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• Manuel Estuardo Morales

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PROBLEMAS

645

y 0

40

48

54

70

54

72

64

24 x

(8 – 0)

0 + 2(40) + 48 4

256

(8 – 0)

54 + 2(70) + 54 4

496

(8 – 0)

72 + 2(64) + 24 4

448

(6 – 0)

256 + 2(496) + 448 = 2 688 4

FIGURA 21.17 Evaluación numérica de una integral doble usando la regla del trapecio con dos segmentos.

Solución. Primero, se usará la regla del trapecio con dos segmentos en cada dimensión. Las temperaturas en los valores x y y necesarios se representan en la figura 21.17. Observe que un promedio simple de estos valores es 47.33. La función también se evalúa analíticamente, cuyo resultado sería 58.66667. Para realizar numéricamente la misma evaluación se emplea primero la regla del trapecio a lo largo de la dimensión x con cada uno de los valores de y. Estos valores se integran después a lo largo de la dimensión y para dar como resultado final 2 688. Dividiendo éste entre el área se obtiene la temperatura promedio: 2 688/(6 × 8) = 56. También podemos emplear la regla de Simpson 1/3 de la misma manera con un solo segmento. Esta integral da como resultado de 2 816 y un promedio de 58.66667, que es exacto. ¿Por qué pasa esto? Recuerde que la regla de Simpson 1/3 dio resultados perfectos con polinomios cúbicos. Como el término del grado mayor en la función es de segundo grado, en el presente caso se obtiene el mismo resultado exacto. Para funciones algebraicas de grado superior, así como con funciones trascendentes, será necesario emplear segmentos múltiples para obtener estimaciones exactas de la integral. Además, el capítulo 22 presenta técnicas más eficientes que las fórmulas de Newton-Cotes, para la evaluación de integrales de funciones dadas. Éstas con frecuencia proporcionan mejores recursos para la integración numérica de integrales múltiples.

PROBLEMAS 21.1 Evalúe la integral siguiente:

∫

4 0

(1 − e −2 x ) dx

a) en forma analítica; b) con una sola aplicación de la regla del trapecio; c) con aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n

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= 2 y 4; d) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e) con la aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3, con n = 4; f) con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8, y g) con aplicación múltiple de la regla de Simpson, con n = 5. Para los incisos b) a g), determine el error relativo porcentual de cada una de las estimaciones numéricas, con base en el resultado del inciso a).

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FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES

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21.2 Evalúe la integral siguiente:

∫

π /2 0

(6 + 3 cos x ) dx

a) en forma analítica; b) con una sola aplicación de la regla del trapecio; c) con aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n = 2 y 4; d) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e) con aplicación múltiple de la regla de Simpson 1/3, con n = 4; f) con una sola aplicación de la regla de Simpson 3/8; y g) con aplicación múltiple de la regla de Simpson, con n = 5. Para cada una de las estimaciones numéricas de los incisos b) a g), determine el error relativo porcentual con base en el inciso a). 21.3 Evalúe la integral siguiente:

∫

4 −2

(1 − x − 4 x 3 + 2 x 5 ) dx

a) en forma analítica; b) con una sola aplicación de la regla del trapecio; c) con la regla del trapecio compuesta, con n = 2 y 4; d) con una sola aplicación de la regla de Simpson 1/3; e) con la regla de Simpson 3/8; y f) con la regla de Boole. Para cada una de las estimaciones numéricas de los incios b) a f), determine el error relativo porcentual con base en el inciso a). 21.4 Integre la función siguiente en forma analítica y con el empleo de la regla del trapecio, con n = 1, 2, 3 y 4:

∫

2

1

( x + 2/ x )2 dx

Use la solución analítica para calcular los errores relativos porcentuales verdaderos para evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del trapecio. 21.5 Integre la función siguiente en forma tanto analítica como con la regla de Simpson, con n = 4 y 5. Analice los resultados.

