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EJERCICIOS 13.3 y 13.4 Walter Minchola Mendoza mayo del 2018

Resumen En los ejercicios del 1 al 12 , calcule la masa y el centro de masa de la lamina si se considera la densidad superficial como se indica. la masa se mide en kilogramos y la densidad en metros

1. Una lamina tiene una forma de una regi´on rectangular limitada por las rectas x=3 y y=2 y los ejes coordenados. La densidad superficial en cualquier punto xy 2 kilogramo por metro cuadrado. ´ SOLUCION: n X M = l´ım → o vi2 4iA k4k

i=1

R3 = 0 0 xy 2 dydx = 0 31 xy 3 |20 dx = 0 38 xdx = 43 x2 |20 = 12 R3 RR R3R2 P xy 3 dA = 0 0 xy 3 dydx = 0 xy 4 |20 M x = l´ımk4k → o ni=1 v1(uivi2 )4iA R R3 2 3 0 4xdx = 2x |0 = 18 P R3 R3R2 M y = l´ımk4k → o ni=1 v1(uivi2 )4iA = 0 0 x2 y 2 dydx = 0 31 x2 y 3 |20 dx = R3 8 2 8 3 3 24 18 3 0 3 x dx = 9 x |0 = 24 xZ = 12 = 2 y yZ = 12 = 2 RR

R xy

2 dA

R2R2

R1

2. Una lamina tiene la forma de una regi´on rectangular acotada x= 4 y y=5 y los ejes coordenados. la densidad superficial en cualquier punto es (x2 + y) kilogramo por metro cuadrado. ´ SOLUCI R R ON: R4R5 2 R4 2 R4 1 2 5 25 2 2 R (x + y)dA = 0 0 (x +y)dydx = 2 (x y + 2 y ) |0 dx = 0 (5x + 2 )xdA= 470 4 ( 35 x3 + 25 2 ) |0R=R 3 R4R5 2 R4 3 4 25 2 + y)dA = 3 MY = (x (x +y)xdydx = R 0 0 0 (5x + 2 x)dx= ( 4 x + 24 2 4 3 81 − 4 x ) |0 = 45 = x R=R 470 45 = 94 R4R5 2 R 4 1 2 2 1 3 5 R 4 25 2 2 Rightarrow M x = R (x + y)dA= 0 0 (x +y)dydx= 0 ( 2 x y + 3 y ) |0 = 0 ( 2 x + 125 26 3 125 1300 4 6 )dx= 6 x + 3 x |0 = 3 3 1300 130 y − = 470 3 = 47 3. Una lamina tiene la forma de una region triangular cuyos lados son segmentos de los ejes coordenados y la recta x + 2y = 6.La densidad superficial en cualquier punto es y 2 kilogramo por metro cuadrado. soluci´ on

1

R R R 2 )dA = 3 6−2y y 2 dxdy = 3 xy 2 |6−2y dy (y 0 R 0 0 0 R3 2 − 2y 2) dy = (2y 3 − 1 y 4)|30 = 54 − 81 = 27 (6x 2 2 2 0 RR

RR R 3 R 6−2y 3 R3 R3 2 MX = y dxdy = 0 yy 3 |6−2y dy = 0 (6y 3 − 2y 2 )dy= 0 R (yy )dA = 0 0 1 5 3 4 2 5 4 1 243 2 y − 5 y |0 = 35 − 2 35 − ( 10 3 = ?10 5 RR R R R 3 1 2 6−2y R3 3 6−2y 2 )dA = 2 dxdy = 2 2 MY = (y xy y | dy= 2 0 0 0 0 2 0 (3 − y) y dy R3 2 R 3 =2 0 (9y − 6y + y 4)dy 81 − 1 2 81 5 x = M my = 27 5 6 = 5 4. Una lamina tiene la forma de la regi´on del primer cuadrante limitada por la par´ abola y = x2 , larectay = 1 y el eje y. La densidad superficial en cualquier punto es (x + y)kilogramo por metro cuadrado. soluci´ on 2 y =RxR R1R 2 1 R1 R1 1 1 2 1 31 4 R δ(x, y)dA 0 ( x ) (x + y)dydx = 0 (xy + 2 y ) |y dx 0 ( 2 + x − x 2 y )dx= 1 5 1 ( 21 x + x1 x2 − 41 x4 − 10 x ) |0 = 13 20 R1 RR R1R 2 1 1 2)|1y dx MY = R δ(x, y)xdA = 0 ( x ) (x + y)xdydx = 0 x(xy + 2 y R1 1 6 1 3 = 0 ( 12 x + x2 − x4 − 21 x5)dx = 14 x2 + 13 x3 − 15 x5 − 12 x |0 = 10 R1 1 2 1 3 1 RR R1R 2 1 R1 1 Mx = R δ(x, y)ydA 0 ( x ) (x + y)ydydx = 0 ( 2 xy + 3 y ) |x dx = 0 ( 3 + 1 6 1 1 2 1 6 1 7 1 19 1 2 x − 3 x )dx = 3 x + 4 x − 12 x − 21 x |0 = 42 de (1) ,(2)y (3) 1 20 3 x− = M M Y = 13 10 =

