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• David Dávila

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´ Tarea 1 de Algebra Moderna II

Instrucciones: Entregar s´ olo los ejercicios marcados con ?. 1. Sea (R, +, ·) un anillo en el que las dos operaciones son iguales (esto es, a + b = ab ∀ a, b ∈ R). Demuestra que R = {0}. 2. Sea R un anillo con 1 con divisores de cero. Demuestra que para todo a, b ∈ R se tiene que (i) ab = 1 si y s´ olo si ba = 1. (ii) a2 = 1 si y s´ olo si a = 1 o a = −1. 3. Sea R un anillo tal que R no tiene elementos nilpotentes distintos de cero. Demuestra que todos los elementos idempotentes pertenecen a cent(R) := {a ∈ R | ar = ra ∀r ∈ R}. Sugerencia: Si a2 = a, entonces (ara − ar)2 = (ara − ra)2 para todo r ∈ R. 4. Sea R un anillo con 1 y S un subanillo propio de R (S no necesariamente tiene 1). Para un elemento a ∈ R − S, denotemos por hS, ai al subanillo generado por S ∪ {a}. Demuestra que si a ∈ cent(R), entonces n X hS, ai = { ri ai | n ∈ Z+ , ri ∈ R ∀i}. i=0

5. (?) Sea R un anillo con 1. (a) Sea L el conjunto de los ideales bilaterales de R y L0 el conjunto de los ideales bilaterales de S = Mn×n (R). Dado un ideal I de R consideremos el conjunto Mn×n (I) := {(aij ) ∈ Mn×n (R) | aij ∈ I ∀i, j}. Demuestra que hay una funci´on biyectiva ϕ : L −→ L0 donde ϕ(I) := Mn×n (I). (b) Sea I un ideal bilateral de R. Demuestra que Mn×n (R/I) ' Mn×n (R)/Mn×n (I). 6. (?) Un anillo Booleano A es un anillo con 1 en el cual todo elemento es idempotente. (a) Demuestra que un anillo Booleano es conmutativo. (b) 2x = 0 para todo x ∈ A, (c) todo ideal primo p de A es maximal y A/p ' Z2 . 7. Sea R un anillo y e un elemento de R tal que e2 = e y e no es divisor de cero en R. Demuestra que e sirve como neutro multiplicativo en R. 8. Sea R un anillo con la propiedad que a2 + a ∈ cent(R) para todo a ∈ R. Demuestra que R es conmutativo. Sugerencia: Utiliza la expresi´on (a + b)2 + (a + b) para concluir que ab + ba ∈ cent(R) para todo a, b ∈ R. 1

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´ Tarea 1 de Algebra Moderna II 9. (?) Sea R un anillo. Demuestra los siguientes incisos. (a) Si existe un entero positivo k tal que ka = 0 ∀a ∈ R, entonces car(R) | k. (b) Si car(R) > 0 y S es un subanillo de R, entonces car(S) ≤ car(R). (c) Si R es dominio entero y S es un subdominio entero de R, entonces car(S) = car(R). 10. (?) Sea R un anillo conmutativo con 1 y a ∈ R un elemento idempotente distinto del 0 y el 1. Demuestra que R = hai ⊕ h1 − ai. 11. (?) Sea R un anillo con 1 y a ∈ R. Demuestra que si a tiene m´as de un inverso por la izquierda, entonces a tiene infinitos inversos izquierdos. Sugerencia: Sea A = {a0 ∈ a | a0 a = 1} y fijemos a0 ∈ A, definamos una funci´ on f : A −→ A por f (a0 ) = aa0 − 1 + a0 , demuestra que f da una biyecci´ on entre A y un subconjunto propio de A. 12. (?) Sean A1 , . . . , An anillos con 1 Q (a) Demuestra que ni=1 Ai es un anillo con 1 con las siguientes dos operaciones: (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) := (a1 + b1 , . . . , an + bn ) (a1 , . . . , an )(b1 , . . . , bn ) := (a1 b1 , . . . , an bn ). Este anillo se llama anillo producto. (b) Demuestra que las proyecciones can´onicas pi : con uno.