∫

5 −3

(4 x − 3)3 dx

21.6 Integre la función siguiente tanto en forma analítica como numérica. Emplee las reglas del trapecio y de Simpson 1/3 para integrar numéricamente la función. Para ambos casos, utilice la versión de aplicación múltiple, con n = 4. Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numéricos.

∫

3 0

x 2e x dx

21.7 Integre la función siguiente tanto analítica como numéricamente. Para las evaluaciones numéricas use a) una sola aplicación de la regla del trapecio, b) la regla de Simpson 1/3, c) la regla de Simpson 3/8, d) la regla de Boole, e) el método del punto medio, f) la fórmula de integración abierta de 3 segmentos y 2 puntos, y g) la fórmula de integración abierta de 4 segmentos y 3 puntos. Calcule los errores relativos porcentuales de los resultados numéricos.

∫

1.5 0.5

2x

14 dx

21.8 Integre la función que sigue tanto en forma analítica como numérica. Para las evaluaciones numéricas utilice a) una sola

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aplicación de la regla del trapecio; b) la regla de Simpson 1/3; c) la regla de Simpson 3/8; d) aplicación múltiple de reglas de Simpson, con n = 5; e) la regla de Boole; f) el método del punto medio; g) la fórmula de integración abierta de 3 segmentos y 2 puntos; y h) la fórmula de integración abierta de 4 segmentos y 3 puntos.

∫

3 0

(5 + 3 cos x ) dx

Calcule los errores relativos porcentuales para los resultados numéricos. 21.9 Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objeto que cae es proporcional al cuadrado de la velocidad. Para este caso, la velocidad se calcula con ⎛ gcd ⎞ gm tanh ⎜ t cd ⎝ m ⎟⎠ donde cd = coeficiente de arrastre de segundo orden. a) Si g = 9.8 m/s2, m = 68.1 kg y cd = 0.25 kg/m, use integración analítica para determinar qué tan lejos cae el objeto en 10 segundos. b) Haga lo mismo, pero evalúe la integral con la regla del trapecio de segmento múltiple. Use una n suficientemente grande para obtener tres dígitos significativos de exactitud. 21.10 Evalúe la integral de los datos tabulados a continuación, con a) la regla del trapecio, y b) las reglas de Simpson: v (t ) =

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f (x)

1

8

4

3.5

5

1

21.11 Evalúe la integral de los datos que se tabula en seguida, con a) la regla del trapecio, y b) las reglas de Simpson: x

–2

0

2

4

6

8

10

f (x)

35

5

–10

2

5

3

20

21.12 Determine el valor medio de la función f(x) = –46 + 45x – 14x2 + 2x3 – 0.075x4 entre x = 2 y 10, por medio de a) graficar la función y estimar visualmente el valor medio, b) con la ecuación (PT6.4) y la evaluación analítica de la integral, y c) con la ecuación (PT6.4) y una versión de cinco segmentos de la regla de Simpson para estimar la integral. Calcule el error porcentual relativo. 21.13 La función f(x) = 2e–1.5x se puede utilizar para generar la tabla siguiente de datos espaciados en forma desigual: x

0

0.05

0.15

0.25

0.35

0.475

0.6

f (x)

2

1.8555

1.5970

1.3746

1.1831

0.9808

0.8131

Evalúe la integral de a = 0 a b = 0.6, con el uso de a) medios analíticos, b) la regla del trapecio, y c) una combinación de las reglas del trapecio y de Simpson; emplee las reglas de Simpson siempre que sea posible a fin de obtener la exactitud más alta. Para los incisos b) y c), calcule el error relativo porcentual (et).