6 13

y− =

190 272

1 M MX

=

20 19 13 42

=

5. Una lamina tiene la forma de la regi´on del primer cuadrante acotada por una par´ abola x2 = 8y, y la recta y = 2y el eje y. La densidad superficial varia como la distancia desde la recta y = −1. soluci´ on ρ(x, y) = k(y + 1) M = l´ım

k4k→0

n X K(V i + 1)4iA i=1

√ √ R 2 3/2+y1/2 dy R 3 R √8 R2 8 = =k (y + 1)dA (y + 1)dxdy = k x(y + 1) | 0 dy = k 8 0 (y 0 √ 2 R3/2 2 3/2 02 0 √ 8 √ √ 4 176 k 8( 5 x + 3 y ) |0 = k 8( 3 2 + 3 2) = 15 k

RR

M x = l´ım

k4k→0

n X

v1K(V i + 1)4iA

i=1

2

√ √ R RR R 2 R √8y 2 R2 2 + y) | 8y = k 8 2 (y 5/2 + =k (y + 1)dA = k (y + 1)dxdy= k x(y 0 R 0 0 0 0 √ y 3/2 )dy = k 8( 72 y 7/2 + 52 y 5/2 |20 = 544 35 n X v1K(V i + 1)4iA

M y = l´ım

k4k→0

=k

RR

1)dy=

R x(y + 1)dA= k

4k 13 y 3

x− =

+

1 M MY

R 2 R √8y

√ 0 0 8y 1 2 = 56 y | 0 ?2 3 k

=

15 56K 176K 3

=

i=1

x(y + 1)dxdy= k

35 22

y− =

1 M MX

=

√ 8y 1 2 x (y + 1) | 0 0 2

R2

15 544K ?176K 35

=

dy= k

R2 0

4y(y +

102 77

6. Una lamina tiene la forma de la region limitada por la curva y = e2 . Y la recta x = 1 y los ejes coordenados. La densidad superficial varia como la distancia desde el eje x. soluci´ on y = ex , x = 1,ρ(x, y) = ky R1 R 1 R ex x M = 0 0 kydydx= 0 ( 31 ky 2 |e0 dx= 14 k(ex − 1) R ex R1 1 e2+1 M Y = 0 kxydydx= 0 2 kxe2x dx= ( 12 k( 21 xe2x − 14 2x)) |10 = 12 k( 14 ex + 14 (x− )= 2(e 2 −1 R 1 1 2 ex R 1 R ex 2 R2 2 1 1 3x)dx 3x 1 2 M x = 0 0 ky dydx= 0 ( 3 ky ) |0 dx= 0 3 (ke = 9 ke |0 = 9 k(e − 1)(y − ) 4(e2 −1 9(e2 −1

=

7. Una lamina tiene la forma de la regi´on del primer cuadrante acotada por la circunferencia x2 + y 2 = a2 y los ejes coordenados . la densidad superficial varia conforme ala suma de las distancias a los dos lados rectos. soluci´ on ρ(x, y) = k(x + y) n X K(ui + v1)4iA

M = l´ım

k4k→0

i=1

R√

√ Ra Ra RR x2 −y 2 a2 −x2 1 2 (xy + k(x + y)dA= k(x + y)dy= x = k y ) | dx= = 0 2 R 0 0 0 √ Ra Ra √ a2 −x2 1 2 1 −1 2 2 2 2 3/2 k 0 (xy + 2 y ) |0 dx= k 0 (x a2 − x2 + 2 (a − x )dx= k( 3 (a − x ) + 1 a 1 3 1 3 2 1 2 9 2 a x − 6 ) |0 = k( 2 a − 6 x ) = 3 ka