Qn

i=1 Ai

−→ A1 son morfismos de anillos

(b) Q Sea Ii ideal izquierdo (derecho, bilateral) de Ai para Qncada i = 1, . . . , n. Demuestra que n I es un ideal izquierdo (derecho, bilateral) de i=1 i Qn i=1 Ai . Rec´ıprocamente, demuestra que todo ideal izquierdo (derecho, bilateral) de i=1 Ai es de la forma anterior. 13. Sea f : R −→ S un morfismo de anillos. (a) Sea J un ideal izquierdo (derecho, bilateral) de S, demuestra que f −1 (J) es un ideal izquierdo (derecho, bilateral) de R. (b) Supongamos que R y S son conmutativos con 1 y f un morfismo de anillos con 1. Demuestra que si p es un ideal primo de S, entonces f −1 (p) es un ideal primo de R. D´ a un ejemplo donde la imagen inversa de un ideal maximal no es maximal. (c) Sea I un ideal izquierdo (derecho, bilateral) de R muestra con un ejemplo que la imagen directa f (I) no necesariamente es un ideal izquierdo (derecho, bilateral) de S. Demuestra que si f es suprayectiva, entonces la imagen directa de un ideal izquierdo (derecho,bilateral) es un ideal de mismo tipo en S. 14. Sea R un anillo con la propiedad de que si S es un subanillo de R entonces S es un ideal bilateral de R (Z es un ejemplo de tal anillos). Si R no tiene divisores de cero, demuestra que la multiplicaci´ on en R es conmutativa. Sugerencia: Dado a 6= 0 en R consideremos el subanillo S generado por a, para b ∈ R tenemos que r := ab ∈ S se tiene que ar = ra. 15. Sea R una anillo. Consideremos un subanillo S de R e I un ideal bilateral de R. Si S ∩I = {0} demuestra que S es isomorfo a un subanillo de R/I. 2

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´ Tarea 1 de Algebra Moderna II 16. (?) Sea R un anillo. (a) Consideremos ideales bilaterales I1 , I2 de R tal que R = I1 ⊕I2 . Demuestra que R/I1 ' I2 y R/I2 ' I1 como grupos abelianos. Q (b) Sean R1 , . . . , Rn anillos y R = i=1 Q Ri el anillo producto. Sean Ij ideales bilaterales de Rj para cada j = 1, . . . , n y I := nj=1 Ij . Demuestra que existe un isomorfismo R/I '

n Y

(A/Ij ).

j=1

17. (?) Sean m, n ∈ Z enteros positivos tal que m.c.d(m, n) = 1. Demuestra que existe un isomorfismo de anillos Zmn ' Zm × Zn . 18. (?) Sea R := C([0, 1], R) := {f : [0, 1] −→ R | f continua} el anillo conmutativo con las operaciones de (f + g)(x) := f (x) + g(x) y (f g)(x) := f (x)g(x) para cada f, g ∈ R. Para x ∈ [0, 1] sea Mx := {f ∈ R | f (x) = 0}. Demuestra que Mx es un ideal maximal de R y que cada ideal maximal de R es de esta forma. Sugerencia: Utiliza el hecho que el intervalo [0, 1] es compacto. 19. Sean f1 : R −→ R1 y f2 : R −→ R2 morfismos suprayectivos de anillos. Demuestra que si Ker(f1 ) ⊆ Ker(f2 ), entonces existe un u ´nico morfismo de anillos g : R1 −→ R2 tal que gf1 = f2 . 20. Sea

 R :=

a + bi c + di −c + di a − bi



 | a, b, c, d ∈ R

subconjunto de M2×2 (C). Demuestra que R es un anillo isomorfo al anillo de los cuat´ernios reales HR . 21. (?) (a) Demuestra que cualquier subcampo F de R contiene a Q. √ √ (b) Sea p ∈ Z un n´ umero primo. Sea Z( p) := {a + b p | a, b ∈ Z} ⊆ R. Demuestra que √ Z( p) no es un campo. √ √ (c) Sea p ∈ Z un n´ umero primo. Sea Q( p) := {a + b p | a, b ∈ Q} ⊆ R. Demuestra que √ Q( p) es un subcampo de R. √ √ (d) Demuestra que el campo de cocientes de Z( p) es Q( p). 22. (?) Sea R := {(an )n∈N | (an )n∈N es una sucesi´on de n´ umeros racionales}. Sobre R definimos dos operaciones (an )n∈N + (bn )n∈N := (an + bn )n∈N , (an )n∈N · (bn )n∈N := (an bn )n∈N . Demuestra que R es un anillo conmutativo con 1 y verifica los siguientes incisos 3

