aceptar o rechazar la hipótesis nula.



Valor Crítico: Es aquel valor que se obtiene en función del grado de confianza seleccionado.



Regla de Decisión: Se establece en base a la comparación entre los valores crítico y de prueba.



Región de Rechazo (RR): Contiene lo resultados de la estadística de prueba para rechazar Ho.



Región de Aceptación (RA): Contiene los resultados de la estadística de prueba para aceptar Ho.

Región crítica y nivel de significación Región crítica •

Se establece a partir de los valores de tablas utilizadas y dependen del nivel de significación y tipo de prueba a utilizar.

Nivel de significación: a • Número pequeño: generalmente del 1% al 5% • Fijado por el investigador

1 Reg. Crit.



2

Reg. Crit. Aceptar H0



2

Decisiones sobre la hipótesis nula, con las probabilidades asociadas a cada decisión.

Investigador Hipótesis Nula

Acepta Ho

Rechaza Ho

Si Ho es verdadero y

Decisión Correcta

Error Tipo I

Si Ho es falsa y

Error Tipo II

Decisión Correcta

TIPOS DE PRUEBAS DE HIPOTEIS:

Prueba de una cola o unilateral a) Prueba de la cola izquierda: para la cual las hipótesis toman las siguientes formas: Ho: Parámetro = Parámetro Propuesto (Ɵo ) H1: Parámetro < Parámetro Propuesto (Ɵo ) Se emplea cuando se tiene alguna evidencia que el parámetro no es igual al propuesto, si no que debe ser menor.

 Región de Rechazo

1 Región de Aceptación

b) Prueba de la cola derecha: para la cual las hipótesis toman las siguientes formas: Ho: Parámetro = Parámetro Propuesto (Ɵo ) H1: Parámetro > Parámetro Propuesto (Ɵo ) Se emplea cuando se tiene alguna evidencia que el parámetro no es igual al propuesto, si no que debe ser mayor.

1

 Región de Aceptación

Región de Rechazo

Prueba de dos colas o bilateral: Prueba BILATERAL: para la cual las hipótesis toman las siguientes formas: Ho : Parámetro = Parámetro Propuesto (Ɵo) H1 : Parámetro ≠ Parámetro Propuesto (Ɵo)

Se emplea, en el caso que el valor que se prueba no sea verdadero; entonces los demás valores son posibles.



2

Región de Rechazo

1 Región de Aceptación



2

Región de Rechazo

ETAPAS BÁSICAS DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS 

Plantear la hipótesis nula y alternativa.



Especificar el nivel de significancia (o confianza)que se va a utilizar.



Elegir el estadístico de prueba que debe ser especificado en términos de un estimador del parámetro a probar.



Establecer el valor o valores críticos para rechazar o aceptar Ho.



Determinar las reglas de decisión de la prueba.



Tomar la decisión de aceptar o rechazar Ho

I. PRUEBAS DE HIPOTESIS 



Promedio o Media Proporción

1. Prueba de Hipótesis para el Promedio μ Para muestras grandes: n ≥ 30 se conoce la varianza poblacional (𝜎 2 ) Estadístico de prueba:

𝑋−𝜇 𝑍𝑐 = 𝜎 𝑛

UTILIZAR TABLA DE LA DISTRIBUCION NORMAL (Z) PARA ENCONTRAR VALORES CRITICOS DE LA GRAFICA

1. Prueba de Hipótesis para el Promedio μ Para muestras pequeñas: n < 30 no se conocen las varianzas poblacionales (𝜎 2 ) Estadístico de prueba:

𝑋−𝜇 𝑡𝑐 = 𝑠 𝑛

UTILIZAR TABLA DE LA DISTRIBUCION t - student (T) PARA ENCONTRAR VALORES CRITICOS DE LA GRAFICA con (n1-1) grados de libertad

Ejemplo: Se sabe que la desviación típica de las notas de cierto examen de Matemáticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. ¿Sirven estos datos para confirmar la hipótesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de significación del 5%?

1. H0 : μ = 6 H1 : μ ≠ 6

la nota media no ha variado. la nota media ha variado.

2. Estadístico de prueba: 3. Regiones críticas:

5.6  6 Zo   1 2.4 / 36

Zo

-1.96

1.96

Los datos si sirven para confirmar que la nota media fue de 6.

2. Prueba de Hipótesis para la Proporción (P) Para muestras grandes y pequeñas Estadístico de prueba:

Zc 

p0  p p (1  p ) n

Donde:

po : proporción muestral p : proporción poblacional propuesta

UTILIZAR TABLA DE LA DISTRIBUCION NORMAL (Z) PARA ENCONTRAR VALORES CRITICOS EN LA GRAFICA

Ejemplo propuesto 1: Una cadena de supermercados sabe que en promedio, las ventas de sus almacenes son un 20% mayor en diciembre noviembre. Para el presente año, se seleccionó una muestra aleatoria de seis almacenes. Los incrementos porcentuales de sus ventas en diciembre fueron: 19.2

18.4

19.8

20.2

20.4

19.0

Ejemplo propuesto 2: De una muestra de 361 propietarios de pequeños comercios que quebraron, 105 no tuvieron asesoramiento profesional antes de abrir el negocio. Contrastar la hipótesis de que como mucho el 25% de esta población no tuvo asesoramiento antes de aperturar.

