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• Efrain Garcia Diaz

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7.1

Respuesta natural de los circuitos de segundo orden

Un examen minucioso de las ecuaciones s1 y s2 indica que la forma de la solución de la ecuación homogénea depende del valor de ζ. Por ejemplo, si ζ > 1, las raíces de la ecuación característica s1 y s2, también llamadas frecuencias naturales debido a que determinan la respuesta natural de la red, son reales y diferentes; si ζ < 1, las raíces son números complejos; y finalmente, si ζ = 1,, las raíces son reales e iguales. Cada uno de esos casos es muy importante; por lo tanto, examinaremos ahora cada uno con algún detalle. (a)

Respuesta sobre amortiguada

Veamos el caso, donde ζ > 1, en este caso a la solución se le llama respuesta sobre amortiguada. Las frecuencias naturales s1 y s2 son reales y diferentes, por tanto, la respuesta natural de la red descrita por la ecuación diferencial de segundo orden es de la forma: xn (t)  K1e s1t  K 2e s2t , donde s1 y s2 toman los valores:

s1  n  n  2  1 y s2  n  n

 21

Donde K1 y K2 se encuentran de las condiciones iniciales. Esto indica que la respuesta natural es la suma de dos exponenciales decrecientes.

(b)

Respuesta Subamortiguada

Ahora consideremos el caso en que ζ < 1, en este caso a la solución se le llama respuesta subamortiguada. Como ζ < 1, las raíces de la ecuación característica dada pueden escribirse como:

s1  n  j n 1  

2

   jd

s1  n  j n 1  

2

   jd

Donde j  ,   n y d  n 1   2 . Así las frecuencias naturales son números complejos. La respuesta natural es entonces: xn(t)  K e1 (  jd )t  K e(2   jd )t , que se puede escribir como: xn(t)  e t (K 1e jd t  K 2e jd t )

Utilizando las identidades de Euler e j  cos  jsen , obtenemos: xn(t)  e t [K (cos  td  jsen t)d  K (cos  t d jsen t)]d , reduciendo esto tenemos: 1 2 xn(t)  e t [(K 1 K ) 2cos  t d ( jK 1 jK )sen 2  t] , dque lo podemos escribir como: x (t)  e t ( A cos t  A sen t) n

1

d

2

d

Donde A1 y A2 como K1 y K2 son constantes que se evalúan usando las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Si xn(t) es real, K1 y K2 serán complejos y K2 = K1 *. A1 = K1 + K2 es, por tanto, dos veces la parte real de K1 y A2 = jK1 - jK2, es dos veces la parte imaginaria de K1. A1 y A2 son números reales. Esto ilustra que la respuesta natural es una respuesta oscilatoria exponencialmente amortiguada.

(c)

Respuesta críticamente amortiguada

Por último el caso en que ζ = 1, en este caso a la solución se le llama respuesta críticamente amortiguada. Como ζ = 1, la parte del radical de las raíces s1 y s2 se hacen cero y esto genera: s1 = s2 = -ζωn. Por consiguiente xn (t)  K 3e n t donde K3 = K1 + K2. Sin embargo esta no puede ser una solución a la ecuación diferencial de segundo orden, debido a que en general no es posible satisfacer las dos condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt con la única constante K3. En el caso donde la ecuación característica tiene raíces repetidas, puede obtenerse una solución de la siguiente manera. Si se sabe que x 1(t) es una solución de la ecuación homogénea de segundo orden, entonces vía la sustitución x(t) = x 1(t)y(t) podemos transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación de primer orden en dy(t)/dt. Como esta ecuación resultante es sólo una función de y(t), puede resolverse para encontrar la solución general x(t) = x1(t)y(t)

Para nuestro caso, s1 = s2 = - ζωn. Por simplicidad hacemos α = ζωn, y, de aquí, la ecuación básica es: d 2 x(t)  dx(t)  2   2 x(t)  0 y una solución conocida es x1 (t)  K3e  t 2 dt dt Empleando la sustitución x2(t) = x1(t)y(t) = K3℮-αty(t), la ecuación cuadrática se convierte en d2

t

t

2

 t

. v(t)

Ejemplo 7.3.1 Considere el circuito paralelo de la Figura 7.3.2, con R R = 2Ω, C =1/5 F, y L = 5H, con condiciones iniciales iL(0) = -1A y vC(0) = 4V. Encuentre el voltaje v(t).