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´ Tarea 1 de Algebra Moderna II (a) Sea B ⊆ R el conjunto de sucesiones acotadas. Demuestra que B es un subanillo con 1 de R. (b) Sea C ⊆ R el conjunto de sucesiones convergentes. Demuestra que C es un subanillo con 1 de B. (c) Sea C0 ⊆ R el conjunto de sucesiones que convergen a 0. Demuestra que C0 es un subanillo de C ( ¿ es subanillo con 1?). (d) Demuestra que C0 es un ideal de B que no es un ideal primo. (e) C0 es un ideal maximal de C. (f) Sea D ⊆ R el conjunto de sucesiones de Cauchy. Demuestra que D es un subanillo con uno de B. (g) C0 s un ideal maximal de D. Notemos que es este caso, D/C0 es un campo. Se puede demostrar que D/C0 es isomorfo al campo de los n´ umeros reales R. 23. (?) Sea R un anillo conmutativo con 1 y p un ideal primo tal que R/p es un anillo finito. Demuestra que p es un ideal maximal. n 24. (?) Sean Qn {Ri }i=1 una familia de anillos conmutativos con 1. Demuestra que un ideal I de olo si I es de la forma R = i=1 Ri es maximal si y s´

I = R1 × . . . × Rj × mj × Rj+1 × . . . × Rn . donde mj es un ideal maximal de Rj . 25. Sea R un anillo conmutativo con 1 y m1 y m2 dos ideales maximales distintos. Demuestra que m1 m2 = m1 ∩ m2 . 26. Sea R un anillo conmutativo con 1. Sea M un ideal propio de R, demuestra que M es un ideal maximal de R si y s´ olo si para todo r ∈ / M existe un elemento a ∈ R tal que 1 + ra ∈ M . 27. Sea R un anillo conmutativo con 1. Se dice que R es local, si R tiene un u ´nico ideal maximal. Demuestra que si R es un anillo local con u ´nico ideal maximal m, entonces todo elemento en el complemento de m es invertible. 28. (?) Sea A conmutativo con 1 y x ∈ A un elemento nilpotente. Muestra que 1 + x es una unidad en A. Deduce que la suma de una unidad y un elemento nilpotente es una unidad. 29. (?) Sea A conmutativo con 1 y A[x] el anillo de polinomios en la variable x con coeficientes en A. Sea f = a0 + a1 x + . . . + an xn ∈ A[x]. Prueba que: (a) f es unidad en A[x] si y s´ olo si a0 es unidad en A y a1 , . . . , an son nilpotentes. Sugerencia: si g = b0 + b1 x + . . . + bm xm es el inverso de f , prueba por inducci´on que ar+1 n bm−r = 0, entonces prueba que an es nilpotente y usa un ejercicio anterior. (b) f es nilpotente si s´ olo si a0 , . . . , an son nilpotentes

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´ Tarea 1 de Algebra Moderna II (c) f es divisor de cero si y s´ olo existe 0 6= a ∈ A tal que af = 0. Sugerencia: Escoge g(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm de grado m´ınimo tal que gf = 0, observa que an bm = 0 y entonces an g = 0 (por que (an g)f = 0 y tiene grado menor que m). Luego prueba por inducci´ on que an−r g = 0 para 0 ≤ r ≤ n. (d) f se dice primitivo si ha0 , . . . , an i = A. Prueba que si f, g ∈ A[x] entonces f g es primitivo si y s´ olo si f y g son primitivos. 30. (?) (a) Sea K un campo y consideremos K[x]. Demuestra que hxi es un ideal maximal de K[x]. (b) Consideremos el anillo Z[x]. Demuestra que hxi = {f (x) ∈ Z[x] | f (0) = 0} y que hxi es un ideal primo de Z[x] que no es maximal. (c) Demuestra que hx, 2i en Z[x] consta del conjunto de polinomios en Z[x] que tienen t´ermino constante par. Adem´as prueba que hx, 2i no es un ideal principal de Z[x]. 31. (?) Aplica el criterio de Eisenstein para demostrar que los siguientes polinomios son irreducibles en Q[x]: f (x) = x2 + 1, g(x) = x2 − x + 1, h(x) = 2x5 − 6x3 + 9x2 − 15. Sugerencia considere f (x + 1) y g(−x). 32. Sea K un campo y consideremos el anillo K[x, y]. (a) Demuestra que el ideal I = hx2 , xy, y 2 i no es un ideal principal de K[x, y] (b) Demuestra que hay un isomorfismo de anillos K[x, y]/hx + yi ' K[x]. 33. (?) Sea EndAb (Z, Z) := {f : Z −→ Z | f es morfismo de grupos}. Definimos dos operaciones (f + g)(x) := f (x) + g(x) y (f · g)(x) := (f ◦ g)(x) para f, g ∈ EndAb (Z, Z). Demuestra que hay un isomorfismo de anillos EndAb (Z, Z) ' Z. 34. Sea R un anillo conmutativo con 1. Demuestra que si R[x] es un dominio de ideales principales, entonces R es un campo. 35. Consideremos Q con la multiplicaci´on p · q = 0 para todo p, q ∈ Q. Consideremos Q con la suma usual de fracciones y el producto definido anteriormente. Demuestra que Q no tiene ideales maximales. 36. Sea f (x) ∈ Z[x] de grado 3 tal que f (0) y f (1) son impares y el coeficiente principal de f (x) es impar. Demuestra que f (x) es irreducible en Q[x]. 37. (?) Demuestra que si f : R −→ R es un morfismo unitario no cero, entonces f = Id. Demuestra que no pasa lo mismo para C y HR . 38. Sea R un anillo. Demuestra que existe un isomorfismo de anillos (Mn×n (R))[X] −→ Mn×n (R[X]). 39. Sea f : R −→ S un morfismo de anillos. Demuestra que f induce un morfismo de anillos F : Mn×n (R) −→ Mn×n (S).