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PROBLEMAS

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21.14 Evalúe la integral doble siguiente: 1

2

−1

0

∫ ∫

( x − 2 y + xy ) dx dy 2

2

3

a) en forma analítica; b) con una aplicación múltiple de la regla del trapecio, con n = 2; y c) con aplicaciones únicas de la regla de Simpson 1/3. Para los incisos b) y c), calcule el error relativo porcentual (et). 21.15 Evalúe la siguiente integral triple, a) en forma analítica, y b) con el uso de aplicaciones únicas de la regla de Simpson 1/3. Para el inciso b) calcule el error relativo porcentual (et). 2

2

1

−2

0

−3

∫ ∫ ∫

( x 3 − 3 yz ) dx dy dz

21.16 Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario para la aplicación múltiple de la regla del trapecio, con base en la figura 21.9. Pruebe su programa con la replicación del cálculo del ejemplo 21.2. 21.17 Desarrolle un programa de cómputo amigable para el usuario para la versión de la aplicación múltiple de la regla de Simpson, con base en la figura 21.13c. Pruébelo con la duplicación de los cálculos del ejemplo 21.5. 21.18 Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario a fin de integrar datos espaciados en forma desigual, con base en la figura 21.15b. Pruébelo con la duplicación del cálculo del ejemplo 21.8. 21.19 Una viga de 11 m está sujeta a una carga, y la fuerza cortante sigue la ecuación V(x) = 5 + 0.25x2 donde V es la fuerza cortante y x es la distancia a lo largo de la viga. Se sabe que V = dM/dx, y M es el momento flexionante. La integración conduce a la relación x

∫ V dx

M = Mo +

0

Si M0 es cero y x = 11, calcule M con el empleo de a) integración analítica, b) aplicación múltiple de la regla del trapecio, y c) aplicación múltiple de las reglas de Simpson. Para los incisos b) y c) use incrementos de 1 m. 21.20 El trabajo producido por un proceso termodinámico a temperatura, presión y volumen constantes, se calcula por medio de

∫

W=

pdV

336

Volumen (m3)

0.5

m=

L 0

ρ ( x ) Ac ( x ) dx

donde m = masa, r(x) = densidad, Ac(x) = área de la sección transversal, x = distancia a lo largo de la barra y L = longitud total de la barra. Se midieron los datos siguientes para una barra de 10 m de longitud. Determine la masa en kilogramos con la exactitud mejor posible. x, m

0

2

3

4

6

8

10

r, g/cm3

4.00

3.95

3.89

3.80

3.60

3.41

3.30

Ac, cm2

100

103

106

110

120

133

150

21.23 Un estudio de ingeniería del transporte requiere que usted determine el número de autos que pasan por una intersección cuando viajan durante la hora pico de la mañana. Usted se para al lado de la carretera y cuenta el número de autos que pasan cada cuatro minutos a varias horas, como se muestra en la tabla a continuación. Utilice el mejor método numérico para determinar a) el número total de autos que pasan entre las 7:30 y las 9:15, y b) la tasa de autos que cruzan la intersección por minuto. (Recomendación: tenga cuidado con las unidades.) Tiempo (h)

7:30

7:45

8:00

8:15

8:45

9:15

18

24

14

24

21

9

Tasa (autos por 4 min)

21.24 Determine el valor promedio para los datos de la figura P21.24. Realice la integral que se necesita para el promedio en el orden que muestra la ecuación siguiente: I=

∫ ⎡⎣⎢ ∫ xn

ym

x0

y0

f ( x , y)dy ⎤ dx ⎦⎥

FIGURA P21.24

294.4 266.4 260.8 260.5 249.6 193.6 165.6 2

3

4

6

8

10

4

2

–8

–8

–6

4

–4

–3

1

7

11

21.21 Determine la distancia recorrida para los datos siguientes: t, min

1

2

3.25

4.5

6

7

8

9

9.5

10

v, m/s

5

6

5.5

7

8.5

8

6

7

7

5

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∫

y

donde W es el trabajo, p la presión, y V el volumen. Con el empleo de una combinación de la regla del trapecio, la de Simpson 1/3, y la de Simpson 3/8, utilice los datos siguientes para calcular el trabajo en kJ (kJ = kN · m): Presión (kPa)

a) Use la regla del trapecio, b) la mejor combinación de las reglas del trapecio y de Simpson, y c) la integración analítica de polinomios de segundo y tercer orden, determinados por regresión. 21.22 La masa total de una barra de densidad variable está dada por

–2

0 0

–1 4

4 8

10 12

x

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