Ejemplos ADICIONALES Una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9 miligramos. ¿Existe suficiente evidencia estadística para decir que el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarros en particular es de 2.4 miligramos? Con α = 0.05 Una muestra aleatoria de 33 alumnas graduadas de una escuela secretarial mecanografió un promedio de 79.3 palabras por minuto con una desviación estándar de 7.8 palabras por minuto. ¿Se tiene evidencia estadística para decir que el número promedio de palabras mecanografiadas por todas las graduadas de esa escuela es menor de 80 con α= 0.01

Ejemplos ADICIONALES Se entrevistaron a 202 profesores de facultades de economía y 140 de ellos opinaron que en los cursos sería necesario un mayor conocimiento ético. Contrastar de que al menos el 75% de los profesores de estas facultades están de acuerdo. Un político puede estar interesado en conocer si ha habido un aumento en la proporción (porcentaje) de votantes que lo favorecen en las próximas elecciones, con respecto al mes anterior que fue de 40%; de una muestra de 30 personas se obtuvo que el 60% están a su favor. Decidir

Diferencia de medias para muestras independientes Supongamos que disponemos de una muestra aleatoria de tamaño n1 y muestra aleatoria de tamaño n2 independiente de la anterior. Podemos construir contrastes de amplia aplicación, como se resume a continuación:



Prueba de hipótesis: Ho: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 (Caso Bilateral)

Ho: μ1 = μ2 H1: μ1 > μ2 (Caso Unilateral)

Ho: μ1 = μ2 H1: μ1 < μ2 (Caso Unilateral)

1. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRAS INDEPENDIENTES. a) Cuando n1 y n2 son grandes, y las varianzas poblaciones son conocidas Estadístico de prueba: Distribución Normal Estándar (Z)

𝑍0 =

𝑥1 − 𝑥2 − (𝜇1 − 𝜇2 )

𝜎12 𝜎22 + 𝑛1 𝑛2

b) Cuando n1 y n2 son pequeñas, poblaciones son desconocidas

y las varianzas

Estadístico de prueba: t de Student

𝑡0 =

𝑥1 − 𝑥2 − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝑆𝑐2 𝑆𝑐2 + 𝑛1 𝑛2

Donde, la varianza común es:

(n1  1)  S12  (n2  1)  S 22 Sc  n1  n2  2 2

𝑡0 =

𝑥1 − 𝑥2 − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝑆𝑐 Con

1 1 + 𝑛1 𝑛2

t

(n1+n2-2) g.l.

2. PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES Estadístico de prueba: Distribución Normal Estándar (Z)

𝑍0 =

𝑝1 − 𝑝2 − (𝑃1 − 𝑃2 ) 1 1 𝑝𝑐 (1 − 𝑝𝑐 ) + 𝑛1 𝑛2

Donde:

𝑥1 + 𝑥2 𝑝𝑐 = 𝑛1 + 𝑛2

x1: Éxitos en la muestra 1 x2: Éxitos en la muestra 2 pc: Proporción Conjunta Muestral

EJERCICIOS 1.- Un constructor está considerando dos lugares alternativos para un centro comercial regional. Como los ingresos de los hogares de la comunidad son una consideración importante en esa selección, desea probar la hipótesis nula de que no existe diferencia entre el ingreso promedio por hogar en las dos comunidades. Consiente con esta hipótesis, supone que la desviación estándar del ingreso por hogar es también igual en las dos comunidades. Para una muestra de 30 hogares de la primera comunidad, encuentra que el ingreso diario promedio es de $35.50, con desviación estándar de $1.80. Para la otra muestra de 40 familias de la segunda comunidad, $34.60 de salario promedio diario y desviación estándar de $2.40. Pruebe la hipótesis con nivel de significancia del 5%.

EJERCICIOS 2.- Una muestra de 25 alambres de acero producidos por la fábrica A presenta una resistencia promedio a la ruptura de 1.230 lbs con una desviación estándar de 120 lbs. Una muestra de 20 alambres de acero producidos por la fábrica B presenta una resistencia promedio a la ruptura de 1.110 lbs con una desviación estándar de 90 lbs. Con base en ésta información pruebe si la resistencia promedio a la rotura de los alambres de acero de la marca A es significativamente mayor que la de los alambres de acero de la marca B. Asuma un nivel de significancia del uno por ciento.

EJERCICIOS 3.- Se seleccionó una muestra aleatoria de 100 hombres y 100 mujeres de un departamento de Lima; se halló que de los hombres 60 estaban a favor de una ley de divorcio y de las mujeres 55 estaban a favor de dicha ley. Con base en ésta información, pruebe que la proporción de hombres que favorece ésta ley es mayor que la proporción de mujeres. Asuma un nivel de significancia del 10%.

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

Dr. Augusto F. Mendiburu Rojas [email protected]