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INVESTIGACION DE OPERACIONES 1

PROBLEMA 1: Problema en la programación de autobuses La Municipalidad de Lima está estudiando la factibilidad de introducir un sistema de autobuses de tránsito masivo que disminuya el problema de la contaminación ambiental, reduciendo el número de vehículos que circulan en la ciudad. El estudio inicial busca la determinación del número mínimo de autobuses que pueda manejar las necesidades de transporte. Después de recopilar la información necesaria, el ingeniero de la ciudad observó que el número mínimo de autobuses fluctuaba según la hora del día. Al estudiar más a fondo los datos, fue evidente que era posible hacer una aproximación del número de autobuses mediante valores constantes sobre intervalos sucesivos de 4 horas cada uno. El siguiente gráfico resume los descubrimientos del ingeniero. Para llevar a cabo el mantenimiento diario requerido, cada autobús podía operar sólo ocho horas sucesivas del día. Número de autobuses

PROGRAMACIÓN DE AUTOBUSES 12 12 10 8 8

7 4

4

4

12:00 a.m.

04:00 a.m.

08:00 a.m.

12:00 mediodía

04:00 p.m.

08:00 p.m.

12:00 medianoche

X1 X2 X3 X4 X5 X6

Se requiere determinar el número de autobuses que van ha operar durante los diferentes turnos (variables) que satisfagan la demanda mínima (restricciones), al mismo tiempo que se minimiza el número total de autobuses diarios en operación (objetivo).

Solución: Variables de decisión: Xi: número de autobuses que inician en el turno 2 “i” Donde: i = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Función objetivo: Min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Restricciones: X1 + X6 >= 4 X2 + X1 >= 8 X3 + X2 >= 10 X4 + X3 >= 7 X5 + X4 >=12 X6 + X5 >= 4 CNN : Xi >=0 X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 >= 0 PL : Min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Subject to X1 + X6 >= 4 X2 + X1 >= 8 X3 + X2 >= 10 X4 + X3 >= 7 X5 + X4 >=12 X6 + X5 >= 4 1

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PROBLEMA 2: Problema de desperdicio en el corte o de recorte de las existencias Una Compañía papelera produce rollos de papel con un ancho estándar de 20 pies cada uno. Los pedidos especiales de los clientes, con diferentes anchos, se producen recortando los rollos estándar. Los pedidos típicos (que pueden variar día a día) se resumen en la siguiente tabla: Ancho Número deseado deseado (pies) de rollos 1 5 150 2 7 200 3 9 300 En la práctica, un pedido se prepara fijando las cuchillas de corte en el ancho deseado. Por lo común, hay cierto número de formas en las cuales se pueden cortar un rollo estándar para satisfacer un pedido determinado. Pedido

Representación Matemática: Tratamos de determinar las combinaciones de las posiciones de las cuchillas (variables) que pueden satisfacer los pedidos requeridos (restricciones) con el área mínima de desperdicio en el corte (objetivo). La definición de las variables como se dan deben traducirse de tal forma que pueda utilizarla el operador de la cortadora. De manera específica las variables se definen como el número de rollos estándar que van a cortarse conforme a una posición determinada de las cuchillas. Esta definición requiere la identificación de todas las posiciones posibles de las cuchillas, como se resume en la siguiente tabla: Ancho Requerido(pies) 5 7 9 Desperdicio en el corte por pie de largo