M x = l´ım

n X

k4k→0

=

y 2 )dA

RR

R k(xy + 3/2 2 x ) + 3(a21−x2 )dx

=

R a R √x2 −x2 0

0

v1K(ui + v1)4iA

i=1

(xy+y 2 )dxdy = k

√ a2 −x2 1 2 1 3 = 0 2 xy + 3 y |0

Ra

suponer: y = asenθ,x = acosθ 4 Π/2 M x = k 14 a2 x2 − 12 x4 |a0 + ka3 |0 cosθ4 dθ= k 41 a4 − 81 a4 + y−

=

1 M MX

=

3 2ka3

ka4 (2+Π) 16

=

3a 32 (2

+

Π)(x−

=

y−

ka3 3

+

3Π 16

=

k

Ra

1 4 16 ka (2

0

( 21 x(a2 −

+ Π)

=y=x

8. Una lamina tiene la forma de una regi´on limitada por el triangulo cuyos lados son 3

los segmentos de los ejes coordinados y la recta 3x+ 2y = 18 .La densidad superficial varia como el producto de las distancias a los ejes coordinados. soluci´ on ρ(x, y) = kxy RR R 6 R −3/2x+9 R 6 R −3/2x+y 1 ρ(x, y)dA= +kxydxdy = k dx = 2 RR R 0 0 0 0 R R6 9 4 6 −3/2x+9 1 6 2 1 2 2 −3/2x+9 3 +kx ydxdy = x + y | = 0 dx = k y 2 0 2 0 0 0 ( 4 x − 27x + 81x2)dx = RR R 6 R −3/2x+9 R9 −3/2x+6 Mx = ρ(x, y)xdA= 0 0 +kxy 2 ydxdy = 12 k 0 y 2 x2 |0 dx = R R 9 1 1 5 2187 1 4 4 3 2 4 3 9 2 0 (x y − 8y + 36y )dy = 2 k( 45 y − 2y + 12y ) |0 dx = 5 k 1 2 12 12 18 de (1)y(2) x− = M M y = 243k . 2187 5 k = 5 = c( 5 , 5 9. Una lamina tiene la forma de la region acotada por la curva y = senxy el eje x desde x = 0 hasta x = π.La densidad superficial varia como la distancia desde el eje x. soluci´ on y = senx y [0, π) ,δ(x, y) = ky) Rπ RR R π R sen Rπ ydydx = k 0 12 y 2 |senx M dx = 12 k 0 sen2 xdx = 21 k( −1 0 2 sex.cosx+ R kydA= k 0 0 1 senx dx = 1 kπ x) | 0 2 4 M = l´ım

k4k→0

n X

v1k(ui + v1)4iA

i=1

Rπ RR R π R senx 2 Rπ Rπ 2 y dydx= k 0 13 y 3 |senx = dx = 31 k 0 sen3 xdx = 13 k 0 (1− 0 R k(y )dA= k 0 0 16 sen2 x)senxdx = 13 k(1 − 13 − (1 − 13 ) = 19 k(y − ) = 19π x− = 12 π, y = senx, x = 21 π0x √ 10. Una lamina tiene la forma de la region limitada por la curva y = xy la recta y = x.La densidad superficial varia como la distancia como el eje y. soluci´ onR R R1 R1 1 y 1 M = 0 y2 kxdxdy = 0 12 k 2 |yy2 dy = 0 21 k(y 4 − y 2 )dy = 12 ( 51 y 5 − 13 y 3 ) |10 = 15 k R1 1 2 y R R 1 1 y 1 1 1 1 7 1 4 1 2 3 6 3 0 2 k |y 2 kx dy = 0 3 kx |y 2 dy = M y = 0 3 k(y − y )dy = 3 k( 7 y − 4 y ) |0 = 1 − − 28 k(x ) = x 15 − x = 28 R1Ry R1 1 5 M y = 0 y2 kx2 dxdy = 0 21 k(y 5 − y 3 )dy = 21 k( 16 y 6 − 14 y 4 ) |10 = 24 k(y − ) = 15 24 = 6 11. Una lamina tiene la forma de la region del primer cudrante acotado por por la circunferenciax2 + y 2 = 4y la recta x + y = 2. L densidad superficial en cualquier punto esxy kilogramo por metro cuadrado. soluci´ on n X M = l´ım (uiv1)4iA k4k→0

RR

= R 1 2 2

0

R2

R (xy)dA= 0 (4x2 − 2x3 )dx

R√

i=1

√ 4−x2 xydxdy = 0 21 xy 2 |2−x = 12 2−x 4 = 21 ( 43 x3 − 12 x4 ) |20 = 21 ( 32 3 − 8) = 3 4−x2