L

C

iL(0)

+ vC(0) -

Figura 7.3.2 Solución: Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKC. iR + iL + iC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos: v(t) 1 t v(x)dx  i (t )  C dv(t)  0 , derivando esta expresión con respecto al L 0  t R L 0 dt tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene: 

d 2 v(t) dt

2



1 dv(t)

 RC dt

v(t)   LC

0

Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos: dv(t) d 2 v(t)   2.5  v(t)  0 2 dt dt Entonces la ecuación característica será: s2 + 2.5s + 1 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -2 y s2 = -0.5 Como las raíces son reales y diferentes la respuesta del circuito es sobre amortiguado y v(t) será de la forma: v(t) = K1℮-2t + K2℮-0.5t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión: 

d 2 v(t) dt

2



1 dv(t)

 RC dt

v(t)   LC

0 , con la expresión:

dx(t) d 2 x(t)   2n   n2 x(t)  0 , y quitando la variable v(t) que buscamos, obtenemos 2 dt dt la ecuación característica del circuito: s2 + 2ζωns + ωn2 = 0, donde 2ζωn = 1/RC y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de L 1 1 y la frecuencia resonante es   amortiguamiento es   n 2R C LC y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 1.25 y ωn = 1 rad/s Como: ζ > 1 entonces la respuesta será sobre amortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente 0.6

Ejemplo 7.3.2 Figura 7.3.3 El circuito RLC serie que se muestra i(t) iL(0) en la Figura 7.3.4 tiene los siguientes parámetros: C = 0.04F, L = 1H, R = 6Ω, iL(0) = 4A y vC(0) = -4V. Determinemos la L expresión para la corriente en la bobina y el voltaje en el R R C capacitor.

vC(0)

Figura 7.3.4

Solución:

Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKV. vR + vL + vC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos: di(t)

1

 i(x)dx  v C

(t0 )  0 , derivando esta expresión con respecto al C 0t dt tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene: Ri(t)  L



d 2i(t) dt

2





R di(t) L dt



t

i(t)   0 LC

Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos: d 2 i(t) dt

2

6

di(t)  25i(t)  0 dt

Entonces la ecuación característica será: s2 + 6s + 25 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -3 +j4 y s2 = -3 – j4

Como las raíces son complejas conjugadas entonces la respuesta del circuito es submortiguada e i(t) será de la forma: i(t) = A1℮-3tcos4t + A2℮-3tsen4t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión: 

d 2i(t)



dt 2 

R di(t) L dt



i(t)   0 , con la expresión: LC

2 d 2 x(t)  dx(t)  2n  n x(t)  0 , y quitando la variable i(t) que buscamos, obtenemos dt 2 dt la ecuación característica del circuito: 

s2 + 2ζωns + ω n2 = 0, donde 2ζω =n R/L y ω 2 =n 1/LC, se obtiene que el coeficiente de 1 R C y la frecuencia resonante es   amortiguamiento es   n 2 L LC y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 0.6 y ωn = 5 rad/s Ejemplo 7.3.3 0.3 0.5

t (s)

1.5

1

Figura 7.3.5 i(t)

Para el circuito mostrado en la Figura 7.3.6 se pide encontrar el valor de v(t) e i(t), sabiendo que: R 1 = i (0) L 10, R2 = 8, C = 1/8F, L = 2H, vC(0) = 1V, iL(0) = L 1/2A

Solución:

R1

vC(0)

C

+ v(t) -

R2

Figura 7.3.6

Primero encontraremos v(t) y luego i(t). Para v(t), necesitamos encontrar la ecuación diferencial que describe al circuito, para ello es necesario aplicar una combinación de leyes para encontrarla. Primero usaremos la LKV a la malla de la izquierda, así: vL + vR1 + v(t) = 0 y sustituyendo obtenemos:

L

di(t)

 R i(t)  v(t)  0 (1) 1

dt

Ahora aplicamos LKC al nodo entre R1 y R2, para obtener: i(t) = iC + iR2 = 0 y sustituyendo obtenemos:

i(t)  C

dv(t) dt



v(t) (2) R2

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) y reacomodando, obtenemos:  1 R1  dv(t)  R1  R 2 d 2 v(t) 0 dt 2   R C  L  dt   R LC v(t)   2   2  

Sustituyendo por los valores de los componentes, se obtiene: d 2 v / t) dt

2

6

dv(t)  9v(t)  0 dt

Entonces la ecuación característica será: s2 + 6s + 9 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = s2 = -3 Como las raíces son reales e iguales entonces la respuesta del circuito es críticamente amortiguada y v(t) será de la forma: v(t) = B1℮-3t + B2t℮-3t Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de B1 y B2. Como v(t) = vC(t) entonces: vC(0) = v(0) = B1℮0 + B2(0)℮0 = 1, entonces obtenemos B1 = 1 La segunda ecuación necesaria para determinar = B1 y B2 normalmente se obtiene de la expresión: dv(t) dt dv(0) dt dv(0) dt

 3B e3t  B e3t  3B te3t , y evaluándola en t = 0, se obtiene: 1

2

2

 3B e0  B e0  3B (0)e0 1

2

 3B  B 1

2

2