Posición de las cuchillas 1 0 1 1

2 2 1 0

3 2 0 1

4 4 0 0

5 1 2 0

6 0 0 2

4

3

1

0

1

2

Mínimo número de rollos 150 200 300

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Solución: Variables de decisión: Xi : número de rollos cortados bajo el patrón del corte tipo “i”. Donde: i = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Función objetivo: Min Z = 4X1+3X2+X3+X5+2X6 Restricciones: - Demanda 5 pies: 0 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 4 X4 + 1 X5 + 0 X6 >= 150 - Demanda 7 pies: 1 X1 + 1 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 2 X5 + 0 X6 >=200 - Demanda 9 pies: 1 X1 + 0 X2 + 1 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 2 X6>=300 CNN : Xi >=0 X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 >= 0 PL : Min Z = 4X1+3X2+X3+X5+2X6 Subject to 2X2+2X3+4X4+X5 >= 150 X1+X2+2X5 >=200 X1+X3+2 X6>=300 PROBLEMA 3: Política de préstamos bancarios Una institución bancaria, esta en proceso de formular una política de préstamos que incluye un máximo de 12 millones de dólares. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes acerca de los diferentes tipos de préstamos que ofrece el banco: Tipo de Tasa de Probabilidad de préstamo interés un mal crédito Personal 0.140 0.10 Automóvil 0.130 0.07 Vivienda 0.120 0.03 Agrícola 0.125 0.05 Comercial 0.100 0.02 Los malos créditos son irrecuperables y, por tanto, no producen ningún ingreso por intereses. La competencia con otras instituciones financieras en el área requiere que el banco asigne por lo menos 40% de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales. Para ayudar a la industria de la vivienda en la región, los préstamos para vivienda deben ser equivalentes por lo menos a 50% de los préstamos personales, para automóvil y para viviendas. El banco también a declarado una política de la razón total de los malos créditos en todos los prestamos no puede exceder de 0.04.

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Solución: Variables de decisión: Xi : cantidad de préstamos a producir del tipo “i”. Donde: i = {1, 2, 3, 4, 5} Función objetivo: Max Z = 0.126X1+0.1209X2+0.1164X3+0.11875X4+0.098X5 Restricciones: - Demanda 5 pies: 0 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 4 X4 + 1 X5 + 0 X6 >= 150 - Demanda 7 pies: 1 X1 + 1 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 2 X5 + 0 X6 >=200 - Demanda 9 pies: 1 X1 + 0 X2 + 1 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 2 X6>=300 CNN : Xi >=0 X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 >= 0 PL : Max Z = 0.126X1+0.1209X2+0.1164X3+0.11875X4+0.098X5 Subject to 2 X2 + 2 X3 + 4 X4 + X5 >= 150 X1 + X2 + 2 X5 >=200 X1 + X3 + 2 X6>=300

PROBLEMA 4: Distribución de Recursos Agrícolas Una cierta organización agropecuaria opera 3 terrenos de productividad comparable. La producción de cada una esta limitada por el terreno utilizable y la cantidad de agua para el riego. Los datos para la estación que viene son los siguientes: Terreno 1 2 3

Área utilizable (Hectáreas) 400 600 300

Agua disponible (m 3) 15,000 20,000 9,000

La organización esta considerando tres cultivos que difieren principalmente en el consumo de agua, la utilización por hectárea y la cantidad de terreno asignada a cada cultivo que esta limitada por la disponibilidad de equipo apropiado.

A

Máxima cantidad de terreno asignada 700 hect.

Consumo de Agua (m3/ c) 50

B

800 hect.

40

15,000

C

300 hect.

30

5,000

Cultivo

Utilidad por Hectárea ($) 20,000

Para mantener la carga de trabajo uniforme entre los terrenos, la política de la organización establece que el porcentaje de terreno usado en cada una debe ser el mismo. Sin embargo,

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puede usarse cualquier combinación de cultivos en los terrenos. La organización desea saber cuántas hectáreas dedicar a cada cultivo en cada terreno para maximizar la utilidad esperada.

Solución: Variables de decisión: Xij : Numero de hectáreas del cultivo “i” en el terreno “j” Donde: i = {A , B ,C} j = {1, 2, 3} Función objetivo: Max Z = 20 000(XA1 + XA2 + XA3) + 15 000(XB1 + XB2 +XB3) + 5000(XC1 + XC2 + XC3 ) Restricciones: -Cultivo : XA1 +XA2 + XA3