R2

4

R2 0

(x(4−x2 )−x(2−x))dx =

n X

M x = l´ım

k4k→0

R √4−x2 3

R2

(uiv1)4iA

i=1

R 1 2

1 2 = dx = 3 0 (x(4 − x2 )3/2 − x(2 − x)3 )dx = 31 ( −1 5 (4 − R (xy )dA= 0 3 xy 2−x 1 1 32 32 8 1 4 5 2 2 5/2 x ) + 4 x(2 − x) + 20 (2 − x) ) |0 = 3 ( 5 + 20 = 5 1 y− = M M x = 34 85 = 56 (x− ) = y − = y = x

RR

12. Una lamina tiene la forma de la region limitada por la circunferencia x2 +y 2 = 1y las rectas x = 1y y = 1.La densidad superficial en cualquier punto es xy kilogramo metro cuadrado. soluci´ on R1R1 R R 1 1 1 1 2 2 √ √ R (xy)dA= 0 1−x2 xydydx = 2 0 xy |y= 1−x2 = 2 0 x(1 − R1 x2 ))dx = 12 0 x3 dx = 81 (x− , y −R) R= y − = x− R R R R 1 1 √ 1 1 2 2 1 √ 1 1 4 2 My = R x(xy)dA= 0 1−x2 x ydydx = 2 0 x y |y= 1−x2 dx = 2 0 x dx M =

x− =

RR

1 M My

=

4 5

(1 −

=

1 10

4 = c( , 54 ) 5

13. Una lamina tiene la forma de la region limitada por 4y = 3x, x = 4y el eje x;con respecto al eje x. soluci´ on n X

Ix = l´ım

k4k→0

RR

= 4k

R (xy

2 )dA=

k

R 4 R 3/4x 0

0

y 2 dydx = k

R4 0

vi2 4iA

i=1 3/4x

( 12 y 3 ) |0

dx =

9k 64

R4 0

x3 dx =

9k 1 4 4 64 ( 4 x ) |0 =

14. La lamina del ejercicio 13; con respecto ala recta x = 4. soluci´ on 4y = 3x, x = y, x = 4 R 4 R 3/4x R4 R4 k 0 0 (4 − x)2 dydx = 43 k 0 (4 − x)2 dx = 43 k 0 (16x − 8x2 + x3 )dx = 43 k(8x2 − 83 x3 + 41 x4 ) |40 = 16k 15. Una lamina tiene la forma de la region acotada por la circunferencia de radio a metros;con respecto a su centro. soluci´ on RR RR RR RR x2 + y 2 = a2 Ix = (x2 + y 2 )dA = kx2 dA + ky 2 dA = 2 R ky 2 dA = R R R √ R √a2 −x2 2 Ra Ra 2 2 2 2 3/2 dx 8k a y dydx = 8k 0 13 y 3 |0 a −x dx= 8k 3 0 (a − x ) y = asenθ, x = acosθ Io =

8ka4 3

R Π/2 0

cos4 xdθ=

kΠa4 2

16. Una lamina tiene la forma de la regi´on limitada por la par´abola y 2 4 − 4y y el eje x;con respecto al eje x. 5

soluci´ on RR R 2 R 1−x2/4 2 2 Ix = y dydx= R ky dA= k 0 0 1 6 16 x )dx 16 = 105 kkilogramo − m2

2

1 3

1− x4

R2

3 −2 y |0

= 23 k

R

3 4 −22 (1 − 34 x2 + 16 x −

17. La lamina del ejercicio 16;con respecto al origen. soluci´ on Ix = l´ım

k4k→0

2 2 R k(x + y dA= k R2 2 (4−x2 )3 192 dx= 2k 0 (x −

=

RR

=2k( 13 x + 14 x3 −

R 2 R (4− x42 0 x2 4

0

+

3 6 5−16 x

x4 16

−

n X kvi2 + v12 4iA i=1 2

)dx= k

−

(4− x4

1 3 2 2 − 2 (x y+ 3 y ) |0

R

)dx= k

R

2

4

−22 ( 4x 4−x +

x6 192 )dx

1 7 2 7−192 x |0 =

2 2k( + 2 − 3

6 5

−

2 21 )

=

96 k 35

18. Una lamina tiene la forma de la region acotada por un triangulo cuyos lados miden a metros , b metros y c metros;con respecto al lado de a metros. soluci´ on a (h − y) h 8 = 1c (a + b + c) p 1 8(8 − a)(8 − b)(8 − c) 2 a.h = RhR 2 Rh 2 ak 1 3 1 4 h kab3 k 1 3 Ia = 0 ky dxdy = ak h 0 y (h − y)dy= h ( 3 y − 4 y ) |0 = 12 = 12a2 ,8( 2 (ah) = 2k (8(8 − a)(8 − b)(8 − c))3/2 3a2 19. La lamina del ejercicio 1. soluci´ on a) Ix = l´ım → o k4k

