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• Dayán Quinteros

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Ejercicios de determinantes resueltos. −1 1 1.- Calcula el determinante ∆ = 2 1

0 1 1 0 1 0 -1 0 1 1 -1 0

Solución: Lo desarrollamos por los elementos de la 2ª columna que es la que más ceros tiene: −1 1 ∆= 2 1

0 1 1 -1 1 1 -1 1 0 1 0 = −(−1) A32 + 1. A42 = 1 1 0 + 1 1 -1 0 1 1 -1 0 2 0 1 -1 0

1 0 = −2 − 4 = −6 1

Se determinantes de orden 3 que han resultado se resuelven por la regla de Sarrus. a +1 a + 2 a + 3 1 1 2.- Calcula aplicando propiedades de los determinantes: 1 1 2 3

Solución: a +1 a + 2 a + 3 a a 1 1 1 =1 1 1 2 3 1 2

a 1 1+1 3 1

2 1 2

3 1 1 1 1 = a 1 1 1 + 0 = a.0 + 0 = 0 3 1 2 3

Lo hemos descompuesto en suma de dos determinantes por los sumandos de la 1ª fila (7ª propiedad) y después hemos tenido en cuenta que cuando hay dos filas o dos columnas iguales el valor del determinante es cero.

1 3.- Prueba sin desarrollarlo que 1 1

a b c

b+c c + a =0 a+b

Solución. Si a la 3ª columna le sumamos la 2ª resulta:

1 1 1

a b c

b+c 1 c+ a =1 a+b 1

a b c

b+c+a 1 c + a + b = (a + b + c) 1 a+b+c 1

a b c

1 1 =0 1

 2 1 0   4.- Halla la inversa de A =  - 1 3 4   0 5 1   Solución: Hallamos el determinante de la matriz dada aplicando la regla de Sarrus y se obtiene A = −33 luego existe la matriz inversa porque es distinto de cero. Calculamos los adjuntos Aij de la matriz dada: A11 =

3 4 = −17 ; 5 1

A12 = −

1 0 = −1 ; 5 1

A22 =

A21 = − A31 =

1 0 =4; 3 4

-1 4 = 1; 0 1

2 0 = 2; 0 1

A32 = −

2 0 = −8 ; -1 4

A13 =

−1 3 = −5 0 5 2 1 = −10 0 5

A23 = − A33 =

2 1 =7 -1 3

La inversa se obtiene tomando la traspuesta de los adjuntos obtenidos y dividiendo por el determinante de A: -1 4   - 17  33 33 33   1 −1 -8  2 A = 33 33 33    - 10 7  − 5 33 33   33

1 5.- Desarrolla dando el resultado en forma de producto de factores. a a2

1 b

1 c

b2

c2

Solución: Es un determinante de Vandermonde de orden 3 y, por tanto, se pueden calcular dando el resultado en forma de producto. Se le resta a cada fila la anterior multiplicada por a:

1 a

1 b

1 1 c = 0

1 b-a

a2

b2

c2

b 2 - ab c 2 − ac

0

1 c-a

=

b−a c−a 1 = (b − a)(c − a ) b(b − a) c(c − a ) b

1 = c

= (b − a)(c − a )(c − b)

1 6.- Prueba que 1 1

1 1 1 + a 1 = ab 1 1+ b

Solución: Sumamos a cada fila la 1ª cambiada de signo y se llega fácilmente: 1 1 1

1 1 1 1+ a 1 = 0 1 1+ b 0

1 a 0

2 7.- El determinante 4 8

1 a 0= 0 b

a

0 = ab b

5

a

2

13 vale cero para a = 3. Comprueba que es así sin

a

3

35

desarrollarlo. Solución: Si a = 3, la 3ª columna es suma de la 1ª y la 2ª, luego el determinante vale cero ya que la citada columna es combinación lineal de las otras dos.