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´ Tarea 1 de Algebra Moderna II 40. (?) Sean R y S anillos, denotemos por HomAn (R, S) al conjunto de todos los morfismos de anillos f : R −→ S (no necesariamente unitarios). (a) Demuestra que si S es libre de torsi´on (es decir, si s 6= 0, no existe natural n tal que ns = 0) entonces HomAn (R, S) = {0} si car(R) 6= 0, pero car(S) = 0. En particular HomAn (Zn , Z) = {0}. (b) HomAn (R, S) = {0} si car(R) 6= 0 y car(S) 6= 0 pero car(S) - car(R). En particular, HomAn (Zn , Zm ) = {0} si (n, m) = 1. 41. (?) Demuestra los siguientes incisos. (a) HomAn (Z, Zn ) ' Zn (b) Demuestra que HomAn (Z, Q) consta de dos elementos y que HomAn (Q, Z) = {0}. (c) Demuestra que si existe un morfismo de anillos f : Zm −→ Zn entonces n | m. (d) Demuestra que HomAn (Z[x1 , . . . , xn ], S) ' S n para todo anillo S. P 42. Sea R un dominio entero y f (x) = ni=0 ai xi ∈ R[x] no constante con gr(f (x)) = n. Demuestra que el n´ umero de ra´ıces de f (x) en R (contando multiplicidad) es a lo m´as n. Sugerencia: Sea K el campo de fracciones de R y considera f (x) ∈ K[x], luego utiliza que K[x] es un dominio de factorizaci´ on u ´nica y el algoritmo de la divisi´on. 43. (?) Sea K un campo y f (x) ∈ K[x] un polinomio no constante con gr(f (x)) ≤ 3. Demuestra que f (x) es irreducible si y s´ olo si f (x) no tiene ra´ıces en K. Da un ejemplo, para demostrar que si f (x) no tiene ra´ıces en K no necesariamente implica que f (x) es irreducible si gr(f (x)) ≥ 4. 44. Demuestra que hay una infinidad de polinomios irreducibles de grado n en Q[x]. Sugerencia, utiliza el criterio de Eisenstein en Z[x] y el Lema de Gauss. 45. (?) Demuestra que hay un isomorfismo de anillos R[x]/hx2 + 1i ' C y Z[x]/hx2 + 1i ' Z[i]. 46. Sea R un dominio entero y f (x) ∈ R[X] un polinomio no constante. Demuestra que f (x) es irreducible si y s´ olo si f (x + a) es irreducible para cualquier a ∈ R. 47. Sea K un campo. Demuestra que hay una infinidad de elementos primos en K[x] que no son asociados. Sugerencia: Recordar la prueba de Euclides de la infinidad de n´ umeros primos en Z. 48. Sea R un dominio entero. Demuestra que el polinomio 1 + x + x3 + x6 no es irreducible en R[x].

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