RR R

xy 2 dA

=

R3R2 0

0

xy 4 dydx=

R3

1 3 2 0 5 y |0

n X

v12 v1vi2 4iA

i=1

dx=

32 5

R3 0

xdx=

16 2 3 144 5 x |0 = 5

b) Iy = l´ım → o k4k

n X v12 v1vi2 4iA i=1

R R R R 3 y 2 dA = 3 2 x3 y 2 dydx= 3 1 x3 y 3 |2 = 8 3 x3 dx= 2 x4 |3 = 54 x 0 0 3 0 3 R 0 3 q0 0 q q √ 1 1 1 144 12 2 c)M = 12r = M Ix = 12 5 = 5 = 5 15 RR

d)I0 = Ix + IY =

144 5

+ 34 =

414 5

20. La lamina del ejercicio 4. soluci´ on √ RR R R √y R 2 dA= 1 2 dxdy= 2 y 2 ( 1 x2 +y 3/2 | y a) ρ(1, y) = x+y Ix = (x+y)y (x+y)y 0 2 R 0 0 0 R1 )dy= 0 ( 12 y 3 + y 7/2 )dy= 81 y 4 + 29 y 9/2 |10 = 25 72

6

RR R R √y R1 R1 2 1 2 1 2 dA= 1 2 b).Iy = (x+y)x R R 0 0 (x+y)x dxdy= 0 (xy + 2 y ) |x2 dx= 0 x (x+ 1 1 2 1 1 4 1 6 1 4 1 6 1 6 1 7 1 5 3 3 5 2 2 − x − 2 x )dx= 0 ( 2 x + x − x − 2 x )dx= 4 x + 6 x − 6 x − 14 x |0 = 78 kg − m 20 25 125 1 2 c).r = M IX = 13 72 = 234 √ 5 r = 78 130m 263 5 2 d).I0 = Ix + IY = 25 72 78 = 504 kg − m 21. la lamina del ejercicio 9 soluci´ on Y = senx, [0, π], ρ(x, y) = ky a). I0 = l´ım

n X

k4k→0

v1V 12 (Kv1)4iA

i=1

Rπ Rπ R sex 3 = y 3 dydx= k 0 41 y 4 0 dx= 21 0 sen4 xdx= R k(y )dA= k 0 0 1 1 3 1 1 1 3 3 3 Π 2 (− 4 sen xcosx + 4 (− 2 senxcosx + 2 x) |0 = 4 k 4 π = 32 kπ b). n X Iy = l´ım v1V 12 (Kv1)4iA RR

R π R sex

k4k→0

i=1

Rπ Rπ 2 Rπ 2 1 1 2 2 yx2 dydx= 14 0 12 x2 x2 y 2 |sex = 0 dx= 2 k 0 x sen xdx= 4 k 0 (x − R k(x )dA= k 0 0 1 x2 cos2x)dx= 14 k( 13 x3 − 21 x2 sen2x − 12 xcos2x + 14 sen2x |π0 = 14 k( 13 π 3− 2 π ) q q √ 1 4 3kπ 1 c) r = M Ix ; M = 41 πk= kπ 32 = 4 6 RR

R π R sex

1 − d) Ix = IX + IY = ( 12

1 32 π)K

22. La lamina del ejercicio 10. soluci´ on √ y = x;R y R= x; ρ(x, y) = kx R R1 1 y 1 a)Ix = 0 y2 kxy 2 dxdy= 21 k 0 x2 y 2 |yx dy= 21 k 0 y 2 (y 2 − y 4 )dx= 21 k( 15 y 5 − 17 y 7 ) |10 = 1 55 k R1Ry R1 Ry R1 b)Iy = 0 y2 kyx3 dxdy= 14 k 0 x4 y2 dy= 41 k 0 y 2 (y 4 − y 8 )dy= 41 k( 15 y 5 − 19 y 9 ) |10 = 1 45 k q q √ 2 1 1 c)M = 15 k; r = M Ix = 15 35 = 7 2 d)I0 = Ix + Iy =

16 315 k

23. Una lamina tiene la forma de la region acotada por la parabola y = 2x − x2 yelejex.Calculeelmomentodeinerciadelalaminaconrespectoalarectay = 4. La masa se mide en kilogramo y la distancia en metros. soluci´ on I0 = l´ım

k4k→0

n X

(4 − v1)2 (k(4 − y))4iA

i=1

RR R 2 R 2x−x2 = (4 − y)3 dA= k 0 0 dx= R R −1 2 2 4 = 4 0 ((3 + (x − 1) ) − 256)dx

−1 4

R2 0

7

((4 − 2x + x2 )4 − 256)dx

w =Rx − 1; dw = dx R1 8 2 6 4 2 I = 14 k 0 ((w2 + 3)4 − 256)dw= −1 2 k 0 (w + 12w + 54w + 108w + 81 − 256)dw= 90,404 −1 1 12 7 54 5 −1 1 12 54 3 1 4 k( 9w9 + 7 w + 5 w + 36w − 175w) |0 = 2 k( 9 + 7 + 5 + 36 − 175) = 315 k 24. Una lamina homog´enea de k pulgadas por pie de densidad superficial tiene la √ forma de la regi´ on limitada por la curva x = y , el eje xy la recta x = adondea > 0.Calcule el momento de inercia de la lamina con respecto recta x = a. soluci´ R Ron R a R x2 Ra Ra 2 2 2 2 3 4)dx = I = R k(a − x) dA= 0 0 dydx= 0 k(a − x) dA= k 0 (a x − 2ax + x 1 2 3 1 1 3 a 1 3 1 5 2 3 1 4 5 k( 3 a x − 2 ax + 5 x ) |0 = k( 3 a − 2 a + 3 a )= 30 ka 25. Determine el area de la superficie cortada en el plano 2x + y + z = 4 por los planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 soluci´ on RR q z = f (x, y) = 4−2y−y, fx (x, y) = −2, fy (x, y) = −1 σ = fx2 (x, y) + fy2 (x, y) + 1dxdy= R √ R2 √ R1R1√ 6= 6 0 dy = 6 0 0 26. Calcule el ´ area de la superficie cortada en el plano z − 2x − y = 5 por los planos x = 0, x = 2, y = 0yy = 4. soluci´ on z = f (x, y) = 5 + 2y + y, fx (x, y) = 2, fy (x, y) = 1 √ RR q R4R2√ σ= fx2 (x, y) + fy2 (x, y) + 1dxdy= 0 0 6= 8 6 R 27. Obtenga el ´ area de la porci´on de superficie del plano 36x + 16y + 9z = 144 cortando por los planos coordenados soluci´ on x = 0, y = 0, y = 94 x + 9 −16 z = f (x, y) = 16 − 4x − 16 9 y, fx (x, y) = −4, fy (x, y) = q 9 RR q R 4 R −9x +9 σ= fx2 (x, y) + fy2 (x, y) + 1dxdy= 0 0 4 16 + 256 81 + 1dydx R √ R 4 9 1 9 √1633 0 (− 4 x + 9)dx √ √ 1 9 2 4 1633(−2 + 4) = 2 1633 9 1633(− 8 x + 9x) |0 = 28. Determine el area de la superficie cortada en el plano z = ax + by por los planos x=0,x=a,y=0 , y=b. donde a > 0 y b > 0. soluci´ on x = 0, y = 0, x = a, y = b z = f (x, y) = ax + by, fx (x, y) = a, fy (x, y) = b RbRa√ Rb √ RR q fx2 (x, y) + fy2 (x, y) + 1dxdy= 0 0 a2 + b2 + 1dxdy= 0 a a2 + b2 + 1dy σ= R √ =a.b a2 + b2 + 1 29. Determine el ´ area de la superficie del primer octante cortada en el cilindro x2 + y 2 = 9porelplanox = z. soluci´ on √ y ≥ 0; x2 + y 2 = 9, y = 9 − x2 ∂y √ −x {partialx = 9−x2 8

∂z ∂x

= 0, σ =

RR p yx2 + yxdxdy= R Z 3 l´ım

b→3 0

b

x(9 − x2 )−1/2 dx

3 l´ım (−(9 − x)1/2 |b0 b→3

3 l´ım (−(9 − b2 )1/2 + 3) = 9 b→3

30. Obtenga el area de superficie cortada en el cilindro x2 + y 2 = 25 por los planos x = 0, x = 1, z = 1, Z = 3 soluci´ on √ y = fq (x, y) = 25 − x2 RR p x yx2 + yx2 + 1dA= yx = 25−x 2 dz=0 σ = R R 1 R 3 q x2 + 1dx=dx 0 1 25−x2 R1q 5 =2 0 dx 25−x2 10sen−1 x5 |10 = 10sen−1 15 31. sea R la regi´ on triangular del plano xy con v´ertices (0, 0, 0), (0, 4, 0)y(2, 4, 0). Determinen el ´ area de superficies de la parte de la gr´afica de z − 5x − y 2 = 2 que se encuentra sobre R. soluci´ on y = 2x, x q = 0, y = 4, z = f (x, y) = 2 + 5x + y 2 ; fx = 5, fy (1, y) = 2y p RR R R 2 (x, y) + f 2 (x, y) + 1dxdy= 4 π /2 25 + 4y 2 dxdy σ= f x y R 0 0 √ R4 p R π/2 1 1 4 1 2 2 = 0 x 4y + 26 |0 dy 2 0 y(4y + 26)1/2 dy= 24 (4y 2 + 26)3/2 |40 = 24 (90 90 − √ √ √ 1 26 26) = 12 (135 10 − 13 26) 32. calcular el ´ area de la superficie del primer octante cortada en el conox2 + y 2 = z 2 por el plano x + y = 4 soluci´ on 2 2 x + y =p z2 , x + y = 4 f (x, y) = x2 + y 2 fx (x, y) = √ x x2 +y 2 √ y x2 +y 2

fy (x, y) = ;fx2 (x, y) + fy2 (x, y) + 1 = √ RR σ= n dA = 8 2

x2 x2 +y 2

+

y2 x2 y 2

+1 = 2 =

1 4 (4)(4)

= 8

33. Obtenga el ´ area de la porci´on de la superficie del cilindro x2 + y 2 = z 2 que esta dentro del cilindro x2 + y 2 = 4 soluci´ on √ −x z = f (x, y) = 4 − x2 ; fx (x, y) = √4−x ; fy (x, y) = 0 2 q R R R q x2 R 2 R √4−x2 1 √ σ = 8 R fx2 (x, y) + fy2 (x, y) + 1dxdy= 8 R 4−x dydx= 2 + 1dA = 16 0 0 4−x2 R2 16 0 dx = 32 9

34. Termine el ´ area de la porci´on de superficie del cono x2 + y 2 = z 2 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y 2 = 2x soluci´ on x2 + y 2 = p 2x , de (x − 1)2 + y 2 = 1 f (x, y) = x2 + y 2 , fx2 (x, y) + fy2 (x, y) + 1 = 2 √ 1 √ R RR√ σ= 2dA = 4 2 π = 2 2π 2 R 35. Calcule el ´ area de la porci´on de superficie del cono x2 + y 2 = z 2 ubicada entre el cilindro y 2 = xy y el plano x − y = 2 soluci´ on p f (x, y) = x2 + y 2 , fx2 (x, y) + fy2 (x, y) + 1 = 2 √ R2 √ RR √ R 2 R 2+y √ σ = 2 R 2dA = 2 −1 y2 2dxdy 2 2 −1 (2 + y − y 2 )dy = 2 2(2y + 12 y 2 − √ √ 8 1 1 1 3 2 y ) | = 2 2((4 + 2 − ) − (−2 + + )) = 9 2 −1 3 3 2 2 36. Obtenga el ´ area de la porci´on del plano x = z que esta entre los planos y = 0 y y = 6 y dentro del hiperboloide 9x2 − 4y 2 + 16z 2 = 144. soluci´ on 2 2 2 x = z,y = 0 y y = 6 , 9x √ − 4y + 16z = 144 2 2 2 = f (x, y) = x , x = 5 b + 36 , fx (x, y) = 1, fy (x, y) = 0 √ R6 R2q R q R6R2q 36 2 2 2 σ = R fx (x, y) + fy (x, y) + 1dA= 2 0 a y + 5 dydx= 2 2 0 x a y 2 + 36 5 dy= p √ R6√ √ p √ √ 4 2 2 6 b2 + 36dy= 5 2(y 36 + y 2 +36ln(y+ 36 + y 2 ) |0 = 5 2(36 2+36ln(6+ 5√ 2 0 √ √ 6 2) − 36ln6)= 72 5 (2 + 2ln(1 + 2) 37. se gira el segmento de recta del original al punto (a, b) alrededor del eje x . Determine el ´ area de la superficie del cono generado. soluci´ on (0, 0), y = f (x) = ab x, f 0 (x) = ab √ √ p Ra R a b q b1 +1 R 2πb a2 +b2 x2 a 2πb a2 +b2 a 0 2 σ = 2π 0 f (x) (f (x)) + 1dx= 2π 0 a x xdx= dx= 2 2 2 |0 = 0 a a a2 √ √ 1 2 2 2 2 πa a + b ; σ = 2π 2 b a + b 38. Deduzca una formula para calcular el ´area de la superficie de una esfera al girar una semicircunferencia alrededor de su di´ametro. soluci´ on p √ Ra√ Ra 2 2 x +y = y 2 , y = f (x) = r2 − x2 , f 0 (x, y) = −x 0 r2 − x2 ; σ = 2π 0 f (x) (f 0 (x))2 + 1dx Rb R b√ 2 2π 0 r2 − x2 r2x−x2 + 1dx= 2π a rdx = 2πr(b − a) 2πrh; b = 2r, 4πr2 39. Calcular el ´ area de la superficie de revoluci´on generada al girar el arco de la catenaria y = acosh( xa desde x = 0 hasta x = a alrededor del eje y. soluci´ on Ra p Ra q Rb Rb σx = 2π a yds; σy = 0 xds; y = acosh( xa σy = 2π 0 x 1 + y 2 dx= 2π 0 x 1 + senh 2π a dx= Ra x x x a 2 2 2 π2 0 x.coseh a dx = 2π(ax.senh a −acosh a ) |0 = 2π(a senh1 − a cos1 + a ) π2a2 (1 − e−1 ) 40. Determine el ´ area de la superficie de revoluci´on que se obtiene al girar alre10

dedor del eje x la catenaria del ejercicio 39. soluci´ on p 0 (x) = acosh x ; f 0 (x) = senh x ; yp= acosh xa ; z = 0; z = a ; f ((f 0 (x))2 + 1) = a a p x x x 2 2 senh Ra + 1= cosh a = coshR a a a 1 2x 2 σ = π2 0 acosb xa .cosh xa dx= xa 0 (1 + cosh 2x a dx = π2(x + 2 asenh a |0 = π2(1 + 1 2 2 asenh ) 41. El lazo de una curva de una curva 18y 2 = x(6 − x)2 se gira alrededor del eje x. Obtenga el ´ area de revoluci´ on generada. soluci´ on √ √ y ≥ 0 18y 2 = x(6 − x)2 y = f (x) = 61 2(6x1/2 − x3/2 ; f 0 (x) = 61 62 (3x−1/2 − 32 x2 ) = q p R6 R6 √ 1/2 1 ρ = 2π 0 f (x) ((f 0 (x))2 + 1)dx= 2π 0 16 6(6x1/2 −x3/2 = 1 + 18 (3x−1/2 − 32 )2 dx q √ R6 √ R6 R6 1 1/2 2 ) dx = π3 0 x1/2 (x−1/2 + 12 x1/2 dx = π3 0 (6+ = π3 2 0 x1/2 (6−x) 21 2 (x −1 2 + 2x 2x − 12 x2 )dx=

π 3 (6x

+ x2 − 61 x3 ) |60 =

π 3 (36)

= 12π

42.calcule el ´ area de la superficie de revoluci´on generada al girar el arco de la curva y = lnx desde x = 1 hasta x = 2 alrededor del eje y. soluci´ on R ln2 √ R ln2 p 1 + e2y ey ; ey = tanyey dy y = lnx;x = ey ; σ = 0 x 1 + (dx/dy)2 dy = π2 0 √ R b sec2 udu ; b = 2 ; b = 5 ; σ = 2π π/4 secu(sec2 udu) = π(secu.tanu+ln(secu.tanu)) |6π/4 √ √ √ √ = π(2 5 − 2 + ln( 5 + 2) − ln( 2 + 1)) 43. Una lamina homog´enea de k pulgadas por pie cuadrado de densidad superficial tiene la forma de la regi´ on limitada por un triangulo is´osceles cuya base mide b pies de longitud y su altura h pies de longitud . Determine el radio de giro de la lamina con respecto ala recta de la simetr´ıa. soluci´ on Rh R R h R bx/2h 2 bx/bh bx y dydx 2k 0 31 y 3 |0 (h, −1 b); (h; 12 b; y = (0, 0) b = 2h Ix = k ∈R y 2 dA = 2k 0 0 2 R R R R 2 h bx/2h kb3 1 1 h dx = 12h dydx = 2k( bx ( 1 ) |h0 = 48 khb3 ; M = k 4h |0 = 2 khb R dA = 2k 0 0 q 3 4b4 q √ √ 1 2 kb2 1 6b2 /144 = 12 ;r= M Ix = kb/h b 6 48 =

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